2026-2027学年人教版九年级上册数学期中模拟试卷（湖北省）

湖北省新人教版九上数学期中模拟试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是x=-3 C．当x>-4 时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(-2，-3) 3．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（    ） A． B．2 C．1 D．0 5．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺 时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A． B． C． D． 7．如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其中．下列结论不正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．当时， D．关于的一元二次方程的一个根是1，另一个根是． 9．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 10．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 第9题图 第10题图 第8题图 第15题图 二、填空题（每题3分，共12分） 11．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 12．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 13．已知的一个解是，二次函数的对称轴是直线，则方程的另一个解是________． 14．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为______. 15．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 16．定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在两个不同的点关于直线（为实数）对称，则称该函数为“函数”，已知关于x的函数是“函数”，且过点，当时，函数的最大值与最小值的差为2，的值为______． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）解方程： (1)； (2)； (3)． 18．（本题6分）已知抛物线． (1)求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 20．（本题9分）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 21．（本题10分）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点． (1)线段长为______，B点坐标为（____，____）； (2)求m，k的值； (3)若将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 22．（本题10分）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面．小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 23．（本题11分）某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖7件（每件售价不能高于70元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (3)每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为3500元？根据以上结论，请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于3500元． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标． (2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为，，记抛物线在M，N之间的部分（包括M，N两点）为图像．过图像的左右两端M，N分别作轴的垂线，过图像的最高点和最低点分别作轴的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形． ①若，，则矩形的面积是_____； ②若，矩形的垂直高度，则矩形的水平宽度p的取值范围是_____； ③若矩形为正方形且边长为3，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 新人教版九上数学期中复习试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 C B D B B D B B C 1．C 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意． 2．B 【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y 随 x的增大而减小． 【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小， 故B正确，A、C、D不正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 3．D 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：， 即． 故选：D． 4．B 【分析】根据反比例函数的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，然后即可解答本题． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴3-2m＜0， 解得，， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 6．D 【分析】通过表格数据发现二次函数图像关于直线对称，进而结合表格作答即可． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 方程的负数解的取值范围是， ∵由表格数据，当和时，y值均为， ∴对称轴为直线， ∴方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】将点代入解析式判断A；利用根与系数的关系判断D；根据的范围确定对称轴位置，结合增减性判断B；根据时的增减性判断C． 【详解】解：二次函数的图象过点， ，即，故A正确； 图象与轴交于，两点， 方程的两根为，， 由根与系数的关系得，即，故D正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又， ， ， 对称轴在直线右侧， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大不成立，故B不正确； 对称轴在轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，，故C正确． 9．B 【分析】由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，再结合反比例函数图象的性质，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上， 当反比例函数图象位于第一、三象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； 当反比例函数图象位于第二、四象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； ∵， ∴的最大值为． 10．C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 11． 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 12． 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 13．2 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二次函数对称轴公式得出与的关系，再利用根与系数的关系求解另一个根． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ， 已知的一个解是，设另一个根为， ， ， 故答案为：2 14．0. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 15． 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 16．或 【分析】根据新定义得到抛物线对称轴，推导出与的数量关系，代入点算出，，得到函数，确定顶点最大值 5；再按照区间相对对称轴的 4 种不同位置，分别列出最大值减最小值等于 2 的算式，排除不在对应范围的解，得到的取值为或． 【详解】解：依据 “函数” 定义，二次函数 的对称轴为直线 ． 由对称轴公式 ，得 ． 把点代入解析式：． 将 代入，，求得 ，． 函数整理为 ，抛物线开口向下， 时，函数最大值为 ． 自变量取值区间 ，区间长度为 1，分四类讨论： 当 ，区间在对称轴左侧，随增大而增大． ， ，即 ，解得 ，符合条件． 当 ，即 ，区间在对称轴右侧，随增大而减小． ， ，即 ，解得 ，符合条件． 当 ，对称轴落在区间内，最大值取 5，最小值在． ，所得解不在本区间，舍去． 当 ，对称轴落在区间内，最大值取 5，最小值在． ，所得解不在本区间，舍去． 综上 或 ． 故答案为：或． 17．(1)， (2)， (3)，． 【详解】（1）解： ，， （2）解： ，； （3）解： ，． 18．(1) 证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； (2)4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：该抛物线与轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标； （2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标； （3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； （2）解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； （3）解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 20．(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 21．(1)6；4；5 (2)； (3)2或5 【分析】（1）先由，得到轴，即可求解，再根据中，，，即可求解点坐标； （2）先求出直线的表达式，再求解点，即可由待定系数法求解反比例函数表达式； （3）平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴ ∴，即； （2）解：设直线，则代入， 得 解得 ∴直线 把代入，则 解得 ∴ 把点代入得，； （3）解：由（2）可得反比例函数表达式为， 平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为， 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得； 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得， 综上：当平移后的与双曲线恰有一个交点时，n的值为2或5． 22．(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 23．(1)，自变量的取值范围是且为整数． (2)每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． (3)每件商品的售价定为55元或60元时，每个月的利润为3500元；当每件售价在55元至60元之间且为整数时，每个月的利润不低于3500元． 【分析】（1）根据“月利润=每件利润×月销售量”的等量关系列函数解析式，结合售价上限与x为正整数的条件确定自变量取值范围． （2）用配方法将二次函数化为顶点式，结合x的整数性与取值范围确定最大利润及对应售价． （3）令，解一元二次方程得到对应x值，进而得到售价；结合二次函数的开口方向确定利润不低于3500元的售价范围． 【详解】（1）解：每件利润为元，则月销售量为件， ∴． ∵每件售价不高于70元， ∴， 解得． 又∵x为正整数， ∴自变量x的取值范围是且x为整数． （2）解：． ∵， ∴当时，y有最大值． ∵x为正整数，且， ∴当或时，y取得最大值3542． 此时售价为（元）或（元）． 答：每件商品的售价定为57元或58元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是3542元． （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 对应售价为（元）或（元）， ∵二次函数开口向下， ∴当时，， 即当每件售价在55元至60元之间且为整数时，月利润不低于3500元． 24．(1)抛物线的函数表达式为，它的顶点坐标为． (2)①36；②；③点的坐标为或． 【分析】（1）将点和分别代入，即可求抛物线的函数表达式，再将抛物线的表达式转换为顶点式即可得出顶点坐标． （2）①已知，，确定图像的垂直高度与水平宽度，相乘可得矩形的面积； ②已知，矩形的垂直高度，结合抛物线对称性确定点横坐标的取值范围，即可得到水平宽度的取值范围; ③根据题意设，则，然后，再分四种情况：第一种情况：当，即时，第二种情况：当，即时，第三种情况：当，即时，第四种情况：当时，分别进行分类讨论，最后得出结论即可． 【详解】（1）解：将点和分别代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， 它的顶点坐标为． （2）解：①：如图1所示， 时， ， 故图像的最低点为， 到最高点之间的距离为： ， 所以矩形一边的长为9， 另一边的长度： ， 所以，矩形的面积： ． ②：如图2所示， ，矩形的垂直高度， 点M关于对称的点，横坐标的值为4， 所以要保证矩形的垂直高度，则，点N的横坐标不能大于4， 同时，点N又要在对称轴的右侧， 所以矩形的水平宽度p的取值最小值为，最大值为， 故范围是． ③：根据题意设，则， 第一种情况：当，即时， ， （舍去）； 第二种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第三种情况：当，即时， ， 或（舍去）， 当时，， ； 第四种情况：当时，， （舍去）； 综上，点的坐标为或． 答案第10页（共16页） 答案第11页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $