重难点08：空间几何体外接球与内切球的十二大模型讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 空间几何体外接球与内切球的十二大模型 知识点一、几何体的外接球 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱锥的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱台的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、n为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 知识点二、几何体的内切球 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体：; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：. 知识点三、多面体的棱切球 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球直径相等. 考点一、外接球问题 题型一：特殊柱体的外接球问题 【方法点拨】1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3.柱体的外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 1. 棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则_______ 2. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为___ 3.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为____ 4.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    题型二：特殊锥体和台体的外接球问题 【方法点拨】1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 5.已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为________ 6．棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为_______ 7.正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 8．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 9.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型三：墙角模型 【方法点拨】补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 10.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 11.已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是______ 12.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 13. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 14. 如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 题型四：对棱相等模型 【方法点拨】若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 15.三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 16.在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为____ 17.四面体中，，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是 ． 18.已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五：侧棱垂直底面模型 【方法点拨】方法一：补成柱体模型进行求解. 方法二：确定球心法.如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 19.已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为______ 20. 已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 21. 已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 22. 在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为______ 题型六：侧面垂直底面模型 23. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为______ 24. 三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为_______ 25. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为_______ 26. 如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为_______ 考点二、内切球问题 题型七：内切球之正方体、正棱柱模型 【方法点拨】1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径.． 27.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 28.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 29.已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型八：内切球之棱锥模型 30．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 31. 在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 32.数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 题型九：内切球之圆锥、圆台模型 33.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 34.如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 35.已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 36．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．    考点三、棱切球问题 题型十：棱切球之柱体模型 【方法点拨】找切点，找球心，构造直角三角形，求半径. 37.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 38.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 题型十一：棱切球之锥体、台体模型 39. 已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 40. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 41. 与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 42. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 43. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 题型十二：多球相切问题 44. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 45. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 46. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 47. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 1、 填空题 1.长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________. 2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为_____ 3．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为______ 4.已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为______ 5.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为______ 6.已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 7.在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 . 8.在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为______ 9. 已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是 ． 10.三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______ 11.四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为______ 12. 棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 13.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为_______ 14.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 2、 选择题 15.在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 16．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 17.在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 18.已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 19. 古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 20. 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 21. 已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 22. 已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 23.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点06 空间几何体外接球与内切球的十二大模型 知识点一、几何体的外接球 1.几何体外接球的概念 （1）若多面体的所有顶点都在一个球面上，则该球叫作该几何体的外接球； （2）若旋转体的顶点在球面上，底面圆恰好为球的截面圆，则该球叫作该旋转体的外接球. 2．常见几何体外接球半径R的速算公式 模型 速算公式 关键数据 长方体模型 长方体的长宽高、、. 直棱柱模型 棱柱的高，底面外接圆半径. 正棱锥模型 棱锥的高，底面外接圆半径. 正棱台模型 棱台的高，上底面外接圆半径， 下底面外接圆半径，外接圆圆心到上底面的距离. 面面垂直模型 两个面所在图形的外接圆半径、，两个图形的交线长度. 二面角模型 为两个图形的交线长度，、n为两个图形的外接圆圆心到交线的距离，为两个平面的夹角. 知识点二、几何体的内切球 1.几何体内切球的概念 内切球是指与几何体的所有面（或侧面及底面）都相切的球，其球心到每个面的距离等于球的半径. 2.内切球半径的求解 作出截面的平面示意图之后，利用等面积法或三角函数的定义构造方程进行求解. 3.常见几何体的内切球半径r的速算公式： (1)棱长为的正方体： (2)棱长为的正四面体：; (3)体积为，表面积为的棱锥：; (4)底面半径为，高为，母线长为（）的圆锥：. 知识点三、多面体的棱切球 1.多面体的棱切球的概念 若一个多面体的各条棱都与一个球相切，则称该球为该多面体棱切球 【注意】旋转体没有棱切球. 2.正方体的棱切球 设正方体的棱长为a,则正方体的棱切球的直径2r=，此时正方体各面的对角线长恰好与其棱切球直径相等. 考点一、外接球问题 题型一：特殊柱体的外接球问题 【方法点拨】1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3.柱体的外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 1. 棱长分别为，，的长方体外接球的表面积为，则_______ 【答案】 【分析】由条件结合球的表面积公式求球的半径，根据关系长方体体对角线等于其外接球的直径列方程求. 【详解】设长方体的外接球的半径为， 由已知，所以， 又棱长分别为，，的长方体的体对角线长为， 长方体体对角线等于其外接球的直径， 所以， 所以. 2. 已知某圆柱的高为，底面半径为1，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为___ 【答案】 【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心，根据题中条件，结合勾股定理，可得半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以为球心的球面上， 所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心， 且与底面圆心的连线垂直底面， 因为圆柱底面半径为，高为， 所以球心到底面的距离， 因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径， 所以由勾股定理得， 则球的表面积． 3.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，则该三棱柱的外接球的体积为____ 【答案】 【分析】利用直三棱柱的对称性得到其外接球的球心为的中点，再利用正余弦定理求得底面外接圆的半径，结合球的截面性质求得外接球的半径，从而得解. 【详解】设的外心为，的外心为，连接，如图所示， 由题意可得该三棱柱的外接球的球心为的中点． 在中，由余弦定理可得 ，则， 由正弦定理可得外接圆的直径，则， 而球心O到截面ABC的距离， 设直三棱柱的外接球半径为， 由球的截面性质可得，故， 所以该三棱柱的外接球的体积为， 4.如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为    题型二：特殊锥体和台体的外接球问题 【方法点拨】1、正棱锥外接球半径： ． 2、侧棱相等模型： 如图，的射影是的外心 三棱锥的三条侧棱相等 三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点． 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出． 5.已知正四面体的外接球表面积为，则正四面体的棱长为________ 【答案】2 【分析】先求出外接球的半径，然后设正四面体的边长为，然后求出四面体的高，进行计算即可． 【详解】解：正四面体的外接球表面积为， ，解得（负值舍去）， 设四面体的棱长为，取的中点，连接， 设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，， 则， 所以， 在直角中，，即， 即，得，得（舍或. 6．棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为_______ 【答案】 【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为 的正四面体的外接球的半径为， 设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则 ，体高为 ，由于外接球半径为 ，利用勾股定理得： ，解得， 7.正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是 ． 【答案】3 【分析】先画出该三棱锥图像，然后利用边角关系求解即可. 【解析】画出正三棱锥的图形如图， 三角形的中心为，连接，球的球心在上，连接， 取的中点，连接，则，，， ，所以，，， 底面三角形的高为，底面三角形的边长为，，． 故答案为：3 8．已知正六棱锥底面边长为2，体积为，则外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由正六棱锥得，底面为正六边形，设底面的中心为，连接， 则，底面，为正六棱锥的高， 所以， 因为正六棱锥的体积为，所以，即， 故点为外接球的球心，半径为2， 故外接球的体积， 故选：C． 9.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    题型三：墙角模型 【方法点拨】补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 10.在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将三棱锥补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积． 【详解】将三棱锥补全为长方体， 则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R， 则， 所以球的表面积为． 故选答案为：． 11.已知三棱锥，⊥平面，，=90o，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是______ 【答案】20 【分析】根据已知体积求出三棱锥各棱长，利用三棱锥三条棱两两垂直的特点将其补为长方体，通过长方体体对角线求出外接球半径，进而计算外接球表面积. 【详解】已知，，设，则， 由题意，又平面， 所以，已知， 解得，即，得， 因此， 将三棱锥补成一个长方体，如图，则为三棱锥外接球的直径， 在中，，外接球半径， 则，外接球表面积. 12.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，已知“鳖臑”中，平面，，，，则“鳖臑”外接球体积的最小值为______． 【答案】 【分析】利用割补法及长方体的体对角线为外接球的直径，结合二次函数的性质及球的体积公式即可求解. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以，，为长、宽、高的长方体，如图所示， 其中为长方体的对角线，则三棱锥的外接球球心即为的中点， 要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 故答案为：. 13. 在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角中，为斜边上的高，，现将沿翻折成，使得四面体为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 【答案】 【解析】找出鳖臑外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解. 由题设，都是直角三角形，只需平面即可， 所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上， 而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等， 所以的中点是外接球的球心，所以． 14. 如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到平面ABEF，进一步得出，，则MC为外接球直径，代入球的表面积公式即可求解． 【详解】由可知，，，可求，，， 因为平面平面ABEF，平面平面， 又，平面， 所以平面ABEF，平面ABEF，所以， 由，，得， 又，同理可得得，又， 所以，所以. 所以MC为外接球直径， 在Rt△MBC中，即， 故外接球表面积为． 故选：A． 题型四：对棱相等模型 【方法点拨】若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 15.三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 思路详解：由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示： 记该长方体的棱长为，则， 即，所以外接球半径为， ． 故答案为：. 16.在三棱锥中，已知，，，则该三棱锥外接球的体积为____ 【答案】 【详解】由题意可知：，，， 则三棱锥可放置在如图所示的长方体中， 设三棱锥三组对棱的长分别为，，， 由对棱相等模型，，，， 即，所以长方体的体对角线平方为：， 即体对角线长为，则， 该三棱锥外接球的体积. 17.四面体中，，则经过A，B，C，D的外接球的表面积是 ． 【答案】 【分析】由题意将此四棱锥补成一个长方体，则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，然后求出长方体的对角线的长即可得外接球的直径，从而可求出其表面积 【详解】解：因为四棱锥的对棱相等，所以将四棱锥补成如图所示的长方体， 则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球， 所以球的直径为长方体的对角线的长， 设长方体的长、宽、高分别为， 因为， 所以，解得， 所以球的半径， 所以球的表面积为， 故答案为： 18.已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造一个长方体，四面体四个顶点在长方体顶点上，利用长方体的对角线为外接球直径求解即可. 【详解】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则 故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 题型五：侧棱垂直底面模型 【方法点拨】方法一：补成柱体模型进行求解. 方法二：确定球心法.如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 19.已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】由题意确定四棱锥的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得外接球表面积. 【详解】由题意四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形， 得,    设O为PC的中点，E为的交点，连接， 则E为的中点，故,且 因为底面，故平面， 平面，故， 而四边形是边长为2的正方形，故， 故,则， 又，故， 同理求得，即， 故O为四棱锥的外接球的球心，则半径为， 则该四棱锥的外接球的表面积为， 20. 已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 思路详解：因为平面平面，所以． 所以在中，由，可求得．在等腰中，． 易知三棱锥是球O内接长方体的一部分（如图），是该长方体的体对角线，故球心O在的中点处． 因为，所以球O的半径为，故球O的表面积为．    故答案为： 21. 已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由题意可得三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球，计算出该长方体体对角线即的长度结合球的表面积公式即可得. 【点睛】由，故，又底面， 、平面，故，， 故三棱锥的外接球即为以、、为棱的长方体的外接球， 其中为该长方体体对角线，即该三棱锥的外接球的半径， 又，故， 则. 故答案为：. 22. 在三棱锥中，，，，点在平面上投影为，则三棱锥的外接球的表面积为______ 【答案】84π 【详解】设的外接圆半径为，由题可知为等边三角形，由正弦定理，，则， 设外接球的球心为，半径为，的外接圆的圆心为， 由题可得平面，而平面， 过点作，交于点，连接， 则，易得矩形，则， 在直角三角形中，，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 题型六：侧面垂直底面模型 23. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为______ 【答案】 【思路详解】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 24. 三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为_______ 【答案】 【分析】取中点，连接，，可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过，作平面与平面的垂线交于点，即为球心，结合球的性质求得半径，可得三棱锥外接球的表面积. 【详解】    解：如图，取中点，连接，，则，， 因为平面平面，所以可得平面，平面， 取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接， 易得，， ， . 25. 如图，在三棱锥中，，，平面平面，是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为_______ 【答案】 【分析】确定球心位置，求出三棱锥的外接球的半径，由球的表面积公式即可求解． 【详解】依题意，为等边三角形，且高，则， 而，又，则为等边三角形， 平面平面，，平面平面，平面，于是平面， 令的外心为，三棱锥外接球的球心为，则平面， 又三棱锥的外接球球心在线段的中垂面上，此平面平行于平面， 因此，等边外接圆半径， 三棱锥的外接球，则， 所以三棱锥的外接球的表面积， 26. 如图，在梯形中，，将沿对角线折起，使得点翻折到点，若面面，则三棱锥的外接球表面积为_______ 【答案】 【分析】设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心，利用球的截面性质得到四边形为矩形，然后设外接球半径为，由求解. 【详解】解：如图， 设为的中点，为的中点，为的外心，为三棱锥的外接球球心， 则面面. 由题意得为的外心， 在中，， 所以， 又四边形为矩形， ，设外接球半径为， 则外接球表面积， 考点二、内切球问题 题型七：内切球之正方体、正棱柱模型 【方法点拨】1.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系 2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法，如锥体内切球半径.． 27.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 解：设，因为， 所以， 设的内切圆的半径为，则， 即，解得， 因为三棱柱有内切球， 所以， 因为，， 所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为， 所以三棱锥的内切球的表面积为， 三棱锥的外接球的表面积为， 所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为. 故答案为：. 28.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 29.已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 题型八：内切球之棱锥模型 30．正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为 ． 【答案】 【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为， 如图所示，为的中点，，    由正四面体的性质可知线段为正四面体的高， 在正中，， 同理，在正中，， 则，， 所以， 则， 由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上， 则， ， 所以，故， 而棱切球与棱相切，故其半径为， 则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为. 31. 在正三棱锥中，侧棱与底面所成的角为，记三棱锥内切球、外接球的半径分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正三棱锥底面边长为，底面正三角形的中心为，则顶点在底面的投影点为， 因为侧棱与底面所成的角为， 即， 在中，，，， ，， 正四棱锥体积为：, 因为，所以， 在正三棱锥中，外接球的球心在，设球心为， 设，根据球心到顶点距离相等可得，， 即，解得，所以， 所以. 故选：D 32.数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为2，则该勒洛四面体内切球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由对称性知勒洛四面体内切球的球心是正四面体外接球的球心， 连接，并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径， 在正四面体中，为的中心，是正四面体外接球的球心， 连接、、，由正四面体的性质知在上，而， 则，， 由，得， 又，所以该勒洛四面体内切球的半径. 故选：B 题型九：内切球之圆锥、圆台模型 33.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 思路详解：球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 故选：B 34.如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到三角形相似，表达出各边，根据相似得到方程，求出答案. 【详解】由题意得⊥，⊥，故∽， 故， 其中， 故，， 所以，即，解得. 故选：D 35.已知圆台内切球的表面积为，母线与底面圆直径所成角为，则圆台的体积为_____. 【答案】 【分析】由条件根据球的表面积公式求出球的半径，作圆台的轴截面，结合条件解三角形求出圆台的上下底面半径和高，结合圆台体积公式求结论. 【详解】设圆台内切球的半径为， 由已知，所以， 作圆台的轴截面可得 由已知，，， 所以， 因为圆为等腰梯形的内切圆，所以，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 因为，，， 所以，所以，又， 所以， 在中，，，， 所以， 所以圆台的底面圆的半径为，面积为， 底面圆的半径为，面积为，又圆台的高为， 所以圆台的体积， 故答案为：. 36．在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ． 【答案】 【分析】取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可. 【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面的中心分别为，， 设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r， 所以， ，同理． 因为内切球与平面相切，切点在上， 所以①， 在等腰梯形中，②， 由①②得． 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则棱台的高， 所以棱台的体积为． 故答案为：.    考点三、棱切球问题 题型十：棱切球之柱体模型 【方法点拨】找切点，找球心，构造直角三角形，求半径. 37.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若存在球O与该三棱柱的各条棱都相切，求该直三棱柱的外接球的体积为__________. 【答案】 【解析】由题意,三棱柱是正三棱柱，设点分别为棱柱的下底面和上底面的中心， 由对称性知，的中点即球的球心，取中点(为切点)，则（等于点到棱的距离）， 设球的半径为，由正三角形的性质，与底面垂直， 则必与底面上直线垂直，故,解得. 又由对称性知，该直三棱柱的外接球球心即点，连接,因, 则即该直三棱柱的外接球的半径， 故该球的体积为：. 故答案为：. 38.已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所有棱都相切）的表面积分别为，则______． 【答案】 【解析】 设正三棱柱的棱长为，因为正三棱柱上下底面中心连线的中点为外接球的球心， 则外接球的半径，， 所以， 因为，所以为棱切球的球心，则棱切球半径， 所以. 故答案为： 题型十一：棱切球之锥体、台体模型 39. 已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. 40. 已知正四面体的棱长为，球与正四面体六条棱相切，球与正四面体四个面相切，则两个球的体积比 ． 【答案】 【解析】将四面体补成正方体，则四面体的棱长全是该正方体的面对角线， 球与正四面体六条棱相切，则球为正方体的内切球，且切点为面对角线的中点， 正四面体的棱长为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故正方体内切球的半径， 正四面体的棱长为， 设底面三角形的高为，则， 即， 底面三角形的面积 顶点在底面的投影位为底面三角形高的处， 设正四面体的高为， 由勾股定理得， 则正四面体的体积为， 球与正四面体四个面相切， 则球心到正四面体的各个面的距离都相等，且为半径， 则正四面体的体积为， 则由等体积法得， 可得， 则. 故答案为：. 41. 与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图三棱柱为正三棱锥，且底面边长，侧棱 设正三棱锥的棱切球球心为，半径为，则顶点在底面的投影为也为的中心，取的中点，连接，过点作垂足为，则，设， 在中， 因为为的中心，则，， 在中即； 在中，，即， 在中，，则； 在中，，则， 在中，，则， 又因为，则，化简得， 由得解得.故选：C. 42. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径， 则该球的表面积为. 43. 在正四棱台中，，，，若球O与上底面以及棱AB，BC，CD，DA均相切，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的体积为. 故选：D 题型十二：多球相切问题 44. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 【答案】 【解析】若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图， 则球的半径，此时，故不符合题意； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图， 则铁球半径满足，此时； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图， 其中为轴截面对角线，、为两球球心， 分别过作的平行线，过作的平行线，两线交于点， 设铁球半径为，则，，， 所以，解得或（舍去），故此时． 综上，铁球半径的最大值为． 故答案为：． 45. 如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为，碗内放了三颗汤圆（视为半径均为的球）．三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切．若汤圆与碗口等高，则______． 【答案】 【详解】设半球面的球心为，三颗汤圆的球心分别为, 因为汤圆与碗的内壁相切，所以， 又因为三颗汤圆两两相切，所以， 设等边三角形的中心为， 因为汤圆与碗口等高，所以， 在中，， 在中，， 即，即， 所以，所以. 46. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为 【答案】 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 47. 如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 1、 填空题 1.长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为__________. 【答案】 【分析】由球的表面积公式得出，进而由外接球的直径求出，再根据勾股定理得出，进而由体积公式求解即可. 【详解】因为长方体的外接球的表面积为， 设球的半径为，由题意，，， 长方体的外接球的一条直径为. 因为，，所以，， 则长方体的体积为. 故答案为： 2．已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为_____ 【答案】 【分析】利用圆柱及球的特征计算即可. 【详解】由题意可知该球为圆柱的外接球，所以球心为圆柱的中心，设球半径为， 则，故该球的表面积为. 3．在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的外接球的表面积为______ 【答案】 【解析】如图，由题意知，侧面展开图的面积， 则，即，故圆锥的底面周长为的长，为， 所以，所以圆锥的底面半径为1， 从而，故其外接球的球心在线段上． 不妨设球心为，半径为．连接，则由， 得，解得，所以， 所以该圆锥的外接球的表面积． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先根据侧面展开图的面积求出侧面展开图的圆心角，再求出圆锥底面的半径，根据外接球的球心总在圆锥的高所在的直线上，借助勾股定理建立等量关系即可求出外接球的半径． 4.已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 5.已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为______ 【答案】 【详解】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心， 取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.    由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则. 因为，所以， 所以，. 设外接球的半径为，则，， 又，， 所以，解得. 故正三棱锥外接球的表面积. 6.已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为______ 【答案】 【分析】根据题意，利用勾股定理，分别证得，，和，进而求得外接球的半径，结合表面积公式，即可求解. 【详解】因为，，，则，所以， 又因为，，，则，所以， 由，，，则,所以， 又由，，，则，所以， 可得为三棱锥的外接球的直径， 又由， 所以此三棱锥的外接球半径为， 所以球的表面积为.    7.在三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的表面积为 . 思路详解：如图，在中，，， 所以， 则由正弦定理可得外接圆半径为， 因为面， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以表面积为， 故答案为：. 8.在三棱锥中，，平面ABC，，，则三棱锥外接球体积的最小值为______ 【答案】 【分析】将三棱锥可以补成长方体，从而得到为三棱锥的外接球的直径，要想体积最小，则最小即可，设，表达出，从而得到，进而求出外接球体积的最小值. 【详解】根据题意三棱锥可以补成分别以为长、宽、高的长方体，其中为长方体的对角线， 则三棱锥的外接球球心即为的中点，要使三棱锥的外接球的体积最小，则最小． 设，则，，， 所以当时，，则有三棱锥的外接球的球半径最小为， 所以． 9. 已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，可得底面为直角三角形，设中点为，连接，则三棱锥外接球的球心在上，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【解析】解：如图， ，，，，可得， 取的中点，则为三角形的外心，连接， ，为在底面三角形的射影， 设三棱锥的外接球的球心为，则在上， 设球的半径为，可得，解得， 球的表面积为． 故答案为：． 10.三棱锥中，，，且，则三棱锥外接球的表面积为______ 【答案】 【详解】 如图，因，， 在中，由，可得. 在中，.在中,由，可得. 因,且平面，则平面. 取的中点分别为，连接，则，故可得平面. 在中，为的中点，则， 在中，,则, 即，即点为三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为1， 所以外接球的表面积为. 11.四面体ABCD中，平面平面，，，，，则该四面体外接球的体积为______ 【答案】 【详解】如图，设的外心为，过点作于点，连接、、， 取的中点，连接，则. 因为面面，面面，平面， 所以，面， 因为平面，所以. 在直角三角形中，，，,得. 在中，由正弦定理得，，解得，. 在直角三角形中，，则， 在直角三角形中，由面积公式得，，解得，， 则，. 在直角三角形中，则， 在直角三角形中，则， 即， 所以，点为该四面体外接球的球心，故其体积为. 12. 棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为 ． 【答案】3 【解析】根据题意，正方体的外接球的半径为，内切球的半径为． 所以外接球表面积与内切球表面积的比值为， 所以棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为3． 故答案为：3 13.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为_______ 【答案】 思路详解：球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 14.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为 . 思路详解：设，因为， 所以， 设的内切圆的半径为，则， 即，解得， 因为三棱柱有内切球， 所以， 因为，， 所以直三棱柱的外接球的直径就是以为棱的长方体的对角线，其长为， 所以三棱锥的内切球的表面积为， 三棱锥的外接球的表面积为， 所以三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为. 故答案为：. 2、 选择题 15.在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 16．三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是、、，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的体积. 【详解】三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设，，， 则，，， 解得，，，. 则长方体的对角线的长为. 所以球的直径是，半径长， 则球的表面积， 故选：C. 17.在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表面积即可． 【详解】因为， 所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：    设长方体的长、宽、高分别为a、b、c， 则有，整理得， 则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径， 所以有， 所以所求的球体表面积为：． 故选：A． 18.已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 19. 古代数学名著《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形.且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 所以两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以四棱锥的外接球的直径，即， 所以四棱锥的外接球的体积. 20. 我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正方体的棱长为1，则其棱切球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正方体的棱切球的直径为正方体的面对角线，设棱切球的半径为，则， 解得（负值已舍去），所以其棱切球的表面积. 故选：B 21. 已知正三棱锥的侧棱长为，且侧棱与正三棱锥的底面所成角的正切值为，则此正三棱锥的棱切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，连结与底面的中心，则平面， 由题意侧棱与底面所成角， 则， 又因， 所以， 因底面为正三角形，中心为， 所以，即， 所以正三棱锥为正四面体. 将正四面体放到正方体中，正方体的内切球即与正四面体的六条棱均相切， 可求得正方体的棱长为，所求棱切球的半径即为． 表面积 故选：B 22. 已知四面体中，，，，，球心在该四面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，是的中心， 根据对称性，球心在上，球与、的切点分别为，， 且，，为球的半径． 由勾股定理易得，由正弦定理可求得， 由勾股定理可求得． ∵，均为球的切线，∴， ∵与相似，∴， 即，∴， ∴球的体积为． 故选：B． 23.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $