第5讲 圆周运动常见模型（模型与方法）物理人教版必修第二册

第5讲 圆周运动常见模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.水平面的圆周运动 模型02.火车过弯、汽车过桥模型 模型03.圆周运动临界模型——圆板 模型04.圆周运动临界模型——竖直面 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.水平面的圆周运动 模型构建：水平面圆周运动，物体在水平面内做圆周，向心力由重力、支持力、摩擦力或拉力的合力提供，竖直方向受力平衡。常见圆锥摆、转盘物体、火车转弯模型。解题先竖直方向列平衡方程，水平方向合力充当向心力，代入向心力公式。注意临界：静摩擦力达最大值时，对应角速度的极值 模型剖析： 一.锥模型 锥面不光滑时，需要考虑摩檫力，利用正交分解进行分析，此时摩擦力具有双向性。 二.摆模型 1.等角摆 2.等长摆 3.等高摆 【例1】（多选）如图所示，质量均为的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（     ） A．a、b两小球圆周运动的半径之比为 B．a、b两小球都是所受合外力充当向心力 C．b小球受到的绳子拉力大小恒为 D．a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【答案】AC 【详解】A．由几何关系可知，a、b两小球圆周运动的半径之比，故A正确； B．小球a做变速圆周运动，只有在最低点是合外力充当向心力，其他位置是绳拉力与重力沿绳向外的分力的合力提供向心力，而小球b做匀速圆周运动，是合外力充当向心力，故B错误； C．对小球b在竖直方向合力为0，对其在竖直方向进行受力分析，可得 即，故C正确； D．小球a到达最高点时速度为零，沿绳方向合力为0，对其在沿绳方向进行受力分析可得，故D错误。 故选AC。 【变式1-1】如图所示，两根长度不同的细线的上端固定在天花板上的同一点，下端分别系一相同的小球，现使两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动，稳定时，OA、OB分别与竖直线成60°、30°角，关于两小球的受力和运动情况，下列说法中不正确的是（     ） A．两球运动的周期之比为 B．两球线速度的大小之比为 C．细线拉力的大小之比为 D．向心加速度的大小之比为 【答案】C 【详解】C．设悬点O到两小球圆周运动所在水平面的竖直高度为，对其中一个小球受力分析，如图所示 竖直方向受力平衡，则 可得拉力 代入得， 因此拉力比，故C错误； A．水平方向合力提供向心力有 其中圆周运动半径 解得周期 两球相同，则，故A正确； B．角速度 可知两球角速度相等，线速度 又半径 因此，故B正确； D．根据 可得向心加速度 因此，故D正确。 本题选不正确的，故选C。 【变式1-2】把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在水平面内做匀速圆周运动，如图中的轨迹1和轨迹2所示。比较小球沿轨迹1和轨迹2的运动，下列说法正确的是（     ） A．沿轨迹1运动时受到的弹力较大 B．沿轨迹1运动时的角速度较大 C．沿轨迹2运动时的线速度较小 D．沿轨迹2运动时向心加速度较大 【答案】C 【详解】A．小球做匀速圆周运动时，漏斗弹力和小球重力的合力提供向心力，小球沿轨迹1和轨迹2运动时重力与漏斗斜面的夹角不变，由力的三角形法则可知，小球沿轨迹1和轨迹2运动时受到的向心力、弹力均相同，故A错误； B．由向心力公式可知，向心力相同时，圆周运动的半径越大，角速度越小，所以小球沿轨迹1运动时的角速度较小，故B错误； C．由向心力公式可知，向心力相同时，圆周运动的半径越小，线速度越小，所以小球沿轨迹2运动时的线速度较小，故C正确； D．由向心力公式可知，向心力相同时，向心加速度相同，故D错误； 故选C。 模型02.火车过弯、汽车过桥模型 模型构建：火车转弯：理想情况重力与支持力合力提供向心力，无侧压力；速度偏大挤压外轨，偏小挤压内轨。汽车过桥分凸桥、凹桥。凸桥最高点支持力小于重力，存在脱离临界；凹桥最低点支持力大于重力。两类问题都先受力分析，沿半径方向合力充当向心力，列牛顿第二定律方程求解 模型剖析： 一.火车转弯问题 1.火车的车轮结构 2.火车弯道特点 弯道特点：弯道处外轨略高于内轨. 若铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻. 故修筑铁路时，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力主要由重力G和弹力FN的合力来提供. 3.火车弯道处的受力分析 4.速度与轨道压力的关系 (1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用. (2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力. (3)当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力 三种情景下的受力分析： 二.过桥问题 汽车以速度v通过半径为r的弧形桥时，由于向心力方向不同，会使车处于超重或失重状态。 1.拱（凸）形桥 汽车过凸形桥：经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力． 由牛二得：G－FN＝m 由牛三的：FN′＝FN＝G－m 汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．此时汽车处于失重状态. ①当0≤v<时，0<FN≤G. ②当v＝时，FN＝0，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险． ③当v>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险． 2.凹形桥 汽车过凹形桥：经过最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力。 由牛二得：FN－G＝m 由牛三的：FN′＝FN＝G+m 汽车对凹形桥面的压力大于重力，而且车速越大，压力越大。此时汽车处于超重状态. 5.航天器中的失重现象 1.向心力分析： 宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力， mg－FN＝m，所以FN＝mg－m. 2.完全失重状态： 当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态. 3.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态. (1)质量为M的航天器在近地轨道运行时 航天器的重力提供向心力，满足关系： Mg＝M，则v＝. (2)质量为m的航天员： 设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝. 当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态. (3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态. 【例2】如图1所示，某汽车研发基地有一半径很大的环形高速试验跑道，跑道路面沿径向向内倾斜，与水平面夹角为，质量为、可视为质点的测试小车在跑道上做水平面内的圆周运动，圆周运动的半径为，简化图如图2所示。轮胎与路面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。缓慢改变车速，小车相对路面始终没有发生侧向滑动。下列说法正确的是（     ） A．小车做圆周运动时，路面对小车的支持力大小恒为 B．由静止开始，车速缓慢增大的过程中，小车沿斜面方向受到的静摩擦力也持续增大 C．当做圆周运动的角速度为时，小车有沿斜面向上滑动的趋势 D．当做圆周运动的角速度为时，小车有沿斜面向下滑动的趋势 【答案】D 【详解】A．只有当小车不受侧向静摩擦力时，受力如图： 垂直斜面方向合力为零，有支持力 但小车做圆周运动的向心力是水平指向圆心的，车速变化时静摩擦力的大小、方向都会改变，垂直斜面方向的受力平衡会随摩擦力分量变化，因此支持力并非恒为mgcosθ，A错误； B．从静止开始增大车速的过程中：初始车速极小时，小车有沿斜面向下滑动的趋势，静摩擦力沿斜面向上；随着车速增大，所需向心力增大，沿斜面向上的静摩擦力会先逐渐减小到零，之后反向变为沿斜面向下，再随车速继续增大而增大。因此静摩擦力并非持续增大，B错误； CD．当角速度时，代入向心力公式得 向心力沿斜面向下的分量小于重力沿斜面方向重力的分力mgsinθ，说明摩擦力沿斜面向上，小车有沿斜面向下滑动的趋势，C错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】（多选）如图甲所示是场地自行车比赛某段圆形转弯赛道，赛道与水平面的夹角为θ，如图乙所示。某运动员骑自行车做水平面内的匀速圆周运动通过该段赛道。当自行车的速度大小为时，自行车不受侧向摩擦力作用；当自行车的速度大小为（>）时，自行车运动员在相同高度、保持相同姿态，自行车会受到侧向摩擦力作用。已知重力加速度为g，自行车和运动员的总质量为m，且可视为质点。不考虑空气阻力。则（     ） A．速度为时，自行车所受的支持力大小为 B．速度为时，自行车和运动员的向心力大小为 C．速度为时，自行车所受的侧向摩擦力沿斜面向上 D．速度为时，运动员适当调整其做匀速圆周运动的轨道半径，有可能让自行车不受摩擦力 【答案】BD 【详解】AB．速度为时，自行车不受侧向摩擦力作用，则自行车仅受重力和赛道的支持力，两个力的合力提供水平指向圆周圆心的向心力，竖直方向合力为0，则 解得支持力 水平方向合力提供向心力，则，故A错误，B正确； C．速度为的情况，所需向心力随速度增大而变大，仅靠支持力和重力的合力不足以提供更大的向心力，自行车有沿斜面向上（远离圆心）滑动的趋势，因此侧向摩擦力会沿斜面向下补充向心力，故C错误； D．无侧向摩擦力的临界条件满足 整理得 当速度大于时，适当增大圆周运动的轨道半径，可以让等式重新成立，此时自行车就可以不受侧向摩擦力，故D正确。 故选BD。 【变式2-2】（多选）火车转弯做水平面内的圆周运动时车轮、轮缘、轨道的示意图如图所示，火车（车体未画出）的质量为，转弯过程的速度大小始终为，转弯处的圆弧半径为，内、外铁轨的高度差为，内、外铁轨间的距离为，铁轨平面与水平面间的夹角很小（），重力加速度为。下列说法正确的是（     ） A．转弯过程火车受到重力、支持力、向心力 B．若，则火车重力和支持力的合力提供向心力 C．若，则火车外轨受到侧向挤压 D．若，则火车内轨受到侧向挤压 【答案】BC 【详解】A．向心力是效果力，是其他力的合力（或某力的分力）来提供的，并不是火车实际受到的力，火车实际只受重力、轨道的支持力，速度不匹配时还会受到轨道的侧向弹力，故A错误； B．当火车以过弯时，需要向心力 很小，，则 恰好为仅由重力和支持力的合力提供向心力，故B正确； CD．当实际速度时，重力和支持力的合力不足以提供所需的更大的向心力，火车有做离心运动、向外侧偏移的趋势，会挤压外轨，外轨对轮缘产生指向内侧的侧向弹力补充向心力，因此外轨受到侧向挤压，故C正确，D错误。 故选BC。 模型03.圆周运动临界模型——圆板 模型构建：物体放在转动圆盘上，静摩擦力提供向心力。角速度较小时静摩擦力随 ω 增大而增大；当静摩擦力达到最大静摩擦时，角速度达到临界最大值，ω 再增大物体将滑动。同轴转动各物体角速度相同，半径越大越容易滑动。解题沿径向列向心力方程，临界条件：静摩擦力等于最大静摩擦力 模型剖析： 1.向心力来源： 板对物体的静摩檫力提供向心力。 2.静摩擦力的方向： 物体做匀速圆周运动时：这个静摩擦力沿着半径指向圆心。 物体做变速圆周运动时：静摩擦力不指向圆心，有切线方向的分量改变线速度的大小。 3.静摩擦力的变化： ①当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大。 ②当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。 2.倾斜圆板模型 1.向心力来源： 板对物体的静摩檫力及重力分力提供 2.静摩擦力的方向： 当物体做匀速圆周运动时，在最低点f方向指向圆心，在最高点f方向指向或者背离圆心。 3.静摩擦力的变化： 当水平圆盘的转速增大时。 最高点：物体在“最高点”受到的静摩擦力先减小后增大. 最低点：物体在“最高点”受到的静摩擦力一直增大. 临界：当物体所需的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对滑动，变为滑动摩擦力。 3.多物体圆板模型 1.同侧多体 2.异侧多体 【例3】如图所示，质量均为的木块A、B放在水平圆盘上，可视为质点，用恰好伸直的轻绳相连，A恰好处于圆盘中心，B到竖直转轴的距离为。已知两木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（　　） A．当时，木块B所受摩擦大小为 B．当时，木块B即将相对于圆盘滑动 C．当之后，A、B所受静摩擦力都会随角速度增大而持续增大 D．当时，木块A即将相对于圆盘滑动 【答案】D 【详解】A在圆盘中心，转动时不需要向心力；B到转轴距离为，做圆周运动需要向心力，大小为该向心力由B所受静摩擦力和绳的拉力共同提供。 当较小时，绳中无张力，B所需的向心力小于最大静摩擦力时，仅靠静摩擦力就能提供，绳中张力为零，A也不受摩擦力。 临界条件为 解得 当时，B所受静摩擦力达到最大值，不足部分由绳的拉力提供 所以 此时A受到绳向外拉力，要保持静止，A所受静摩擦力方向向内，大小也为 A即将滑动的临界条件：A所受最大静摩擦力为，当时，A即将相对圆盘滑动。 解得 因此，当时，木块A即将相对于圆盘滑动。 A．当时，，故A错误； B．当时，B的静摩擦力刚好达到最大，但绳开始提供拉力后，B仍可继续随圆盘转动，并不是马上相对圆盘滑动，故B错误； C．当之后，B 的静摩擦力保持最大值，不会继续增大；只有A的静摩擦力随增大而增大，故C错误； D．当时，A所受静摩擦力达到最大，A即将相对圆盘滑动，故D正确。 故选D。 【变式3-1】如图甲所示，质量分别为、的小木块a和b（可视为质点）用细线相连，沿半径方向放在水平圆盘上，a、b与转轴之间的距离分别为、，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，表示圆盘转动的角速度，木块a所受的摩擦力大小。随圆盘角速度的平方的变化图像如图乙所示，对应图线的斜率为，对应图线的斜率为，两木块与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．圆盘缓慢加速，可忽略切向加速的影响。图乙表示木块所受摩擦力大小随圆盘角速度平方的变化，第一段直线过原点，第二段直线的延长线在纵轴上的截距为。转动初期，细线尚未产生拉力，两木块各由静摩擦力提供向心力。设木块所受摩擦力大小为，由牛顿第二定律分别有， 因此第一段图线的斜率为 由于外侧木块的转动半径较大，它先达到最大静摩擦力，对应图线的转折点；图像平台段则对应木块也达到最大静摩擦力并开始滑动。因此，木块达到临界状态的条件和平台值分别满足， 图中转折点的纵坐标为，结合上述方程得，故A错误； BCD．第二段图线对应细线已有拉力、两木块仍随圆盘转动的阶段，此时木块的摩擦力保持最大值。设细线拉力大小为，取沿半径指向圆心为正。下图表示角速度达到时两木块的径向受力，竖直方向的重力与支持力平衡 沿半径方向，对木块应用牛顿第二定律得 对木块同理有 消去，整理得 故第二段图线的斜率为 其延长线的纵截距为，由图乙的截距可得 结合前述平台值，质量比为 代入已求得的半径比和质量比，斜率比为 第二段直线左端点的纵坐标为，结合其纵截距，有 右端点的纵坐标为，同理有 联立两式并取正值得，故BC错误，D正确。 故选D。 【变式3-2】半径为l的水平圆盘上有一个质量为m的小物块，用长也为l的轻质细绳将物块连接在穿过圆盘中心的竖直转轴上，细绳与竖直转轴的夹角，此时细绳伸直但无张力。圆盘离水平地面高度为，物块与圆盘间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随圆盘由静止开始缓慢加速转动，重力加速度为g，，回答下列问题： (1)当水平圆盘以角速度匀速转动时，绳上恰好开始有张力，求的值； (2)当水平圆盘以角速度匀速转动时，物块恰好对圆盘压力为零，求的值； (3)当水平圆盘正以角速度匀速转动时，突然圆盘被卡死同时连接物块的细绳断裂，小物块由于惯性沿圆盘滑动至边缘后飞出，求物块离开圆盘时速度大小以及落地点（不反弹）到竖直转轴的水平距离。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）当水平转盘以角速度匀速转动时，绳上恰好开始有张力，此时物块受到的静摩擦力达到最大静摩擦力，由牛顿第二定律得 解得 （2）当压力为零时，物块所需要的向心力由重力和细绳拉力的合力提供，由牛顿第二定律得 解得 （3）当水平转盘以角速度匀速转动时，由于，物块还在圆盘上；圆盘停止转动时物块速度为 物块沿断绳瞬间的速度方向做匀减速运动，由牛顿第二定律得 解得加速度 位移为 由匀变速直线运动速度与位移的关系，离开圆盘速度 物块离开圆盘做平抛运动，已知，则空中时间为 平抛水平距离 落地点距离竖直转轴水平距离为 模型04.圆周运动临界模型——竖直面 模型构建：竖直面圆周为变速圆周运动，合力径向分量提供向心力，切向分量改变速度大小。绳模型：最高点最小速度，低于此速度物体无法完成圆周；杆模型最高点最小速度可为 0，杆可提供支持力或拉力。解题抓住最高点、最低点受力，沿半径方向列牛顿第二定律，区分绳、杆两种临界条件 模型剖析： 1.绳类模型（及外轨道模型） 2.杆类模型（及管模型） 【例4】滚筒洗衣机的外观如图甲所示，在一次转速测试中，筒内仅有一枚质量为m的钮扣。当滚筒以某一角速度转动时，纽扣紧贴滚筒内壁随滚筒一起在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动，运动到某一位置M时脱离滚筒，经一段时间后落到滚筒上的N点，此时N点的位置与M关于圆心O对称，MN连线与竖直方向的夹角为，如图乙所示。已知滚筒内壁半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】钮扣在点恰好脱离滚筒时，筒壁对它的支持力减为零。设此时钮扣的速度大小为，由牛顿第二定律，沿指向的方向列式为 化简可得 钮扣脱离后只受重力作用，做斜抛运动。其初速度沿圆的切线指向右上方，与水平方向的夹角为。取水平向右、竖直向上为正方向，设从到的运动时间为，初速度分解及两点之间的位移投影如下图所示，图中和分别表示初速度的水平、竖直分量 由于和关于圆心对称，钮扣的水平位移为，水平方向做匀速直线运动，故有 竖直位移为，竖直方向做加速度为的匀变速直线运动，故有 由水平方程解得 代入竖直方程并整理得 再代入脱离条件，得到 由图可知为锐角，故。由圆周运动的线速度公式得，结合前述脱离条件可得 故选B。 【变式4-1】如图所示为某公园内的嵌入式过山车情境图，为简化模型，可将轨道按圆处理，忽略一切摩擦和阻力，忽略相邻车厢之间的相互作用，将一节车厢单独考虑。图中小车位置分别为轨道最低点、与圆心等高处、最高点，下列受力分析图中一定错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．小车在轨道最高点，受竖直向下的重力G，轨道弹力可以为零，该受力分析有可能成立，A正确； B．小车在轨道最高点，受竖直向下重力G与竖直向下轨道弹力，二者合力提供向心力，该受力分析有可能成立，B正确； C．小车在轨道最低点时，向心力指向圆心即竖直向上，轨道的支持力必须竖直向上，该受力分析可能成立，C正确； D．小车在与圆心等高处，重力竖直向下，轨道支持力FN应沿半径指向圆心提供向心力，不能斜向上，该受力分析一定错误，D错误。 由于本题选择错误的，故选D。 【变式4-2】（多选）游乐园的飞椅项目可以简化成如图（a）所示的模型：长为L的轻质连接杆，一端铰接在水平转轴O上，另一端拴着一个质量为m的座椅（可视为小球），座椅随转轴在竖直平面内以角速度ω匀速转动。工程师用传感器测出连接杆对座椅的拉力大小随时间变化的图像如图（b），F1是拉力最小值，F2是拉力最大值，且F1>mg。重力加速度为g，则以下关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．座椅在竖直平面内做匀速圆周运动，拉力最大值出现在轨迹最低点，拉力最小值出现在轨迹最高点。从一个拉力最大值到下一个拉力最大值的时间间隔，恰好是座椅完成一次完整圆周运动的周期，即 根据 解得，故A错误，B正确； CD．在最低点有 在最高点有 两式联立可得 又 解得，故C正确，D错误。 故选BC。 1. 如图所示，半径的竖直固定圆弧轨道的端点B与圆心O的连线水平，圆弧轨道与倾角θ=30°的传送带相切于C点，传送带的长度L=6.9 m。质量的物块（可视为质点）从A点以v0=5 m/s的速度竖直向上射出，一段时间后由B点进入轨道，经过C点时对轨道的压力大小FN=143 N，顺时针匀加速转动的传送带在该时刻的速度大小v传1=2 m/s，加速度大小a=5 m/s2。A点位于B点的正上方h=1.2 m处，物块与传送带之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s2，忽略空气阻力，求： (1)从A点运动至B点的过程中，物块最后1 s内运动的位移大小； (2)物块刚滑上传送带时的速度大小； (3)物块在传送带上运动的时间以及留下的划痕长度。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物块从A点开始做竖直上抛运动，设从A到B的总时间为，取向上为正方向，位移满足 代入数据解得总时间 总时长为1.2 s，因此“最后1 s”对应运动的时间，求前0.2 s的位移 A到B总位移为向下1.2 m，即总位移，最后1 s位移大小 （2）在C点，由牛顿第二定律可得 代入数据解得 （3）首先分析受力， 因此 第一阶段：物块减速到与传送带共速，物块初速度，大于传送带初速度，物块相对传送带向下滑动，滑动摩擦力沿传送带向上，物块加速度大小 设经过时间二者共速，共速时速度为， 对物块 对传送带 代入数据解得 则共速时速度 此阶段物块位移 此阶段传送带传动距离 共速后，假设没有摩擦力，则物块的加速度为 由于传送带加速度，因此物块和传送带刚好无相对滑动趋势，以共同加速度向下加速，剩余位移无划痕，剩余位移 由 代入数值解得 总运动时间 划痕长度 【基础夯实】 2. （多选）如图甲所示，两个完全相同的物块和（均可视为质点）放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连。两物块的质量均为，与圆心的距离分别为、，其中，且。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同的角速度绕过圆盘圆心的竖直轴匀速转动时，绳中弹力与的关系如图乙所示，取重力加速度大小。下列说法正确的是（     ） A．与圆心的距离 B．物块与圆盘间的动摩擦因数 C．当角速度为时，圆盘对的静摩擦力为 D．当角速度为时，恰好要相对圆盘发生滑动 【答案】BD 【详解】AB．角速度较小时，物块各自受到的静摩擦力充当向心力，绳中无拉力，根据牛顿第二定律得 因为 所以物块与圆盘间的静摩擦力先达到最大值，然后随着角速度的增大，轻绳出现拉力，拉力和最大静摩擦力的合力充当向心力，对物块受力分析有 整理得 则根据题图乙中斜率和截距的数据可得， 联立解得，，故A错误，B正确； C．当时，由上述方程得轻绳中拉力大小 对，由牛顿第二定律得 解得，故C错误； D．当恰好要相对圆盘发生滑动时，其摩擦力为最大值且方向沿半径向外，对分析有 此时对分析有 联立解得，故D正确。 故选BD。 3. 如图所示，圆心为，半径 的粗糙圆盘平行于水平地面放置，到地面的高度为 ，在圆盘边缘放置一可看成质点的物块a。物块与圆盘间的动摩擦因数，重力加速度取。圆盘的角速度从零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（     ） A．a随圆盘转动线速度的最大值为 m/s B．a落地点到转轴的水平距离为 m C．若增大极快，a离开圆盘时的速度增大 D．若增大极快，a离开圆盘时的速度不变 【答案】B 【详解】A． 物块随圆盘缓慢加速转动时，最大静摩擦力提供向心力，由 代入数据得最大线速度 故A错误； B．物块脱离圆盘后做平抛运动，竖直方向 解得平抛时间 水平方向位移 落地点到转轴的水平距离为 故B正确； CD．若角速度增大极快，物块所需向心力瞬间急剧增大，静摩擦力不足以提供向心力时，物块会立刻相对圆盘滑动、脱离圆盘，还没来得及被圆盘加速，脱离时的速度远小于缓慢加速时的最大线速度，既不会增大也不会保持不变，故C、D均错误； 故选B。 4. （多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为的光滑小球、用长为的轻杆及光滑铰链相连，小球穿过竖直杆置于弹簧上。让小球以不同的角速度 绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为时，小球刚好离开台面。弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为，重力加速度为，则下列判断正确的是（     ） A．小球均静止时，弹簧的长度为 B．角速度时，小球对弹簧的压力大于 C．角速度 D．角速度从继续增大的过程中，弹簧的形变量不变 【答案】BD 【详解】A．若两球静止时，受力平衡，故杆的弹力为零，对A球受力分析可知 解得 故此时弹簧的长度为，故A错误； BC．当转动的角速度为时，小球B刚好离开台面，设杆与转盘的夹角为，对应B球，由牛顿第二定律可知 根据平衡条件有 而对A球依然处于平衡，则有 由几何关系可知 联立解得 根据牛顿第三定律可知，小球A对弹簧的压力为2mg，大于，故B正确，C错误； D．当角速度从继续增大，B球将飘起来，杆与水平方向的夹角变小，对A与B的系统，在竖直方向始终处于平衡，则有 则弹簧对A球的弹力是2mg，由牛顿第三定律可知A球对弹簧的压力依然为2mg，弹簧的形变量不变，故D正确。 故选BD。 5. 如图所示，水平转盘上放有质量为的物体，当物体到转轴的距离为时，连接物体和转轴的细绳刚好被水平拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的倍，重力加速度为。求： (1)当转盘的角速度为多大时，物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力？ (2)当转盘的角速度时，细绳的拉力的大小； (3)当转盘的角速度时，细绳的拉力的大小。 【答案】(1) (2)0 (3) 【详解】（1）物体在竖直方向受力平衡，因此支持力为，物体与转盘间的最大静摩擦力为。当静摩擦力恰好达到最大值时，细绳张力仍为零，由最大静摩擦力提供物体做圆周运动所需的向心力，根据牛顿第二定律有 约去并解得 （2）当时，物体做圆周运动所需的向心力为 由于，静摩擦力尚未达到最大值，所需向心力可完全由静摩擦力提供，因此细绳张力为 （3）当时，物体做圆周运动所需的向心力为 由于，静摩擦力达到最大值并指向转轴，细绳张力也指向转轴，根据牛顿第二定律有 解得 代入解得 6. 如图所示，两根长度不同的轻绳分别系有两个相同的小球a、b，轻绳的上端都系于点，两球在同一水平面内做匀速圆周运动，则（     ） A．周期 B．线速度 C．向心力 D．两绳中的拉力大小相等 【答案】C 【详解】对小球受力分析，设轻绳与竖直方向夹角为，小球做圆锥摆运动，竖直方向受力平衡 向心力 圆周运动半径，联立可得 h为小球做圆周运动平面到悬点O的竖直高度。两球在同一水平面，故h相等，角速度相等。 A．周期，相等，则，A错误； B．线速度，a球转动半径更大，故，B错误； C．向心力，小球质量相同，相同，a球转动半径大，故向心力，C正确； D．绳子拉力，a球对应的角更大，更小，故a绳拉力更大，D错误。 故选C。 7. （多选）一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（     ） A．A球的角速度必小于B球的角速度 B．A球的线速度必小于B球的线速度 C．A球运动的向心加速度等于B球运动的向心加速度 D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 【答案】AC 【详解】ABC．以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示 由牛顿第二定律得 解得，， 因为A的半径大，则A球的线速度大于B球的线速度，A球的角速度小于B球的角速度，两球的向心加速度相等，故AC正确，B错误； D．根据几何关系可得球受到的支持力为 可知两球受到的支持力相等，根据牛顿第三定律可知两球对筒壁的压力相等，故D错误。 故选AC。 8. （多选）如图所示，可视为质点、质量为m的小球在内壁光滑的半球形容器内的水平面内做匀速圆周运动，已知半球形容器的球心为O、半径为R，当小球运动到a点时，O、a两点连线与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．内壁对小球的支持力大小为 B．小球受到的向心力大小为 C．小球运动的角速度大小为 D．小球运动的线速度大小为 【答案】CD 【详解】AB．小球受到自身重力mg与内壁对其的支持力N而做匀速圆周运动，受力分析如图 由平行四边形定则可知 小球受到的向心力为，故AB错误； C．由牛顿第二定律可得 根据几何关系有   联立解得，故C正确； D．根据线速度与角速度关系，可得，故D正确。 故选CD。 9. 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和点的连线与之间的夹角为60°。重力加速度大小为g。 (1)若，小物块受到的摩擦力恰好为零，求； (2)若，求小物块受到的摩擦力大小和方向； (3)若，且小物块恰好不滑动，求动摩擦因数（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 【答案】(1) (2)，与竖直方向成角斜向左下方 (3) 【详解】（1）小物块随陶罐一起做匀速圆周运动，轨道半径 无摩擦时，支持力沿半径方向斜向上指向球心，其竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力 竖直方向平衡： 水平方向提供向心力： 消去得 代入题给数据，解得 （2）因为 角速度增大，物块有上滑趋势，由几何关系可知，摩擦力沿罐壁切线向下，与竖直方向成角斜向左下方 设支持力为，摩擦力为，方向沿切线向下 竖直方向平衡： 水平方向提供向心力： 联立上述二式，代入题给数据，解得， 其中摩擦力的方向为：与竖直方向成角斜向左下方 （3）最大静摩擦力等于滑动摩擦力，恰好不滑动时有 由（2）得： 【培优拔高】 10. （多选）如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A、B均相对圆盘静止，则A、B所受摩擦力的大小一定相等 D．图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 【答案】AD 【详解】A．在图a最高点取指向圆心的竖直向下为正方向，设杆对小球沿杆方向的有符号作用力为。由牛顿第二定律得 由此得 题设，即 故，杆对小球的作用力方向向上，故A正确； B．设火车规定速度为。在规定速度下，倾斜轨道的支持力满足， 由上两式消去，得规定速度满足 其中为转弯半径。当实际速度时，所需向心力小于支持力在水平方向的分量，火车有沿斜面向下滑向内轨的趋势，轮缘会挤压内轨而不是外轨，故B错误； C．A、B均相对圆盘静止时，静摩擦力分别提供各自的向心力，有， 图中两物体到转轴的半径不同，且质量也未给出相等条件，因此两摩擦力不一定相等，故C错误； D．设悬点到圆周运动平面的竖直高度为，对圆锥摆小球受力分析，向心力由重力和拉力的合力提供： 而圆周运动半径 联立可得 。两球做圆周运动的高度相同，因此角速度相同，D正确。 故选AD。 11. 随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的水面，已知此弯道路面的倾角为，不计空气阻力，重力加速度为，则下列判断正确的是（　　） A．列车的轮缘与轨道有侧向挤压作用 B．水杯与桌面间无静摩擦力 C．列车转弯过程中的向心加速度为，方向与水平面的夹角为 D．水杯受到桌面的支持力与水杯的重力是一对平衡力 【答案】B 【详解】AC．悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，说明列车转弯时车内等效重力方向沿车厢底板法线，列车正以轨道的设计速度运行。设列车质量为，轨道支持力为，由牛顿第二定律，竖直方向有 且水平方向有 联立 轨道支持力已能提供所需的水平向心分量，不需要轮缘与轨道发生侧向挤压；向心加速度方向应水平指向圆心，而不是与水平面的夹角为，故AC错误； B．水杯相对车厢静止，桌面与车厢底板平行，支持力垂直桌面。由牛顿第二定律，水平方向有 且竖直方向有 支持力的两个分量分别提供向心力并平衡重力，沿桌面方向无需额外合力，故静摩擦力为零，故B正确； D．水杯随列车做圆周运动，合力不为零；支持力与重力的合力提供向心力，二力不是平衡力，故D错误。 故选B。 12. （多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（     ） A．该弯道的半径 B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 【答案】AD 【详解】A．根据题意，由牛顿第二定律有 解得该弯道的半径，故A正确； B．根据题意，由牛顿第二定律有 解得 可知，规定的行驶速度大小与火车的质量无关，故B错误； CD．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。 故选AD。 13. 如图1所示，长为且不可伸长的轻绳一端固定在点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小、绳子拉力的大小，作出与的关系图线如图2所示。下列说法中不正确的是（     ） A．根据图线可以得出小球的质量 B．根据图线可以得出重力加速度 C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小 D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 【答案】D 【详解】A．小球在最高点受重力和绳子拉力作用，根据牛顿第二定律有 整理得与的函数关系式为 由函数关系式可知，结合图2可知斜率 故小球的质量，故A正确； B．当时， 代入函数关系式得 联立 解得重力加速度，故B正确； C．图线的斜率 若绳长不变，用质量更小的球做实验，则斜率变小，故C正确； D．图线与横轴交点的位置对应 此时满足 即 若用更长的绳做实验，即增大，则交点的横坐标增大，交点位置向右移动，故D错误。 本题选不正确的，故选D。 14. （多选）如图所示，摩天轮的直径为D，正常工作时，以恒定的角速度在竖直面内做匀速圆周运动，质量为m的游客坐在轿厢的座椅上，随摩天轮一起运动，重力加速度为g，已知摩天轮的角速度为，整个过程中轿厢内的座椅始终保持水平，游客与座椅始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．整个过程，游客始终受到静摩擦力的作用 B．座椅受到游客的最大压力与最小压力之差最大值为mg C．游客和座椅间动摩擦因数的最小值为0.5 D．游客在与摩天轮圆心等高处所受座椅的作用力为 【答案】BC 【详解】A．游客处在最低点以及最高点时只受重力和座椅的支持力，游客与座椅间没有摩擦力的作用，A错误； B．游客在最高点时，对座椅的压力最小，当角速度取最大值时，由牛顿第二定律得 解得 游客在最低点时，对座椅的压力最大，由牛顿第二定律得 解得 结合牛顿第三定律可知，游客对座椅的最大压力和最小压力的差最大值为，B正确； C．游客运动到与圆心等高位置时，所受的静摩擦力最大，则有 当角速度取最大值时，静摩擦力最大，对应动摩擦因数最小，解得 又， 解得，C正确； D．游客在与圆心等高处时，座椅对游客的作用力为 解得，D错误。 故选BC。 15. （多选）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在处光滑固定轴上。现使小球在竖直平面内顺时针做匀速圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球沿轴上的分速度随时间的变化关系如图乙所示。已知小球可视为质点，质量为，重力加速度取，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．轻杆的长度为 B．图乙中阴影部分面积大小为 C．小球在最高点时，杆对球的作用力大小为 D．在时间段内小球速度改变量大小为 【答案】BC 【详解】A．由图乙可知，小球做匀速圆周运动的线速度大小为v=1m/s，运动周期为T=0.4πs。根据角速度公式，解得ω=5rad/s 由线速度与角速度的关系v=ωL 解得L=0.2m 因此轻杆的长度为0.2m，故A错误； B．图乙中阴影部分面积代表小球在t=0.1πs到t=0.2πs这段时间内沿水平方向的位移大小。根据题意，该时间段内小球恰好从圆周最高点运动至最右端，其水平位移大小等于轻杆长度，即x=0.2m，故B正确； C．当小球运动至最高点时，设杆对小球的作用力方向竖直向上，大小为FN。根据牛顿第二定律有 代入数据解得FN=5N，故C正确； D．在t=0.1πs时刻，小球位于最高点，速度方向水平向右；在t=0.2πs时刻，小球位于最右端，速度方向竖直向下。两时刻速度方向相互垂直，因此速度变化量的大小为，故D错误。 故选BC。 16. （多选）如图甲所示，轻杆的一端固定在O点，另一端固定一个小球（视为质点）。使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，当小球运动到最高点时，轻杆的弹力大小F与小球在最高点时的速度大小v的二次方的关系图像如图乙所示。若a、b、c、d、R均已知，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．重力加速度大小为 B．小球的质量为 C． D．当时，小球对杆的弹力竖直向下 【答案】BC 【详解】AB．当小球速度较小，杆对小球的弹力为向上的支持力，合力提供向心力 整理得 对应图乙左半段，可得 当（弹力为零）， 代入得 化简得重力加速度 当时，，此时 结合 可得，A错误，B正确； C．根据，，联立可得，故C正确； D．当时，，杆对小球的弹力为向下的拉力，根据牛顿第三定律可知小球对杆的弹力竖直向上，故D错误。 故选BC。 17. 如图所示，为竖直光滑圆弧的直径，其半径端沿水平方向。水平轨道与半径的粗糙圆弧轨道相接于为圆轨道的最低点，圆弧轨道对应的圆心角，物块与粗糙圆弧轨道的动摩擦因数可调。一质量为的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过点，随后落到右侧四分之一圆弧上，的圆心与点重合，半径为。，取，不计空气阻力。求： (1)物块从点飞出的速度大小； (2)物块到达点时对轨道的压力大小； (3)调节段的粗糙程度，当物块从点抛出后落到圆弧面的速度最小时，物块在点抛出的水平速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块从A飞出后做平抛运动，A到C竖直下落高度 竖直方向有 代入得 故竖直分速度 物块在C点沿切线进入，故速度方向与水平方向夹角 所以 解得 （2）小球在C处速度 小球在C点受力分析如图所示 由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律得物块对轨道的压力大小 （3）物块从D点水平抛出，做平抛运动，设运动时间为，落点水平位移 竖直位移 又因为落点在以D为圆心的圆弧上，则 落点速度平方满足 代入 联立可得 由均值不等式有 则等号成立时，物块落到圆弧面的速度最小，有 解得 所以 根据 解得 故物块在点抛出的水平速度大小 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5讲圆周运动常见模型 内容导航 模型破解规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.水平面的圆周运动 模型02.火车过弯、汽车过桥模型 模型03.圆周运动临界模型一一圆板 模型04.圆周运动临界模型一一竖直面 真题演练熟悉考试形式，提升实战能力 模型破解 模型01.水平面的圆周运动 模型构建：水平面圆周运动，物体在水平面内做圆周，向心力由重力、支持力、摩擦力或拉 力的合力提供，竖直方向受力平衡。常见圆锥摆、转盘物体、火车转弯模型。解题先竖直方 向列平衡方程，水平方向合力充当向心力，代入向心力公式。注意临界：静摩擦力达最大值 时，对应角速度的极值 模型剖析： 一锥模型 42 若锥面光滑 模型分析：卫=mg=mw tan =m02r=m Fy=mg sin 相关运动参量计算：an=,9。 gr 9 w=rtane rtane T= 不同轨道处各物理量关系：an1=an2 U12 W1 W2 TT 若m1=m2: Fn1=Fn2 FN=FN2 外 总结：大轨、大速、大周期 随着r个 w↓ 不同轨道处支持力与向心力大小取决于质量 锥面不光滑时，需要考虑摩擦力，利用正交分解进行分析，此时摩擦力具有双向性。 第1页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二摆模型 模型分标：R=mgtand0=m0=mw,=n知， Ty=mg r cos0 相关运行参量计算：v=Vgrtan0 gtan w= r an=gtane T=2m1gtane 1.等角摆 摆角相同，r为单一变量 模型分析：R=mga9=m=mo'r=m不rx=2 相关运行参量计算：v=√grtan6 gtane w=2r an=gtan T=2r\√gtan0 不同轨道处各物理量关系：am1=an2 w102T1T2 71 若m1=m2: F1=F2 T=T TN T个 总结：大轨、大速、大周期 随着r个 Fn 不同轨道处拉力与向心力大小取决于质量 2.等长摆 模型分析：F,=mgtan0=mw2 =mw2r=m 4π2 摆长相同，将r用来 Ty=mg 表示，转化单一变量 相关运行参量计算：r=lsin0 v=√gl sin0tan0 T=2T1g 9 w=Icos0 TN 不同轨道处各物理量关系：a1a2M2 01D2 TT 若m1=m2:En1Fn2TN1Tw2 TL 总结：F。、Tw的大小，由m和0共同决定随着叶个 w叶 ant 3.等高摆 第2页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 摆长相同，将r用h来 ，表示转化单一变量 模型分析：R=mga0=m=mw=m祭，= 相关运行参量计算：r=htan0v=√ghtan20 an=gtan0 如=V层 T=2不\g h 不同轨道处各物理量关系：a1an2U1v2w1=w2T=T2 若m1=m2: F F2 TNI TN2 T 总结：Fn与Tw的大小，有m和0共同决定随着↑r个 an↑ 【例1】（多选）如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球α在 竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球α 摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为g,则下列说法正确的是() L121622127 L12161212 a A.a、b两小球圆周运动的半径之比为1sin0 B.a、b两小球都是所受合外力充当向心力 C.b小球受到的绳子拉力大小恒为mg cos0 D.a小球运动到最高点时受到的绳子拉力为mg sin9 【变式1-1】如图所示，两根长度不同的细线的上端固定在天花板上的同一点，下端分别系一相同的小球， 现使两个小球在同一水平面内做匀速圆周运动，稳定时，OA、OB分别与竖直线成60°、30°角，关于两小 球的受力和运动情况，下列说法中不正确的是() BO A.两球运动的周期之比为TA·TB=1.1 第3页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.两球线速度的大小之比为VA,VB=3:1 C.细线拉力的大小之比为FA,FB=3,1 D.向心加速度的大小之比为aAQB=3,1 F cos 0=mg A© mg 竖直方向受力平衡，则 可得拉力F=mg cos0 代入得EAg80e=2mg,F,o。=25m c0s30°3 【变式1-2】把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在水平面内 做匀速圆周运动，如图中的轨迹1和轨迹2所示。比较小球沿轨迹1和轨迹2的运动，下列说法正确的是 () 轨迹代》 轨迹2 A.沿轨迹1运动时受到的弹力较大 B.沿轨迹1运动时的角速度较大 C.沿轨迹2运动时的线速度较小 D.沿轨迹2运动时向心加速度较大 模型02.火车过弯、汽车过桥模型 模型构建：火车转弯：理想情况重力与支持力合力提供向心力，无侧压力：速度偏大挤压外 轨，偏小挤压内轨。汽车过桥分凸桥、凹桥。凸桥最高点支持力小于重力，存在脱离临界： 凹桥最低点支持力大于重力。两类问题都先受力分析，沿半径方向合力充当向心力，列牛顿 第4页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二定律方程求解 模型剖析： 一火车转弯问题 1.火车的车轮结构 2.火车弯道特点 弯道特点：弯道处外轨略高于内轨. 若铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，不仅铁轨和车轮极易 受损，还可能使火车侧翻， 故修筑铁路时，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力主要由重力G和弹力Fx的合力来 提供。 3.火车弯道处的受力分析 设内外轨道间距为，内外轨道高度差为h,火车转弯半径为r,转弯时速度 受力分析：F给=ma=mgtan0(由于0很小mgsin8=mgi=, 故火车转弯的规定速度为：o=√grtan0 grh ≈V 4速度与轨道压力的关系 (1)当火车行驶速度ⅴ等于规定速度时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道 对火车无挤压作用 (2)当火车行驶速度v>Vo时，外轨道对轮缘有侧压力. 第5页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当火车行驶速度<o时，内轨道对轮缘有侧压力 三种情景下的受力分析： 0 模逊分析：v=内外轨均无挤压，由重力和弹力的合力提供向心力 0 受力分析得：P.=F=gtan0=mw v=vo=Vgrtane 模型分析：vvo 外轨对内侧有挤压N 利用正交分解法分析得：x:F,=F合=mw =Fysin0+Ncosθ y:FNCos0=Nsin0+mg 模型分析：v内轨对外侧有挤压N F =ma 利用正交分解法分析得：x:F。=F合=m -=FNsin0-Ncos0 y:FN cos0+Nsin=mg mg 二过桥问题 汽车以速度ⅴ通过半径为r的弧形桥时，由于向心力方向不同，会使车处于超重或失重状态。 1.拱（凸）形桥 汽车过凸形桥：经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力 由牛二得：G一Fv=m 由牛三的：FN'=FN=G一Im 汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越hg此时汽车处于失重状态。 ①当0≤v<时，0<F≤G. ②当v=时，FN=0,汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险. ③当>时，汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险 2.凹形桥 第6页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 汽车过凹形桥：经过最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心 力。 由牛二得：FN一G=m 由牛三的：FN'=Fw=G+m 汽车对凹形桥面的压力大于重力，而且车速越大动越大。此时汽车处于超重状态。 5航天器中的失重现象 1向心力分析： 宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力， mg一Fw=m,所以Fv=mg一m. 2.完全失重状态： 当v=时，座舱对宇航员的支持力F=0,宇航员处于完全失重状态 3.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态 (1)质量为M的航天器在近地轨道运行时 航天器的重力提供向心力，满足关系： Mg=M,则v= (2)质量为m的航天员： 设航天员受到的座舱的支持力为Fw,则mg一Fw=. 当v=时，Fx=0,即航天员处于完全失重状态. (3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态. 【例2】如图1所示，某汽车研发基地有一半径很大的环形高速试验跑道，跑道路面沿径向向内倾斜，与 水平面夹角为日，质量为m、可视为质点的测试小车在跑道上做水平面内的圆周运动，圆周运动的半径为 R,简化图如图2所示。轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 第7页共26页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9。缓慢改变车速，小车相对路面始终没有发生侧向滑动。下列说法正确的是() 图1 图2 A.小车做圆周运动时，路面对小车的支持力大小恒为ng cos日 B.由静止开始，车速缓慢增大的过程中，小车沿斜面方向受到的静摩擦力也持续增大 C.当做圆周运动的角速度为9sn9 R 时，小车有沿斜面向上滑动的趋势 D.当做圆周运动的角速度为1 gsin0 巴时，小车有沿斜面向下滑动的趋势 【变式21】（多选）如图甲所示是场地自行车比赛某段圆形转弯赛道，赛道与水平面的夹角为0，如图 乙所示。某运动员骑自行车做水平面内的匀速圆周运动通过该段赛道。当自行车的速度大小为时，自 行车不受侧向摩擦力作用；当自行车的速度大小为1(>V0)时，自行车运动员在相同高度、保持相同 姿态，自行车会受到侧向摩擦力作用。己知重力加速度为g,自行车和运动员的总质量为心，且可视为质 点。不考虑空气阻力。则() 赛道 为 乙 A.速度为Vo时，自行车所受的支持力大小为mg cos0 B.速度为vo时，自行车和运动员的向心力大小为mg tan0 C.速度为V1时，自行车所受的侧向摩擦力沿斜面向上 D.速度为1时，运动员适当调整其做匀速圆周运动的轨道半径，有可能让自行车不受摩擦力 【变式22】（多选）火车转弯做水平面内的圆周运动时车轮、轮缘、轨道的示意图如图所示，火车（车 体未画出)的质量为m,转弯过程的速度大小始终为V,转弯处的圆弧半径为R,内、外铁轨的高度差为h, 第8页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内、外铁轨间的距离为L,铁轨平面与水平面间的夹角很小(tn8≈sin6),重力加速度为g。下列说 法正确的是() A.转弯过程火车受到重力、支持力、向心力 B.若V gRh 则火车重力和支持力的合力提供向心力 C 若v> gRh 则火车外轨受到侧向挤压 D.若v> gRh 则火车内轨受到侧向挤压 模型03.圆周运动临界模型一圆板 模型构建：物体放在转动圆盘上，静摩擦力提供向心力。角速度较小时静摩擦力随ω增大 而增大：当静摩擦力达到最大静摩擦时，角速度达到临界最大值，。再增大物体将滑动。 同轴转动各物体角速度相同，半径越大越容易滑动。解题沿径向列向心力方程，临界条件： 静摩擦力等于最大静摩擦力 模型剖析： 1.向心力来源： 板对物体的静摩檫力提供向心力。 2静摩擦力的方向： 物体做匀速圆周运动时：这个静摩擦力沿着半径指向圆心。 物体做变速圆周运动时：静摩擦力不指向圆心，有切线方向的分量改变线速度的大小。 3静摩擦力的变化： *Expression is faulty*当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大。 第9页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 *Expression is faulty*当物体所需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为 滑动摩擦力。 模型分析：若圆板做匀速，摩擦力提供向心力，且指向圆心 受力分析：F=f=mwr=mw2 临界状态： Fn=funx =umg=mw'r=mo2 r ug w临界一 U临界、V私gT T临界一2T mg ug 2.倾斜圆板模型 1.向心力来源： 板对物体的静摩檫力及重力分力提供 2静摩擦力的方向： 当物体做匀速圆周运动时，在最低点f方向指向圆心，在最高点f方向指向或者背离圆心。 3静摩擦力的变化： 当水平圆盘的转速增大时。 最高点：物体在“最高点”受到的静摩擦力先减小后增大 最低点：物体在“最高点”受到的静摩擦力一直增大。 临界：当物体所需的向心力大于最大静摩擦力时，物体将相对滑动，变为滑动摩擦力。 条件：ug cos0gsin0 模型分析：物块在最低点A时：发生相对滑动的临界 x:Fn=ma=f-mgsin0 y:FN=mgcos0 临界状态：f=fMx=umg cos F=ma mwo2r umg cos0-mgsin0 ugcos0-gsin ngsin0 结论：当w、0,时，物块在A点的f沿斜面向上 随着w个-一f 当w时，物块在A点发生相对滑动。 第10页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：ug cos0gsin0 模型分析：物块在最高点B时，f=0时，f发生换向的临界 x:F=ma=mgsine-f y:Fw=mgcos0 临界状态： f=0 Fn=ma =mw'r =mgsin0 -ma 1=N gsin T 结论：当w、w,时，物块在B点受摩擦力向上，随着w个一一f! 条件：ug cos09sin0 模型分析：物块在最高点B时，发生相对滑动的临界 x:Fn=ma=mgsin0+f y:FN=mgcos0 临界状态：f=fMx=umg cos0 Fn=ma=mw22r=mgsin0+umgcos0 w2= gsin+ugcos0 sin Oniga 结论： 当w1w、02时，物块在A点受f向下，随u个一一f↑ 当002时，物块在B点发生相对滑动 3.多物体圆板模型 1.同侧多体 己知m,m2与斜面摩擦力均为u 模型分析：二则具有共同w,v之比等于r之比，向心加速度 之比等于r之比，向心力之比等于mr之比。 绳子产生拉力的临界：对m1:m1g=mw2nw临=9 TI 对m2:um2g=m2w2r2 02临二9 T2 m m 临02临故：m2先达到临界，当0=2临时，绳子产生拉力。 当：0w、02临时一一m1,m2均由各自摩擦力提供向心力 两物体相对圆盘滑动的临界： umig+um2g m1w临2Tn1+m2w临2r2=um1g+um2g 0临三 mir+m2r2 当ww临时： 达到临界，两物体开始滑动 当02临1 0 0临时： 对m1: f-T=mw2r 对m2: um2g+T=m2w2r2 第11页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.异侧多体 模型分析：二则具有共同w,v之比等于•之比，向心加速度 之比等于r之比，向心力之比等于mr之比。 绳子产生拉力的临界：对m1:umg=m1w2n 0临二g 对m2:um2g=m102r2 0临二 T2 n包 T2 @ 01临02临故：m2先达到临界，当w=02临时，绳子产生拉力。 m2 m 当：0w、w2临时-一m1,m2均由各自摩擦力提供向心力 m摩擦力为0的临界：当绳子拉力正好能提供向心力时，m,摩擦力为0 T=mwo2r T+um2g=m2wo2r2 um2g wo=1√m2n-m1n 当：ww时-一 fm向左： 对m1:T-fm1=m1w2r 当：wwo时-一 fm向右： 对m1:T+fm1=m1w2n 两物体相对圆盘滑动的临界： m20临2r2-m1w临2mn=um19十um29 umig+um2g w临=√mn十m2r2 当：0w临时一一达到临界，两物体开始滑动 当02临00临时： 对m1:T-=m1w2m1 对m2:um2g+T=m2w2r2 【例3】如图所示，质量均为m的木块A、B放在水平圆盘上，可视为质点，用恰好伸直的轻绳相连，A 恰好处于圆盘中心，B到竖直转轴OO的距离为l。已知两木块与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩 擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为9。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，⊙表示圆盘转动的 角速度，下列说法正确的是() 第12页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 当0= 时， 21 木块B所受摩擦大小为4μmg B.当=9时， 木块B即将相对于圆盘滑动 C.当O>9之后，A、B所受静摩擦力都会随角速度增大而持续增大 D. 当w= 29时，木块A即将相对于圆盘滑动 【变式31】如图甲所示，质量分别为m1、m2的小木块a和b(可视为质点)用细线相连，沿半径方向放 在水平圆盘上，α、b与转轴OO之间的距离分别为r1、r2,若圆盘从静止开始绕转轴OO缓慢地加速转 动，。表示圆盘转动的角速度，木块α所受的摩擦力大小f,。随圆盘角速度的平方。2的变化图像如图乙 所示，0一o对应图线的斜率为k?0~0对应图线的斜率为k,:两木块与圆盘间的动摩擦因数均为μ 最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度大小为g。下列说法正确的是() fo 0.5f0 0 0 ) b 'o0 0 -36 甲 乙 A.=1 B.m1=1 C.k-2 D. ⊙1 r24 m22 k27 02 78 第13页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式32】半径为1的水平圆盘上有一个质量为的小物块，用长也为l的轻质细绳将物块连接在穿过 圆盘中心的竖直转轴上，细绳与竖直转轴的夹角日=53°，此时细绳伸直但无张力。圆盘离水平地面高度 ,物块与圆盘间的动摩擦因数为μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随圆盘由静止开 慢加速转动，重力加速度为g,sin53°=0.8，回答下列问题： ▣m 7777777777777777777777 (1)当水平圆盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好开始有张力，求⊙1的值； (2)当水平圆盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好对圆盘压力为零，求ω2的值： (3)当水平圆盘正以角速度⊙3 5g 匀速转动时，突然圆盘被卡死同时连接物块的细绳断裂，小物块由于 41 惯性沿圆盘滑动至边缘后飞出，求物块离开圆盘时速度大小以及落地点（不反弹）到竖直转轴的水平距 离。 模型04.圆周运动临界模型—竖直面 模型构建：竖直面圆周为变速圆周运动，合力径向分量提供向心力，切向分量改变速度大 小。绳模型：最高点最小速度(g),低于此速度物体无法完成圆周：杆模型最高点最小速 度可为0，杆可提供支持力或拉力。解题抓住最高点、最低点受力，沿半径方向列牛顿第二 定律，区分绳、杆两种临界条件 模型剖析： 1.绳类模型（及外轨道模型） 第14页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 绳类模型 模型分析：绳子只能提供拉力 运动分析：在最高点A时，重力和拉力的合力提供向心力 UA F.=mg+T=mux r mg 通过最高点的临界条件： 重力提供向心力：mg=mw TA=0vA临=VgT 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 B F.-Ta-mg=mvg2 r 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 根据动能定理： 1 应 va2=mg2r VB=5gr 用 -+mg TB=6mg r 外轨道模型： 模型分析：外规只能提供指向圆心的力（类似于拉力） A UA 运动分析：在最高点A时，重力和啦力的合力提供向心力 F.=mg+FNa=muA? r 通过最高点的临界条件： vA临=V√gT 重力提供向心力：mg=mu TA=0 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 B 拓 Fn=FNB-mg= 展 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 应 根据动能定理： 2mg2、1 vx2=mg2r VB=V5gr 用 mvnmg FNB=6mg 不脱离轨道的临界问题状态： 1.物体能做完整的圆周运动 vB一V5gr 2.物体运动的最大高度不超过圆心高度 根据动能定理： 2mwB2、mgm vB、V2gr 第15页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.杆类模型（及管模型） 模型分析：杆可以提供拉力和支持力 杆类模型 运动分析：在最高点A时，重力，拉力或支持力的合力提供向心力 ”Vgr,提供向下E:卫.=mg十T=mwA2 v√gr,提供向上Fw: E.=mg-Fy=mvA r 通过最高点的临界条件：v=0,支持力Fx=mg 向心力为0：vA临=0 运动分析：在最低点B时，重力和拉力的合力提供向心力 E.=Tn-mg=mvg' 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 根据动能定理： 2mvg?-2mva'-mg2r vB=V4gr 应 Ta=mun+mg Te=5mg 用 模型分析： 管可以提供指向圆心和背离圆心的力 管类模型 运动分析：在最高点A由重力、指向或背离圆心的压力来提供向心力 ”Vgr,提供向下E:E.=mg+RA,=m r ”√gr,提供向上R:R.=mg-RA=mm 通过最高点的临界条件：v=0,支持力Fw=mg 向心力为0：vA临=0 运动分析：在最低点B时，重力和支持力的合力提供向心力 F.=FNB,-mg=mun VB B 拓 恰能过最高点临界状态对应的B点的状态： 展 根据动能定理： 2mvx2-mg2r vB=V4gr 应 Exm-mua +mg 用 FNB=5mg 第16页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例4】滚筒洗衣机的外观如图甲所示，在一次转速测试中，筒内仅有一枚质量为的钮扣。当滚筒以某 一角速度ω转动时，纽扣紧贴滚筒内壁随滚筒一起在竖直平面内做顺时针方向的匀速圆周运动，运动到某 一位置M时脱离滚筒，经一段时间后落到滚筒上的N点，此时N点的位置与M关于圆心O对称，MN连 线与竖直方向的夹角为，如图乙所示。已知滚筒内壁半径为R,重力加速度为g,不计空气阻力，则下 列关系式正确的是() 9 甲 A.0=37°0= R2g B. 0=45°0=7 2g V2R 2R C.0=45°o= 49 D. 0=37°0 4g 5R 5R 【变式41】如图所示为某公园内的嵌入式过山车情境图，为简化模型，可将轨道按圆处理，忽略一切摩 擦和阻力，忽略相邻车厢之间的相互作用，将一节车厢单独考虑。图中小车位置分别为轨道最低点、与 圆心等高处、最高点，下列受力分析图中一定错误的是() 第17页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式42】（多选）游乐园的飞椅项目可以简化成如图()所示的模型：长为L的轻质连接杆，一端 铰接在水平转轴0上，另一端拴着一个质量为的座椅（可视为小球），座椅随转轴在竖直平面内以角 速度ω匀速转动。工程师用传感器测出连接杆对座椅的拉力大小随时间变化的图像如图(b)，F1是拉力 最小值，乃是拉力最大值，且F>g。重力加速度为g,则以下关系正确的是() F 图(a) 图(b) A.0= t2-t1 B.0=2n t2-t1 C. F2+Ft2-t2 m=- D.m=(F2-F)(t2+tip m=- 8π2L 8πL 真题演练 1. 如图所示，幸径R-号m修多直四定3机运的指点开与置心0的注线水羊，侧证抗运与板角长0) 传送带相切于C点，传送带的长度L-6.9m。质量m=√3kg的物块（可视为质点）从A点以0=5m/s的 速度竖直向上射出，一段时间后由B点进入轨道，经过C点时对轨道的压力大小F=143N,顺时针匀加 速转动的传送带在该时刻的速度大小v传=2ms,加速度大小5/s2。A点位于B点的正上方1.2m处， 物块与传送带之间的动摩擦因数μ= V3 2， 最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10s2,忽略空气阻力， 第18页共26页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求： 08 (1)从A点运动至B点的过程中，物块最后1s内运动的位移大小： (②)物块刚滑上传送带时的速度大小： (3)物块在传送带上运动的时间以及留下的划痕长度。 分层练测 【基础实】 2. (多选)如图甲所示，两个完全相同的物块A和B(均可视为质点)放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧， 用不可伸长的轻绳相连。两物块的质量均为m=1kg,与圆心的距离分别为RA、Rg,其中RA<Rg,且 R=1m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同的角速度ω绕过圆盘圆心的竖直轴OO'匀速转 动时，绳中弹力F,与。的关系如图乙所示，取重力加速度大小。 =10ms2。下列说法正确的是() AFIN →o2rads2) 0.5 O' -1 分 乙 A.B与圆心的距离Rg=1.5m B.物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.1 C.当角速度为1rad/s时，圆盘对A的静摩擦力为lN D.当角速度为V2rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动 第19页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 如图所示，圆心为O,半径r=2m的粗糙圆盘平行于水平地面放置，到地面的高度为h=0.8m,在圆盘 边缘放置一可看成质点的物块α。物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度取g=10m/s2。圆盘 的角速度ω从零开始缓慢增大，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则() A.a随圆盘转动线速度的最大值为3V5ms B.a落地点到转轴的水平距离为 29V/29 C.若ω增大极快，α离开圆盘时的速度增大 D.若增大极快，a离开圆盘时的速度不变 4.(多选)如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖直杆上，质 量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。让小球B以 不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ωo时，小球B刚好离开台面。弹簧始终在弹性限 度内，劲度系数为k,重力加速度为9，则下列判断正确的是() OB A.小球均静止时，弹簧的长度为 k B.角速度o=oo时，小球A对弹簧的压力大于mg 2kg c.角速度00=kL-2mg D.角速度从⊙o继续增大的过程中，弹簧的形变量不变 5.如图所示，水平转盘上放有质量为的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的细绳刚好被 水平拉直（绳上张力为零）。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍，重力加速度为9。求： 第20页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当转盘的角速度ω0为多大时，物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力？ ②当转盘的角速度@，=2时，细绳的拉方P1的大小， 2r (3)当转盘的角速度ω2= 39时，细绳的拉力F2的大小。 6. 如图所示，两根长度不同的轻绳分别系有两个相同的小球α、b,轻绳的上端都系于O点，两球在同一水 平面内做匀速圆周运动，则() L a A.周期Ta>Tb B.线速度Va=Vb C.向心力F。>Fb D.两绳中的拉力大小相等 7.(多选)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内 壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则() B A.A球的角速度必小于B球的角速度 B,A球的线速度必小于B球的线速度 C.A球运动的向心加速度等于B球运动的向心加速度 D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力 第21页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(多选)如图所示，可视为质点、质量为m的小球在内壁光滑的半球形容器内的水平面内做匀速圆周运 动，己知半球形容器的球心为O、半径为R,当小球运动到α点时，O、α两点连线与竖直方向的夹角为， 重力加速度为8，下列说法正确的是() 7ni7n7i7nT A.内壁对小球的支持力大小为mg cos0 B.小球受到的向心力大小为mg tan C.小球运动的角速度大小为湖Rds0 g D.小球运动的线速度大小为gRsin0tan0 9.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的 对称轴OO重合。转台以一定角速度O匀速旋转，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后， 小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和○点的连线与OO之间的夹角为60°。重力加速度大小为 8。 0 R 陶罐 转台 (1)若0=⊙0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω； (2)若0=29」 求小物块受到的摩擦力大小和方向： VR 3)若@=2 VR' 且小物块恰好不滑动，求动摩擦因数μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 【培优拔高】 10.(多选)如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，重力加速度为g,下列说法正确的是( 第22页共26页 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 车轮 A 高度 5内轨 图a 图b 图c 图d A.图a中轻杆长为l,若小球在最高点的角速度小于g 杆对小球的作用力向上 B.图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C.图c中若A、B均相对圆盘静止，则A、B所受摩擦力的大小一定相等 D.图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 11.随着交通的发展，旅游才真正变成一件赏心乐事，各种“休闲游”“享乐游”纷纷打起了宣传的招牌。 某次旅游中游客乘坐列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道过程中，游客发现车厢顶部悬挂玩具小熊 的细线稳定后与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面（与车厢底板平行）上水杯内的水面，已知此弯道路 面的倾角为6，不计空气阻力，重力加速度为9，则下列判断正确的是() 外轨 内轨 A.列车的轮缘与轨道有侧向挤压作用 B.水杯与桌面间无静摩擦力 C.列车转弯过程中的向心加速度为gtan0,方向与水平面的夹角为0 D.水杯受到桌面的支持力与水杯的重力是一对平衡力 12.(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、 外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为ⅴ，重力加速度为8，两轨所在面的倾角为0，则( 第23页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.该弯道的半径r= gtanθ B.当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C.当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D.当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 13.如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。 由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小V、绳子拉力 的大小F'作出F与，2的关系图线如图2所示。下列说法中不正确的是() 2b 图1 图2 A.根据图线可以得出小球的质量m= b B.根据图线可以得出重力加速度g=为 R C.绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小 D.用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变 14.(多选)如图所示，摩天轮的直径为D,正常工作时，以恒定的角速度在竖直面内做匀速圆周运动，质 量为加的游客坐在锈厢的座特上，随摩天轮一起运动，重力加速度为8，已知摩天轮的角速度为如≤号 整个过程中轿厢内的座椅始终保持水平，游客与座椅始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 忽略空气阻力。下列说法正确的是() 第24页共26页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.整个过程，游客始终受到静摩擦力的作用 B.座椅受到游客的最大压力与最小压力之差最大值为g C.游客和座椅间动摩擦因数的最小值为0.5 D.游客在与摩天轮圆心等高处所受座椅的作用力为5mg 15.(多选)如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在O处光滑固定轴上。现使小球在竖直平面内顺 时针做匀速圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球沿X轴上的分速度Vx随时间t 的变化关系如图乙所示。已知小球可视为质点，质量为1kg,重力加速度g取10m/s2,不计空气阻力。 下列说法正确的是() v/(m's) Vo 0.2元0.4π 0 t/s 分 乙 A.轻杆的长度为0.1m B.图乙中阴影部分面积大小为0.2m C.小球在最高点时，杆对球的作用力大小为5N D.在0.1πs~0.2πs时间段内小球速度改变量大小为2m/s 16.(多选)如图甲所示，轻杆的一端固定在O点，另一端固定一个小球（视为质点）。使小球在竖直平面 内做半径为R的圆周运动，当小球运动到最高点时，轻杆的弹力大小F与小球在最高点时的速度大小ⅴ的 二次方的关系图像如图乙所示。若ab、c、d、R均已知，不计空气阻力，则下列说法正确的是() d a b 甲 乙 Q dR A.重力加速度大小 R B.小球的质量为6一a C.ac+ad=bc D,当vQ,”时，小球对杆的弹力竖直向下 第25页共26页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R=0.9m,A端沿水平方向。水平轨道BC与半径 r=0.5m的粗糙圆弧轨道CD相接于C,D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD对应的圆心角0=37°，物块 与粗糙圆弧轨道CD的动摩擦因数可调。一质量为m=0.5kg的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某 速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过D点，随后落到右侧 四分之一圆弧MN上，MN的圆心与D点重合，半径为R,=3m°，取 g=10m/s2,sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。求： 物块 B (1)物块从A点飞出的速度大小Vo; (2)物块到达C点时对轨道的压力大小F: (3)调节CD段的粗糙程度，当物块从D点抛出后落到圆弧面的速度最小时，物块在D点抛出的水平速度大 小Vxo 第26页共26页