精品解析：广东中山市濠头中学2026-2027学年第一学期10月份阶段检测数学试题

中山市濠头中学2026—2027学年第一学期 高一年级10月份阶段性检测——数学 （总分：150分，考试时长：120分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 4. 已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 8. 已知，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列函数中，值域正确的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 11. 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（ ） A. 定义域为R B. C. ， D. 不等式的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 函数的定义域是______________. 13. 不等式的解集为___________. 14. 已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的解析式. （1）求； （2）若，求a的值； （3）画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱．龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性．某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点．通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完． （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的值． 19. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市濠头中学2026—2027学年第一学期 高一年级10月份阶段性检测——数学 （总分：150分，考试时长：120分钟） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题：，， 其否定：，. 2. 对于实数下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各选项即可. 【详解】对于A，当时，，此时，所以A错误. 对于B，当时，，所以B错误. 对于C，因为，两边同时乘正数，不等号方向不变，所以，所以C正确 对于D，当时，，此时，所以D错误. 3. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 4. 已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】存在点使一个与两个对应，A错误；当时，没有与之对应的，B错误；的范围超出了集合的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案. 【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除； 对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除； 对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除； 对选项D：满足函数关系的条件，正确. 故选：D 5. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析，即定义域，对应法则和值域，观察四个选项结果有三个的定义域不同,从而得到答案. 【详解】选项A：的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，故不是同一函数. 选项B：和函数的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数. 选项C：的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，故不是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，故不是同一函数. 故选：B 【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题. 6. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解. 【详解】，即， 又是的必要不充分条件， 所以， 故选：D. 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上， 所以，解得， 所以，因为，所以当时，取最大值， 故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B. 考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力. 8. 已知，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作函数的图象,设,结合函数的图象性质,易得,,进而可求出答案. 【详解】作函数的图象,如下图， 当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为；当时,为直线的一部分. 设,, 由图象可知,, 令,解得,则,且, 则,即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：作出分段函数的图象，利用二次函数对称性，转化为求的取值范围，利用一次函数的图象及性质求出，是解题的关键. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 9. 下列函数中，值域正确的是（ ） A. 当时，函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数的值域为 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A用配方法并结合“区间右端点取不到“判断值域；选项B用分离常数法化为，注意函数值不能等于2；选项C用换元把函数化成二次函数后求值域；选项D由单调性直接求最小值． 【详解】对于A项，,当时，处取到最小值2；当x趋近于3时y趋近于6，但不在区间内，6取不到，所以值域为，故A正确． 对于B项，，因为能取到除0外的一切实数，所以y的值域为，故B正确． 对于C项，令，则，，所以值域为，故C错误． 对于D项，函数定义域为，且与都在上单调递增， 故y在处取最小值，值域为，故D正确． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A. 且 B. 4 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 11. 狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则（ ） A. 定义域为R B. C. ， D. 不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数解析式逐项分析即可． 【详解】对于A选项，因为，即的取值范围在有理数和非有理数中，合起来就是全体实数，所以A正确； 对于B选项，，所以，，所以，所以，所以B错误； 对于C选项，无论是有理数还是无理数，都只取0或1，而0和1均为有理数， 所以恒成立，所以C正确； 对于D选项，当时，不等式为，此时， 因此上的所有有理数都是不等式的解， 同样当时，不等式为，没有无理数解， 所以不等式的解集为区间内的所有有理数，所以D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 函数的定义域是______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域求解即可. 【详解】由题可得：，解得：且， 所以函数的定义域为：； 故答案为： 13. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】直接解不等式即可. 【详解】原不等式可化为：，或解得：或x=3. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由存在量词命题为假命题，推得其否定为真命题，再由两根相等推出，根据“乘1法”和基本不等式求出的最小值，再由函数不等式恒成立求解一元二次不等式即得. 【详解】因命题“，使得”是假命题， 则“，使得”为真命题，则，即， 则， 因，，则， 当且仅当时即时等号成立， 因恒成立，则，即，解得. 所以实数取值范围是. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 15. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由补集的定义即可得出答案； （2）由，得，讨论和，列出不等式求得结果. 【小问1详解】 集合，当时，， 所以． 【小问2详解】 由，得． ①当时，则有，解得：，符合题意； ②当时，则有，解得：． 综合①②可得：实数的取值范围为或． 16. 已知函数的解析式. （1）求； （2）若，求a的值； （3）画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）. 【答案】（1） （2）或 （3）图象： 值域为 【解析】 【分析】（1）根据解析式直接求解可得； （2）根据a的范围分段解方程可得； （3）根据解析式直接描点作图即可. 【小问1详解】 ∵函数的解析式， ∴，. 【小问2详解】 ∵，， ∴或或， 解得或. 【小问3详解】 画出函数的图象如图所示： 由图可知，的最大值为，函数的值域为. 17. 闽超龙岩队的官方吉祥物“龙龙”与“岩岩”（双生组合）深受球迷喜爱，其设计采用拟人化造型，圆润可爱．龙龙为赛场进攻担当，腾空举球上篮，呼应闽西红土红色底蕴，象征突破、冲锋、锐气；岩岩为赛场防守担当，沉身护球运球，搭配岩壁坚韧特质，代表坚守、沉淀、韧性．某工厂已通过正规渠道获得在许可范围内生产销售“龙龙”与“岩岩”相关周边的商业授权，已知生产这种周边的年固定成本为15万元，若生产千件需另外投入万元，其中与之间的关系为且函数的图象过三点．通过市场分析，公司决定每千件这种周边定价为12万元，且假设该厂年内生产的这种周边全部销售完． （1）求的值，并求出年利润万元关于年产量千件的函数解析式（利润销售额成本）； （2）当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润． 【答案】（1）， （2）当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为100万元 【解析】 【分析】（1）将三点代入，即可求出，进而根据题意求解； （2）根据二次函数、基本不等式求解最值即可． 【小问1详解】 将三点代入， 得，解得， 则， 依题意，． 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 则时，取得最大值10； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 则时，取得最大值100． 综上所述，当年产量为22千件时，该厂所获年利润最大，最大年利润为100万元． 18. 已知函数． （1）当时，解不等式； （2）解不等式； （3）若恒成立，求的值． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； 【小问2详解】 由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 19. 已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合． （1）若集合，写出和集合； （2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质． ①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； ②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值． 【答案】（1），； （2）①集合具有性质，理由如下： 因为，所以． 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 当时，取集合，则； 综上可得，集合具有性质； ②的最小值为，所有可能取值是、、、、. 【解析】 【分析】（1）根据题中定义可写出与； （2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论； （ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解. 【小问1详解】 解：由题中定义可得，. 【小问2详解】 ①略 ②设集合，不妨设． 因为为正整数，所以，． 因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且， 所以．所以． 因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且， 所以，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 若，则、、，而， 所以不存在，使得，所以． 同理可知，，． 若，则，所以． 当时，若， 则取，可知不存在，使得， 所以，解得． 又因为，所以． 经检验，当、、、、时，集合符合题意． 所以的最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $