第3讲 平抛运动运动中的临界 类平抛与斜抛运动（模型与方法）物理人教版必修第二册

第3讲 平抛运动运动中的临界 类平抛与斜抛运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.平抛运动的临界极值问题 模型02.类平抛运动 模型03.斜抛运动 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.平抛运动的临界极值问题 模型构建：平抛临界极值，核心抓住几何约束：轨迹刚好擦边、刚好击中边界、刚好不穿出等临界状态。水平匀速、竖直自由落体，利用两分运动等时性，结合边界条件列方程。常见题型：过定点、撞斜面 / 墙面、从边界飞出。极值常对应轨迹与边界相切，此时速度方向沿边界切线，可用位移偏角、速度偏角关系快速判断。 模型剖析： 1.分析平抛运动临界问题的一般思路 (1)将实际问题转化为物理模型，一般采用极限法。 (2)确定临界状态，把待求物理量，设定为极大或极小值，让临界问题凸显出来。 (3)画出临界轨迹草图； (4)利用平抛运动规律结合临界的核心关系，列式求解． 2.以击球问题为例 3.击球问题2 【例1】排球场总长为18m，球网高度为2m，若选手站在离网3m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出（速度方向垂直于球网），设击球点在3m线正上方且击球高度为3m处，选手击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。（不计空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】球被击出后做平抛运动，竖直方向上，有 代入数据解得 则击球的最大速度 为了使球不触网，则 解得 则击球的最小速度为 则击球的速度范围为 故选A。 【变式1-1】人形机器人和小朋友玩抛球游戏。图甲、乙中机器人均在高度为的固定点以速率水平向右抛出球。图甲中小朋友在高度为的固定点接球。图中所有球均视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求图甲中球从抛出到被接住所经历的时间； (2)若球被抛出的同时，图乙中小朋友从距机器人处（水平）以速率（未知）水平向左匀速运动，接球时，手掌离地面高度也为，则速率为多少； (3)若机器人在高度为的固定点以速率水平向右抛出球，同时图丙中小朋友在距机器人处（水平）从高为的固定点以速率（未知）竖直向上抛出球，在球上升过程中遇到球，求速率及需满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)，且 【详解】（1）球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，有 解得 （2）接球时球下降的高度仍为，故运动时间与第（1）问相同。 水平方向，球与小朋友相向运动，有 结合第（1）问的结果，解得 （3）设两球从抛出到相遇经历的时间为，由于球在水平方向没有位移，有 解得 相遇时两球距地面的高度相等，有 整理得 代入相遇时间，解得 相遇时球仍在上升，其竖直向上的速度应大于零，即 代入，整理得 因此，也可写为 【变式1-2】（多选）乒乓球（视为质点）发球时，在球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功，否则发球失败。如图，已知乒乓球台长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹（时间极短）前后，水平速度不变，竖直速度大小不变、方向反向，重力加速度大小为g，不计空气阻力。若发球成功，下列说法正确的是（     ） A．乒乓球落在己方台面后反弹的最大高度小于H B．乒乓球从发出到落在对方台上用时 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球的最大发球速度为 【答案】BC 【详解】AB．根据 可知乒乓球第一次下落用时 反弹后竖直上抛，反弹（时间极短）前后，竖直速度大小不变、方向反向，故乒乓球落在己方台面后反弹的最大高度也为H，根据运动的对称性，从发出到落在对方台的总用时，故A错误，B正确； C．最小发球速度对应乒乓球反弹后刚好擦网且最终落在对方台面范围内，第一次落台反弹时竖直速度大小 设过网时总用时为，水平位移满足 反弹后到过网的时间 竖直方向位移满足 解得，故C正确； D．若发球速度为，乒乓球第一次下落时间 水平位移 即乒乓球直接落在对方台面右端，未先落在己方台面，发球失败，故D错误。 故选BC。 模型02.类平抛运动 模型构建：类平抛是匀变速曲线运动，合力恒定且与初速度垂直。分解为：初速度方向匀速直线运动，合力方向初速度为零的匀加速直线运动，两分运动独立且等时。规律和平抛相似，只需把重力加速度替换为等效加速度。常用正交分解，结合位移、速度公式求解 模型剖析： 1.类平抛运动的特点 受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 运动特点：沿v0方向做匀速直线运动，在合外力方向上做v0=0的匀加速直线运动， a＝. 2.类平抛的运动规律及特点 除了加速度大小不a≠g，v0不一定沿竖直方向外，其运动满足所有平抛运动的规律及特点。 3.类平抛运动的分析方法 1.常规方法 将平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动，两则为互不影响的独立运动。 2.特殊分解 对于某些问题，通过抛出点建立坐标系，将加速度分解为ax和ay,初速度分解为vx和vy. 【例2】如图所示，在高尔夫练习场中，运动员站在高度为h的坡顶上以水平初速度将质量为m的高尔夫球水平击出。假设运动过程中水平方向受大小、方向均不变的风力作用，竖直方向只受重力，且恰好竖直落入水平地面上的球穴A，已知重力加速度为g。以击球点为原点沿水平和竖直方向建立坐标系，表示高尔夫球沿水平方向的分速度，在上述情境中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．竖直方向只受重力，取轴正方向向下，由匀变速直线运动规律得。到达地面时，故飞行时间为 因球竖直落入球穴，落地瞬间水平速度为零。水平方向风力恒定，故为常量，且，结合落地时水平速度为零可得 水平方向位移为，代入上式得 所以图像应为开口向下的抛物线，落点横坐标为 实际图像开口向下，而图A为开口向上的曲线，故A错误； B．前面已得实际落地时刻为 图B标出的终点时刻为，与实际不符，故B错误； C．由匀变速直线运动的速度—位移关系可知，本题水平方向满足 因，该图像为斜率为的下降直线，纵截距为；当时，与图C相符，故C正确； D．球落地且竖直下落时，横坐标应为前面求得的；图D横截距为，故D错误。 故选C。 【变式2-1】如图所示，在水平向右的恒定风力场中，将一质量为的小球（可视为质点）从点以大小为的初速度水平向左抛出，小球刚好经过点正下方的点。已知、之间的距离为，重力加速度为，则小球从到的过程，下列说法正确的是（     ） A．小球的运动时间为 B．小球向左运动的最大距离为 C．水平风力的大小为 D．小球先加速后减速 【答案】B 【详解】AC．把小球的运动水平、竖直正交分解，竖直方向只受重力，初速度为0，自由落体，可得 水平方向受向右恒定风力，匀变速直线运动，初速度向左；A、B在同一竖直线，水平总位移。设水平加速度大小，取向右为正方向，则   解得 代入，得   水平风力 运动时间，AC错误； B．小球向左最远时，水平速度减为0，所需时间 向左最大距离，代入，得，故B正确； D．小球的合力恒定，则合加速度恒定。初速度向左，合力向右下。一开始合速度与合加速度夹角为钝角，减速；水平速度反向后，合速度与合加速度夹角为锐角，加速，所以小球是先减速后加速，故D错误。 故选B。 【变式2-2】扇车又名风车，是我国古代具有代表性的粮食清选工具。图甲为封闭扇车实物图，图乙为封闭扇车在竖直面内的剖面示意图。工作时将待筛选的谷物倒进上方的喂料斗，斗阀板A竖直，谷物紧贴斗阀板A左侧自由下落（不计初速度）。逆时针匀速转动曲柄摇手，空气在圆形风腔的上方水平向左匀速经风道流出，风道内可认为在Ⅰ区域无风，在Ⅱ区域风力大小恒定。若转速越快，则风力越大。密度小的糠秕及轻杂物被风从左侧出风口吹出，不太饱满的谷物从左下方二料口流出，而密度大的饱满谷物从下方出粮口流出，这样就把糠秕与谷物分开了。图乙中B点为出粮口左边界，C点为二料口左边界，BC处于同一水平线上。斗阀板A与B点的水平距离为l，A与风道左侧出风口的距离为s，斗阀板A长为d，风道高为D。假设谷物在竖直方向仅受重力作用，待筛选的谷物中只存在饱满谷物、糠秕（质量是饱满谷物质量的20%）和不饱满谷物（质量是饱满谷物质量的70%），在相同的转速时，认为糠秕、饱满谷物与不饱满谷物所受风力一样大，忽略谷物间的作用力。 (1)在某次粮食清选的过程中，以一定的转速转动曲柄摇手，发现在出粮口有不饱满谷物出现。为了让不饱满谷物从二料口流出，说明应如何操作及理由。 (2)经过相应调整后，饱满谷物恰好经B点从出粮口流出。已知l=0.8 m，s=2.4 m，d=0.2 m，D=1.8 m，饱满谷物的质量m1取2.5×10-5 kg，g取10 m/s2。 a．此时饱满谷物受到的风力大小为多少？ b．通过计算说明，这批谷物经过风道，糠秕是从出风口飞出还是二料口流出？ 【答案】(1)应适当增大转速。转速越快风力越大，不饱满谷物水平方向加速度增大，相同竖直下落时间内水平向左位移增大，就能从二料口流出。但转速不宜过大，防止不饱满谷物从出风口飞出。 (2)a．；b．出风口 【详解】（1）见答案 （2）a．饱满谷物竖直方向始终只受重力，做自由下落运动，在区域Ⅰ内运动时间为，竖直方向上 解得 设从A下端到B点过程中运动时间为，从喂料斗下方出口到B点过程中，总下落高度 解得 水平方向：Ⅰ区域无风，进入Ⅱ区域后水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，总水平位移 根据牛顿第二定律 解得 b．糠秕质量，风力大小和饱满谷物相同，因此水平加速度 总下落时间和饱满谷物相同，因此糠秕到达BC水平面时的总水平位移 已知出风口到A点的水平距离 说明糠秕在到达二料口/出粮口前，水平位移已经超出出风口，因此糠秕从出风口飞出。 模型03.斜抛运动 模型构建：斜抛运动加速度恒为重力加速度，属于匀变速曲线运动。将初速度沿水平、竖直正交分解：水平方向匀速直线运动，竖直方向竖直上抛运动。上升与下落过程对称，同一高度处速率相等。最高点竖直分速度为零，仅保留水平速度。射程、射高由初速度大小和抛射角共同决定 模型剖析： 1.斜抛运动的性质 定义：将物体以一定的初速度沿斜上方或斜下放抛出，只在重力下做的运动叫做斜抛运动。 水平方向：匀速直线运动。 竖直方向：匀变速直线运动。 性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速运动。 2.斜抛运动的两种分析方法： Ⅰ.常规分析法 a.把初速度分解到水平和竖直方向，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动． b.列各方向的运动方程，根据所给条件及关系，联立求解。 Ⅱ. 逆向思维法 a.从抛出点到最高点的运动可看成反向的平抛运动。 B．最高点之后的运动按平抛运动处理，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解。 Ⅲ.正交分解法 示例1. 示例2. 【例3】如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，求： (1)P到Q的运动时间； (2)重物离PQ连线的最远距离。 【答案】(1)4s (2) 【详解】（1）将斜抛运动分解为水平、竖直方向的分运动，初速度的分量， 任意时刻水平位移 竖直位移（以P为原点，向下为正方向） 由题意，PQ连线与水平方向夹角为30°，落点Q满足 解得 （2）将运动分解到平行PQ和垂直PQ的方向；初速度垂直PQ方向的分量 重力加速度垂直PQ方向的分量，方向垂直PQ指向远离运动轨迹的一侧。 当垂直PQ方向的分速度减为0时，重物离PQ的距离最大，由运动学公式 代入数值可得 【变式3-1】（多选）大型风洞是研发飞行器的重要设施之一，我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示、某次风洞实验中，风力大小和方向均恒定，一质量为的小球先后经过、两点，其中在点的速度大小为，方向与、连线成角，在点的速度大小也为。已知、连线长为，重力加速度为，小球的运动轨迹在竖直面内。下列说法正确的是（　　） A．风力大小可能为 B．小球运动过程中的最小速度为 C．小球从点运动到点所用的时间为 D．小球在点的速度方向与、连线成角 【答案】AD 【详解】小球受恒定重力和恒定风力，合外力为恒力，小球做匀变速曲线运动。小球在，两点速率相等，由动能定理：从，合外力做功，说明合外力方向垂直于连线。将速度沿连线（平行方向），垂直连线（垂直方向）正交分解： 平行方向：合外力分量为0，该方向匀速直线运动； 垂直方向：合外力恒定，该方向匀变速直线运动。 A．合外力方向固定（垂直）。 矢量关系：，矢量三角形中，重力大小固定、合外力方向固定，可以构造出风力大小等于的情况，因此风力大小有可能为，故A正确； B．小球的速度是平行分量与垂直分量的合速度；平行分量恒定不变，当垂直方向分速度减为0时，合速度最小：，故B错误； C．平行ab方向分速度： 运动时间，故C错误； D．点沿分速度： 点沿分速度： 平行方向匀速，分速度不变，，又两点速率都是垂直分量大小相等，方向相反，得，故D正确。 故选AD。 【变式3-2】如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底处A点斜向上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为的斜面，忽略空气阻力，工人以大小为、方向与斜面成的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已知重力加速度为，则材料在空中运动的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将小球的运动在沿斜面方向和垂直斜面方向分解，垂直斜面方向的初速度为 垂直斜面方向的加速度为 小球运动的时间为 故选B。 1. 智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状（图中阴影区域）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正方形球场边长为。如图所示，以点为原点，垂直边向右为轴， 平行边为轴。 网球直接落在右侧球场中落点离球网最近的点均恰好过球网。网球做平抛运动，刚过球网时，竖直方向上 水平方向上 网球下落到球场，竖直方向 水平方向上 则 由几何关系可得，临界过网时，网球直接落在右侧球场中落点在轴的坐标有 则各方向射出的网球，网球直接落在右侧球场中的临界过网落点在轴的坐标为 在临界坐标及右侧范围构成的长方形是落点构成图形的形状。 故选A。 【基础夯实】 2. （多选）“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（     ） A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同 B．落入锅中的小面圈，速度范围为 C．直接落入水中的小面圈，速度范围为 D．直接落入水中的小面圈，速度范围为 【答案】BD 【详解】A．小面圈做平抛运动，速度变化量为 由于小面圈落入锅中的位置不同（如锅沿、内壁、水面），其竖直方向下落的高度也不同 根据可知，下落时间不一定相同，因此速度变化量也不一定相同，故A错误； B．小面圈要落入锅中，水平位移范围为，即 下落高度为，运动时间为 由可解得速度极值为：， 因此落入锅中的小面圈的速度范围为，故B正确； CD．水面距锅底，由几何关系得水面圆半径为     小面圈要直接落入水中，水平位移范围为，即 下落高度变为 则运动时间 因此解得对应速度最值为：， 由于小面圈要落入水中的前提是不能撞在锅的外壁上，则必须先越过左锅沿，由B项可知越过左锅沿的最小速度为，因此直接落入水中的实际最小速度为 综上所述，直接落入水中的小面圈的速度范围为，故C错误，D正确。 故选BD。 3. （多选）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图7所示，小面圈（可视作质点）刚被削离时距开水锅的高度均为h（设锅中装满水），与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（     ） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为v0，则 【答案】ABD 【详解】A．根据 可得运动的时间，所有小面圈在空中运动的时间都相同，故A正确。 B．根据可得所有小面圈的速度的变化量都相同，故B正确。 CD．因为水平位移的范围为， 则最小初速度为，最大初速度为，则水平初速度的范围为 落入锅中时，最大速度，最小速度为 可得，故D正确，C错误。 故选ABD。 4. （多选）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD-A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向水平抛出初速度不同可视为质点的小球，不计空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．以v0水平抛出的小球运动轨迹与AC1连线相交，到达交点所经历时间为 B．落点在B1D1连线上不同点的小球，平抛初速度可能是 C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向都相同 D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，在不同交点处的速度方向不同 【答案】AC 【详解】A．设AC1连线与水平方向的夹角为，则 以v0水平抛出的小球运动轨迹与AC1连线相交时，设速度方向与水平方向的夹角为，则 由平抛规律得， 联立解得，故A正确； B．小球落点在连线的中点时速度最小，则， 解得。故B错误； C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向与AC1连线平行，所以它们的速度方向都相同。故C正确； D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，位移与水平方向的夹角都为，根据 可知在不同交点处的速度方向相同。故D错误。 故选AC。 5. 排球场的场地示意图如图所示，设排球场的总长为l，前场区的长度为，网高为h。排球比赛对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】临界情况下，排球恰好擦过网顶并恰好落在对方底线。设击球后的水平速度为，排球到网和到对方底线的水平距离分别为， 由水平方向匀速运动得， 代入两段水平距离得，由竖直方向自由落体运动得， 两式相除并代入，整理得 解得 故选C。 6. 如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的位移为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【答案】A 【详解】A．乒乓球做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 球恰好经过网上边沿的点，此时竖直位移 水平位移 则下落时间 解得初速度，故A正确； B．球落到台面上点时，竖直位移 下落总时间 此时水平位移 球的落点与击出点之间的位移大小为，故B错误； C．球在落点处竖直方向的分速度 速度方向与水平方向夹角的正切值，故C错误； D．若保持击球高度不变，且垂直击打乒乓球，当球恰好不出界时，则平抛运动的速度为 但若只限定在点水平击出，则水平位移的最大值应该是点与或的连线，大于，因此最大速度应该大于，而平抛运动的最小速度为，故D错误。 故选A。 【培优拔高】 7. （多选）如图，一光滑斜面固定在地面上，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以一定水平速度射出，最后从B处离开斜面，水平方向位移为x，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为一条抛物线 B．小球到达B处时，速度方向与水平方向的夹角的正切值为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球的初速度大小为 【答案】AC 【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，大小不变，方向与初速度方向垂直，做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确； B．根据平抛运动规律可知，速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平夹角正切值的2倍，小球沿斜面向下的位移大小为 水平位移为，则位移与水平夹角正切值为，所以速度方向与水平方向的夹角的正切值为，故B错误； C．根据牛顿第二定律可知 解得 根据 解得，故C正确； D．小球的初速度大小为，故D错误。 故选AC。 8. 如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 【答案】D 【详解】A B．将水平恒力F分解为沿A点速度方向分力和垂直A点速度方向分力，从A到B，沿A点速度方向速度减为零，根据匀变速运动规律可得沿A点速度方向的平均速度大小为 沿A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得所用的时间为 垂直A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得小球在B点的速度为，故AB错误； C D．沿A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向左） 垂直A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向下） 则小球受到的恒力大小为 水平恒力方向与夹角为，则 解得，由几何关系可知水平恒力方向与连线夹角为60°，故C错误、D正确。 故选D。 9. 如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初速度方向做匀速直线运动，位移为洞口到对面桌边的距离，因此运动时间满足 合力为，做初速度为0的匀加速曲线运动，加速度 到达洞口边时沿桌面向下的位移为 洞口沿短边从较高桌角开始，3个洞口范围为、、 【详解】A当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 B当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第三个洞口，且范围为 C当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 综上可得，小球直接入洞机会最大的是D选项。 故选D。 10. 如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 【答案】C 【详解】A．由受力分析可知，重力为G=10N竖直向下，风力为，与重力夹角为120°，可知两个力的合力为，方向与x轴夹角为30°斜向下，即合力方向与初速度方向垂直，物体做类平抛运动，则物体的速度一直增加，A错误； B．物体的加速度为，B错误； CD．小球竖直方向的加速度向下，大小为 则回到轴的时间是 水平加速度 距原点，C正确，D错误。 故选C。 11. 某款弹射游戏装置如图所示，抛出点、在同一水平地面上。从、两点先后以不同角度弹射出两个相同的小球，要求两球同时击中前方同一目标点。忽略空气阻力，小球运动轨迹如图所示（左侧点轨迹较低、较平，右侧点轨迹较高、较陡）。下列说法正确的是（     ） A．两球在空中运动的时间相等 B．处弹射出的小球初速度方向与水平方向的夹角更大 C．两球击中目标时的速度大小一定相等 D．处弹射出的小球水平分速度一定更大 【答案】D 【详解】A．斜上抛运动可看成关于最高点对称的两平抛运动，斜抛运动的空中运动时间由竖直分运动决定，轨迹更高的点小球最大竖直高度更大，对应竖直初速度更大，运动时间更长，因此两球运动时间不相等，故A错误； B．题干明确点轨迹更平、点轨迹更陡，说明处小球初速度与水平方向的夹角更小，故B错误； D．到的水平位移比到的水平位移更大，而处小球的运动时间比处小球更短，两球在水平方向做匀速运动，满足 可知处小球的水平分速度一定更大，故D正确； C．两球击中点时，速度的水平分量、竖直分量均不相同，合速度大小没有必然相等的结论，故C错误。 故选D。 12. 中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示，标枪离手时的初速度大小为，与水平方向夹角为，如图所示。忽略空气阻力作用，关于标枪的运动，下列说法正确的是（　　） A．出手后标枪的轨迹是一段圆弧 B．标枪升到最高点时速度为零 C．标枪在相同时间内速率变化量相同 D．初速度大小不变时，越大，标枪离地的最大高度就越大 【答案】D 【详解】A．忽略空气的阻力，标枪只受重力的作用，做斜抛运动，其运动轨迹是抛物线，而不是圆弧，故A错误； B．标枪在最高点时，竖直方向的速度为零，但水平速度不为零，因此，标枪在最高点的速度不为零，故B错误； C．标枪的加速度恒定，根据 可知，在相同时间内速度变化量相同，但速率是速度的大小，速率的变化量不等于速度的变化量，故C错误； D．根据运动的分解可知，标枪竖直方向的初速度 竖直方向做上抛运动，上升的最大高度 应设出手点离地高度为，标枪离地的最大高度 因此，初速度大小不变时，越大，越大，则标枪离地的最大高度就越大，故D正确。 故选D。 13. 小球在离地面较高处以初速度水平向右抛出，小球在右侧地面同时以相同大小的初速度与水平地面成角斜向左上抛出，如图所示，忽略空气阻力，则两球在空中运动的过程中（     ） A．速度变化率相同 B．会在空中相遇 C．的速度小于的速度 D．竖直方向上的距离与时间成反比 【答案】A 【详解】A．速度变化率就是加速度。两球在空中都只受重力，加速度均为重力加速度，因此两球速度变化率相同，故A正确； B．初始时A的竖直高度以及两球的水平距离均未知，无法确定两球是否会在空中相遇，故B错误； C．在水平方向上，始终有A的速度大小 在竖直方向上，任意时刻两球的速度分别为， 当足够大时，有 则的速度，故C错误； D．时刻A的竖直下落位移大小为 B的竖直上升位移大小为 两球竖直方向距离 是关于时间的一次函数，并非与时间成反比，故D错误。 故选A。 14. 如图所示，某同学对着竖直墙壁练习投篮，他从离地面一定高度的A点以大小为的初速度斜向上抛出质量为m的篮球（图中未画出，视为质点），结果篮球刚好垂直打在竖直墙壁上的O点，反弹后经过与A点在同一水平线上的B点。O点和A点的高度差为h，A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，篮球与墙壁接触的时间为t，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小为 B．篮球刚接触O点时的速度大小为 C．篮球经过B点时的速度大小为 D．篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小为 【答案】C 【详解】A．因为篮球垂直打在墙壁上，所以篮球从A点到O点的运动可视为平抛运动的逆运动，设篮球从A点运动到O点所用的时间为，则 篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小 解得，A错误； B．篮球刚接触O点时的速度大小，B错误； C．篮球离开O点后做平抛运动，因为A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，所以篮球刚离开O点时的速度大小 可得篮球经过B点时的速度大小，C正确； D．根据牛顿第二定律可得，篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小，D错误。 故选C。 15. 某同学对机器人的“弹射”运动很感兴趣。他设计了一个如图所示的弹射装置，弹射装置上表面为距离地面的平台，小球运动到平台上时，弹射装置立即启动，将小球向上弹起，从点斜向上抛出，经时间，小球到达最高点，速度大小为，又经过一段时间落到地面。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小取。求： (1)小球最高点离地面的高度； (2)小球落地点与点的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）斜抛运动的竖直分运动为竖直上抛运动，从点到最高点的竖直上升位移满足 代入、，解得 因此最高点离地面的总高度为三段高度之和 （2）斜抛运动的水平分运动为匀速直线运动，题目给出最高点的速度就是斜抛的水平分速度，即 小球从最高点开始做平抛运动，下落高度为，设平抛运动的时间为 竖直方向由自由落体位移公式 代入数据解得 小球从点抛出到落地的总运动时间为 因此水平总距离 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 平抛运动运动中的临界 类平抛与斜抛运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.平抛运动的临界极值问题 模型02.类平抛运动 模型03.斜抛运动 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.平抛运动的临界极值问题 模型构建：平抛临界极值，核心抓住几何约束：轨迹刚好擦边、刚好击中边界、刚好不穿出等临界状态。水平匀速、竖直自由落体，利用两分运动等时性，结合边界条件列方程。常见题型：过定点、撞斜面 / 墙面、从边界飞出。极值常对应轨迹与边界相切，此时速度方向沿边界切线，可用位移偏角、速度偏角关系快速判断。 模型剖析： 1.分析平抛运动临界问题的一般思路 (1)将实际问题转化为物理模型，一般采用极限法。 (2)确定临界状态，把待求物理量，设定为极大或极小值，让临界问题凸显出来。 (3)画出临界轨迹草图； (4)利用平抛运动规律结合临界的核心关系，列式求解． 2.以击球问题为例 3.击球问题2 【例1】排球场总长为18m，球网高度为2m，若选手站在离网3m的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出（速度方向垂直于球网），设击球点在3m线正上方且击球高度为3m处，选手击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界。（不计空气阻力，重力加速度大小g取10m/s2）（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】人形机器人和小朋友玩抛球游戏。图甲、乙中机器人均在高度为的固定点以速率水平向右抛出球。图甲中小朋友在高度为的固定点接球。图中所有球均视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)求图甲中球从抛出到被接住所经历的时间； (2)若球被抛出的同时，图乙中小朋友从距机器人处（水平）以速率（未知）水平向左匀速运动，接球时，手掌离地面高度也为，则速率为多少； (3)若机器人在高度为的固定点以速率水平向右抛出球，同时图丙中小朋友在距机器人处（水平）从高为的固定点以速率（未知）竖直向上抛出球，在球上升过程中遇到球，求速率及需满足的条件。 【变式1-2】（多选）乒乓球（视为质点）发球时，在球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功，否则发球失败。如图，已知乒乓球台长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹（时间极短）前后，水平速度不变，竖直速度大小不变、方向反向，重力加速度大小为g，不计空气阻力。若发球成功，下列说法正确的是（     ） A．乒乓球落在己方台面后反弹的最大高度小于H B．乒乓球从发出到落在对方台上用时 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球的最大发球速度为 模型02.类平抛运动 模型构建：类平抛是匀变速曲线运动，合力恒定且与初速度垂直。分解为：初速度方向匀速直线运动，合力方向初速度为零的匀加速直线运动，两分运动独立且等时。规律和平抛相似，只需把重力加速度替换为等效加速度。常用正交分解，结合位移、速度公式求解 模型剖析： 1.类平抛运动的特点 受力特点：物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直． 运动特点：沿v0方向做匀速直线运动，在合外力方向上做v0=0的匀加速直线运动， a＝. 2.类平抛的运动规律及特点 除了加速度大小不a≠g，v0不一定沿竖直方向外，其运动满足所有平抛运动的规律及特点。 3.类平抛运动的分析方法 1.常规方法 将平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动，两则为互不影响的独立运动。 2.特殊分解 对于某些问题，通过抛出点建立坐标系，将加速度分解为ax和ay,初速度分解为vx和vy. 【例2】如图所示，在高尔夫练习场中，运动员站在高度为h的坡顶上以水平初速度将质量为m的高尔夫球水平击出。假设运动过程中水平方向受大小、方向均不变的风力作用，竖直方向只受重力，且恰好竖直落入水平地面上的球穴A，已知重力加速度为g。以击球点为原点沿水平和竖直方向建立坐标系，表示高尔夫球沿水平方向的分速度，在上述情境中，下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，在水平向右的恒定风力场中，将一质量为的小球（可视为质点）从点以大小为的初速度水平向左抛出，小球刚好经过点正下方的点。已知、之间的距离为，重力加速度为，则小球从到的过程，下列说法正确的是（     ） A．小球的运动时间为 B．小球向左运动的最大距离为 C．水平风力的大小为 D．小球先加速后减速 【变式2-2】扇车又名风车，是我国古代具有代表性的粮食清选工具。图甲为封闭扇车实物图，图乙为封闭扇车在竖直面内的剖面示意图。工作时将待筛选的谷物倒进上方的喂料斗，斗阀板A竖直，谷物紧贴斗阀板A左侧自由下落（不计初速度）。逆时针匀速转动曲柄摇手，空气在圆形风腔的上方水平向左匀速经风道流出，风道内可认为在Ⅰ区域无风，在Ⅱ区域风力大小恒定。若转速越快，则风力越大。密度小的糠秕及轻杂物被风从左侧出风口吹出，不太饱满的谷物从左下方二料口流出，而密度大的饱满谷物从下方出粮口流出，这样就把糠秕与谷物分开了。图乙中B点为出粮口左边界，C点为二料口左边界，BC处于同一水平线上。斗阀板A与B点的水平距离为l，A与风道左侧出风口的距离为s，斗阀板A长为d，风道高为D。假设谷物在竖直方向仅受重力作用，待筛选的谷物中只存在饱满谷物、糠秕（质量是饱满谷物质量的20%）和不饱满谷物（质量是饱满谷物质量的70%），在相同的转速时，认为糠秕、饱满谷物与不饱满谷物所受风力一样大，忽略谷物间的作用力。 (1)在某次粮食清选的过程中，以一定的转速转动曲柄摇手，发现在出粮口有不饱满谷物出现。为了让不饱满谷物从二料口流出，说明应如何操作及理由。 (2)经过相应调整后，饱满谷物恰好经B点从出粮口流出。已知l=0.8 m，s=2.4 m，d=0.2 m，D=1.8 m，饱满谷物的质量m1取2.5×10-5 kg，g取10 m/s2。 a．此时饱满谷物受到的风力大小为多少？ b．通过计算说明，这批谷物经过风道，糠秕是从出风口飞出还是二料口流出？ 模型03.斜抛运动 模型构建：斜抛运动加速度恒为重力加速度，属于匀变速曲线运动。将初速度沿水平、竖直正交分解：水平方向匀速直线运动，竖直方向竖直上抛运动。上升与下落过程对称，同一高度处速率相等。最高点竖直分速度为零，仅保留水平速度。射程、射高由初速度大小和抛射角共同决定 模型剖析： 1.斜抛运动的性质 定义：将物体以一定的初速度沿斜上方或斜下放抛出，只在重力下做的运动叫做斜抛运动。 水平方向：匀速直线运动。 竖直方向：匀变速直线运动。 性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速运动。 2.斜抛运动的两种分析方法： Ⅰ.常规分析法 a.把初速度分解到水平和竖直方向，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀变速直线运动． b.列各方向的运动方程，根据所给条件及关系，联立求解。 Ⅱ. 逆向思维法 a.从抛出点到最高点的运动可看成反向的平抛运动。 B．最高点之后的运动按平抛运动处理，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解。 Ⅲ.正交分解法 示例1. 示例2. 【例3】如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，求： (1)P到Q的运动时间； (2)重物离PQ连线的最远距离。 【变式3-1】（多选）大型风洞是研发飞行器的重要设施之一，我国的风洞技术处于世界领先地位。如图所示、某次风洞实验中，风力大小和方向均恒定，一质量为的小球先后经过、两点，其中在点的速度大小为，方向与、连线成角，在点的速度大小也为。已知、连线长为，重力加速度为，小球的运动轨迹在竖直面内。下列说法正确的是（　　） A．风力大小可能为 B．小球运动过程中的最小速度为 C．小球从点运动到点所用的时间为 D．小球在点的速度方向与、连线成角 【变式3-2】如图甲所示，维修工人给屋顶进行加固维修，维修过程中，一位工人将材料从屋顶斜坡的底处A点斜向上抛出，另一位工人在斜坡顶部接住，简化图如图乙所示。把材料看作质点，屋顶看作倾角为的斜面，忽略空气阻力，工人以大小为、方向与斜面成的初速度将材料抛出，另一位工人恰好接住，已知重力加速度为，则材料在空中运动的时间为（     ） A． B． C． D． 1. 智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向以不同大小的速度击出，供运动员进行训练。如图所示，发球机置于网球场左侧底线AB的中点M处，发球口在M点正上方高度为的O点。球网两侧球场ABCF与FCDE为边长相同的正方形，球网高度为。不计空气阻力。则网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的形状（图中阴影区域）为（     ） A． B． C． D． 【基础夯实】 2. （多选）“刀削面”是一种广受消费者喜爱的面食，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，厨师将小面圈沿锅的某条半径方向水平削出，小面圈距锅的高度，与锅沿的最近水平距离，锅可视为半径的半球壳（不计锅的厚度），水面到锅底的距离。不计一切阻力，小面圈的运动可视为平抛运动，则（     ） A．落入锅中的小面圈速度的变化量均相同 B．落入锅中的小面圈，速度范围为 C．直接落入水中的小面圈，速度范围为 D．直接落入水中的小面圈，速度范围为 3. （多选）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图7所示，小面圈（可视作质点）刚被削离时距开水锅的高度均为h（设锅中装满水），与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述正确的是（     ） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为v0，则 4. （多选）如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD-A1B1C1D1，从顶点A沿不同方向水平抛出初速度不同可视为质点的小球，不计空气阻力，已知立方体边长为L，重力加速度大小为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．以v0水平抛出的小球运动轨迹与AC1连线相交，到达交点所经历时间为 B．落点在B1D1连线上不同点的小球，平抛初速度可能是 C．运动轨迹与AC1连线相交但交点不同的小球，在离AC1连线最远时速度方向都相同 D．运动轨迹与AC1连线相交的小球，在不同交点处的速度方向不同 5. 排球场的场地示意图如图所示，设排球场的总长为l，前场区的长度为，网高为h。排球比赛对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 6. 如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是（　　） A．乒乓球被击出时的初速度大小为 B．球的落点d与击出点b之间的位移为 C．球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为 D．若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于，才会落在对方台面上 【培优拔高】 7. （多选）如图，一光滑斜面固定在地面上，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处以一定水平速度射出，最后从B处离开斜面，水平方向位移为x，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为一条抛物线 B．小球到达B处时，速度方向与水平方向的夹角的正切值为 C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球的初速度大小为 8. 如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 9. 如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 10. 如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 11. 某款弹射游戏装置如图所示，抛出点、在同一水平地面上。从、两点先后以不同角度弹射出两个相同的小球，要求两球同时击中前方同一目标点。忽略空气阻力，小球运动轨迹如图所示（左侧点轨迹较低、较平，右侧点轨迹较高、较陡）。下列说法正确的是（     ） A．两球在空中运动的时间相等 B．处弹射出的小球初速度方向与水平方向的夹角更大 C．两球击中目标时的速度大小一定相等 D．处弹射出的小球水平分速度一定更大 12. 中国选手刘诗颖在2020年东京奥运会田径女子标枪决赛中获得金牌。刘诗颖的“冠军一投”的运动简化图如图所示，标枪离手时的初速度大小为，与水平方向夹角为，如图所示。忽略空气阻力作用，关于标枪的运动，下列说法正确的是（　　） A．出手后标枪的轨迹是一段圆弧 B．标枪升到最高点时速度为零 C．标枪在相同时间内速率变化量相同 D．初速度大小不变时，越大，标枪离地的最大高度就越大 13. 小球在离地面较高处以初速度水平向右抛出，小球在右侧地面同时以相同大小的初速度与水平地面成角斜向左上抛出，如图所示，忽略空气阻力，则两球在空中运动的过程中（     ） A．速度变化率相同 B．会在空中相遇 C．的速度小于的速度 D．竖直方向上的距离与时间成反比 14. 如图所示，某同学对着竖直墙壁练习投篮，他从离地面一定高度的A点以大小为的初速度斜向上抛出质量为m的篮球（图中未画出，视为质点），结果篮球刚好垂直打在竖直墙壁上的O点，反弹后经过与A点在同一水平线上的B点。O点和A点的高度差为h，A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，篮球与墙壁接触的时间为t，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小为 B．篮球刚接触O点时的速度大小为 C．篮球经过B点时的速度大小为 D．篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小为 15. 某同学对机器人的“弹射”运动很感兴趣。他设计了一个如图所示的弹射装置，弹射装置上表面为距离地面的平台，小球运动到平台上时，弹射装置立即启动，将小球向上弹起，从点斜向上抛出，经时间，小球到达最高点，速度大小为，又经过一段时间落到地面。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小取。求： (1)小球最高点离地面的高度； (2)小球落地点与点的水平距离。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $