第2讲 抛体运动（模型与方法）物理人教版必修第二册

第2讲 抛体运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.平抛运动基本规律 模型02.抛体运动与斜面 模型03.抛体运动与曲面 模型04.抛体运动与竖直面 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.平抛运动基本规律 模型构建：水平匀速、竖直自由落体的等时独立分运动合成，加速度恒为重力加速度，属于匀变速曲线运动 模型剖析： 1.平抛运动的定义 将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动---平抛运动 2.平抛运动的条件 条件：具有水平方向的初速度。 性质：只受重力，加速度恒定，竖直向下。 3.平抛运动的性质 平抛运动是匀变速运动。（加速度恒定、匀变速曲线运动） 单位时间内速度变化量相同： 2.平抛运动的基本规律 水平方向：匀速直线--X=v0t vx=v0 竖直方向：自由落体--y=gt2 vy=gt 相关物理量计算： 下落时间t：t= t= 末速度：v= 合位移：s= 轨迹方程：y=x2(抛物线) 水平射程：x=v0t=v0 3.平抛运动的特点和重要推论 特点： 1.平抛运动的时间取决与下落高度。 2.平抛运动的射程由v0和h共同决定。 3.平抛运动运动单位时间内速度变化量相同 4.相同时间内，水平方向位移相同，竖直方向上位移之差为，且满足比例关系。 重要推论： a.速度反向延长线过水平位移的中点 b.速度偏向角的正切值是位移偏转角正切值得两倍tan=2tan 【例1】如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于A、B、C三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（     ） A．排球的飞行时间满足 B．排球的飞行时间满足 C．排球的初速度满足 D．排球的初速度满足 【变式1-1】如图所示，在同一高度上同时水平抛出的两个小球A、B在空中相遇，若不计空气阻力，则（　　） A．A球的初速度比B球小 B．相遇时A球的竖直速度比B球大 C．A球先抛出 D．从抛出到相遇A、B两个球的速度变化量相同 【变式1-2】如图，某同学从距水平地面高 m的桌面边缘，将一小球以 m/s的速度沿水平方向抛出，小球落在地面上。取 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球在空中运动的时间为0.25 s B．小球落地时的速度大小为 m/s C．小球落地点与抛出点间的水平距离为1.0 m D．小球落地时速度方向与水平方向间的夹角为30° 模型02.抛体运动与斜面 模型构建：抛体打斜面问题，核心条件是位移偏角等于斜面倾角；若速度垂直打斜面，则速度偏角与斜面倾角互余。将运动分解为水平、竖直分运动，利用几何关系建立方程。运动时间由斜面倾角、初速度共同决定。区分两类题型：从斜面抛出落到斜面，或从空中抛出垂直撞击斜面 模型剖析： 1.沿斜面类落点（给定角度关系tan=） 2.垂直于斜面类落点（给定角度关系tan=） 3.最短位移 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 【例2】如图所示，在大跳台滑雪项目中运动员以初速度从跳台顶端A点水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则运动员（　　） A．从A运动到P的轨迹长度等于P到B的轨迹长度 B．从A运动到P的轨迹长度大于P到B的轨迹长度 C．从A运动到P的时间等于从P到B点的时间 D．从A运动到P的时间小于从P到B点的时间 【变式2-1】（多选）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用表示他在竖直方向的速度，其图像如图（b）所示，和是他落在倾斜雪道上的时刻。则（     ） A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的小 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小 D．竖直方向速度大小为时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 【变式2-2】如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端点。点是小球运动过程中距离斜面的最远处，点是在阳光照射下小球经过点的投影点，不计空气阻力，则（    ） A．若斜面内点在点的正下方，则长度与长度相等 B．小球在斜面上的投影做匀速运动 C．与长度之比为1∶3 D．小球在点的速度大小大于段平均速度大小 模型03.抛体运动与曲面 模型构建：抛体撞击曲面问题，核心约束是物体位置满足曲面方程。平抛为匀变速曲线运动，水平匀速、竖直自由落体，把坐标代入曲面关系式联立求解。常见为圆弧面，要区分 “落到曲面” 和 “与曲面相切（速度沿切线）” 两种临界；相切时速度方向与曲面切线一致，可利用速度偏角关系辅助解题。 模型剖析： 1.切入弧面类落点（给定角度关系tan=） 2.落入弧面类落点(给定位移关系（x-r）2+h2=R2) 3.抛物面类落点(给点落点函数y=ax2+bx+c) 【例3】如图所示，地面有一个很大的半圆形凹坑，AB为水平直径，O为圆心。现同时从坑边沿A、B两点水平相向抛出甲、乙两个石块，初速度大小分别为v甲、v乙，两石块恰好都落在圆弧面上的C点，已知OC与竖直方向的夹角θ=30°，忽略空气阻力，两石块均可视为质点。下列说法正确的是（     ） A．甲石块比乙石块晚一些落到圆弧面上 B．甲、乙两石块初速度关系为v甲>v乙 C．下落过程中甲的速度变化量大于乙的速度变化量 D．甲石块是沿半径方向垂直打在圆弧面上的C点 【变式3-1】如图所示，竖直截面中ABCO为固定于水平地面上半径为R，圆心为O的半圆柱体，A为左端点。小球 （可视为质点）从A点正上方开始做平抛运动，其轨迹恰与半圆柱体相切于B点，OB与水平方向夹角为 60°。已知重力加速度为g。则小球抛出时的初速度为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）如图所示，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直放置，其底端切线水平，且底端固定一弹性竖直挡板，小球打在圆弧上后不弹起，若与挡板发生碰撞，则碰撞前后水平方向速度等大反向，竖直方向速度不变，不计碰撞时间。现将甲、乙两小球分别以、（）的初速度从圆弧轨道左侧顶端水平向右抛出，最终打在圆弧上的同一位置，该过程中甲、乙运动的时间分别为、，甲、乙打在圆弧上时的速度与水平方向的夹角分别为、，重力加速度为g，不计空气阻力，两小球均可视为质点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若大小合适，乙球可以垂直打在圆弧轨道上 D．与的大小之和为一定值 模型04.抛体运动与竖直面 模型构建：抛体撞击竖直墙面，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀变速运动。水平位移固定等于墙面水平距离，由此先求出运动时间。竖直方向利用速度、位移公式求解撞击高度与速度。常考两类临界：撞击墙面时速度垂直墙面，或刚好擦过墙面顶端；解题关键抓住水平位移不变这个约束条件 模型剖析： 1.水平和竖直落点 2.台阶类落点(类斜面，已知角度关系) 【例4】（多选）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对地面速度大小为的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．x的最小值为 B．x的最小值为 C．y的最小值为 D．y的最小值为 【变式4-1】如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【变式4-2】“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏。如下图所示，某大人和小孩直立在界外，在同一条竖直线上的不同高度分别水平同向抛出圆环，并以与水平成45°角的速度各套中前方一物品。假设圆环的运动可以视为平抛运动，大人与小孩抛出圆环的高度之比为2：1，则大人和小孩抛出的圆环（     ） A．运动时间之比为2：1 B．初速度之比为1：1 C．落地时的速度之比为2：1 D．落点距抛出点的水平位移之比为2：1 1. 某海边观景平台上，一游客从距海面高度为H的平台边缘A点，以大小为v0的初速度水平抛出一小球，小球落到海面上的B点。A、B两点连线与海面的夹角用α表示，小球在B点的速度方向与海面的夹角用β表示，如图所示。空气阻力不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．小球在空中运动的时间为 B．小球在空中运动的水平距离为 C．tanβ=2tanα D．若只增大v0，则角β增大 【基础夯实】 2. 如图所示，将一质量的小球从足够长的斜面顶端水平抛出，初速度大小，斜面倾角为，不计空气阻力，重力加速度取，。下列说法正确的是（     ） A．小球经过时间落到斜面 B．小球落到斜面前瞬间重力的功率为 C．抛出小球的初速度越大，小球落到斜面时的速度方向与水平方向间的夹角越大 D．小球抛出后距离斜面的最大距离为 3. （多选）如图所示，倾角的固定斜面上，从顶端以初速度水平抛出一个小球，小球在空中运动一段时间后落回斜面。不计空气阻力，，，重力加速度大小取。关于小球的运动，下列说法正确的是（     ） A．在空中运动的时间为1.5 s B．落回斜面时的速度大小为15 m/s C．离斜面最远时的速度大小为12.5 m/s D．从抛出到落回斜面过程，速度变化量大小为7.5 m/s 4. 将一个小球在离水平地面高h的P点以一定大小的初速度水平抛出，小球落地时的水平位移大小为x；保持小球在P点抛出的初速度大小不变，方向改为与水平方向成37°斜向上，小球落地时的水平位移大小仍为x，已知，。则等于（    ） A．1 B． C． D． 5. 在某次空军演习中，歼-20轰炸机以水平速度投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，如图所示。已知山坡倾角为，重力加速度大小为，忽略空气阻力，则炸弹下落的高度为（     ） A． B． C． D． 6. 如图所示，某同学对着竖直墙壁练习投篮，他从离地面一定高度的A点以大小为的初速度斜向上抛出质量为m的篮球（图中未画出，视为质点），结果篮球刚好垂直打在竖直墙壁上的O点，反弹后经过与A点在同一水平线上的B点。O点和A点的高度差为h，A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，篮球与墙壁接触的时间为t，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小为 B．篮球刚接触O点时的速度大小为 C．篮球经过B点时的速度大小为 D．篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小为 【培优拔高】 7. 五岳为群山之尊，泰山为五岳之长。甲、乙两位同学登临泰山，在山上做了个平抛运动的游戏。如图所示，甲、乙分别以、的速度沿同一水平方向抛出相同的小石子，小石子抛出点的高度差为且在同一竖直线上，不计空气阻力，下列条件中有可能使两小石子相碰的是（     ） A．甲先抛出，且 B．甲先抛出，且 C．同时抛出，且 D．甲后抛出，且 8. 一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平初速度v从O点抛出小球，正好垂直落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球在P点时的竖直分速度为vsinθ B．小球在P点时的竖直分速度为vtanθ C．小球从O点到P点过程的竖直位移为 D．小球从O点到P点过程的竖直位移为 9. 如图甲，投壶是古代“六艺”之一。如图乙，A、B两位投者在同一高度的不同位置、沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（     ） A．在空中运动时间不相同 B．在空中运动的加速度不同 C．射出时的初速度相同 D．插入壶中瞬间竖直分速度相同 10. 某次军事演习中，在，两处的炮兵向正前方同一水平面上的目标发射炮弹，要求同时击中目标。若忽略空气阻力，炮弹轨迹如图所示，下列说法正确的是（     ） A．若两颗炮弹运动的最高点高度相等，则处发射炮弹运动时间长 B．若两颗炮弹运动的最高点高度相等，则处发射炮弹的初速度大 C．若点射出的炮弹的运动时间更长，则处发射炮弹到达的最高点更低 D．若点射出的炮弹的运动时间更长，则处射出的炮弹竖直方向初速度更大 11. （多选）我国将在2030年前后实现航天员登月计划并在月球上进行相关的科学探测与实验。如图所示，若航天员从倾角为θ的斜面顶端A处，沿水平方向以初速度抛出一小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。已知小球运动到P点时离斜面最远，月球表面的重力加速度为g，则下列说法中错误的是（     ） A．小球到达P点的速度大小为 B．小球从A点运动到P点的时间为 C．小球从A点运动到B点的时间为 D．A、B两点间的竖直距离为 12. 如图所示，一个人用一根长1m且最大只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球（可视为质点），在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高。转动中小球在最低点时绳子刚好断了（取）。求： (1)绳子断时小球运动的角速度为多大？ (2)绳断后，求小球落地点与抛出点间的水平距离。 (3)小球落地时重力的功率。 13. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台所进行的。运动员穿专用滑雪板，在助滑路上获得高速后飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，设一位运动员由点沿水平方向跃起，到点着陆时，测得间距离，山坡倾角。不计空气阻力，取，求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员起跳的速度； (3)运动员经多长时间离坡面距离最大最大有多大？ 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 抛体运动 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.平抛运动基本规律 模型02.抛体运动与斜面 模型03.抛体运动与曲面 模型04.抛体运动与竖直面 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.平抛运动基本规律 模型构建：水平匀速、竖直自由落体的等时独立分运动合成，加速度恒为重力加速度，属于匀变速曲线运动 模型剖析： 1.平抛运动的定义 将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动---平抛运动 2.平抛运动的条件 条件：具有水平方向的初速度。 性质：只受重力，加速度恒定，竖直向下。 3.平抛运动的性质 平抛运动是匀变速运动。（加速度恒定、匀变速曲线运动） 单位时间内速度变化量相同： 2.平抛运动的基本规律 水平方向：匀速直线--X=v0t vx=v0 竖直方向：自由落体--y=gt2 vy=gt 相关物理量计算： 下落时间t：t= t= 末速度：v= 合位移：s= 轨迹方程：y=x2(抛物线) 水平射程：x=v0t=v0 3.平抛运动的特点和重要推论 特点： 1.平抛运动的时间取决与下落高度。 2.平抛运动的射程由v0和h共同决定。 3.平抛运动运动单位时间内速度变化量相同 4.相同时间内，水平方向位移相同，竖直方向上位移之差为，且满足比例关系。 重要推论： a.速度反向延长线过水平位移的中点 b.速度偏向角的正切值是位移偏转角正切值得两倍tan=2tan 【例1】如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于A、B、C三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（     ） A．排球的飞行时间满足 B．排球的飞行时间满足 C．排球的初速度满足 D．排球的初速度满足 【答案】D 【详解】AB．三次运动排球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，可得 三次运动从同一高度将排球水平击出，所以高度一致，可得，故AB错误； CD．由图可得，三次运动水平方向的位移 水平方向做匀速直线运动，可得 由AB选项分析得 所以排球的初速度，故D正确，C错误。 故选D。 【变式1-1】如图所示，在同一高度上同时水平抛出的两个小球A、B在空中相遇，若不计空气阻力，则（　　） A．A球的初速度比B球小 B．相遇时A球的竖直速度比B球大 C．A球先抛出 D．从抛出到相遇A、B两个球的速度变化量相同 【答案】D 【详解】A．两球同时抛出，竖直方向均做自由落体运动，下落时间相同。相遇时两球在同一高度，说明运动时间相同。水平方向做匀速直线运动，A球初始位置在B球左侧，相遇点相同，则A球水平位移大于B球，由可知，A球初速度大于B球初速度，故A错误； B．两球竖直方向都做自由落体运动，运动时间相同，则竖直分速度相同，故B错误； C．两球是同时水平抛出的，不是A球先抛出，故C错误； D．从抛出到相遇，两球运动时间相同，加速度均为重力加速度，根据可知，速度变化量相同，故D正确。 故选D。 【变式1-2】如图，某同学从距水平地面高 m的桌面边缘，将一小球以 m/s的速度沿水平方向抛出，小球落在地面上。取 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．小球在空中运动的时间为0.25 s B．小球落地时的速度大小为 m/s C．小球落地点与抛出点间的水平距离为1.0 m D．小球落地时速度方向与水平方向间的夹角为30° 【答案】C 【详解】A．小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据 解得小球在空中运动的时间 ，故A错误； B．小球落地时竖直分速度， 落地时的速度大小，故B错误； C．小球在水平方向做匀速直线运动，落地点与抛出点间的水平距离，故C正确； D．设小球落地时速度方向与水平方向间的夹角为，则 而，可知 ，故D错误。 故选C。 模型02.抛体运动与斜面 模型构建：抛体打斜面问题，核心条件是位移偏角等于斜面倾角；若速度垂直打斜面，则速度偏角与斜面倾角互余。将运动分解为水平、竖直分运动，利用几何关系建立方程。运动时间由斜面倾角、初速度共同决定。区分两类题型：从斜面抛出落到斜面，或从空中抛出垂直撞击斜面 模型剖析： 1.沿斜面类落点（给定角度关系tan=） 2.垂直于斜面类落点（给定角度关系tan=） 3.最短位移 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 【例2】如图所示，在大跳台滑雪项目中运动员以初速度从跳台顶端A点水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则运动员（　　） A．从A运动到P的轨迹长度等于P到B的轨迹长度 B．从A运动到P的轨迹长度大于P到B的轨迹长度 C．从A运动到P的时间等于从P到B点的时间 D．从A运动到P的时间小于从P到B点的时间 【答案】C 【详解】CD．将运动员的平抛运动分解为沿斜面方向和垂直斜面方向：运动员具有垂直斜面向上的初速度分量，以及垂直斜面向下的加速度分量，该方向上做类竖直上抛运动。 P点离斜面最远，说明在P点垂直斜面方向的速度减为0，对应类竖直上抛运动的“最高点”。 根据类竖直上抛运动的对称性，上升时间等于下降时间，即从A到P的时间等于从P到B的时间，即，故C正确，D错误； AB．平抛运动的合速度大小 由于，可知阶段的瞬时速率始终大于阶段对应时刻的速率，根据路程可知从P到B的轨迹长度大于从A到P的轨迹长度。故AB错误。 故选C。 【变式2-1】（多选）如图（a），在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用表示他在竖直方向的速度，其图像如图（b）所示，和是他落在倾斜雪道上的时刻。则（     ） A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大 B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的小 C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小 D．竖直方向速度大小为时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大 【答案】ACD 【详解】A、根据图像与时间轴所围图形的面积表示竖直方向上位移的大小可知，第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，故A正确； B、斜面的倾角等于位移的偏转角，两次起跳均落在倾斜雪道上，第二次滑翔过程中的位移比第一次的位移大，则第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，故B错误； C、由图像知，第二次滑翔时的竖直方向末速度小，运动时间长，据加速度的定义式可知其平均加速度小，故C正确； D、当竖直方向速度大小为时，第一次滑翔时图像切线的斜率大于第二次滑翔时图像切线的斜率，而图像切线的斜率表示加速度的大小，故第一次滑翔时速度达到时加速度大于第二次时的加速度，据可得阻力大的加速度小，第二次滑翔时的加速度小，则其所受阻力大，故D正确。 故选ACD。 【变式2-2】如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端点。点是小球运动过程中距离斜面的最远处，点是在阳光照射下小球经过点的投影点，不计空气阻力，则（    ） A．若斜面内点在点的正下方，则长度与长度相等 B．小球在斜面上的投影做匀速运动 C．与长度之比为1∶3 D．小球在点的速度大小大于段平均速度大小 【答案】A 【详解】设斜面倾角为，小球从点水平抛出，初速度为，落在斜面底端点 小球在竖直平面内做平抛运动，沿斜面和垂直斜面方向分解运动。 A．小球在垂直斜面方向做匀减速直线运动，当垂直斜面的分速度减为零时，小球距离斜面最远，此时对应点，运动时间 小球落到点的总时间为 可见，即点是小球运动时间的中点。因此点的水平位移是点水平位移的一半 设点水平位移为，则 斜面是直线，所以沿斜面方向有： ① ② 因此，故A正确； B．小球在斜面上的投影沿斜面的运动是匀加速直线运动，不是匀速运动，故B错误； C．由上述分析可知，为沿斜面方向在时间内的位移，即 为沿斜面方向在时间内的位移，即 因此 代入 解得 因为，显然，故C错误； D．小球在点时垂直斜面的分速度为，此时速度大小为 段的平均速度大小为 可见，即小球在点的速度大小等于段平均速度大小，故D错误。 故选A。 模型03.抛体运动与曲面 模型构建：抛体撞击曲面问题，核心约束是物体位置满足曲面方程。平抛为匀变速曲线运动，水平匀速、竖直自由落体，把坐标代入曲面关系式联立求解。常见为圆弧面，要区分 “落到曲面” 和 “与曲面相切（速度沿切线）” 两种临界；相切时速度方向与曲面切线一致，可利用速度偏角关系辅助解题。 模型剖析： 1.切入弧面类落点（给定角度关系tan=） 2.落入弧面类落点(给定位移关系（x-r）2+h2=R2) 3.抛物面类落点(给点落点函数y=ax2+bx+c) 【例3】如图所示，地面有一个很大的半圆形凹坑，AB为水平直径，O为圆心。现同时从坑边沿A、B两点水平相向抛出甲、乙两个石块，初速度大小分别为v甲、v乙，两石块恰好都落在圆弧面上的C点，已知OC与竖直方向的夹角θ=30°，忽略空气阻力，两石块均可视为质点。下列说法正确的是（     ） A．甲石块比乙石块晚一些落到圆弧面上 B．甲、乙两石块初速度关系为v甲>v乙 C．下落过程中甲的速度变化量大于乙的速度变化量 D．甲石块是沿半径方向垂直打在圆弧面上的C点 【答案】B 【详解】AC．两石块都做平抛运动，竖直方向的初速度为零，加速度均为重力加速度。设两石块下落的共同高度为，重力加速度大小为，用表示飞行时间。竖直方向满足自由落体运动规律，因两石块下落高度相同，飞行时间相同。两石块同时抛出，因此同时落到圆弧面上；根据加速度的定义，它们的速度变化量均竖直向下，大小满足，故AC错误； B．设半圆形凹坑的半径为。由图可知，落点在圆心的右下方，下落高度为。 为确定水平位移并比较落点处的运动方向，补出点的竖直投影和甲的速度分解如下 由圆的几何关系，甲的水平位移大小为 乙的水平位移大小为 由水平方向的匀速直线运动规律，甲的初速度大小为 乙的初速度大小为 两石块飞行时间相同，初速度大小之比为，故B正确； D．以水平向右为轴正方向、竖直向下为轴正方向。图中为甲在点接触圆弧面前的速度，和为其水平、竖直分速度，为该速度与水平方向的夹角。由平抛运动规律有和 结合前述位移关系得 圆弧面在点的法线沿半径方向，向右下方延长的半径与水平方向成，其方向满足，故D错误。 故选B。 【变式3-1】如图所示，竖直截面中ABCO为固定于水平地面上半径为R，圆心为O的半圆柱体，A为左端点。小球 （可视为质点）从A点正上方开始做平抛运动，其轨迹恰与半圆柱体相切于B点，OB与水平方向夹角为 60°。已知重力加速度为g。则小球抛出时的初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】ABCD．小球在B点的瞬时速度与OB垂直斜向右下，由几何关系，该速度与水平方向的夹角为，由平抛运动，水平方向 竖直方向 速度偏转角的正切值 根据几何关系水平方向位移 联立得 故选B。 【变式3-2】（多选）如图所示，半径为R的四分之一圆弧轨道竖直放置，其底端切线水平，且底端固定一弹性竖直挡板，小球打在圆弧上后不弹起，若与挡板发生碰撞，则碰撞前后水平方向速度等大反向，竖直方向速度不变，不计碰撞时间。现将甲、乙两小球分别以、（）的初速度从圆弧轨道左侧顶端水平向右抛出，最终打在圆弧上的同一位置，该过程中甲、乙运动的时间分别为、，甲、乙打在圆弧上时的速度与水平方向的夹角分别为、，重力加速度为g，不计空气阻力，两小球均可视为质点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．若大小合适，乙球可以垂直打在圆弧轨道上 D．与的大小之和为一定值 【答案】BD 【详解】A．以圆弧顶端为原点，向右为轴正方向，向下为轴正方向，四分之一圆弧方程为。甲、乙最终落在圆弧上同一点，竖直位移相同 甲球直接向右平抛打到圆弧，水平位移为（为落点距挡板的水平距离），有 乙球先向右运动到挡板（水平位移），反弹后向左平抛，水平方向总路程为，有 两球竖直位移相同，故，故A错误； B．速度与水平方向夹角 故 因，，故，故B正确； C．乙球经挡板反弹后向左平抛，可用镜像法等效为从挡板右侧的镜像位置以相同初速度向左平抛。若垂直打在圆弧上，速度方向沿半径方向，其反向延长线必过圆心。而平抛运动中，速度反向延长线交于水平位移中点。乙球等效水平位移为，其中点为，与圆心的横坐标不符，故无论取何值，乙球都不可能垂直打在圆弧上，故C错误； D．由， 得 由竖直位移决定（），为定值，故为定值，故D正确。 故选BD。 模型04.抛体运动与竖直面 模型构建：抛体撞击竖直墙面，水平方向为匀速直线运动，竖直方向为匀变速运动。水平位移固定等于墙面水平距离，由此先求出运动时间。竖直方向利用速度、位移公式求解撞击高度与速度。常考两类临界：撞击墙面时速度垂直墙面，或刚好擦过墙面顶端；解题关键抓住水平位移不变这个约束条件 模型剖析： 1.水平和竖直落点 2.台阶类落点(类斜面，已知角度关系) 【例4】（多选）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对地面速度大小为的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．x的最小值为 B．x的最小值为 C．y的最小值为 D．y的最小值为 【答案】BD 【详解】AB．弹珠的水平速度是对地速度，支架沿墙运动的速度不限制弹珠的对地发射方向。发射点到墙面的垂直距离为，沿墙面法线发射时水平位移最小，为，故A错误，B正确； CD．水平方向弹珠做匀速直线运动，由及前述最短水平位移可得 竖直方向弹珠做自由落体运动，由可知越小，越小，故，故C错误，D正确。 故选BD。 【变式4-1】如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．O点距地面的高度为 B．排球做平抛运动的时间为 C．排球击出时的速度大小为 D．排球着地时的速度大小为 【答案】A 【详解】 AB．如图所示排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为，取球网在上的投影点为F，在边线CD上投影点为Q，显然 所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有 解得 O点距地面的高度为 平抛运动的时间为，故A正确，B错误； CD．排球击出时的速度大小 排球着地时的速度大小，故C错误，D错误。 故选A。 【变式4-2】“套圈圈”是小孩和大人都喜爱的一种游戏。如下图所示，某大人和小孩直立在界外，在同一条竖直线上的不同高度分别水平同向抛出圆环，并以与水平成45°角的速度各套中前方一物品。假设圆环的运动可以视为平抛运动，大人与小孩抛出圆环的高度之比为2：1，则大人和小孩抛出的圆环（     ） A．运动时间之比为2：1 B．初速度之比为1：1 C．落地时的速度之比为2：1 D．落点距抛出点的水平位移之比为2：1 【答案】D 【详解】A．平抛运动竖直方向自由落体：，得 已知 得，A错误； B．落地时速度与水平成，则 即 得初速度之比为，故B错误； Ｃ．落地合速度大小 得，故C错误； D．水平位移 又，因此 得，故D正确。 故选D。 1. 某海边观景平台上，一游客从距海面高度为H的平台边缘A点，以大小为v0的初速度水平抛出一小球，小球落到海面上的B点。A、B两点连线与海面的夹角用α表示，小球在B点的速度方向与海面的夹角用β表示，如图所示。空气阻力不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（     ） A．小球在空中运动的时间为 B．小球在空中运动的水平距离为 C．tanβ=2tanα D．若只增大v0，则角β增大 【答案】C 【详解】AB．取竖直向下为正方向，小球竖直方向初速度为零，由匀变速直线运动位移公式得，解得 水平方向匀速运动，水平距离为，故AB错误； CD．由图中连线与海面的夹角得 小球落至点时的竖直速度为，水平速度为，故 由前述计算得飞行时间仅由和决定，增大时减小，故C正确，D错误。 故选C。 【基础夯实】 2. 如图所示，将一质量的小球从足够长的斜面顶端水平抛出，初速度大小，斜面倾角为，不计空气阻力，重力加速度取，。下列说法正确的是（     ） A．小球经过时间落到斜面 B．小球落到斜面前瞬间重力的功率为 C．抛出小球的初速度越大，小球落到斜面时的速度方向与水平方向间的夹角越大 D．小球抛出后距离斜面的最大距离为 【答案】B 【详解】A．设小球落到斜面时间为，则水平方向位移，竖直方向位移 ，化简后可求得，故A错误； B．竖直分速度 重力瞬时功率，故B正确； C．速度偏角 位移偏角，可以得到关系。 只要落在斜面上，位移偏角固定等于斜面倾角，则恒定，不变，与初速度无关，故C错误； D．初速度垂直斜面分量 加速度垂直斜面向下分量 垂直斜面速度减为0时距离斜面最远，则 ，，代入得，故D错误。 故选B。 3. （多选）如图所示，倾角的固定斜面上，从顶端以初速度水平抛出一个小球，小球在空中运动一段时间后落回斜面。不计空气阻力，，，重力加速度大小取。关于小球的运动，下列说法正确的是（     ） A．在空中运动的时间为1.5 s B．落回斜面时的速度大小为15 m/s C．离斜面最远时的速度大小为12.5 m/s D．从抛出到落回斜面过程，速度变化量大小为7.5 m/s 【答案】AC 【详解】A．由平抛运动的规律可知 解得在空中运动的时间为t=1.5s，A正确； B．落回斜面时的速度大小为，B错误； C．离斜面最远时速度方向平行斜面，则此时的速度大小为，C正确； D．从抛出到落回斜面过程，速度变化量大小为，D错误。 故选AC。 4. 将一个小球在离水平地面高h的P点以一定大小的初速度水平抛出，小球落地时的水平位移大小为x；保持小球在P点抛出的初速度大小不变，方向改为与水平方向成37°斜向上，小球落地时的水平位移大小仍为x，已知，。则等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设小球第一次水平抛出的初速度大小为，落地时间为，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动，因此竖直位移满足 水平方向位移满足 第二次以同样速率、与水平方向成角斜向上抛出，设落地时间为。由于水平位移不变，有 联立两次水平位移关系，得 取竖直向上为正方向，第二次运动的竖直位移为，由匀变速直线运动的位移关系得 代入前述各式，得 整理得 因，所以 故选B。 5. 在某次空军演习中，歼-20轰炸机以水平速度投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，如图所示。已知山坡倾角为，重力加速度大小为，忽略空气阻力，则炸弹下落的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】炸弹做平抛运动，设下落时间为，水平方向速度大小为，竖直方向速度大小为，下落高度为。炸弹击中时速度垂直于斜面，斜面与水平方向夹角为，因此速度分量满足 解得 代入下落高度关系得 故选A。 6. 如图所示，某同学对着竖直墙壁练习投篮，他从离地面一定高度的A点以大小为的初速度斜向上抛出质量为m的篮球（图中未画出，视为质点），结果篮球刚好垂直打在竖直墙壁上的O点，反弹后经过与A点在同一水平线上的B点。O点和A点的高度差为h，A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，篮球与墙壁接触的时间为t，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小为 B．篮球刚接触O点时的速度大小为 C．篮球经过B点时的速度大小为 D．篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小为 【答案】C 【详解】A．因为篮球垂直打在墙壁上，所以篮球从A点到O点的运动可视为平抛运动的逆运动，设篮球从A点运动到O点所用的时间为，则 篮球从A点被抛出时竖直方向上的分速度大小 解得，A错误； B．篮球刚接触O点时的速度大小，B错误； C．篮球离开O点后做平抛运动，因为A点到墙壁的距离为B点到墙壁的距离的2倍，所以篮球刚离开O点时的速度大小 可得篮球经过B点时的速度大小，C正确； D．根据牛顿第二定律可得，篮球在与墙壁接触过程中所受墙壁的平均水平作用力大小，D错误。 故选C。 【培优拔高】 7. 五岳为群山之尊，泰山为五岳之长。甲、乙两位同学登临泰山，在山上做了个平抛运动的游戏。如图所示，甲、乙分别以、的速度沿同一水平方向抛出相同的小石子，小石子抛出点的高度差为且在同一竖直线上，不计空气阻力，下列条件中有可能使两小石子相碰的是（     ） A．甲先抛出，且 B．甲先抛出，且 C．同时抛出，且 D．甲后抛出，且 【答案】B 【详解】竖直方向由 可得运动时间为 甲的抛出点更高，若两石子相碰，相碰点的位置必然在乙抛出点的下方、甲抛出点的下方，说明甲的竖直下落距离更大，因此甲的总运动时间一定比乙长，所以必须甲先抛出。 两石子从同一竖直线抛出，相碰时水平位移相等，即 已知运动时间，因此必须满足，才能让水平位移等式成立。 故选B。 8. 一种定点投抛游戏可简化为如图所示的模型，以水平初速度v从O点抛出小球，正好垂直落入倾角为θ的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球在P点时的竖直分速度为vsinθ B．小球在P点时的竖直分速度为vtanθ C．小球从O点到P点过程的竖直位移为 D．小球从O点到P点过程的竖直位移为 【答案】D 【详解】AB．小球垂直落入斜面，说明小球在P点的速度方向与斜面垂直。将速度方向分解为水平分速度和竖直分速度，则速度方向与竖直方向的夹角等于斜面倾角，由几何关系可得 可得，故AB错误； CD．平抛运动竖直方向为自由落体运动，根据 可得运动时间 竖直位移 解得，故C错误，D正确。 故选D。 9. 如图甲，投壶是古代“六艺”之一。如图乙，A、B两位投者在同一高度的不同位置、沿水平方向各射出一支完全相同的箭，箭都插入壶中。忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，则两支箭（     ） A．在空中运动时间不相同 B．在空中运动的加速度不同 C．射出时的初速度相同 D．插入壶中瞬间竖直分速度相同 【答案】D 【详解】A．箭在空中做平抛运动，竖直方向有，解得，h、g相同，则两支箭在空中运动时间相同，故A错误； B．平抛运动的加速度都为重力加速度g，故B错误； C．水平方向有，由于水平位移不同，运动时间相同，则射出时的初速度不同，故C错误； D．根据竖直方向的运动规律可知，相同，则两支箭插入壶中瞬间竖直分速度相同，故D正确。 故选D。 10. 某次军事演习中，在，两处的炮兵向正前方同一水平面上的目标发射炮弹，要求同时击中目标。若忽略空气阻力，炮弹轨迹如图所示，下列说法正确的是（     ） A．若两颗炮弹运动的最高点高度相等，则处发射炮弹运动时间长 B．若两颗炮弹运动的最高点高度相等，则处发射炮弹的初速度大 C．若点射出的炮弹的运动时间更长，则处发射炮弹到达的最高点更低 D．若点射出的炮弹的运动时间更长，则处射出的炮弹竖直方向初速度更大 【答案】D 【详解】A．斜上抛运动可看成关于最高点对称的两平抛运动，因最高点高度相等，由可知P、Q两处射出的炮弹运动时间相等，故A错误； B．若两种斜抛运动的最高点在同一高度，则相同，P、Q两处的初速度在竖直方向的分速度相等，而P到O的水平位移大于Q到O的水平位移，则P水平方向分初速度大于Q水平方向的分速度，而发射初速度为，则P处射出的炮弹的初速度大，故B错误； C．若Q点射出的炮弹的运动时间长，由可知，处发射炮弹到达的最高点更高，故C错误， D．由竖直初速度可知运动时间更长，则竖直方向初速度更大，故D正确。 故选D。 11. （多选）我国将在2030年前后实现航天员登月计划并在月球上进行相关的科学探测与实验。如图所示，若航天员从倾角为θ的斜面顶端A处，沿水平方向以初速度抛出一小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。已知小球运动到P点时离斜面最远，月球表面的重力加速度为g，则下列说法中错误的是（     ） A．小球到达P点的速度大小为 B．小球从A点运动到P点的时间为 C．小球从A点运动到B点的时间为 D．A、B两点间的竖直距离为 【答案】ACD 【详解】A．小球到达点时速度方向平行于斜面，大小为，故A错误； B．小球到达点时速度方向平行于斜面，根据几何关系 解得小球从点运动到点的时间为，故B正确； CD．从到小球做平抛运动，根据 可得小球从点运动到点的时间为 则两点间的竖直距离为，故CD错误。 故选ACD。 12. 如图所示，一个人用一根长1m且最大只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球（可视为质点），在竖直平面内做圆周运动，已知圆心O离地面高。转动中小球在最低点时绳子刚好断了（取）。求： (1)绳子断时小球运动的角速度为多大？ (2)绳断后，求小球落地点与抛出点间的水平距离。 (3)小球落地时重力的功率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在最低点时，由牛顿第二定律 代入，，， 得 （2）绳断时小球的速度大小 绳断时小球离地高度 小球做平抛运动，竖直方向 得 水平距离 （3）落地时竖直分速度 重力的功率 13. 跳台滑雪是勇敢者的运动，它是利用山势特别建造的跳台所进行的。运动员穿专用滑雪板，在助滑路上获得高速后飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，设一位运动员由点沿水平方向跃起，到点着陆时，测得间距离，山坡倾角。不计空气阻力，取，求： (1)运动员在空中飞行的时间； (2)运动员起跳的速度； (3)运动员经多长时间离坡面距离最大最大有多大？ 【答案】(1) (2) (3)1s， 【详解】（1）运动员由点沿水平方向跃起后做平抛运动，其位移为，根据平抛运动规律，竖直方向有 （2）运动员由点沿水平方向跃起后做平抛运动，其位移为，根据平抛运动规律，水平方向有 解得 （3）设运动员经时间离坡面距离最大，速度与斜面平行时离坡面距离最大时，有 解得 把初速度和加速度分别沿方向和垂直于方向分解，运动员在垂直于方向上做匀减速直线运动，则运动员离坡面距离最大值。 第 45 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $