第三章 代数式 重难点自测 2026—2027学年苏科版七年级上册数学

2026—2027学年苏科版七上数学第三章代数式重难点自测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知a﹣b＝4，则代数式3a﹣3b﹣5的值为（　　） A．9 B．5 C．7 D．﹣7 3．已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．不是单项式 B．射线与射线是同一条射线 C．已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是 D．多项式是四次三项式 6．为了庆祝“九三阅兵”，学校组织“五角星方阵”的展示活动，某同学用大小相等的五角星按规律摆出方阵图案．第1个图案有4颗五角星；第2个图案有7颗五角星⋯按照这个规律猜一猜，第2026个图案需要（    ）颗五角星． A．6077 B．6078 C．6079 D．6080 7．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为81，则第2027次输出的结果为（    ） A．3 B．27 C．9 D．1 8．将多项式中的个()“”改为“”后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对变换”．下列关于对多项式的“绝对变换”的结果说法： ①若，，，为4个连续的正整数，则结果的最小值为； ②若且结果等于，则原多项式中必有两项之和为； ③若且新多项式各项之积大于，则将绝对值符号化简打开后，共有种不同的运算结果． 其中正确的个数是(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．对代数式“”，我们可以这样来解释：某人先步行了1千米后又以4千米/时的速度走了小时，他一共走的路程是千米．请你对“”再给出另一个生活实际方面的解释：___________． 10．长方形面积为，则它的长和宽成________比例． 11．若单项式与的和是单项式，则的值为______． 12．如图，根据图示的程序计算的值，若输入的的值为，则输出的结果为______ ．    13．如果关于x、y的单项式与的差是一个单项式，那么___________ ． 14．一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付( )元． 15．将9个代数式填入九宫格的方格中，使得九宫格的每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个代数式的和都相等．已知九宫格中的部分代数式如图所示，则________．（用含有的代数式表示） 16．已知，则代数式的值为______． 17．用火柴棒按图中的方式搭图形，按照这种搭摆规律，图n需要________根火柴棒． 18．有如下结论： ①若，则；②若、为有理数，，，且则；③若对于任意有理数，则存在最小值为 ；④ 若，且，则；⑤已知、、均为非零有理数，若，，，则的值为或．其中，正确的结论是___________（填写序号）． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．化简：． 20．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案、第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有10根小棒，第3个图形中有14根小棒，….按此规律摆下去： (1)第5个图形中有_____根小棒； (2)用含n的代数式表示第n个图形中小棒的根数． 21．求下列图形阴影部分的面积： 22．已知：，，． (1)求的值； (2)求的值． 23．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【尝试应用】 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若，则_____； （2）如果，求的值． 【拓展探索】 （3）如果，．求的值． 24．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 25．（1）已知，． ①当x取何值时，？ ②当x取何值时，的值比的值的2倍大8？ （2）小明准备完成题目：化简：，发现系数“■”印刷不清楚． ①他把“■”猜成3，请你化简； ②他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”请通过计算说明原题中的“■”是几？ 26．(1)对于有理数x，y，若，则的值是________． (2)已知，求的值． (3)若a，b，c都是非零有理数，求的值． 27．同学们，大家一定很熟悉月历吧！如图：是某月的月历． (1)带阴影的方框中的4个数，对角两数之和有什么关系？ (2)不改变阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 28．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026—2027学年苏科版七上数学第三章代数式重难点自测参考答案 1．D 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． 2．C 【分析】把所求的代数式进行整理得：3（a﹣b）﹣5，再代入求值即可． 【详解】解：∵a﹣b＝4， ∴3a﹣3b﹣5 ＝3（a﹣b）﹣5 ＝3×4﹣5 ＝12﹣5 ＝7 故选C． 【点睛】本题主要考查了代数式求解，解题的关键在于利用整体思想进行求解. 3．B 【分析】本题考查了用代数式表示字式，以及等式的基本性质．移项，再把x的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】方程， ， 所以：． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查整式的加减运算，包括合并同类项和去括号法则． 根据合并同类项法则，只有同类项才能合并；去括号时，括号外的因数要乘以括号内的每一项，并注意符号．据此进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，∴ A错误． B．去括号得，，∴ B错误． C．和是同类项（因为），合并后为，∴ C正确． D．，∴ D错误． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了单项式和多项式，射线的表示，补角的有关计算，根据单项式和多项式的相关概念，射线定义，补角的定义，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是单项式，选项说法错误，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； C、已知一个角的补角等于这个角的3倍，则这个角的度数是，选项说法错误，不符合题意； D、多项式是四次三项式，说法正确，符合题意； 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是得到图形的一般规律；由题意易得第1个图形有颗五角星；第2个图形有颗五角星；第3个图形有颗五角星；第4个图形有颗五角星；….；然后可得第n个图形有颗五角星，进而问题可求解． 【详解】解：由图可知： 第1个图形有颗五角星；第2个图形有颗五角星；第3个图形有颗五角星；第4个图形有颗五角星；….； ∴第n个图形有颗五角星， ∴第2026个图案需要颗五角星； 故选C． 7．A 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键是理解运算程序图；因此此题可根据运算程序图分别得出第1、2、3、4、5、6次的值，然后可得一般规律，进而问题可求解． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， …， 依此类推，从第3次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3， ∵2027是奇数， ∴第2027次输出的结果为3， 故选A． 8．C 【分析】本题考查了绝对值的意义，多项式的定义；①根据绝对值的意义，可得结果的最小值为；②根据题意，举例，即可求解；③根据题意，可得或，进而分类讨论，即可求解． 【详解】解：①若，，，为4个连续的正整数， 则最小值为，故①正确； ②若，且结果等于， 即， 则，故②正确； ③∵且新多项式各项之积大于， ∴或， 当时， ∵ ∴，，，的符号不能确定，的符号不能确定， ， 或， 或 以上共有4种不同结果 当时，则，∴，只有1种结果， 综上所述，将绝对值符号化简打开后，共有种不同的运算结果．故③错误， 故选：C． 9．小明先在文体店买了1元的铅笔后再到水果店以4元/千克的价格买了千克的香蕉（答案不唯一） 【分析】可以根据总价等于单价乘以数量考虑求解． 【详解】解：小明先在文体店买了1元的铅笔后再到水果店以4元/千克的价格买了千克的香蕉，他一共付出的费用是元（答案不唯一） 故答案为：小明先在文体店买了1元的铅笔后再到水果店以4元/千克的价格买了千克的香蕉． 【点睛】本题考查列代数式，比较简单，解题的关键是正确理解题意，从多方面考虑，符合题意即可． 10．反 【分析】本题考查了反比例的辨识，根据长方形的面积公式，得到长宽，即可进行判断出成反比例． 【详解】解：长宽， 即长与宽的积一定， 长和宽成反比例， 故答案为：反． 11． 【分析】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是牢记同类项中的两个相同．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得和的值，再求解即可． 【详解】解：由题意可得单项式与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 12．/ 【分析】将代入计算出结果即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式求值，以的取值范围确定代入的函数式是本题的关键． 13．13 【分析】根据题意可知两个单项式为同类项，根据同类项的定义，得和，求得，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得单项式与是同类项， ∴，， 解得， ∴． 14．/ 【分析】根据总价单价数量，一支铅笔的价钱是元，买支铅笔应付元，一块橡皮的价钱是元，买块橡皮应付元，相加即可． 【详解】解：一支铅笔的价钱是元，一块橡皮的价钱是元，买支铅笔和块橡皮应付元． 故答案为：． 【点睛】本题考查用字母表示数，解决本题的依据是:总价单价数量． 15． 【分析】本题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 设最中间的代数式为P，再根据九宫格的两条对角线上的3个代数式的和都相等列出等式，然后整理即可解答． 【详解】解：设最中间的代数式为P， 由题意可得，， 整理得：． 故答案为：． 16．13 【分析】本题考查了代数式的求值运算，根据式子的特点，采用整体代入的方法．观察已知等式并进行变形，可以将已知整体代入求代数式的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：13． 17． 【分析】本题考查图形类规律探究．根据已有图形，得到后一个图形比前一个图形多8根火柴棒，进而求出图n需要的火柴棒即可． 【详解】解：由图可知：图1有11根火柴棒，后一个图形比前一个图形多8根火柴棒， ∴图n需要根火柴棒； 故答案为：． 18．②③④⑤ 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，进行解答，即可． 【详解】解：①∵， ∴，错误； ②∵，，且， 由数轴可得： ∴，正确； ③表示点的距离；表示点的距离， ∴存在最小值为，正确； ∴存在最小值为 ，正确； ④ ∵，且， ∴，， ∴； ∴ ∴，正确； ⑤∵，，， ∴对，进行分类讨论如下： 当，时；； 当，时；； 当，时；； 当，时；； ∴的值为或，正确； 综上所述，正确的序号为：②③④⑤． 19． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 20．(1)22 (2)根 【分析】本题考查了图形类规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）观察规律可得每一个图形都比它前面一个图形多4根小棒，则可得第4个图形中小棒的根数为根，据此解答即可得； （2）观察规律可得每一个图形都比它前面一个图形多4根小棒，据此归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）解：观察规律可知，每一个图形都比它前面一个图形多4根小棒， 所以第4个图形中小棒的根数为（根）， 所以第5个图形中小棒的根数为（根）， 故答案为：22． （2）解：由图可知，第1个图形中小棒的根数为（根）， 第2个图形中小棒的根数为（根）， 第3个图形中小棒的根数为（根）， 第4个图形中小棒的根数为（根）， 第5个图形中小棒的根数为（根）， 归纳类推得：第个图形中小棒的根数为根，其中为正整数． 21．（1）    （2） 【分析】（1）根据图示，用长是4y，宽是3x的长方形的面积减去长是3y，宽是2x的长方形的面积，求出阴影部分的面积是多少即可； （2）根据图示，用边长是x的正方形的面积减去两个半径是的半圆的面积，求出阴影部分的面积是多少即可． 【详解】（1）阴影部分的面积为3x·4y－3y（3x－x）=12xy-6xy=6xy； （2）圆的半径等于， ∴S圆＝π（）2， 故阴影部分的面积为x2－π（）2= 【点睛】此题考查了不规则图形的面积的计算方法，一般都是转化到规则图形中，利用面积公式计算解答． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了非负数的性质，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可； （2）先把，代入化简，然后把x，y的值代入计算． 【详解】（1）， ， ， 解得：， 则； （2）原式 ， 当时， 原式． 23．（1）2025；（2）57；（3）0 【分析】本题考查了已知式子值求代数式的值，整体思想，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，即可作答． （2）先整理，再把代入进行计算，即可作答． （3）因为，，所以，再整理原式，然后把，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， 则； 故答案为：． （2）原式， 当时，原式． （3），， ， ， 当，时， 原式． 24．(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 25．（1）①6；②；（2）①；②8． 【分析】本题考查了整式的加减，准确化简是解答本题的关键． （1）①将、代入解方程即可； ②根据的值比的值的2倍大8，把、代入列解方程即可； （2）①去括号合并同类项即可； ②设■为m，则通过合并同类项，用m表示的系数为，由题意，，解方程即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴时，， 解得：； ②根据题意列出方程为：， 解得：． （2）①； ②设：■为m，则有 ， ∵代数式的结果是常数，即， ． ∴■为8． 26． ； ； 或或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，解题的关键是先确定绝对值内部式子的正负性，进而去掉绝对值，最后化简求出答案. （1）通过，判断是异号的，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案； （2）通过，判断是异号的，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案； （3）通过对的正负性进行分类讨论，再根据绝对值的性质去绝对值符号，最后化简得出答案. 【详解】（1）解：∵，∴一正一负， 则：，和一个为，一个为. ∴原式=. 故答案为：. （2）解：∵，∴和一正一负. 则， ∴. （3）解：①若均为正，则原式=； ②若两正一负，则原式=； ③若两负一正，则原式=； ④若均为负，则原式=. 故答案为或或. 27．(1)对角两数之和相等 (2) 解：结论：不改变方框大小，移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 证明：设方框中左上角的数为 ∵月历中同一行相邻两数相差1，同一列相邻两数相差7， ∴方框中其他三个数分别为（右上角）、（左下角）、（右下角）． 则左上角与右下角两数之和为： 右上角与左下角两数之和为：． ∵ ∴方框中对角两数之和相等． 答：移动方框后，方框中对角两数之和仍然相等． 【分析】本题考查了月历中数字的排列规律及用字母表示数的运算，解题的关键是通过观察月历中相邻数字的关系（横向差1，纵向差 7），用字母表示方框中的数，进而通过整式运算验证规律． （1）计算阴影方框中两组对角数字的和，对比结果得出关系； （2）移动方框后重复计算，猜想结论；设方框中左上角数字为字母，分别表示出其他三个数，通过整式运算证明对角之和相等． 【详解】（1）解：以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，； 以阴影方框 、、、 为例， 对角两数之和分别为：，． 答：带阴影的方框中，对角两数之和相等． （2）略 28．(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可； （2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可； （3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出， 结合得，结合问题变形为或，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5，； （2）由题意可知： ， 即， ； （3）m，n，p，q，…，是理想数列， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $