第08讲 二次函数压轴拓展（核心知识+8易错辨析+7典例精讲）2026-2027学年人教版 九年级数学上册

该初中数学讲义通过核心知识框架、易错辨析表格系统梳理二次函数压轴题知识体系，将角度定值、动点综合等核心方法按“方法原理-条件翻译-模型应用”递进组织，用表格归纳8类易错点及正解，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于“方法-题型-变式”三阶练习设计，如题型一通过K型模型证明45°角，培养推理意识，题型四动点面积问题用参数设点法转化为二次函数最值，发展模型意识。每个题型配中考真题及变式，基础生可掌握通法，优秀生能深化模型应用，助力教师实施分层教学与精准复习。

第08讲 二次函数压轴拓展 （核心知识+8易错辨析+7典例精讲） 【知识点01】角度定值类核心方法 命题特点：点在运动，但某一个角始终等于固定角度(45°、30°、60°或已知定角）。 1.构造直角三角形，利用正切相等 动点变化，但角所对应的直角三角形两条直角边比值不变，则角度为定值。 2.全等、相似三角形法 挖掘不变的全等或相似关系，推导出角度恒定不变。 3.等腰、直角三角形判定 通过边长关系证明等腰三角形、直角三角形，得到(45°、90°)等定值角。 4.一线三垂直（K 型）模型 处理(45°、90°)高频模型；以角度顶点作水平、竖直垂线，构造 K 型全等或相似。 5.角的和差转化 把目标角拆成两个已知定角的和或者差，两个角均不变，则目标角为定值。 重要结论：锐角相等，则正切值相等；正切值相等，则锐角相等。钝角不能直接套用，需要研究补角。 【知识点02】动点综合核心方法 动点常见类型：抛物线上动点、对称轴上动点、直线上动点；分为单动点、双动点。 1.参数设点法 设动点横坐标为参数t，把线段、角度、面积全部写成含t的代数式，建立方程求解。 2.分类讨论思想 按位置分类：点在对称轴左侧 / 右侧；点在x轴上方 / 下方；图形存在的不同情形。 3.转化思想 面积问题：割补法、铅锤高 × 水平宽； 线段最值：将军饮马模型、二次函数求最值； 存在性问题：转化为方程解是否存在。 1.坐标几何化 把几何条件翻译成代数等式： 垂直⇒勾股定理；角度条件⇒正切相等；平行⇒竖直差与水平差比值相等。 【知识点03】角度定值 + 动点综合条件翻译 1.∠APB=45°：构造 K 型模型，tan∠APB=1 2.∠APB为定值：转化为直角三角形直角边比值为常数 3.动点P满足∠ PAB等于已知角：tan∠ PAB=常数 4.双动点：引入两个参数，寻找参数之间约束关系式。 易错点 错误表现 正确做法 直接使用斜率 解题直接写斜率k，中考容易扣分 改用水平、竖直线段计算正切比值 正切相等直接等同于角相等 不区分锐角、钝角，钝角正切也可为正数 只在锐角范围内使用等价关系；钝角转换为补角分析 设参忽略自变量范围 只写出动点P(t,y)，不标注t取值范围 写明参数取值范围，解完检验，舍去增根 角度条件漏分类 只计算一种位置，忽略点上方、下方、左侧、右侧 结合几何图形，分多情况讨论 K 型模型构造错误 不看角度顶点，盲目画垂线 以角度顶点作水平、竖直垂线搭建 K 型 求解完成不检验 算出参数直接写答案 代回解析式验证，剔除不符合题意的解 忽略图形存在性 保留三点共线的解，无法构成三角形 检验三点是否共线，共线解必须舍去 角的和差混淆 分不清内角、外角，认错目标角 画图标记目标角，区分内角与外角 【题型一】证明某角为固定度数（45°、90°高频） 【例1】．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是． (1)求该抛物线的解析式； (2)经过的直线轴，过点B作于点H． ①求证：A，D，H三点共线； ②M是抛物线上一点，且，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)①在中，当时，解得或， ∴， ∵经过的直线轴，过点B作于点H， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点在直线上， ∴A，D，H三点共线； ② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数的性质，求二次函数解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）利用对称轴公式求出；代入点C坐标即可求出c，进而求出解析式； （2）①先求出A、B坐标，进而求出点H坐标，再求出直线解析式，最后验证点H是否在直线上即可；②取，连接，可证明是等腰直角三角形，且，则，即直线与抛物线的交点即为点M，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①略 ②如图所示，取，连接， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴直线与抛物线的交点即为点M， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为． 【变式1】．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，，求证：； (3)点在抛物线上，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 证明：如图， ∵， ∴ 点的坐标为， 令，则，解得，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵， 即，，， ∴， ∴； (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断三边能否构成直角三角形、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据顶点式求出点的坐标，然后令求出点A的坐标，然后根据两点间距离公式求出、、，然后利用勾股定理的逆定理解题即可； （3）分为点F在下方和点F在上方两种情况，求出直线的解析式，联立解方程即可． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， （2）略 （3）解：如图，当点F在下方时，设与交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∵ 则 ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组 得或， ∵， ∴点的坐标为； 当点F在上方时，如图， 则直线， 设直线的解析式为， 代入和得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组 得或， ∵ ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法解一次函数和二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【变式2】．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式． （2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标． （3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．    【答案】（1）y=；（2）（，）；（3）证明见解析 【知识点】角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入即可求出结论； （2）先求出点B的坐标，过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G，利用AAS证出△AHB≌△BGQ，即可求出点Q的坐标，利用待定系数法求出直线AQ的解析式，然后联立方程组即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为（m，），利用对称性即可求出点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，联立方程组即可求出点D的坐标，从而求出直线MD的解析式，从而求出点E、F的坐标，即可证出结论． 【详解】解：（1）由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为 将点A（-4，0）代入，得 解得： ∴这个抛物线的解析式为=； （2）将x=-1代入中，解得y= ∴点B的坐标为（-1，） 过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G    ∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90° ∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90° ∴∠ABH=∠BQG ∵∠PAB=45°， ∴△ABQ为等腰直角三角形 ∴AB=BQ ∴△AHB≌△BGQ ∴QG=BH=，BG=AH=-1－（-4）=3 ∴GH=BG－BH= ∴点Q的坐标为（-1＋，）=（，） 设直线AQ的解析式为y=kx＋b 将点A和点Q的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AQ的解析式为 联立 解得：或（符合点A的坐标） ∴点P的坐标为（，）； （3）设点M的坐标为（m，） ∴点N的坐标为（m，） 设直线AN的解析式为y=cx＋d 将点A和点N的坐标分别代入，得 解得： ∴直线AN的解析式为 联立 解得：或（符合点A的坐标） ∴点D的坐标为（，） 设直线MD的解析式为y=ex＋f 将M、D的坐标分别代入，得 解得： ∴直线MD的解析式为y=x＋ 将x=0代入y=x＋中，解得y=；将y=0代入y=x＋中，解得x= ∴点E的坐标为（0，），点F的坐标为（，0） ∴OE=OF= 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、联立方程组求点的坐标是解题关键． 【变式3】．（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． (3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的周长为 (3)的取值范围为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】(1)将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)求出抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点两点的坐标，根据对称性可得两点关于对称轴对称，连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即可求出的周长，然后求出直线的函数表达式，进而即可得点的坐标； (3)分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于的一元二次方程，由符合条件的点的个数有2个可得，解不等式结合已知条件即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线上， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）， 抛物线的对称轴为直线， 由，得，， ，， 由得，， ， ∴由勾股定理得，， ， 两点关于对称轴对称， 连接，交对称轴于点，连接，如图， ， ，由两点之间，线段最短，此时取得最小值，即为的长， 是定值， 的周长此时最小为， 设直线的函数表达式为， ，解得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）解：， ，， ， ， ， 整理得：， 符合条件的点的个数有2个， ， ， 解得：， ， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质的综合应用，勾股定理，求一次函数解析式，根的判别式，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【题型二】两角相等（角度定值衍生） 【例2】．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】(1)C点的坐标为 (2)D点的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、角度问题(二次函数综合) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； （2）设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 【例3】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 【变式1】．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 【变式2】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把点，点，点代入解方程组即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，取的中点，连接，作于，轴于，如图，设，根据三角形面积公式得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到； （3）设，求得，求得直线的解析式为，得到，，同样可得直线的解析式为，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：把点，点，点代入 得， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）当时，，则， ， 取的中点，连接，作于，轴于，如图1， 设， ， ， ， ， 为斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得， ； （3）设， 与两点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为， ， 同样可得直线的解析式为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和直角三角形斜边上的中线性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；理解坐标与图形的性质．在中构建是解决问题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·海南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点，P是抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点向下平移8个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)连接BC，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)m的值为2； (3)点P的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据两点式即可求得抛物线的表达式； （2）先求得点平移后点的坐标为，再代入，得到关于的一元二次方程，解之即可求解； （3）过点作交轴于点，连接交抛物线于点P，则，求得点的坐标，再求得直线的解析式，联立两解析式，即可求得点P的坐标；再点关于原点的对称点，连接交抛物线于点P，同理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意得，点平移后点的横坐标为， ∵恰好落在的图象上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴m的值为2； （3）解：过点作交轴于点，连接交抛物线于点P，则， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点P的坐标为； 作点关于原点的对称点，连接交抛物线于点P，则， 则，同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，平行线的性质，点的平移，熟练掌握待定系数法，平行线的性质是解题的关键． 【题型三】角度和差为定值 【例4】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、角度问题(二次函数综合) 【分析】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H，证明，可得，，即知直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求解即可到P点坐标. 【详解】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H， ∴， 为等腰直角三角形， ∴. 当时，， ∴. ∵点E的坐标为， ∴. ∵， ， ， ∴， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得 ∵点P在第一象限， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，二次函数的性质，等腰直角三角形性质等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D坐标为 (2)m＝或 (3)存在， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可； （3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）将点代入抛物线中 得 解得： ∴抛物线解析式为 ∴顶点D坐标为； （2）令 解得， ∴ ∵P的横坐标为且 ∴ ∴将代入 ∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为； ①如右图所示，当点P在x轴上方时， 则，即 此时：， 解得：，符合题意； ②如右图所示，当点P在x轴下方时， 则，即 此时： 解得：，（舍去） ③当点P在x轴上时， 则，即 此时：（或），解得：（舍去） 综上所述，或； （3）存在点P，使，点P的坐标为 理由如下： 如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为，过， ∴直线的解析式为 ∵ ∴设直线的解析式为 将代入得 解得： ∴直线的解析式为 由 解得：，（舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键． 【变式2】．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最大值为 (3)或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据成轴对称图形的特征进行求解、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点，，然后根据对称的性质得到点的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点P作轴于点Q，设点P的坐标为，根据列方程，求出点P的坐标，然后作点C关于y轴的对称点F，连接，，根据，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值，利用勾股定理解题即可； （3）分点N在y轴左侧和右侧两种情况讨论，根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质，然后利用平面上两点间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，当时，，令，则， ∴，， 又∵为中点，点为点关于轴的对称点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴， 过点P作轴于点Q， 设点P的坐标为， ∴， 即， 整理得：， 解得（舍去），， ∴点P的坐标为， 如图，作点C关于y轴的对称点F，连接，， 则点F的坐标为，且， ∵，即当P、E、F三点共线时取等号，有最大值， 最大值为， ∴的最大值为； （3）解：∵， ∴， 如图，当点N在y轴左侧时， 当时，则， ∴，即， 设点N的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； 如图，当点N在y轴右侧时，在x轴下方直线上取点P，使得，过点D作，垂足为G， 当时，则， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点N的坐标为， ∴， ∴， 解得：，则； ∴点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形的面积以及轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式3】．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线的顶点，求出的面积； (3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点和代入可得，再解方程组可得答案； （2）如图，连接，记与轴的交点为，求解及的解析式，再求解的坐标，最后利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：将点和代入可得： ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵， ∴， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，解得， ∴， ∴. （3）解：如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， 解得：或， ∴， 如图，关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与图形面积，二次函数与角度问题，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【题型四】动点+面积问题 【例5】．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接， ，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少． 【答案】(1) (2)，面积最大为16 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用矩形的性质结合，的长度可得出点A，C，B的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点E的坐标，连接，过点P作轴，交于点F，交于点G，设点P的坐标为，利用，即可得出关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求出结论． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∴点， ∵抛物线经过点B，且与x轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如答图1，连接，过点P作轴，交于点F，交于点G， 当时， 解得，， ∴， 设直线为， 将代入可得， ， 解得， ∴直线为， 设点P的横坐标为m，则， ∵轴，点F在上，点G在上， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴函数有最大，当时，， 此时四边形的面积最大为16． 【点睛】本题考查了矩形的性质、待定系数法二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质、解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）利用分割图形求面积法，找出四边形的面积关系m的函数关系式． 【例6】．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②点的坐标是，面积的最大值是8 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，铅锤法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，根据，列出方程求的值即可求点坐标； ②设，过点作轴交于点，则，由此可得，当时，面积的最大值是8，此时点的坐标是． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，把，两点代入， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）①当时，， ∴， 设， ∵，， ∴， 解得：或（舍）， ∴点的坐标为； ②设直线的解析式为：，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点为第一象限内抛物线上一动点， ∴设，连接，，过点作轴交于点，如图： ， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是8． 把代入，， ∴此时点的坐标是； 【变式1】．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点P的坐标为 (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由待定系数法求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线，交于Q，设，则，则， ，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，过点M作于点N，证得是等腰直角三角形，可得，从而得到，当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长，再由，解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点P作y轴的平行线，交于Q， 设，则，则， ∴ ， 即当时，的面积最大，最大为， 即的最大面积为，此时点P的坐标为； （3）解：如图，连接，过点M作于点N， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即当点A，M，N三点共线时，取得最小值，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点D的坐标为； (2)的面积的最大值为8，； (3)点P的坐标为或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了二次函数的面积综合，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、分别代入，进行计算，得抛物线的解析式为，再结合直线，列方程计算，即可作答． （2）先表示，，得出，故，当时，的面积的最大值为8，此时，即可作答． （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的解析式为与直线交于B、D两点， ∴， 解得 ∴把代入，得， ∴点D的坐标为， （2）解：如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， ∵轴于H， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由（2）知， ∴点H的坐标为， 由（1）可知， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或. 【变式3】．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点，四边形的面积最大为 (3)， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解； （3）作点关于轴的对称点，作点关于于点，则点为所求点，进而求解． 【详解】（1）解：对于，令，解得， 令，则， 故点的坐标分别为， 将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故； （2）解：∵轴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形的面积最大为， 此时， 故点； （3）解：作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接分别交轴于点交轴于点，则点为所求点， 理由：四边形的周长为最小， 由可得顶点， ∴关于轴的对称点， ∵在抛物线上， ∴， ∴点关于轴的对称点， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴． 【题型五】动点+线段最值 【例7】．（25-26九年级上·全国·周测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)5 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【详解】解：（1）∵抛物线交x轴于两点， ∴设抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）如图，过点O作关于直线的对称点，连接． ， ． ， ． ∵点关于直线对称， 垂直平分， ∴四边形是正方形， ∴点的坐标为． ， 的最小值为． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)长度的最大值为． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键． （1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可； （2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可； （3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可． 【详解】（1）解：代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）如图，过点作轴交轴于点，则， 设，则， 轴， 轴， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ， ， ， 解得：（舍），， 点的坐标为． （3）设，， 设的解析式为， 代入得，， ， ， 联立， 消去整理得：， 与抛物线只有唯一公共点， ， 整理得：， 解得：， ， 同理可得，， 联立与可得交点； ， ， ， ， ， ， 当时，， 即经过定点， ， ， 当时，长度有最大值， 线段长度的最大值为． 【变式2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为， (2)10 (3)线段的最大值是4，此时点P的坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）由A、B、C的坐标得，再根据三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法即可求得直线的解析式为，设，则，即可得出，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：把，，代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令，则或4， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ； （3）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 直线的解析式为， 设， ∵轴， ， ， 当时，，此时， 线段的最大值是4，此时点P的坐标为． 【变式3】．（24-25九年级·广东中山·期中）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）由，得，，分别表示出，，由，建立方程，，解方程即可得到答案； （3）如图所示，连接，设点N到的距离为d，设，同理得到，利用勾股定理求出，根据，最大值为8，得，推出，即d的最大值为 【详解】（1）解：直线中，时，；时，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∵抛物线经过点A，B， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵设点（），则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或4（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：点N到直线的距离为d， 求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如下图所示， ∵点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； 【题型六】动点+特殊图形存在性 【例8】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段垂直平分线的性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题． （1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出． （2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得． 【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入中，得： ， 解得：； ∴抛物线：． （2）解：存在．理由如下： 作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，      则． ∵沿翻折，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的纵坐标为， 把代入得，解得． ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为． 【例9】．（24-25九年级·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)存在，P（或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）将点，点，代入，然后求解即可； （）设点，交于点，然后根据菱形的性质得，，最后解方程即可； 此题考查了待定系数法，二次函数与特殊四边形等知识，掌握知识点的应用及数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， （2）解：存在，如图，设点，交于点， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得，， ∴或． 【变式1】．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线． (1)求的值及，两点的坐标； (2)已知点在直线上运动． ①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？ ②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，与，距离之和最短，最短为； ②抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据对称轴直线可得，由此得到二次函数解析式，根据二次函数与坐标轴的交点的计算可得的坐标； （2）①如图所示，连接交对称轴直线于点，则有的最小值即为的值，运用勾股定理可得，运用待定系数法可得直线的解析式，当时可得点的坐标，由此即可求解；②设，根据平行四边形的性质，运用对角线中点坐标，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴直线， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， 令，则， ∴， 令，则，即， 解得，， ∴； （2）解：①如图所示，连接交对称轴直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的最小值即为的值， 由（1）可得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时， ∴当时，与，距离之和最短，最短为； ②存在，理由如下， 点是抛物线上的一点，点的横坐标为， 设， 第一种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴对角线的中点的横坐标为， ∴对角线的中点的横坐标为， 解得，， 则， ∴； 第二种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 此时点与点重合，不符合题意； 第三种情况，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴， 解得，， 则， ∴； 综上所述，抛物线上存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数对称轴直线的计算方法，二次含与坐标轴交点的计算方法，轴对称最短路径的计算，二次函数与平行四边形的综合，中点坐标的计算方法是解题的关键． 【变式2】．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．      (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，根据待定系数法即可得出二次函数解析式； （2）将二次函数解析式转化为顶点式，即可得出顶点坐标； （3）设点的坐标为，分别表示出，，，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， ∵图象经过，， ， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）， ∴这个二次函数的顶点的坐标为； （3）由（2）知该二次函数的对称轴为， 设点的坐标为， ，，， 当是以为斜边的直角三角形，则， 即， 解得，， ∴存在满足条件的点，坐标为或． 【变式3】．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作于点，轴于点，交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限内新抛物线上的点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，，请求出点的坐标． (4)在（3）的条件下，点是新抛物线的对称轴上一点，在轴上是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3) (4)存在点Q，点的坐标或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把点，点代入即可求解； （2）根据题意可得，是等腰直角三角形，并求出直线的解析式为：，可得是等腰直角三角形，则，设，则，，且，，，结合二次函数图象的性质即可求解； （3）根据抛物线的平移可得，，，并求出直线的解析式，过点作，交抛物线与点，运用待定系数法求出直线的解析式，再联立新抛物线为方程组即可求解． （4）分两种情况：当时或当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时，根据平行四边形性质分别求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， 代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，，即， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：存在点，点的横坐标为，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； （4）解：新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ，，点在轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如下图： ，则， 点M向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 同理，得，则； 当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时， 则， ，则， ， ； 综上所述，存在点Q，点的坐标或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键． 【题型七】动点+角度综合（高频压轴） 【例10】．（24-25九年级上·海南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点，P是抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点向下平移8个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)连接BC，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)m的值为2； (3)点P的坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据两点式即可求得抛物线的表达式； （2）先求得点平移后点的坐标为，再代入，得到关于的一元二次方程，解之即可求解； （3）过点作交轴于点，连接交抛物线于点P，则，求得点的坐标，再求得直线的解析式，联立两解析式，即可求得点P的坐标；再点关于原点的对称点，连接交抛物线于点P，同理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意得，点平移后点的横坐标为， ∵恰好落在的图象上， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴m的值为2； （3）解：过点作交轴于点，连接交抛物线于点P，则， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点P的坐标为； 作点关于原点的对称点，连接交抛物线于点P，则， 则，同理求得直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数、二次函数的解析式，平行线的性质，点的平移，熟练掌握待定系数法，平行线的性质是解题的关键． 【例11】．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1) (2)面积的最小值为，此时 (3)存在， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，角度问题； （1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）过点作轴交于点，进而得出的表达式，根据三角形的面积公式得出面积，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得直线的解析式，得出，根据已知可得，取点，连接，得出，进而可得，即点在直线上，求得的解析式，联立抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得 解得：， ∴抛物线解析式为： （2）由，当时，， ∴， 设直线解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线解析式为， 如图所示，过点作轴交于点， 设，则，点是直线上方拋物线上一动点， ∴， ∴面积为 ∴当时，面积的最大值为， ∴ （3）设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵已知直线与轴分别相交于点， ∴， ∴ ∵ ∴ 如图所示，取点，连接，则， 又， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形，则 ∴， ∴点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为 联立 解得：或（舍去） ∴． 【例12】．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为，， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）把，代入，再建立方程组解题即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可； （3）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时， 当，为对角线时，再利用中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， ， 解得：， ． （2）解：抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设， 则 解得， ∴P点的坐标为或 （3）解：设的横坐标为，则的坐标为 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴， 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 点的坐标为，，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)最小值为 (3)P的坐标为或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； （2）当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； （3）∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴      又∵    ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 【变式2】．（2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在．点G的坐标为或； 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解一元二次方程，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求得，，，再利用待定系数法求解即可； （2）用表示出和，根据，列方程，解之即可得解； （3）分两种情况讨论，点在轴下方和上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或； 令，则，解得或； ∴，，， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点，且， ∴点，， ∴，， 由题意得， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：点在轴下方时，如图，    ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程， 得或， 此时点G的坐标为； 点在轴上方时，如图，    ∵， ∴， 同理求得直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 联立， 整理得， 解得或， 此时点G的坐标为； 综上，点G的坐标为或； 【变式3】．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴， ∴， 将点代入得：， 解得， 则抛物线对应的函数表达式为． （2）解：由（1）可知，， ∵，， ∴， 设点的坐标为， ∴的面积为，的面积为， ∵的面积等于面积的， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为． （3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则， ∵轴， ， ， ∴， 当时，， 解得或， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， ∴点的坐标为； ②如图，在轴下方作，交轴于点， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 综上，存在点，使得，此时点的坐标为或． 1.二次函数角度压轴题，初中不允许直接使用斜率；统一转化为直角三角形正切比值、K 型全等相似求解。 2.角度定值本质：动点运动，但直角三角形直角边比值恒定，代数式消去参数t，正切不变，则角度不变。 3.动点综合通用解题流程： 参数t表示动点坐标 → 几何条件翻译为代数方程 → 解方程 → 分类讨论 +检验取舍。 4.两个必备解题习惯：①画图，区分点上下、左右、内外角；②解后检验，剔除增根、三点共线、超出定义域的解。 5.核心模型记忆：K 型模型处理45°、90°；锐角相等等价正切相等；动点优先使用参数设点法。 6.易错重申：正切相等不等于角一定相等，务必区分锐角、钝角；动点问题分类讨论不可省略。 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．    (1)求点的坐标和抛物线的函数解析式； (2)记抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的函数解析式为 (2)存在，此时点的坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、等腰三角形的定义，熟练掌握待定系数法和二次函数图象的平移规律是解题关键． （1）将点代入可求出抛物线的解析式，从而可得点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得抛物线的函数解析式； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，分别求出的长，从而可得，则分两种情况：①和②，据此建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴点的坐标为， ∵将抛物线向右平移4个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：对于抛物线， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴或， 抛物线的对称轴为直线， ∴可设点的坐标为， 由（1）已得：点的坐标为， ∴，，， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时点的坐标为或； ②当时，是等腰三角形， ∴，即， 解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，在直线上存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，此时点的坐标为或或或． 2．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①②存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，进而求出的坐标即可； （2）①求出平移后的解析式，进而求出点的坐标，利用两点间的距离列出函数关系式即可；②先求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，解得：，当时，， ∴，； （2）①∵， ∴平移后的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即：； ②存在，由题意，点为点向左平移个单位得到， ∴， ∴， 当时，则：， 解得：或（舍去）． 故． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①，；② 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案；②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将、代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式； （2）解：①由（1）知二次函数的关系式， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将、代入得， ，解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， 、， 的面积为， 、， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若为该抛物线上一动点（与点不重合），当点在直线的下方运动． ①求面积的最大值； ②连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）将两点分别代入列方程计算即可； （2）①过点作轴的平行线，交于点，连接，，先求出直线的函数解析式为，再设点，则点，根据求面积最大值即可； ②由，得到，设点，则，或，再根据点在抛物线对称轴右侧或左侧时，列方程求出，的值即可． 【详解】（1）解：将两点分别代入，得 ， 解得， 该抛物线的函数解析式为． （2）解：①如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，． 设直线的函数解析式为． 将两点分别代入，得 ， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ， ， ，且， 当时，的面积有最大值，最大值为． ②∵抛物线的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为 将代入，得 ， 解得， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 设点， ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点， ∴，或， 当点在抛物线对称轴右侧时，， ， ， ，，或． 当点在抛物线对称轴左侧时，， ， ， ，，或与点在直线的下方矛盾，应舍去． 所以，点的坐标为或． 5．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3），由时，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ， ， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴点， ∵抛物线经过点A，B， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：轴， ， ， 点， 点，则点， 则， 当时，最大．， ； （3）解：根据题意得，， 由（2）得，， ， ， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的横坐标为或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形性质理解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于的方程组，求解即可； （2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则， ，， ∵构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握二次函数与几何图形的综合运用，矩形的性质是解题的关键． 7．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，取最大值，点P的坐标为 (3)存在，P坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：①若为平行四边形的边， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或； ②若为平行四边形的对角线， ∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)2； (3)； (4)存在，． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）根据对称轴求出a，再将点B的坐标代入关系式求出c即可； （2）根据相似三角形的性质得出轴，再求出，即可得出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点P的坐标，即可表示点M的坐标，进而表示，然后作，则，并表示，再根据勾股定理求出m，可得答案； （4）先求出点P，M的坐标，进而求出直线的关系式，即可表示出点Q，K，再说明只能是四边形为矩形，然后根据平移的性质求出点的坐标，并根据勾股定理验证即可. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴轴． ∵， ∴． 将代入中， 得， 解得，， ∴，． ∴； （3）解：设直线的表达式为，将点B代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则， ∴． 由题意知． 如图，过点C作，则， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（舍去），， ∴； （4）解：存在，． 理由如下：由（3）可知，，． 设直线的解析式为，将代入得， ∴． 设，， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴，，． ∵点C先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 则四边形为矩形，满足题意， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，坐标与图形等，会用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法，把点，，代入，求出b、c即可； （2）过点P作交直线于点H，根据，代入相应点的坐标即可求出答案； （3）过点C作交轴于点K，将转化为，证明，得到，点坐标为，由此可得直线解析式为，进而得出，联立抛物线与直线解析式求出点，即可求解 【详解】（1）解：将点，，代入得 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵时，，， ∴点，设直线解析式，得，解得， ∴直线解析式， ∵点Р在抛物线上， ∴， 过点P作轴，交延长线于点H，则， ∴． ． （3）过点C作交轴于点K， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， 设直线解析式，得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为，设直线解析式，得，解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为，把得，解得， ∴设直线解析式为， 联立抛物线与直线解析式得： ，解得，， ∴点， ∴ 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，综合性较强，熟练掌握上述知识、合理添加辅助线、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）设，则，，由得：，得到，求解即可； （3）当时，，则，而对称轴为直线，即可求点． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：记对称轴交轴于，交于点，作于点，    抛物线对称轴为：直线， 把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∵， 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图： 当时， ， ∴， 抛物线对称轴为：直线， ∴． 11．（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值为4， (3)或 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的平移问题、二次函数最值问题等知识点，掌握二次函数的图象的性质与分类讨论是解题的关键． （1）将点、代入求得b、c的值即可解答； （2）先求出点B的坐标，如图：过点C作于点E，求得，直线的解析式为，设，点D在直线上，则，进而求得，根据二次函数的性质求得最值以及m的值，进而求得M的坐标； （3）如图：取点，连接，则，进而证明，根据的解析式求得的解析式，进而联立抛物线解析式即可求得点P的坐标，当时，记与y轴的交点为K，也满足条件，证明，可得，求解为，进而联立抛物线解析式即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线与x轴交点的坐标为：，即点B的坐标为 如图：过点C作于点E， 设直线的解析式为，将点，， 代入得：，解得 ∴直线的解析式为 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，， ∴轴 ， ∴， 在中，， ∴，即， 在直线上方的抛物线上有一动点M， 设，则 ， ∴当时，的最大值为4，此时，即， ∴存在点M，使得取得最大值，最大值为4，点M的坐标为． （3）如图，取点，连接，则， ， ，， ， ， ∵， 设直线的解析式为 则，解得， ∴直线的解析式为 设直线的解析式为，过点， ∴，解得 ∴直线的解析式为 ∵P是抛物线上的一点，则P为直线与抛物线的交点，则 ，解得或（与点B重合，舍弃） ； 如图：当时，记与y轴的交点为K，也满足条件， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得：， ∴的解析式为， ∵是抛物线上的一点，则为直线与抛物线的交点，则 ，解得或（与点B重合，舍弃） ． 综上：P的坐标为或． 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先利用勾股定理求出，再分当，当时，当时，三种情况讨论求解即可； （3）分点在上方时和点在下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得： ∴ （2）解：∵，当时， ∴， 又∵， ∴， 当，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或； （3）解：当点在上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ∵， ∴； 当点在下方时，设交轴于点， 则，． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得：舍去，， ∴． 综上所述，点的坐标为或； 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键 13．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中，， （）， ，即， ， 是直角三角形； (4)存在，和 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解； （3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可； （4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； （2）过点作轴于，交于， ∵，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）略 （4）存在点，使．   当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 二次函数压轴拓展 （核心知识+8易错辨析+7典例精讲） 【知识点01】角度定值类核心方法 命题特点：点在运动，但某一个角始终等于固定角度(45°、30°、60°或已知定角）。 1.构造直角三角形，利用正切相等 动点变化，但角所对应的直角三角形两条直角边比值不变，则角度为定值。 2.全等、相似三角形法 挖掘不变的全等或相似关系，推导出角度恒定不变。 3.等腰、直角三角形判定 通过边长关系证明等腰三角形、直角三角形，得到(45°、90°)等定值角。 4.一线三垂直（K 型）模型 处理(45°、90°)高频模型；以角度顶点作水平、竖直垂线，构造 K 型全等或相似。 5.角的和差转化 把目标角拆成两个已知定角的和或者差，两个角均不变，则目标角为定值。 重要结论：锐角相等，则正切值相等；正切值相等，则锐角相等。钝角不能直接套用，需要研究补角。 【知识点02】动点综合核心方法 动点常见类型：抛物线上动点、对称轴上动点、直线上动点；分为单动点、双动点。 1.参数设点法 设动点横坐标为参数t，把线段、角度、面积全部写成含t的代数式，建立方程求解。 2.分类讨论思想 按位置分类：点在对称轴左侧 / 右侧；点在x轴上方 / 下方；图形存在的不同情形。 3.转化思想 面积问题：割补法、铅锤高 × 水平宽； 线段最值：将军饮马模型、二次函数求最值； 存在性问题：转化为方程解是否存在。 1.坐标几何化 把几何条件翻译成代数等式： 垂直⇒勾股定理；角度条件⇒正切相等；平行⇒竖直差与水平差比值相等。 【知识点03】角度定值 + 动点综合条件翻译 1.∠APB=45°：构造 K 型模型，tan∠APB=1 2.∠APB为定值：转化为直角三角形直角边比值为常数 3.动点P满足∠ PAB等于已知角：tan∠ PAB=常数 4.双动点：引入两个参数，寻找参数之间约束关系式。 易错点 错误表现 正确做法 直接使用斜率 解题直接写斜率k，中考容易扣分 改用水平、竖直线段计算正切比值 正切相等直接等同于角相等 不区分锐角、钝角，钝角正切也可为正数 只在锐角范围内使用等价关系；钝角转换为补角分析 设参忽略自变量范围 只写出动点P(t,y)，不标注t取值范围 写明参数取值范围，解完检验，舍去增根 角度条件漏分类 只计算一种位置，忽略点上方、下方、左侧、右侧 结合几何图形，分多情况讨论 K 型模型构造错误 不看角度顶点，盲目画垂线 以角度顶点作水平、竖直垂线搭建 K 型 求解完成不检验 算出参数直接写答案 代回解析式验证，剔除不符合题意的解 忽略图形存在性 保留三点共线的解，无法构成三角形 检验三点是否共线，共线解必须舍去 角的和差混淆 分不清内角、外角，认错目标角 画图标记目标角，区分内角与外角 【题型一】证明某角为固定度数（45°、90°高频） 【例1】．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是． (1)求该抛物线的解析式； (2)经过的直线轴，过点B作于点H． ①求证：A，D，H三点共线； ②M是抛物线上一点，且，求点M的坐标． 【变式1】．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，抛物线与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，，求证：； (3)点在抛物线上，当时，求点的坐标． 【变式2】．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）． （1）求这个抛物线的解析式． （2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标． （3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．    【变式3】．（24-25九年级上·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． (3)当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 【题型二】两角相等（角度定值衍生） 【例2】．（24-25九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【例3】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【变式1】．（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式2】．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：如图1，抛物线与轴相交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线第三象限上的一点，若，求点的坐标； (3)如图2，点为抛物线在点左侧上的一点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线、分别交轴于点、，求的值． 【变式3】．（24-25九年级上·海南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点，P是抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点向下平移8个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)连接BC，当时，求点P的坐标． 【题型三】角度和差为定值 【例4】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为． (1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图1，直线分别与轴，轴交于A，B两点，与二次函数在第二象限交于点．已知为中点，抛物线对称轴为直线，点为点关于轴的对称点，连接． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接和为轴上的一个动点，连接和，当时，求点的坐标及的最大值； (3)如图3，点直线上一动点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【变式3】．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线的顶点，求出的面积； (3)如图2．连接，点P是抛物线上的一动点，且满足，请直接写出点P坐标． 【题型四】动点+面积问题 【例5】．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴上，，，抛物线经过点B，且与x轴交于点和点E． (1)求抛物线的表达式； (2)若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接， ，当四边形的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形的最大面积是多少． 【例6】．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限内抛物线上一动点，连接，． ①当点运动到何处时，？请直接写出点的坐标； ②当点运动到何处时，的面积最大？求出点的坐标和面积的最大值． 【变式1】．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． 【变式2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【变式3】．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段检测）如图1，已知直线与坐标轴相交于、两点，经过点、的抛物线与轴交于点． (1)求抛物线解析式； (2)如图2，轴与抛物线相交于点，点是直线下方抛物线上的动点，过点且与轴平行的直线与交于点，试探究当点运动到何处时，四边形的面积最大，求点的坐标及最大面积； (3)若点为抛物线的顶点，点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形的周长最小，求出点的坐标． 【题型五】动点+线段最值 【例7】．（25-26九年级上·全国·周测）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点为线段上的动点． (1)求抛物线的解析式． (2)求的最小值． 【变式1】．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标； (3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值． 【变式2】．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图8，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)求的面积； (3)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【变式3】．（24-25九年级·广东中山·期中）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 【题型六】动点+特殊图形存在性 【例8】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例9】．（24-25九年级·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数解析式； (2)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线分别与轴、轴交于，和点，对称轴为直线． (1)求的值及，两点的坐标； (2)已知点在直线上运动． ①问当点在上什么位置时，与，距离之和最短，最短为多少？ ②抛物线上是否存在一点，使以、，、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，二次函数的图象和轴交点，，和轴交点．      (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数的顶点的坐标； (3)该二次函数图象对称轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作于点，轴于点，交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限内新抛物线上的点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，，请求出点的坐标． (4)在（3）的条件下，点是新抛物线的对称轴上一点，在轴上是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型七】动点+角度综合（高频压轴） 【例10】．（24-25九年级上·海南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点，P是抛物线上的一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点向下平移8个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)连接BC，当时，求点P的坐标． 【例11】．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）如图1，抛物线与轴相交于两点，抛物线与轴相交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)如图2，点是直线上方拋物线上一动点，求面积的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，已知直线与轴分别相交于点，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； 【例12】．（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【变式1】．（2024·山东济南·三模）如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． (1)求抛物线M的表达式和点A的坐标； (2)点F是线段上一动点，求周长的最小值； (3)平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【变式2】．（2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1.二次函数角度压轴题，初中不允许直接使用斜率；统一转化为直角三角形正切比值、K 型全等相似求解。 2.角度定值本质：动点运动，但直角三角形直角边比值恒定，代数式消去参数t，正切不变，则角度不变。 3.动点综合通用解题流程： 参数t表示动点坐标 → 几何条件翻译为代数方程 → 解方程 → 分类讨论 +检验取舍。 4.两个必备解题习惯：①画图，区分点上下、左右、内外角；②解后检验，剔除增根、三点共线、超出定义域的解。 5.核心模型记忆：K 型模型处理45°、90°；锐角相等等价正切相等；动点优先使用参数设点法。 6.易错重申：正切相等不等于角一定相等，务必区分锐角、钝角；动点问题分类讨论不可省略。 1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．    (1)求点的坐标和抛物线的函数解析式； (2)记抛物线的对称轴与轴交于点，在直线上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图1，将放置在平面直角坐标系中，使边与轴重合，点在轴上，已知，过三点画抛物线． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，将此拋物线沿水平方向向左平移个单位长度，得到的新抛物线记为L，L与轴交于点D，E（点在点的左侧），与轴交于点，设的长为d． ①求关于的函数解析式； ②在抛物线平移过程中，是否存在？若存在，求出的所有可能值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且点与点的坐标分别为、，点是抛物线的顶点．    (1)求二次函数的关系式； (2)点为线段上一个动点，过点作轴于点．设点的横坐标为，的面积为． ①求与的函数关系式，写出自变量的取值范围； ②求的最大值． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，抛物线经过两点，与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)若为该抛物线上一动点（与点不重合），当点在直线的下方运动． ①求面积的最大值； ②连接，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为是抛物线对称轴上的点，要使，求满足条件的点的坐标． 5．（24-25九年级上·吉林四平·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，点是线段上的一个动点（不与点O和点A重合），过点E作轴，交直线于点D，交抛物线于点P，连接． (1)求抛物线解析式； (2)当线段的长度最大时，求点P的坐标； (3)若线段和为等腰三角形的腰，求此时点E的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，，三点． (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； (3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点，过点P作轴于点H，与线段交于点M． (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，若，求的面积． (3)如图2，若是以为底边的等腰三角形时，求线段的长． (4)已知Q是直线上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点（点在点的左侧），与轴相交于点，，，连接． (1)求抛物线解析式； (2)点P在为抛物线上第一象限一动点，连接，，设点横坐标为t，面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，点为抛物线的顶点，连接，，，与相交于点，若，求的值． 10．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（24-25九年级上·重庆江津·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，）的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在直线上方的抛物线上有一动点M，过点M作轴，垂足为N，交直线于点D．是否存在点M，使得取得最大值？若存在，请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接，若点P是抛物线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标． 12．（24-25九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求此抛物线的表达式； (2)若点是x轴上一点，当为等腰三角形时，求点的坐标； (3)点是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $