6.4 用二次函数解决问题（第1课时）（教学课件）数学新教材苏科版九年级下册

6.4 用二次函数解决问题（1） 第六章 二次函数 学 习 目 标 1 2 能根据实际问题中的数量关系列出二次函数表达式并确定自变量的取值范围，解决实际问题中的最值问题． 会用配方法或顶点公式求二次函数的最大（小）值． 时间 t / s 0.1 0.2 0.3 0.4 距离 s / cm 2 8 18 32 问题情境 　　如图，小球从光滑的斜坡上由静止向下滚动，各时刻的位置与起点的距离如下表所示．0.35 s 时，小球和起点的距离是多少？ 问题1 观察表格，s 随 t 的增大而增大，s 与 t 成正比吗？ 问题2 算一算 的值，你有什么发现？ 你能猜想 s 与 t 的函数关系吗？ 新知探究 　　小球是做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动中物体位移和时间的关系， 小球和起点的距离 s (cm) 关于运动时间 t (s) 的函数表达式为 s＝at2． 　　根据上表，把 t＝0.1，s＝2 代入，得 　　　　　　　　　　2＝a·0.12， 解得 a＝400． 　　所以 s＝×400t2＝200t2． 　　把 t＝0.35 代入 s＝200t2，得s＝200×(0.35)2＝24.5（cm）． 所以，0.35 s时，小球和起点的距离是 24.5 cm． 例题讲解 例1 用一段长 30 m的篱笆围成一个矩形花园，怎样围花园的面积最大？ 分析： 矩形花园的周长为_______，所以 长＋宽＝_______．设一边长为 x m，则这条边的邻边长为_________m． 30m (15－x) 15m 解：设这个矩形花园一边长为 x m，面积为 y m2，则这条边的邻边长为(15－x)m． 根据题意，得 y＝x(15－x)＝－x2＋15x＝－＋． 当x＝时（0＜x＜15，符合实际），y取最大值，最大值为． 此时，这条边的邻边长为m． 答：当矩形花园的两条边均为m时面积最大，最大面积为m²． 如何表示？ 化为顶点式 例题讲解 变式 若矩形花园一面靠墙（墙足够长），篱笆只围三边，怎样围面积最大？ 解：设垂直于墙的边长为 x m，则平行于墙的边长为(30－2x) m，面 积为 y m2．根据题意，得 y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2＋． 当x＝时（30－2x＝15＞0，符合实际），y取最大值，最大值为． 答：垂直于墙的边长为m时面积最大，最大面积为m²． 讨论交流 利用二次函数解决几何面积最值问题的一般步骤是什么？ ① 设自变量，用代数式表示其他量； ② 根据几何公式写出二次函数； ③ 确定自变量实际取值范围； ④ 配方法化为顶点式，求顶点； ⑤ 判断顶点横坐标是否在取值范围，得到最大（最小）值； ⑥ 回归实际，写出完整答案，带上单位． 新知巩固 1．比萨斜塔是意大利的一座著名斜塔．据说物理学家伽利略曾在塔 顶做过著名的自由落体实验．在地球上同一地点，不同质量的物体 从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用， 那么它们的落地时间相同，物体的下落距离 h (m)关于下落时间 t (s) 的函数表达式为 h＝gt2 (g取9.8m/s2)．已知比萨斜塔的高度为55m， 试计算实验物大约经过多长时间落到地面 (结果精确到 0.1s)． 解：把h＝55，g＝9.8代入 h＝gt2，得 ×9.8t²＝55，解得 t＝≈3.4（t＞0，负值舍去）． 答：大约经过3.4 s落到地面． 新知巩固 2．把一根长100 cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少？ 解：设其中一段铁丝长 x cm（0＜x＜100），另一段长(100－x) cm． 面积和为 S cm2．根据题意，得 S＝＋＝(x－50)2＋312.5． 当x＝50时，面积和最小，最小为312.5 cm²． 答：这两个正方形的面积和最小是312.5 cm²． 课堂小结 6.4 用二次函数解决问题（1） 知识：二次函数解决实际问题两大类型： ①代入求值（运动问题）；②求最大最小值（几何面积） 关键：找准等量关系列表达式；注明自变量取值范围； 最值问题用配方或顶点公式，并检验顶点横坐标是否在实际范围内 步骤：实际情境→设变量→列二次函数→注意自变量实际范围 →数学运算（代入 / 配方）→结果还原实际问题 感谢聆听！ $