专题02 期中复习压轴27类题型归纳（考试范围：第1章 因式分解～第3章 二次根式）（举一反三讲义）数学新教材湘教版八年级上册

专题02 期中复习压轴27类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 因式分解~第3章 二次根式） 【新教材湘教版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 添项拆项因式分解】 2 【题型2 分解因式结合几何判断】 4 【题型3 因式分解与图形面积】 6 【题型4 分式有意义、值为0求参数】 10 【题型5 分式基本性质变形】 12 【题型6 分式化简求值整体代入】 13 【题型7 负整数指数幂运算与大小比较】 16 【题型8 分式方程增根求参数值】 18 【题型9 分式方程无解求参数范围】 20 【题型10 分式化简后比较大小】 23 【题型11 分式方程解的取值求参数范围】 25 【题型12 分式方程的实际应用】 29 【题型13 二次根式化简与大小比较】 32 【题型14 二次根式估值确定整数部分】 33 【解答压轴】 36 【题型15 因式分解判断三角形形状】 36 【题型16 因式分解的应用】 41 【题型17 分式化简代入求值】 48 【题型18 分式运算的应用】 52 【题型19 分式运算的新定义问题】 59 【题型20 含参分式方程求参数】 66 【题型21 分式方程增根无解综合解答】 69 【题型22 工程类分式方程应用】 72 【题型23 行程类分式方程应用】 78 【题型24 销售利润分式方程应用】 83 【题型25 方案选择分式方程】 89 【题型26 复杂二次根式化简求值】 95 【题型27 比较二次根式的大小】 98 【选填压轴】 【题型1 添项拆项因式分解】 【例1】（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【答案】 【分析】直接根据添项、拆项的方法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为： 【点睛】本题考查添项与拆项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据前面知识铺垫，得到，解答即可，本题考查了配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故选B． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．例如，由于，所以是的一个因式．于是．则______． 【答案】 【分析】将添减单项式后分解因式即可得到答案． 【详解】解： = = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的分解因式，正确添减单项式利用分组分解法分解因式是解题的关键． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【题型2 分解因式结合几何判断】 【例2】（25-26八年级下·山西·阶段检测）如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形是长方形列面积式子，又得到该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成，由此列出面积等式. 【详解】∵四边形是一个长方形， ∴该长方形的面积=， ∵该图形由两个边长为n的正方形，3个长、宽为n与m的长方形，1个边长为m的正方形组成， ∴该图形的面积=， ∴=， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面积等式是解题的关键. 【变式2-1】（25-26八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 _____． 【答案】 【分析】根据长方形的面积=长×宽，长方形的面积=1个正方形的面积+2个矩形的面积，通过两种计算方法，得到代数恒等式m2+2mn=m（m+2n），得到等式． 【详解】解：∵长方形ABCD的面积=m2+2mn， 长方形ABCD的面积=m（m+2n）， ∴m2+2mn=m（m+2n）． 故答案为：m2+2mn=m（m+2n）． 【点睛】本题考查因式分解的应用，用两种计算方法计算长方形的面积从而得到等式． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【答案】 【分析】根据所给的图形直接求出大长方形的面积，再利用1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和等于大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大长方形的面积为：， 1个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个长宽分别为和的小长方形的面积之和为：； ∴． 【变式2-3】（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形，分析对应的边长，即可求解． 【详解】①：由图③可知，，故①是正确的，符合题意； ②：因为，由图③可知，，所以，故②是正确的，符合题意； ③：由题意可知图③是由个长为，宽为的小矩形和个边长为的小正方形构成的个边长为的大正方形，所以，即， 故③是正确的，符合题意； ④：∵由③得，即， 若成立， 那么，即， ∴， ∵与矛盾， ∴④是错误的，不符合题意； ∴符合题意的共有个． 【题型3 因式分解与图形面积】 【例3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和．若知道下列条件，可以求值的是（   ） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 【答案】D 【分析】本题考查了整式运算和因式分解的应用，正确理解图形提供的信息是解题的关键； 设阴影部分的长分别为x、y，如图，则，即，然后分别表示出阴影部分的面积和，再进行比较即可得到答案. 【详解】解：设阴影部分的长分别为x、y，如图， 则，即， ∴图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为， ∴， ∵， ∴ ； ∴即为图1与图2阴影部分的面积差； 故选：D. 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【答案】 或． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ___． 【答案】4 【分析】用a，b分别表示出大长方形的长和宽，根据阴影部分的面积是大长方形面积的，列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：AD=BC=8b+a，AB=CD=2b+a， ∵阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴非阴影部分的面积是大长方形面积的， ∴， 整理得：，即， ∴， 则小长方形纸片的长a与宽b的比值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算的应用，以及因式分解的应用，解题的关键是弄清题意，列出长方形面积的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则． 【题型4 分式有意义、值为0求参数】 【例4】（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如果分式无意义，的值为0，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， ∵的值为0，， ∴，解得， 把，代入得：． 【变式4-1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用完全平方公式进行配方等知识，难度较大．根据分式总有意义，得到，变形为，即可得到，从而得到． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为 【变式4-3】（2025·广西防城港·一模）当x取_____时，分式有意义． 【答案】x≠0且x≠±1 【分析】要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围． 【详解】由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义． 故答案为x≠0且x≠±1． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；  x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现． 【题型5 分式基本性质变形】 【例5】（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质和分式的约分．通过代入具体数值或代数变形检验每个分式的化简是否正确，发现所有四个分式化简均错误． 【详解】①当时，左边，右边，右边左边，①错误． ②当，，时，左边，右边，右边左边，②错误． ③当，时，左边，右边，右边左边，③错误． ④ ，但右边，除非，否则不相等，④错误． 因此，所有四个分式化简均错误， 故选． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级下·山西·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可． 【详解】解：， 当①②改变时，，故选项A不符合题意； 当②③改变时，，故选项B不符合题意； 当①③改变时，，故选项C不符合题意； 当③④改变时，，故选项D符合题意． 【题型6 分式化简求值整体代入】 【例6】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 【变式6-1】设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 【答案】A 【分析】利用等式的性质对进行变形，并凑出分子“”和“”，得到，最后移项从而得解． 【详解】解：两边同时乘以，得， ， ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，灵活运用分式的运算法则是解题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】D 【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 即原式的值为2030． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的目的． 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知：，，计算：的值是_____． 【答案】． 【分析】先利用降幂思想整体代换求解的值，再化简分式，最后代值计算． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴ ∴原式 故答案为：． 【点睛】本题考查分式混合运算和降幂思想化简整式求值，分式的运算注意运算顺序是解题关键，在没有具体数值时，整体法是解决多项式求值问题是常用方法，当题目中给出的是高次项与低次项之间的关系时，降幂思想是解题关键． 【题型7 负整数指数幂运算与大小比较】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）设，，，，则a，b，c，d的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算的数值后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 【变式7-2】（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知：，则的值是___________． 【答案】 或 【分析】幂的结果为分为三种符合条件的情况，分别求解后验证即可得到结果． 【详解】解：分三种情况讨论： ①：非零数的零次幂等于 ， ∵ ， ∴ ， 验证底数：，符合条件； ②：的任意次幂都等于 ， ∵ ， ∴ ， 代入原式得，符合条件； ③：的偶次幂等于， ∵ ， ∴ ， 此时指数，是偶数，结果与情况1重复，不新增解； 综上，的值为或． 【变式7-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】由得出，将化简为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 【题型8 分式方程增根求参数值】 【例8】（2025·四川眉山·模拟预测）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 【答案】 或/或 【分析】先确定分式方程可能的增根，将分式方程化为整式方程，再分别代入增根计算得到的值. 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令，得分式方程可能的增根为 或， 方程两边同乘 ，得， 展开整理得， 将 代入上式，得，解得 ； 将代入上式，得，解得； 综上所述，的值为或. 【变式8-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．6 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先将方程两边都乘以得到整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得， ∵原方程有增根， ∴， 解得， 把代入中， 得． 故选：A． 【变式8-2】（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________． 【答案】或． 【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：原方程变形为， 方程去分母后得：， 整理得：，分以下两种情况： 令，，； 令，，， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，利用分式方程的增根得出关于的方程是解题关键． 【变式8-3】（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将分式的分子分母因式分解，得到分子分母有公因式，可判断①；根据分式值为需满足分子为且分母不为，可判断②；将分式方程去分母整理，根据增根使原分式方程的最简公分母等于0，可判断③；分式方程无解分两种情况：情况1：整式方程无解；情况2：整式方程有解，但解为增根，可判断④． 【详解】解：①∵，分子分母有公因式，可约分， ∴不是最简分式，①错误； ②分式的值为需满足分子为且分母不为， ，且， 解得：，②正确； ③对方程， 两边同乘去分母得：， 整理得， ∵方程有增根， 增根满足，即， 把代入整式方程得：， 解得，③正确. ④将整理得， 分式方程无解分两种情况： 情况1：整式方程无解，此时，即，此时，方程无解； 情况2：整式方程有解，但解为增根，由③可知，，方程也无解， ∴的值为或，④错误， 综上，正确的说法共个． 【题型9 分式方程无解求参数范围】 【例9】（25-26九年级下·四川达州·期中）若分式方程无解，那么m的值应为_________． 【答案】 【分析】先解分式方程得出，再根据分式方程无解，得出，即，由此计算即可得出结果． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ∴． ∵分式方程无解， ∴，即． ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解的判定，需结合增根的定义，分析整式方程的解为原分式方程增根的情况，熟练掌握分式方程增根的性质是解题关键． 【详解】解：∵原分式方程分母为、、 ∴最简公分母为 去分母，两边同乘得： 展开整理得： ∵分式方程无解，且整理后的整式方程为一元一次方程（系数不为0，必有解） ∴仅需考虑整式方程的解为原分式方程的增根的情况 令原分式方程分母为0，得增根或 ①将代入，得，∴ ②将代入，得，∴ 综上，的值为或， 故选∶A． 【变式9-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【分析】解题关键是掌握分式方程无解的两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．根据分式方程无解的情况可知，分式方程有解需满足分母不为零且化简后的方程有解，通过乘以公分母化简方程，讨论整式方程的系数并排除使解为增根的情况，即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解， ∴， 当时，， 又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 【变式9-3】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）已知关于的不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程有解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解不等式组求出解集，根据不等式组有个整数解求出的取值范围，再求出分式方程得解，根据分式方程有解得，，求出的值，最后求和得出结果． 【详解】解：解不等式组， 得：， ∵不等式组恰有个整数解， ∴， ∴， 解分式方程， 得：， ∵关于的分式方程有解， ∴，， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴符合条件的所有整数为：，，，，， ∴符合条件的所有整数的和为：． 【题型10 分式化简后比较大小】 【例10】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题要求用作差法比较两个分式的大小，先计算，通分化简后，根据的取值范围判断差的符号，即可解答． 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）设，那么与2的大小关系是（        ） A． B． C． D．与2的大小与的取值有关 【答案】D 【分析】根据题意先对运用通分化简，再对S-2进一步化简，判断S-2的符号即可得出答案. 【详解】解： ，不确定其值是否大于0，所以的值与的取值有关． 故选：D. 【点睛】本题考查分式的大小比较，本题采用作差法，这是一种最通用的方法，即根据差值的符号，判断其大小． 【变式10-2】（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 【变式10-3】比较大小： _______0（填“”、“”或“”）． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的比较大小，异分母分式的运算．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． 设，根据作答即可． 【详解】解：设， ∴， 故答案为：． 【题型11 分式方程解的取值求参数范围】 【例11】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 【变式11-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式的整数解的个数为，关于的方程有整数解．若为整数，则点在坐标轴上的概率为____________． 【答案】 【分析】先确定不等式的整数解个数的所有可能值，再解分式方程得到整数的所有可能值，列出所有等可能的点，根据坐标轴上点的坐标特征找出符合条件的点，最后用概率公式计算即可． 【详解】解：对于不等式，区间长度为，可知其整数解个数只能为或，即或， 解分式方程， 方程两边同乘得， 整理得， 解得， 分式方程分母不为， ，即， 得， 方程的解为整数，为整数， 是的整数因数， 可得，， 当时，，符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，此时是增根，舍去， 当时，，符合条件， 因此的所有可能整数值为，，， 所有等可能的点为：，，，，，，共种等可能结果， 其中坐标轴上的点满足横坐标为或纵坐标为，因此只有纵坐标为的，，共种符合条件的结果； 根据概率公式，得所求概率为． 【变式11-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，先解不等式组，根据题意得到，解得，再解分式方程得到，再由题意可得且，为奇数，最后求整数的积即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组无解， ， 解得， ， ， ， 方程的解大于1， ， ， ， ， 方程的解大于1的整数， 为奇数， 满足条件的所有整数为3，1，， ， 满足条件的所有整数的积是， 故选：B． 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆渝中·期中）已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组至多有2个整数解确定的值即可解答． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∵分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∴， ∵， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式的解集为 又∵该不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的整数的值为， 共计4个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键． 【题型12 分式方程的实际应用】 【例12】（2025·山东临沂·模拟预测）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 【答案】D 【分析】设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据乙提供的信息列出方程并解答；根据丙提供的信息得到丙的工作效率，易得按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务所需的时间． 【详解】解：设甲单独完成任务需要小时，则甲的工作效率是，乙的工作效率是，由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的根，且符合题意， 甲的工作效率是，乙的工作效率是， ∵丙的工作效率是乙的工作效率的， 丙的工作效率是， ∴一轮的工作量为：， ∴轮后剩余的工作量为：， ∴还需要甲工作1小时后，乙需要的工作量为：， ∴乙还需要工作的时间为（小时）， ∴按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（小时）． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系进行求解． 【变式12-1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【答案】30 【分析】设第一次从甲杯倒出了x千克盐水，由题意得，据此求解即可． 【详解】解：设第一次从甲杯倒出了x千克盐水， 第一次倒出后甲杯剩余千克盐水，溶质为千克， 乙杯加入x千克后，总质量为千克，溶质为千克， 此时乙杯浓度为：； 从乙杯倒回x千克盐水到甲杯，这部分盐水中的溶质为：， 此时甲杯的总溶质为：， 甲杯总质量回到40千克，且浓度为，所以总溶质也等于千克， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第一次从甲杯倒出了30千克盐水． 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·期末）小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 【变式12-3】（25-26九年级下·重庆·开学考试）金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【答案】 【分析】设进价与A，B两种手机的总进货量，先根据已售部分的营业额之比得到A，B进货量的关系，再根据总利润之比列方程即可求解B降价后的利润率． 【详解】解：设每部手机进价为，A种手机总进货量为，B种手机总进货量为，B种手机降价销售时的利润率为， 由题意，A的定价为，B的定价为， 根据已售出部分营业额比为，列方程得：， 约去后化简得：，即，即， A种手机价格不变，全部售完后总利润为：， B种手机总利润分两部分计算：， 根据总利润比为，列方程得：， 将代入，约去得：，即， 交叉相乘计算得：，解得， 则B种手机在降价销售时的利润率为． 【题型13 二次根式化简与大小比较】 【例13】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 【变式13-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】此题考查了两数实数大小，先计算倒数，然后作差值比较即可，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算和实数比较大小的方法． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 【变式13-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【变式13-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，设，利用完全平方公式求出的值，再进行分母有理化，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴ 又∵， ∴原式， 故答案为：． 【题型14 二次根式估值确定整数部分】 【例14】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式运算的应用，熟练掌握以上知识点求出、的值是解题的关键．根据，求出、的值，代入即可求解． 【详解】 ， ， ， ， 的整数部分，小数部分， ； 故答案为4． 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的估算、代数式求值、二次根式运算等知识，正确确定的值是解题关键．利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式14-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，算式平方根的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故选：． 【变式14-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案． 【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ， ∵， ∵的整数部分是， ∴小数部分为， 选项B是，选项C是， 只有选项C最接近答案． 故选：C． 【解答压轴】 【题型15 因式分解判断三角形形状】 【例15】（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：是等腰三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∵，满足三角形三边关系， ∴三边能构成三角形， ∴的形状为等腰三角形； (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式法因式分解是解题的关键： （1）仿照题干方法，进行求解即可； （2）将三个等式相加后，转化为非负数的和为0的形式，求出的值，进行判断即可； （3）把作为一个先利用换元法并展开完全平方式进行计算，再利用因式分解法得到，进而得到或，推出或，即可． 【详解】（1）解：； 故的最小值为； （2）略 （3）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 故． 【变式15-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用，平方的非负性，等腰三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）先分组，并根据完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）将化为，再根据平方的非负性，得到则，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ∴ 解得， ∴是等腰三角形． 【变式15-2】（25-26八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子因式分解即可； （2）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． （3）移项后利用完全平方公式变形，然后根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b和c的值即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解： ， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式15-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 【答案】知识运用：；解决问题：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）①；②，， 【分析】知识运用：用公式法因式分解，提取公因式，再提取两者的公因式； 解决问题：（1）将写成，等式左边因式分解，得，证明，是等腰三角形； （2）①由得到和，推出，就可以算出a和c的值，再算； ②同①可得，根据，利用因式分解得到，同理由，得，从而可以用a表示出b、c、d． 【详解】解：知识运用 原式 ； 解决问题 （1） ， ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形； （2）①当时， ，即， ，即， 若 则， 把它代入，得，解得， 当时，，则， 当时，，则， 综上：的值为6或； ②当， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理由，得， 由，， 若，则，，，则此时k就等于0了，矛盾，不合题意， 若，则，，， 综上：，，． 【点睛】本题考查因式分解的拓展运用，解题的关键是灵活掌握因式分解的方法． 【题型16 因式分解的应用】 【例16】（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 【变式16-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【答案】(1)是 (2) 证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则 ∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3) 【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解； （3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是“鹿鸣美好式”； （2）略； （3）解：由题意得 ． 【变式16-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11． (2) ， 故一定是某一个数的平方． (3)当时，， 因为，所以，则，整理得， 解得：（舍去）， 由图可知，当时，不存在． 【分析】（1）按顺序计算出结果再开方即可； （2）将变形为含的完全平方公式即可解答； （3）根据题意列方程，结合日历的数据特点即可解答． 【详解】（1）解：; （2）略 （3）略 【变式16-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【答案】(1) (2) (3) (3)① ②解：割补后的图形如图： 结论：． 【分析】（1）大长方形的面积既可以用长乘宽计算，也可以等于所有卡片面积之和，所以分别计算两种形式的面积，即可得到因式分解等式； （2）将多项式拆分为对应卡片的面积和，多项式对应2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，先对多项式因式分解得到长和宽，再按长和宽拼接卡片，验证面积相等得到等式； （3）①利用割补前后剩余面积相等，图3剩余面积为，图4长方形面积等于长乘宽，根据割补后的边长写出长和宽，即可得到因式分解结果； ②类似①中方法，裁去上方2个宽为1、长为的长方形，再裁去左侧边长为1的3个正方形，剩余面积为，将剩余不规则图形割补，可得到长为、宽为的长方形，据此得到结论． 【详解】（1）解：图2大长方形的长和宽均为，其面积为，所有卡片的面积和为， 因此，得到因式分解等式：； （2）解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：； （3）解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为， 因此，； 【题型17 分式化简代入求值】 【例17】（25-26八年级上·广东汕头·期末）代数式： (1)化简代数式A； (2)若代数式A的值为整数，求整数a的值． 【答案】(1) (2)符合条件的整数a为4，8 【分析】（1）根据分式混合运算法则，化简代数式A即可； （2）先将代数式A变形为：，再根据代数式A的值为整数，且a为整数，得出是5的因数，求出对应a的值，然后根据分式有意义的条件得出，且，即且，最后得出a的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵化简后，即， 又代数式A的值为整数，且a为整数， 必须为整数，即是5的因数． 又5的因数为，， ∴当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 同时，依题意可知：，且，即且， 综上，符合条件的整数a为4，8． 【变式17-1】（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，取时，原式的值为（答案不唯一，取时值为） 【详解】解： ， ， 整数的值为，，， 又 ， 取时，原式 （答案不唯一，取时值为）． 【变式17-2】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）化简求值 (1)先化简再求值：，其中； (2)先化简代数式，再从，，2三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 化简结果为，当时，原式 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， ∵，，. ∴，，， ∴当时，原式. 【变式17-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)①不是；② (2)①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【分析】（1）①根据“差积和谐分式”的定义判断即可；②设的“差积和谐分式”是，再结合“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果； （2）①根据“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果；②由①可得，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 【题型18 分式运算的应用】 【例18】（25-26八年级下·广东深圳·期末）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 【答案】(1)12人 (2)①；；②选择角度一：平均单位面积人流量． 表演区的总人数为（人）， 表演区的平均单位面积人流量为， ， ， ， ， ， 数值越大，人员越密集， 游戏区的人员更密集． 选择角度二：人均面积． 表演区的总人数为（人）， 表演区的人均面积为， ， ， ， ， 数值越大，人均空间越充足， 游戏区的人员更密集 (3)18 【分析】（1）先算出表演区参与人数，设游戏区每分钟入场人数为未知数，利用两区入场总时间相等建立分式方程，解方程后检验分母不为零，得到每分钟入场人数． （2）先根据正方形面积公式和题目给出的两个定义式写出游戏区对应代数式，再求出表演区相关分式，通过作差通分比较分式大小，结合判断差值正负，对照题干判定规则得出哪个区域人员更密集． （3）依据人均面积不低于5平方米列出不等式，化简后求出a的取值范围，估算根式数值并验证相邻整数平方，向上取整得到符合要求的最小整数边长． 【详解】（1）解：设游戏区平均每分钟入场人，则表演区平均每分钟入场人． 表演区人数为人，根据两区域入场时间相等列方程： 解得． 检验：时分母不为0，是原方程的解． （2）游戏区是边长为的正方形，面积为，接待总人数60人： ∴平均单位面积人流量， 人均面积， ②略 （3）求游戏区的最小边长 由题意得游戏区人均面积， 即，． ，， 因此精确到整数，边长最少为18米． 【变式18-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人同时去同一家加油站加92号汽油，甲花300元所加的油量比乙花225元所加的油量多10升． (1)求92号汽油的单价； (2)几天后甲、乙两人第二次去这家加油站加92号汽油时，单价比第一次多了元，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加92号汽油的平均单价是_______元，乙两次加92号汽油的平均单价是_______元； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油．若甲、乙两人去同一家加油站加两次92号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次m元/升，第二次n元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油h升，乙每次总是加d元的汽油．请你通过计算说明按相同金额加油，还是按相同油量加油更合算？ 【答案】(1)元 (2)； (3)按相同金额加油更合算 【分析】（1）设92号汽油的单价为x元，根据甲花300元所加的油量比乙花225元所加的油量多10升列方程求解即可； （2）甲第一次加油的油量为（升），第二次加油的金额为（元）， 所以可得甲两次加92号汽油的平均单价可以通过计算； 乙第一次加油的油量为（升），第二次加油的油量为（升），所以乙两次加92号汽油的平均单价可以通过计算即可； （3）先计算甲、乙两次加油的平均单价分别为元和元，然后计算两者之差，得到，再结合，且，，即可判断答案． 【详解】（1）解：设92号汽油的单价为x元， 由题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：92号汽油的单价为元． （2）解：甲第一次加油的金额为300元，油量为（升），第二次加油的金额为（元），油量为40升， 所以甲两次加92号汽油的平均单价是元； 乙第一次加油的金额为225元，油量为（升），第二次加油的金额为225元，油量为（升）， 所以乙两次加92号汽油的平均单价是（元）． （3）解：由题意得：甲两次加油的平均单价为（元）， 乙两次加油的平均单价为（元）， ， ，且，， ，， ，即， 甲的两次平均单价比乙的两次平均单价高， 按相同金额加油更合算． 【变式18-2】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【答案】(1)混合什锦糖的单价为元千克； (2)需加入A种糖，加入千克； (3)当时，甲种什锦糖的单价较高；当时，甲、乙两种什锦糖单价相等． 【分析】（）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （）分加入种糖、加入种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴代入得（元千克）， 答：千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克； （2）解：设加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； 若加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入种糖，加入千克； （3）解：设甲种什锦糖中两种糖的质量都为千克（），则甲的单价为，设乙种什锦糖中两种糖的总价都为元（），则的质量为千克，的质量为千克，乙的单价为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当时，，即，甲种什锦糖单价较高； 当时，，即，两种什锦糖单价相等． 【变式18-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2） 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【题型19 分式运算的新定义问题】 【例19】（25-26八年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)①；②x的值是1，3，． 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （3）①由题意易得，然后进行求解即可； ②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴分式是分式的“可存异分式”； （2）解：设分式的“可存异分式”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的“可存异分式”是； （3）解：①由条件可知， ， ； ②，且A为正整数， ∴x为整数，且是3的约数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴x的值是1，3，． 【变式19-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2) 为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； (3)x的值为0或1或． 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）略 （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 【变式19-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1) ∵， ， ∴是的关联分式． (2) (3)①；②或0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，找出关联分式中分子、分母的规律分子不变，父母是原分式分子与分母的和是解题的关键． （1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；②a.根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可；b.当当 也符合题意，即，再求解即可。 【详解】（1）略 （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②a.∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． b. ∵是的“关联分式”， ∴当 也符合题意， ∴，解得：，即。 综上，的值为或0. 故答案为：或0． 【变式19-3】（25-26八年级上·广东惠州·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② ； （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或， ∵，，，， ∴，，， ∴时，分式的值为整数． 【题型20 含参分式方程求参数】 【例20】（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程，得到，根据方程的解不小于2，得到，由分式有意义的条件，得到，即，从而可求解． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得，， ∵方程的解不小于2， 且， 解得且． 【变式20-1】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于y的分式方程有整数解，得出a的取值，再求和即可得解． 【详解】解：解不等式组得，即不等式组的解集为， ∵不等式组有解且最多有3个整数解，小于4的连续3个整数是3、2、1， ∴， 解得：， 解关于y的分式方程得， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴， ∴，即，解得， ∴符合条件的整数a为，4，7，10， ∴所有整数a的和为． 【变式20-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且， 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，完全平方公式，平方差公式，熟练利用因式分解是解题的关键． 由，得到，利用因式分解进行化简得到，再根据的取值范围求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵解是非负数， ∴， 解得：； 又∵，， ∴，， 解得：，，； 综上的取值范围为：且，． 【变式20-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 【题型21 分式方程增根无解综合解答】 【例21】（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 【变式21-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键． （1）根据增根的定义，得出其增根为，代入化简后方程求解即可； （2）按照分式方程解法，解出，根据题意解为正数，故，解该不等式即可，同时需考虑增根的情况，得出最后的取值范围． 【详解】（1）解：该方程的增根为， 对方程去分母， 得， 将代入上式，即， 解得． （2）解：对方程去分母，得， 解得， 若方程的根为正数，则， 解得， 结合（1）中当时，方程为增根， 故的取值范围为且． 【变式21-2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【答案】(1)是，2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式计算的通分以及解分式方程的方法是解题的关键． （1）直接计算，根据其化简结果判断是否为“一中分式”，并求出“一中值”； （2）①根据“一中分式”以及 “一中值”，计算，求出代表的代数式；②将代入后，根据化简结果，结合分式的值为正整数．为正整数，得出的值； （3）列出的方程，根据方程无解以及增根情况求出的取值； 【详解】（1）解：， 与是互为“一中分式”，“一中值”． （2）解：①，， 与互为“一中分式”，且“一中值”， ， ； ②， 且分式的值为正整数．为正整数， 或， （舍去）． （3）解：∵，， ∴， 整理得， 化简得， ∵方程无解， ∴，且， 解得，且，即， 当时，方程有增根， 代入，解得， 综上，的取值范围为或． 【变式21-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【答案】 【分析】先对原分式方程进行整理，然后通过去分母化为整式方程求解，再根据分式方程增根的定义，即整式方程的解使原分式方程的分母为，求出对应的的值．本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握分式方程增根的定义（使分式方程分母为的根）以及分式方程化为整式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：原方程整理，得，即， 方程两边乘，得， 解得． ∵整式方程的解x是分式方程的增根， 或，即或， 或， 解得或（舍）， 时，方程有增根． 【题型22 工程类分式方程应用】 【例22】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）为了迎接国庆，某市准备在“中央广场”设置一个花坛，现需要在花坛中摆放鲜花，园林处准备用招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．“红星中学”的数学兴趣小组把“花坛建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 花坛建设 调查方式 走访调研、实地查看 调研过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： 1．花坛中摆放的鲜花有甲、乙两种，且要求所有的摆放工作在一天内完成，摆放甲鲜花的工人每人当天费用为250元，摆放乙鲜花的工人每人当天费用为300元； 2．共招募7名工人，每名工人在相同的时间内摆放甲鲜花2盆或摆放乙鲜花3盆，且每名工人只完成一项工作，要求摆放两种鲜花同时开始，并在当天同时完成； 3．整个任务需要摆放甲鲜花600盆和乙鲜花1200盆． 计算结果 【答案】支付工人的总费用为元 【分析】设安排x名工人摆放甲鲜花，名工人摆放乙鲜花，根据整个任务需要摆放甲鲜花600盆和乙鲜花1200盆列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：安排x名工人摆放甲鲜花，名工人摆放乙鲜花， 根据题意得：， 解得：． 检验：当时，． 所以原分式方程的解为． 当时，（名）， 费用：（元）． 答：支付工人的总费用为元． 【变式22-1】（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1) 甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积 (2) 48000元 【分析】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用： （1）设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据题意列分式方程求解； （2）设甲工程队先做了天，用表示合作天数，根据单独完成和合作完成的效率列方程，求出甲队单独的时间，进而求解． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成平方米的绿化改造面积， 则甲队每天能完成平方米的绿化改造面积， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲队每天能完成平方米． 答：甲工程队每天能完成400平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积． （2）解：设甲工程队先做了天， 则甲乙合作了天， 则， 解得：， 完成这项绿化改造任务总共需要施工费用：元． 答：完成这项绿化改造任务总共需要施工费用48000元． 【变式22-2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 【答案】(1)144分钟 (2)258分钟 【分析】本题主要考查工程问题，读懂题意，正确列出算式和方程是做题的关键． （1）先设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份，再根据题意，列出算式和方程，进行计算即可； （2）先设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根，由题意得，，得出，最后根据分配给水池6根或7根，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份， 则水池的容量：（份）， 水池的容量：（份）， 改为各用5根进水管给水池注水时， 注满水池用时：（小时）， 故根据题意得，， 解得，， 用10根进水管给漏水的水池注水，注满用时：（小时）（分钟）． 答：用10根进水管给漏水的水池注水，需要144分钟注满． （2）解：设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 又因为必须为整数， 所以分配给水池6根或7根时，把两个水池注满需要的时间最少， 当分配给水池6根，水池8根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟）； 当分配给水池7根，水池7根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟），故最少需要258分钟， 因为， 所以综上所述，把两个水池注满最少需要258分钟． 【变式22-3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 【分析】本题考查分式方程与实际问题．包含两个任务，任务1通过设定甲工程队每天改造长度为未知数，利用乙与甲的效率关系及单独完成天数的差值建立方程，求解两队每天改造长度；任务2依据总费用限制，结合两队工作效率表示出各自工作天数，建立不等式求解乙工程队最多工作天数． 【详解】解：（1）设甲工程队每天改造河道的长度为米，则乙工程队每天改造的长度为米．甲工程队单独完成改造所需天数为天，乙工程队单独完成改造所需天数为天． 根据“甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多天”，可列方程： 解得． 检验：是分式方程的解，且符合实际问题． 则乙工程队每天改造长度为米． 甲单独完成天数：天；乙单独完成天数：天；天数差天，符合题意． （2）设乙工程队工作天，则乙工程队改造的河道长度为米，剩余由甲工程队改造的长度为米． 甲工程队每天改造米，所以甲工程队工作天数为天． 甲工程队每天费用万元，乙工程队每天费用万元，总费用不超过万元，因此： 化简不等式： 合并同类项： 移项得： 解得：． 故最大为天． 答：任务1：甲工程队每天改造河道的长度为100米，乙工程队每天改造河道的长度为125米； 任务2：最多可安排乙工程队工作70天． 【题型23 行程类分式方程应用】 【例23】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【答案】(1)甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒 (2)乙无人机单个航段距离为米 (3)完成本次配送任务的时间是或秒 【分析】（1）设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （3）由（2）可得甲无人机单个航段距离为米，设甲飞行个航段，乙飞行个航段，由题意得，整理得，求出或，再分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒， 由题意可得， 解得， ∴甲无人机飞行单个航段需秒，乙无人机飞行单个航段需秒； （2）解：设乙无人机单个航段距离为米，则甲无人机单个航段距离为米， 由题意得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴乙无人机单个航段距离为米； （3）解：由（2）可得甲无人机单个航段距离为米， 设甲飞行个航段，乙飞行个航段， 由题意得， 整理得， ∵，为正整数， ∴或， 当时，（秒）， 当时，（秒）， ∴完成本次配送任务的时间是或秒． 【变式23-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两车分别从地出发，在、两地之间匀速往返行驶，甲的速度大于乙的速度，甲从地出发，乙从距离地千米的地方出发，两车同时出发，第一次相遇在距离地千米的地方，第二次相遇在距离地千米的地方，求、两地的距离． 【答案】、两地的距离为千米 【分析】设、两地的距离为千米，甲的速度为千米时，乙的速度为千米时，根据第一次相遇甲乙所走路程可得 ，第二次相遇时，甲从返回走的路程为，乙还没到时走的路程为，列方程求解即可. 【详解】解：设、两地的距离为千米，甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， 第一次相遇时，甲走了千米，乙走了千米， 即 ， ∵甲的速度大于乙的速度， ∴第二次相遇时，甲从返回乙还没到时，甲走的路程为，乙走的路程为， ∵时间相同， ， ， 解得：， 答：、两地的距离为千米. 【变式23-2】（2026·重庆·模拟预测）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设原计划行驶速度为，计划总时间为小时．实际行驶分两段：先匀速1小时，再以行驶剩余路程，根据“比计划提前”列方程，求解即可； （2）先算出去程实际时间为，返程总路程、降速后速度为．设以原速行驶的路程为，根据“返程含停留比去程多2小时”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设原计划的行驶速度为，则原计划总行驶时间为小时， 由题意得，实际行驶中，第一小时行驶路程为，剩余路程为，提速后速度为， ∴实际总时间为小时，， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划的行驶速度为； （2）解：由题意得，去程实际总时间为，返程总路程为，降速后速度为，， 设返程时以原计划速度行驶的路程为， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：返程时以原计划速度行驶的路程为． 【变式23-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）某科技小组制作了“性能”完全相同的、两个机器人，请阅读下列“性能”及“测试”信息，并完成“任务”中的相应任务． 性能信息 1．、两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式，且这两个机器人在同一跑步模式下的速度完全相同； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的2倍． 测试信息 实验1：测机器人各模式速度．机器人标准模式下跑完300米测试路程所花时间与基础模式下跑完200米测试路程所花时间均相等． 实验2：测、两个机器人分别10分钟所跑路程． 信息一：、同地出发，同向而行； 信息二：早于先出发1分钟，在标准模式下完成全程10分钟的跑步； 信息三：先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用分钟紧急调试后切换为基础模式又继续跑了170米，完成全程10分钟（包括故障时间）的跑步． 任务 任务一：（1）求机器人基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人故障时长的值； 任务三：（3）请直接写出在实验2的整个过程中A出发第几分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 【答案】（1）机器人基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；（2）实验2中机器人B故障时长的值为；（3）第分钟，分钟，分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． （1）设基础模式的速度为米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； （2）根据机器人B共用时10分钟，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）设的运动时间为分钟，分、及、四种情况考虑，根据、两个机器人之间的距离等于米，可列出关于的一元一次方程，解方程取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设基础模式的速度为米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）， 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； （2）根据题意得：， 解得，， 答：实验2中机器人故障时长的值为； （3）设的运动时间为分钟， 当时，，解得； 当时，， 解得，，（舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，， 解得，（舍去），， 答：在实验2的整个过程中A出发第分钟，分钟，分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 【题型24 销售利润分式方程应用】 【例24】（25-26七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑奖方案？ 某文具店销售某种圆规与直尺，如图所示，已知圆规的单价是直尺的倍．    素材 素材 用元购买直尺的数量比用元购买圆规的数量多件． 素材 某学校花费元购买该文具店的圆规和直尺作为奖品颁发给优秀学生，购买圆规的数量是直尺的倍． 素材 某学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换，兑换后圆规与直尺的数量相同．    问题解决 (1)请运用适当的方法，求出圆规和直尺的单价 (2)求该校花元购买的圆规和直尺数量 (3)运用数学知识，确定兑换方式 【答案】(1)直尺单价为元，则圆规单价为元． (2)购买直尺把，则购买圆规个． (3)用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺；或用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺． 【分析】（1）设直尺单价为未知数，圆规单价用含该未知数的代数式表示，结合素材1的数量关系列分式方程，解方程并检验得到两种文具单价． （2）设购买直尺数量为未知数，圆规数量用含该未知数的代数式表示，根据总花费200元列一元一次方程，求解得到两类文具购买数量． （3）设兑换圆规的兑换券张数，剩余券兑换直尺，结合兑换后圆规、直尺总数相等列二元一次不定方程，根据且为整数的条件确定符合题意的兑换方案． 【详解】（1）解：设直尺单价为元，则圆规单价为元． ， 解得， 检验：时，， 故是原分式方程的解． ∴（元）， 答：直尺单价为元，则圆规单价为元． （2）解：设购买直尺把，则购买圆规个． ， 解得， ∴（个）， 答：购买直尺把，则购买圆规个． （3）解：设用张兑换券兑换圆规，则用张兑换券兑换直尺． 原有圆规个，原有直尺把． 兑换规则：1张券换5个圆规或10把直尺． ， 解得， ，均为正整数，， 依次代入整数，，，，，： ，， ，（舍去）， ，（舍去）， ， ，（舍去）， ，（舍去）， 当时，，； 当时，， 答：用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺；或用张兑换券兑换圆规，用张兑换券兑换直尺． 【变式24-1】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 【答案】(1)“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元． 【分析】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元，根据每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元和购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设每杯“栀子花开”利润为元，根据每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，可得每杯“茉莉花开”利润为元，再根据题意即可列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元， 由素材可得：， 解得：， 答：“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； （2）设每杯“栀子花开”利润为元， ∵每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍， ∴每杯“茉莉花开”利润为元， 由素材可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元 【变式24-2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）某蔬菜超市两次去批发市场采购同一品种的辣椒，第一次用850元购进了若干千克，很快卖完，第二次用1500元所购数量比第一次多40千克，且每千克的进价比第一次提高了． (1)求第一次购买辣椒的进价； (2)求第二次购买辣椒的数量； (3)该蔬菜超市按以下方案卖出第二次购买的辣椒：先以a元/千克的价格售出n千克，再以16元/千克的价格售出剩余的全部辣椒（不计损耗），共获利900元，若a，n均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，求a和n的值． 【答案】(1)10元/千克 (2)125千克 (3)或或 【分析】（1）设第一次购买辣椒的进价为x元/千克，根据第二次用1500元所购数量比第一次多40千克建立方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可； （3）根据利润为900元可得方程，根据a不超过第二次进价的2倍，列出不等式求出n的取值范围，再根据a、n都是正整数求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买辣椒的进价为x元/千克， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：第一次购买辣椒的进价为10元/千克； （2）解：千克， 答：第二次购买辣椒的数量为125千克； （3）解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵a不超过第二次进价的2倍， ∴， 解得， ∴， ∵a、n都是正整数， ∴一定是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或． 【变式24-3】（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 (1)求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ (2)综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 【答案】(1)甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； (2)共有3种方案：方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件；方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件；方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； (3)购买甲种器材20件，乙种器材20件，这个方案总费用最低 【分析】（1）设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元，根据题意列出分式方程，据此求解即可； （2）设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件，根据题意列出不等式组，据此求解即可； （3）通过计算各方案的总费用，找出费用最低的采购方案． 【详解】（1）解：设乙种器材的单价为x元，则甲种器材的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根， 则， 答：甲种器材的单价为30元，乙种器材的单价为20元； （2）解：设购进甲种器材a件，则购进乙种器材件， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 方案一：购买甲种器材20件，乙种器材20件； 方案二：购买甲种器材21件，乙种器材19件； 方案三：购买甲种器材22件，乙种器材18件； （3）解：方案一总花费：元； 方案二总花费：元； 方案三总花费：元； ∴方案一总花费最低． 【题型25 方案选择分式方程】 【例25】（2025·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， 即， ∴按相同金额加油更合算． 【变式25-1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)， 理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程即可求解； （2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，比较的大小即可． 【详解】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）略 【变式25-2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元． (2)共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解． 【详解】（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得 解得 经检验，是所列方程的根． （元） 答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元． （2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台， 根据题意得 解得， 是正整数， 或． 当时，； 当时，； 故共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【变式25-3】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【答案】任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键． 任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可； 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元； 任务2：设购买篮球m个，购买排球n个， 由题意得，， 解得， 答：购买篮球4个，购买排球12个． 任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个， ，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个， ∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个， ∴， ∴ ∴， ∵一定是正整数， ∴一定是3的倍数， 设（k为正整数）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，， 当时，，此时不符合题意； 随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大， ∵当时，，此时， ∴当时， ， ∴只有，满足题意， 答：排球中使用抵扣券的数量为1． 【题型26 复杂二次根式化简求值】 【例26】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】 解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】略 【变式26-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【答案】(1) 解： ∴ ； (2)①；②9 【分析】（1）将的值代入，进行计算即可； （2）①进行分母有理化即可；②先进行分母有理化，再进行合并即可． 【详解】（1）略 （2）解：①； ②原式 ． 【变式26-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】（1）根据材料中的方法一、方法二求解即可； （2）先利用方法一化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先化简a，然后将化为，然后将a的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方法一：； 方法二：． （2）解： ． （3）解：， 所以， ． 【变式26-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式化简即可； （2）结合完全平方公式，找到规律，进而解题． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， 则 ． 【题型27 比较二次根式的大小】 【例27】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【答案】(1)两边之和大于第三边（三边之间的关系）；直角 (2)解：，， 又， ； (3)． 【分析】（1）利用三角形三边关系确定三角形形状即可； （2）根据二次根式运算求出分别平方后的值进行判断即可； （3）计算和的平方，进行判断即可． 【详解】（1）解：研究报告中“▲”处空缺的内容：两边之和大于第三边（三边之间的关系）； “■”处空缺的内容：直角； （2）略 （3）解：∵，， 又∵， ∴， ∴． 【变式27-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再计算即可求出式子的值； （2）先通分，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式将与进行转化，再进行比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， 即． 【变式27-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)， (2)①；②34 (3)a的值是，b的值为 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 【变式27-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 【答案】(1)①；②；③ (2) 选择①．推导思路如下： 由，且，得．    配方，得， ∴ 即   ∴   选择②．推导思路如下： 由，得， 则，即．     因为， 所以，即． 【分析】（1）①根据完全平方公式可得①的结果； ②根据二次根式的性质可得②的结果； ③比较结果①与结果②可得两个代数式的大小关系. （2）选择其中任意一种解答即可. 【详解】（1）① 故答案为：    . ②， 故答案为：. ③∵ ∴ ∴ 故答案为：>． （2）略 【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，灵活运用因式分解解决问题是解题的关键. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中复习压轴27类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第1章 因式分解~第3章 二次根式） 【新教材湘教版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 添项拆项因式分解】 2 【题型2 分解因式结合几何判断】 3 【题型3 因式分解与图形面积】 4 【题型4 分式有意义、值为0求参数】 5 【题型5 分式基本性质变形】 5 【题型6 分式化简求值整体代入】 6 【题型7 负整数指数幂运算与大小比较】 6 【题型8 分式方程增根求参数值】 7 【题型9 分式方程无解求参数范围】 7 【题型10 分式化简后比较大小】 8 【题型11 分式方程解的取值求参数范围】 8 【题型12 分式方程的实际应用】 9 【题型13 二次根式化简与大小比较】 10 【题型14 二次根式估值确定整数部分】 10 【解答压轴】 10 【题型15 因式分解判断三角形形状】 10 【题型16 因式分解的应用】 12 【题型17 分式化简代入求值】 15 【题型18 分式运算的应用】 15 【题型19 分式运算的新定义问题】 17 【题型20 含参分式方程求参数】 19 【题型21 分式方程增根无解综合解答】 19 【题型22 工程类分式方程应用】 20 【题型23 行程类分式方程应用】 22 【题型24 销售利润分式方程应用】 24 【题型25 方案选择分式方程】 26 【题型26 复杂二次根式化简求值】 28 【题型27 比较二次根式的大小】 29 【选填压轴】 【题型1 添项拆项因式分解】 【例1】（2025·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式可以用如下方法分解因式： ①； 又比如多项式可以这样分解： ②； 仿照以上方法，分解多项式的结果是______． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读并解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”分解因式：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南周口·期末）因式定理：对于多项式，若，则是的一个因式，并且可以通过添减单项式从中分离出来．例如，由于，所以是的一个因式．于是．则______． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【题型2 分解因式结合几何判断】 【例2】（25-26八年级下·山西·阶段检测）如图，四边形是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式因式分解，其结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·山西太原·期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，根据图中所标注的线段长度表示长方形ABCD的面积，可得到的表示一个多项式因式分解的代数恒等式为 _____． 【变式2-2】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是______ 【变式2-3】（25-26六年级下·山东济南·期末）利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为： 如图③，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：①；② ③ ④ ，其中正确的有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型3 因式分解与图形面积】 【例3】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和．若知道下列条件，可以求值的是（   ） A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长 C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）将12张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在大长方形ABCD内，未被覆盖的部分用阴影表示，若阴影部分的面积是大长方形面积的，则小长方形纸片的长a与宽b的比值为 ___． 【题型4 分式有意义、值为0求参数】 【例4】（26-27八年级上·山东聊城·阶段检测）如果分式无意义，的值为0，则的值是______． 【变式4-1】（25-26八年级下·山西晋中·期末）若分式的值为零，则的值为_______ 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）若不论x取何实数时，分式总有意义，则a的取值范围是________． 【变式4-3】（2025·广西防城港·一模）当x取_____时，分式有意义． 【题型5 分式基本性质变形】 【例5】（25-26七年级上·上海·阶段检测）以下分式化简：①；②；③；④．其中错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·单元测试）不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 【变式5-2】（25-26八年级下·山西·阶段检测）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）分式中字母，的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【题型6 分式化简求值整体代入】 【例6】（24-25八年级上·浙江温州·期末）若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 【变式6-2】（25-26九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【变式6-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）已知：，，计算：的值是_____． 【题型7 负整数指数幂运算与大小比较】 【例7】（25-26八年级上·全国·课后作业）若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【变式7-1】（26-27八年级上·湖南岳阳·阶段检测）设，，，，则a，b，c，d的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知：，则的值是___________． 【变式7-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）已知，则______． 【题型8 分式方程增根求参数值】 【例8】（2025·四川眉山·模拟预测）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 _____． 【变式8-1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）关于x的方程有增根，则k的值为（   ） A．6 B． C． D．2 【变式8-2】（25-26八年级下·上海浦东新·阶段检测）如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为_____________． 【变式8-3】（25-26七年级下·安徽池州·期末）现有以下四个说法：①分式是最简分式；②若分式的值为0，则的值为；③若关于的方程有增根，则的值为3；④若关于的方程无解，则的值为2．其中正确的个数有（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9 分式方程无解求参数范围】 【例9】（25-26九年级下·四川达州·期中）若分式方程无解，那么m的值应为_________． 【变式9-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为（   ） A．或 B．10或 C．3或 D．5或10 【变式9-2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【变式9-3】（25-26九年级下·云南昆明·阶段检测）已知关于的不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程有解，则符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【题型10 分式化简后比较大小】 【例10】（26-27八年级上·全国·课后作业）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）设，那么与2的大小关系是（        ） A． B． C． D．与2的大小与的取值有关 【变式10-2】（2021·河北·中考真题）由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式10-3】比较大小： _______0（填“”、“”或“”）． 【题型11 分式方程解的取值求参数范围】 【例11】（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【变式11-1】（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式的整数解的个数为，关于的方程有整数解．若为整数，则点在坐标轴上的概率为____________． 【变式11-2】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）若数既使得关于的不等式组无解，又使得关于的分式方程的解为大于1的整数，则满足条件的所有整数的积为（   ） A． B． C．0 D．3 【变式11-3】（25-26九年级上·重庆渝中·期中）已知关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且至多有2个整数解，则符合条件的整数有（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型12 分式方程的实际应用】 【例12】（2025·山东临沂·模拟预测）甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率比乙的工作效率少 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等； 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的； 丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量． 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（    ）小时． A．20 B．21 C．19 D．19 【变式12-1】（25-26八年级下·上海·阶段检测）甲杯子里盛有浓度的盐水，乙杯子里盛有浓度的盐水．第一次：从甲杯中倒出一部分盐水到乙杯，搅拌均匀；第二次：再从乙杯中倒回同样重量的盐水到甲杯．甲杯盐水浓度恰好为，则第一次从甲杯倒出了______千克盐水． 【变式12-2】（25-26八年级下·全国·期末）小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【变式12-3】（25-26九年级下·重庆·开学考试）金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B两种手机，并将A、B两种手机分别按利润率和定价销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的和，此时，A、B两种手机的营业额之比为．为迎接店庆十周年，商店决定将B种手机降价销售，A种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B两种手机的总利润之比为，则B种手机在降价销售时的利润率为_______． 【题型13 二次根式化简与大小比较】 【例13】（24-25八年级下·河南周口·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【变式13-2】（25-26九年级上·全国·单元复习）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）． 【变式13-3】（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）化简______． 【题型14 二次根式估值确定整数部分】 【例14】（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）若的整数部分是，小数部分是，则的值是_____． 【变式14-1】（24-25七年级上·全国·期末）实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】设，则的整数部分为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-3】（25-26九年级下·浙江绍兴·自主招生）设为的小数部分，则（　　） A． B． C． D． 【解答压轴】 【题型15 因式分解判断三角形形状】 【例15】（25-26八年级上·江苏南通·期中）请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ， ， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求的最小值； (2)已知三角形三边长为、、，且满足，，，试判断三角形的形状，并说明理由； (3)若．求b的取值范围． 【变式15-1】（25-26八年级上·湖南怀化·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式： (2)已知a、b、c分别是三边的边长且满足，请判断 的形状，并说明理由． 【变式15-2】（25-26八年级上·全国·期末）例题：求代数式的最小值． 原式=．可知当时， 有最小值，最小值是． (1)分解因式： ． (2)若，求的值． (3)已知a、b、c是的三条边长．若a、b、c满足，试判断的形状，并说明你的理由． 【变式15-3】（25-26九年级上·山东济宁·期中）阅读下列材料：分解因式的常用方法有提取公因式法、公式法，但有部分项数多于3的多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： 1．知识运用： 试用“分组分解法”分解因式：； 2．解决问题： （1）已知a，b，c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状． （2）已知四个实数a，b，c，d，满足a≠b，c≠d，并且，同时成立． ①当k=1时，求a+c的值 ②当k≠0时，用含有a的代数式分别表示b，c，d（直接写出答案即可） 【题型16 因式分解的应用】 【例16】（25-26八年级下·广东佛山·期末）我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【变式16-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”． 小亮写出如下算式：； 发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”． (1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）； (2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”； (3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留） 【变式16-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如下为年月份的日历，学校数学兴趣小组在日历上发现了一种结构运算：有四个正整数，，，在日历中的关系位置如图所示，将下图平移覆盖到日历上，使得，，，分别与日历上的四个数字重合，规定，则一定是某一个数的平方． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (1)特例研究： ①当时，（__________）； ②当时，； ③当时，； ④当时，． (2)观察归纳： 通过运算证明：一定是某一个数的平方． 以下是小组成员的部分证明过程： … 请把接下去的证明过程补充完整． (3)拓展应用：图的日历中是否存在，若存在，求出此时所对应的数字，若不存在，请说明理由． 【变式16-3】（25-26八年级下·山东青岛·期末）数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决． (1)用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为_________； (2)请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式． (3)以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题． ①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________； ②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论． 【题型17 分式化简代入求值】 【例17】（25-26八年级上·广东汕头·期末）代数式： (1)化简代数式A； (2)若代数式A的值为整数，求整数a的值． 【变式17-1】（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）先化简，再求值：，从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【变式17-2】（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）化简求值 (1)先化简再求值：，其中； (2)先化简代数式，再从，，2三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值． 【变式17-3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【题型18 分式运算的应用】 【例18】（25-26八年级下·广东深圳·期末）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成任务： 合理规划校园活动区域 素材一 学校科创社团举办活动，规划出一块长方形场地，划分为游戏区和表演区，如图所示，其中游戏区是边长为米的正方形．      素材二 据活动现场统计，第一轮活动期间共有100名学生参与活动，其中60名学生选择了游戏区．两区域的学生排队入场，入场时，游戏区比表演区每分钟多进4人，且两区域的所有学生从入场到入场完毕所花费的时间恰好相等．所有人进入区域后不再进出． 素材三 已知表演区的宽比游戏区的边长少1米．为了更好优化后续区域分配，需知道区域的人员密集程度． 角度一：平均单位面积人流量数值越大，人员越密集； 角度二：人均面积，数值越大，人均空间越充足． (1)求游戏区平均每分钟入场多少人？ (2)①游戏区的平均单位面积人流量：__________；游戏区人均面积：_________；（用含的代数式表示） ②请从平均单位面积人流量或人均面积中任选一个角度，比较两个区域的人员密集程度，并说明理由． (3)为保障安全，学校要求游戏区的人均面积不能低于5平方米，则游戏区的边长最少是_________米．（精确到整数） 【变式18-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两人同时去同一家加油站加92号汽油，甲花300元所加的油量比乙花225元所加的油量多10升． (1)求92号汽油的单价； (2)几天后甲、乙两人第二次去这家加油站加92号汽油时，单价比第一次多了元，甲所加的油量与第一次相同，乙所花的钱与第一次相同，则甲两次加92号汽油的平均单价是_______元，乙两次加92号汽油的平均单价是_______元； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油．若甲、乙两人去同一家加油站加两次92号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次m元/升，第二次n元/升，且．两人的加油方式也不同，其中甲每次总是加汽油h升，乙每次总是加d元的汽油．请你通过计算说明按相同金额加油，还是按相同油量加油更合算？ 【变式18-2】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． (1)任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； (2)任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ (3)任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【变式18-3】（24-25八年级上·福建厦门·期末）某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【题型19 分式运算的新定义问题】 【例19】（25-26八年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【变式19-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【变式19-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【变式19-3】（25-26八年级上·广东惠州·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【题型20 含参分式方程求参数】 【例20】（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）若关于的分式方程的解不小于2，求的取值范围． 【变式20-1】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的不等式组有解且至多3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，求符合条件的所有整数a的和． 【变式20-2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【变式20-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【题型21 分式方程增根无解综合解答】 【例21】（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【变式21-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【变式21-2】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【变式21-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）【阅读材料】在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程的解要满足的条件是使原方程分母不为零，若整式方程的解使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的增根．例如：，解得．∵当时，，是原方程的增根． 【知识应用】m为何值时，方程有增根． 【题型22 工程类分式方程应用】 【例22】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）为了迎接国庆，某市准备在“中央广场”设置一个花坛，现需要在花坛中摆放鲜花，园林处准备用招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．“红星中学”的数学兴趣小组把“花坛建设”作为一项综合与实践的活动，完成了实践调查并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 花坛建设 调查方式 走访调研、实地查看 调研过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： 1．花坛中摆放的鲜花有甲、乙两种，且要求所有的摆放工作在一天内完成，摆放甲鲜花的工人每人当天费用为250元，摆放乙鲜花的工人每人当天费用为300元； 2．共招募7名工人，每名工人在相同的时间内摆放甲鲜花2盆或摆放乙鲜花3盆，且每名工人只完成一项工作，要求摆放两种鲜花同时开始，并在当天同时完成； 3．整个任务需要摆放甲鲜花600盆和乙鲜花1200盆． 计算结果 【变式22-1】（25-26八年级上·广东东莞·期末）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8000平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好14天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【变式22-2】（25-26七年级上·重庆·自主招生）有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 【变式22-3】（25-26八年级上·山东泰安·期末）根据背景素材，探索解决问题： 如何安排工程队的施工任务 素材1 凤凰古城是湖南十大文化遗产之一．沱江作为古城的母亲河（如图）．不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客． 为了促进古城旅游业发展，某改造项目组决定对85千米的河道进行升级改造，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队伍共同完成此项任务． 素材2 乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成改造所需天数比乙工程队单独完成改造所需天数多170天． 素材3 改造项目组要求改造85千米河道的总费用不能超过3442万元，甲、乙两工程队每天的工程费用分别为4万元、5.6万元． 问题解决 任务1 分析效率 甲、乙两工程队每天改造河道的长度分别是多少米？ 任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【题型23 行程类分式方程应用】 【例23】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同，现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21秒；甲飞行3个航段总用时与乙飞行4个航段总用时相等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10米，甲飞行200米所用的航段数与乙飞行160米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 【变式23-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）甲、乙两车分别从地出发，在、两地之间匀速往返行驶，甲的速度大于乙的速度，甲从地出发，乙从距离地千米的地方出发，两车同时出发，第一次相遇在距离地千米的地方，第二次相遇在距离地千米的地方，求、两地的距离． 【变式23-2】（2026·重庆·模拟预测）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时以后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地． (1)求原计划的行驶速度； (2)若该车返程时，因道路施工，实际总路程比去程增加了．汽车先以原计划速度行驶若干千米后，由于路况变差，剩余路程改为原计划速度的倍行驶．已知返程途中汽车因故障停留了15分钟，最终返程所用总时间比去程的实际用时多2小时，求返程时以原计划速度行驶的路程． 【变式23-3】（25-26八年级上·山东淄博·期末）某科技小组制作了“性能”完全相同的、两个机器人，请阅读下列“性能”及“测试”信息，并完成“任务”中的相应任务． 性能信息 1．、两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式，且这两个机器人在同一跑步模式下的速度完全相同； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的2倍． 测试信息 实验1：测机器人各模式速度．机器人标准模式下跑完300米测试路程所花时间与基础模式下跑完200米测试路程所花时间均相等． 实验2：测、两个机器人分别10分钟所跑路程． 信息一：、同地出发，同向而行； 信息二：早于先出发1分钟，在标准模式下完成全程10分钟的跑步； 信息三：先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用分钟紧急调试后切换为基础模式又继续跑了170米，完成全程10分钟（包括故障时间）的跑步． 任务 任务一：（1）求机器人基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人故障时长的值； 任务三：（3）请直接写出在实验2的整个过程中A出发第几分钟时，、两个机器人之间的距离等于25米． 【题型24 销售利润分式方程应用】 【例24】（25-26七年级下·浙江丽水·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑奖方案？ 某文具店销售某种圆规与直尺，如图所示，已知圆规的单价是直尺的倍．    素材 素材 用元购买直尺的数量比用元购买圆规的数量多件． 素材 某学校花费元购买该文具店的圆规和直尺作为奖品颁发给优秀学生，购买圆规的数量是直尺的倍． 素材 某学校花费元后，文具店赠送张（）兑换券（如图）用于商品兑换，兑换后圆规与直尺的数量相同．    问题解决 (1)请运用适当的方法，求出圆规和直尺的单价 (2)求该校花元购买的圆规和直尺数量 (3)运用数学知识，确定兑换方式 【变式24-1】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． (1)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ (2)“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 【变式24-2】（24-25七年级下·安徽马鞍山·期末）某蔬菜超市两次去批发市场采购同一品种的辣椒，第一次用850元购进了若干千克，很快卖完，第二次用1500元所购数量比第一次多40千克，且每千克的进价比第一次提高了． (1)求第一次购买辣椒的进价； (2)求第二次购买辣椒的数量； (3)该蔬菜超市按以下方案卖出第二次购买的辣椒：先以a元/千克的价格售出n千克，再以16元/千克的价格售出剩余的全部辣椒（不计损耗），共获利900元，若a，n均为正整数，且a不超过第二次进价的2倍，求a和n的值． 【变式24-3】（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）根据以下信息，按要求完成下列任务． 社区运动健身器材采购创意探究项目 项目背景 某社区响应国家卫健委的“体重管理年”号召，将举办社区趣味运动会暨“阳光体育，健康生活”健身月活动，为进一步激发社区公民的运动热情，完善社区运动设施，决定采购甲、乙两种健身器材，这两种器材安全耐用、趣味与锻炼效果兼备，能为社区公民的健身运动增添活力，帮助大家养成坚持锻炼的好习惯． 项目要求 运用方程与不等式的数学思想解决采购中的实际问题，确保过程的准确性与规范性． 信息展示 信息1 已知甲种器材的单价是乙种器材单价的倍， 信息2 用600元单独购买甲种器材比单独购买乙种器材要少10件． 信息3 社区计划购买甲、乙两种器材共40件作为奖品与共享器材，但有两个重要的限制条件需要考虑：①投入的经费不能超过1020元；②要使购买的甲种器材数量不少于乙种器材的数量． 问题解决 (1)求购买一件甲种器材和一件乙种器材分别需要多少元？ (2)综合考虑这些条件，运用数学知识，探究社区共有几种可行的采购方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种器材的具体购买数量． (3)在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成件构成，找出总费用最低的采购方案． 【题型25 方案选择分式方程】 【例25】（2025·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【变式25-1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【变式25-2】（26-27九年级上·四川达州·开学考试）某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 【变式25-3】（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？ 素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍． 素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个． 素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价． 任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量， 任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量． 【题型26 复杂二次根式化简求值】 【例26】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【变式26-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的： (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ① ； ②化简． 【变式26-2】（25-26八年级下·云南玉溪·阶段检测）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： (1)请用上面的方法一或者方法二化简；； (2)化简； (3)若，求的值． 【变式26-3】（26-27八年级上·江西·期中）下面我们观察： ，反之， ， ． 仿上例，求： (1)化简：； (2)计算： ． 【题型27 比较二次根式的大小】 【例27】（25-26九年级上·山西·阶段检测）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“比较与的大小”的研究报告（一题多解） 研究人员：博学小组 成员1（平方法）： 研究思路：将与分别平方，再比较大小． 解题过程：…… 成员2（构造法）： 研究思路：以2，，为边构造三角形，利用三角形中▲　　　　进行比较． 问题思考：以2，，为边构造的三角形为■　　　　三角形． 任务： (1)研究报告中“▲”处空缺的内容：　　　　．“■”处空缺的内容：　　　　． (2)请补全材料中“……”处的解答过程． (3)直接写出与之间的大小关系． 【变式27-1】（26-27八年级上·甘肃·期中）观察下列一组等式，然后解答问题： ， ， ， ， …… (1)利用上面的规律，计算：． (2)利用上面的思路，计算：． (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【变式27-2】（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【变式27-3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为．求证： (1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格． (2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $