辽宁沈阳市第二十三中学（沈阳市南昌长白岛中学）2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度八年级上学期数学学科10月限时作业 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列是无理数的是（ ） A． B． C． D． 2．给出下列四组数：①8，15，17；②，，2；③12，16，20；④0.5，1.2，1.3．其中，是勾股数的有（ ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．下列二次根式，能与合并的是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 6．关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（ ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 8将3，，用不等号连接起来为（ ） A． B． C． D． 9．如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数（ ） A． B． C． D． 10．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是，高是，那么所需彩带最短是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11．的算术平方根是________． 12．若一个正数m的两个平方根分别是和，则m的值为________． 13．若点P在第四象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为________． 14．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接．若正方形的面积为74，则的长为________． 15．如图，等边中，，D是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点E，交线段于点F，且，连接，则________． 三、计算题：本大题共2小题，每小题3分，共18分． 16．计算： （1）；（2）； （3）；（4）； 17．求满足下列各式的未知数x： （1）； （2）． 四、解答题：本题共6小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题8分）如图，在中，D为上一点，，，，，求的长． 19．（本小题8分） 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开与旗杆底部相距时，发现绳子下端刚好接触地面．求旗杆的高度． 20．（本小题8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 21．（本小题9分）【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则a与b的平均数是1，我们称a与b是关于1的平衡数．例如，3与−1是关于1的平衡数． （1）【思考尝试】4与________是关于1的平衡数；与________是关于1的平衡数； （2）【实践探究】m与n是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求m与n的值； （3）【拓展延伸】若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 22．（本小题12分）现有两张面积分别为和的正方形纸片 （1）如图①，若将这两张纸片无重叠的放入长方形中，则图中空白部分的面积为多少？ （2）如图②，从五边形中再裁出两张面积分别为和的正方形纸片，则裁剪过后五边形余下的面积为多少？ （3）在长方形中，将两个面积分别为和的正方形纸片（如图③）按图④的方式放置，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若，求图中空白部分的面积为多少？ 23．综合与实践（本小题12分） 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． （1）【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； （2）【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； （3）【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长． （4）如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．A　解析：是无限不循环小数，是无理数；、0是有理数；3.1415926535是有限小数，也是有理数．故选A． 2．B　解析：①，是勾股数；②中含有，不是正整数，不是勾股数；③，是勾股数；④0.5，1.2，1.3不是正整数，不是勾股数．是勾股数的共2组．故选B． 3．A　解析：，与的被开方数相同，能合并；、、与的被开方数不同，不能合并．故选A． 4．C　解析：A中，错误；B中，错误；C中，正确；D中＋不能合并为，错误．故选C． 5．D　解析：由图可知小手盖住的点在第三象限，其横、纵坐标均为负数，只有（−4，−3）符合．故选D． 6．B　解析：①点的坐标是唯一确定的，正确；②(3,4)与(4,3)表示两个不同的点，错误；③M(0,2)在y轴上，既不在第三象限也不在第四象限，错误．正确的只有1个．故选B． 7．D　解析：设芦苇长x尺，则水深(x−1)尺．芦苇竖直生长在池塘中央，拉向岸边时构成直角三角形：斜边为芦苇长x，一条直角边为水深(x−1)，另一条直角边为池塘中心到岸边的距离10÷2＝5（尺），由勾股定理得，解得x＝13．故选D． 8．D　解析：∵3＜π≈3.142＜≈3.162，∴3＜π＜．故选D． 9．B　解析：正方形ABCD的面积为3，边长AD＝．∵AD＝AE，点A表示的数是−1，点E在点A的右侧，∴点E表示的数为．故选B． 10．D　解析：将易拉罐的侧面展开，彩带绕四圈相当于一条直角边为4×12＝48（cm）、另一条直角边为高20cm的直角三角形的斜边，所需彩带最短为（cm）．故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．2　解析：，4的算术平方根是2，所以的算术平方根是2． 12．4　解析：正数m的两个平方根互为相反数，∴，解得a＝3．这两个平方根分别为2和−2，∴． 13．（1，−2）　解析：第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负；到x轴的距离为2，即|y|＝2；到y轴的距离为1，即|x|＝1，∴点P的坐标为(1,−2)． 14．13　解析：∵正方形ABDE的面积为74，∴，又AC＝5，∴BC＝．以C为原点、CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则C(0,0)，B(7,0)，A(0,5)．∵四边形ABDE是正方形，∴AE＝AB且AE⊥AB，把线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，可得E(5,12)，∴． 15．　解析：∵F在CD的垂直平分线上，∴FD＝FC．∵CF＝3AF，AC＝8，∴AF＝2，FC＝FD＝6．∵D在△ABC外角的平分线上，∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°．∵FC＝FD＝6，∠FCD＝60°，∴△FCD是等边三角形，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°．过D作DH⊥AC于H，则∠FDH＝30°，∴FH＝FD÷2＝3，DH＝，AH＝AC−FH＝8−3＝5，∴． 三、计算题（共18分） 16．（1）−2　（2）5　（3）5　（4） （1）解：原式＝． （2）解：原式＝． （3）解：原式＝． （4）解：原式＝＝． 17．（1），　（2）， （1）解：，即，∴． （2）解：，即，∴，∴，． 四、解答题（共57分） 18．（本小题8分） 解：在△ABD中，∵，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．在Rt△ADC中，，即AC的长为20． 19．（本小题8分） 解：设旗杆的高度为h米，则绳长为(h＋1)米．绳子拉开后，旗杆、地面、绳子构成直角三角形，由勾股定理得，解得h＝24．答：旗杆的高度为24米． 20．（本小题8分） (1) 解：A(3,3)，B(−2,−2)，C(5,−3)． (2) 解：如图，过A、B、C分别向坐标轴作垂线，将三角形补成边长为7、6的长方形，其面积为42，∴S＝． 21．（本小题9分） (1) 【思考尝试】4与−2是关于1的平衡数（4＋(−2)＝2）；与是关于1的平衡数（）． (2) 【实践探究】解：∵m与n是关于1的平衡数，∴m＋n＝2．∵(m＋3)与(2n−1)是关于1的平衡数，∴(m＋3)＋(2n−1)＝2，即．由m＋n＝2得m＝2−n，代入得2−n＋2n＝0，∴n＝−2，m＝4． (3) 【拓展延伸】解：不是关于1的平衡数．理由：由，得，即，∴．∴，∴与不是关于1的平衡数． 22．（本小题12分） 解：两张正方形纸片的面积分别为16cm²和12cm²，∴它们的边长分别为4cm和cm． (1) 由图①可知，长方形ABCD的宽AB＝4cm，长BC＝cm，∴空白部分的面积＝＝（cm²）． (2) 由图②可知，裁剪过后五边形ABCDE余下的部分由一个直角三角形和一个长方形组成，∴余下的面积＝（cm²）． (3) 由图④的放置方式可知，长方形ABCD的长BC＝cm，宽AB＝5cm，∴空白部分的面积＝（cm²）． 23．（本小题12分） (1) 解：由折叠可知EA＝EB（折痕DE垂直平分AB）．∵EC＝5，AC＝18，∴AE＝AC−EC＝13，∴BE＝13．在Rt△BCE中，∠C＝90°，，即BC的长为12． (2) 解：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC．由折叠可知∠DBC＝∠DBC′，即∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB．设AE＝x，则EB＝ED＝AD−AE＝8−x．在Rt△ABE中，∠A＝90°，，解得x＝3，∴AE＝3． (3) 解：以B为原点、BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，C(8,0)，A(0,5)，D(8,5)，E在射线AD上，设E(x,5)．由折叠可知BA＝BF＝5，EA＝EF＝x．∵点F在BC的垂直平分线（直线x＝4）上，∴F(4,3)或F(4,−3)． ①当F(4,3)时，，解得； ②当F(4,−3)时，，解得x＝10． ∴AE的长为或10． (4) 解：由折叠可知△MDC≌△MD′C，∴MD′＝MD＝8，CD′＝CD＝4，∠MD′C＝∠MDC＝90°．∵MD∥BC，∴∠DMC＝∠MCN．又∠DMC＝∠D′MC＝∠NMC，∴∠NMC＝∠NCM，∴MN＝NC．过M作MH⊥BC于H，则MH＝CD＝4，HC＝MD＝8．设NC＝x，则NH＝8−x．在Rt△MNH中，，即，解得x＝5，∴MN＝5． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $