第三章 实数（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版七年级上册

第三章 实数 知识点一·算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二·平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点三·平方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 知识点四 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点五 近似数 精确度判断：普通小数看最后一位；科学记数法要还原，看末尾有效数字所在数位 易错点1·平方根、算术平方根概念混淆 易错提醒 1.代表算术平方根，结果一定是非负数;土才是a的平方根。 2.负数没有平方根，但负数有立方根。 【对点训练】1．下列说法正确的是（） A．9的平方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．都是9的算术平方根 【对点训练】2．9的平方根是（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先化简，再求化简后数的平方根． 【详解】解：， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 【对点训练】4．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 易错点2·算术平方根双重非负性忽略限制条件 易错提醒 有两层要求:①被开方数a > 0;②运算结果 > 0. 多个非负数(根号、绝对值、平方)相加等于 0，则每一项单独等于 0. 【对点训练】1．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【对点训练】2．若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】3．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【对点训练】4．已知实数和满足，则的值为__________． 易错点3·无理数识别判断出错 易错提醒 无理数:无限不循环小数。 X误区:带根号就是无理数(V4=2是有理数):无限小数都是无理数(无限循环小数是有理数):分数是无理数。三类无理数:①开方开不尽;②含π;③人为构造无限不循环小数(0.1010010001...) 【对点训练】1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【对点训练】2．在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【对点训练】3．在，2，，这四个实数中，无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【对点训练】4．下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 易错点4·估算无理数：小数部分计算错误 易错提醒 小数部分＝原无理数＝整数部分，小数部分>0，不要写错 【对点训练】1．估算的计算结果应在（     ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【对点训练】2．估算的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【对点训练】3．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【对点训练】4．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 易错点5·开方方程混淆平方根与立方根的解 【对点训练】1．解方程： 【对点训练】2．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【对点训练】3．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【对点训练】4．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【对点训练】5．已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 易错点6·小数点移动规律记反 / 位数记错 易错提醒 算术平方根：被开方数移动2 位，结果同向移动 1 位； 立方根：被开方数移动3 位，结果 向移动 1 位。 【对点训练】1．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【对点训练】3．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【对点训练】4．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．3．1415926 D． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无限小数都是无理数；③平方根和立方根都等于本身的数是0和1；④实数与数轴上的点一一对应；⑤负数没有算术平方根，也没有立方根．其中错误的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．4与6之间 6．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 7．的平方根是___________． 8．的相反数是___________，的立方根是___________． 9．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 10．求满足等式的未知数x： 11．已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数 知识点一·算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二·平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点三·平方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 知识点四 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点五 近似数 精确度判断：普通小数看最后一位；科学记数法要还原，看末尾有效数字所在数位 易错点1·平方根、算术平方根概念混淆 易错提醒 1.代表算术平方根，结果一定是非负数;土才是a的平方根。 2.负数没有平方根，但负数有立方根。 【对点训练】1．下列说法正确的是（） A．9的平方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．都是9的算术平方根 【答案】C 【详解】解：A．9的平方根是，故不正确； B．没有平方根，故不正确； C．9的算术平方根是3，正确； D．都是9的平方根，故不正确． 【对点训练】2．9的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 【对点训练】3．的平方根是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先化简，再求化简后数的平方根． 【详解】解：， ∵， ∴的平方根是，即的平方根是． 【对点训练】4．49的算术平方根是（     ） A． B． C．7 D．23 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ 49的算术平方根是． 易错点2·算术平方根双重非负性忽略限制条件 易错提醒 有两层要求:①被开方数a > 0;②运算结果 > 0. 多个非负数(根号、绝对值、平方)相加等于 0，则每一项单独等于 0. 【对点训练】1．若，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 【对点训练】2．若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，代入计算后求结果的平方根． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根为，则的平方根为． 【对点训练】3．若x，y为实数，且，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵，，且， ∴，， 解得：，， 故 ． 【对点训练】4．已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 易错点3·无理数识别判断出错 易错提醒 无理数:无限不循环小数。 X误区:带根号就是无理数(V4=2是有理数):无限小数都是无理数(无限循环小数是有理数):分数是无理数。三类无理数:①开方开不尽;②含π;③人为构造无限不循环小数(0.1010010001...) 【对点训练】1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是无理数；、、都是有理数． 【对点训练】2．在实数，，，（每两个之间依次增加一个），，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先把能化简的根式化简，再根据无理数是无限不循环小数这个定义，逐个判断，区分开有限小数、循环小数、分数这类有理数，最后统计无理数个数． 【详解】解：，， 有理数有，，，， 无理数有，（每两个之间依次增加一个），，共个． 【对点训练】3．在，2，，这四个实数中，无理数的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】需先化简，再判断无理数的个数． 【详解】解：， ∵，2，3均为有理数，是无理数， ∴四个数中无理数的个数为1个． 【对点训练】4．下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 易错点4·估算无理数：小数部分计算错误 易错提醒 小数部分＝原无理数＝整数部分，小数部分>0，不要写错 【对点训练】1．估算的计算结果应在（     ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴，即． 【对点训练】2．估算的值在（     ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】A 【分析】利用夹逼法求出的取值范围，再推导的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即． 【对点训练】3．已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的取值范围是解题的关键． 先估算的整数部分，再求的小数部分，最后计算即可． 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴， 故选D． 【对点训练】4．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 易错点5·开方方程混淆平方根与立方根的解 【对点训练】1．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【对点训练】2．已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【对点训练】3．已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 【对点训练】4．已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求的值 (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据立方根和算术平方根的定义求出的值是解此题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可得出答案； （2）由（1）得：，求出的值，最后根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解： 的立方根是2，的算术平方根是3， ，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ， 的平方根为． 【对点训练】5．已知的算术平方根是，的立方根是 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据算术平方根及立方根的定义即可求得答案； （2）将a，b的值代入中计算后利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， ； （2）解：∵， ， 则的平方根是． 易错点6·小数点移动规律记反 / 位数记错 易错提醒 算术平方根：被开方数移动2 位，结果同向移动 1 位； 立方根：被开方数移动3 位，结果 向移动 1 位。 【对点训练】1．若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目已知条件找到规律为被开方数的小数点向某方向移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，利用该规律即可求解． 【详解】解：，，，， 则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位， ， ． 【对点训练】2．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 【对点训练】3．嘉淇发现，，根据嘉淇的发现解决问题：已知，，则的值是（    ） A．4.5 B．14.23 C．45 D．142.3 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【对点训练】4．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．3．1415926 D． 【答案】D 【详解】解：是分数，是整数，是有限小数，均为有理数， 开方开不尽，为无理数． 2．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根定义直接开平方计算即可得答案． 【详解】解：根据平方根定义得：的平方根是：， 即的平方根是． 3．下列说法：①两个无理数的和还是无理数；②无限小数都是无理数；③平方根和立方根都等于本身的数是0和1；④实数与数轴上的点一一对应；⑤负数没有算术平方根，也没有立方根．其中错误的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：①两个无理数的和不一定是无理数，如，0是有理数，故①错误． ②无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数是无理数，故②错误． ③平方根等于本身的数只有0，立方根等于本身的数有，故平方根和立方根都等于本身的数只有0，③错误． ④实数与数轴上的点一一对应，故④正确． ⑤负数没有算术平方根，但有立方根，故⑤错误． 综上，错误的说法共4个． 4．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：4，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意． 5．估计的值在哪两个整数之间（     ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．4与6之间 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 7．的平方根是___________． 【答案】 【分析】先计算出的值，再求该值的平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念． 【详解】解：，的平方根为， 的平方根是． 8．的相反数是___________，的立方根是___________． 【答案】 【分析】根据相反数定义求的相反数，根据立方根定义求的立方根即可． 【详解】解：∵ 互为相反数的两个数符号相反，绝对值相等， ∴ 的相反数是， ∵ ， ∴ 的立方根是． 9．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： ，， 已知，，则_______，_______． 【答案】 【详解】解：观察各式可知，被开方数扩大（缩小）倍，立方根扩大（缩小）倍， ∵，， ∴，． 10．求满足等式的未知数x： 【答案】 【分析】先整理方程得到的值，再通过开立方求解。 【详解】解： ． 11．已知的算术平方根是2，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据的算术平方根是2，的立方根是，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可； （2）把（1）中所求的代入进行计算，从而求出它的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是4，即， ∵的算术平方根是2，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可知：，，， ∴， ∴的平方根为． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $