期中复习专题2——综合运算与推理证明- 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

期中复习专题2一一综合运算与推理证明 (苏科版八年级上册：期中核心综合考点) 目录 、专题定位】 二、核心考点梳理… 2 三、必考、常考题型.2 题型1：三角形内角和、外角性质在多三角形叠加图形中的综合角度计算.…2 题型2：全等三角形完整推理论证解答题（结合平行线、角平分线条件） .7 题型3：二次全等证明解答题（需两次证明三角形全等） ....14 题型4：等腰三角形边长或角度不确定的分类讨论填空压轴题， ..19 题型5：线段垂直平分线、角平分线综合求三角形周长（线段代换） 23 题型6：等边三角形性质与判定综合证明计算题.. .27 题型7：平方根、立方根、绝对值混合实数运算解答题.… .34 题型8：利用正数两个平方根互为相反数列方程求参数.37 题型9：网格中勾股定理求线段长与格点直角三角形判定.39 题型10：勾股定理方程思想解答题（设未知数列方程求边长）44 题型11：勾股定理逆定理求不规则四边形面积.49 题型12：勾股定理在航行、距离测量中的实际应用中档题53 题型13：三角形（或矩形）折叠结合勾股定理求线段长.57 题型14：全等三角形与等腰三角形跨小问综合解答题（一问证明、一问计算)63 一、专题定位 本专题为苏科版八年级上册期中第二轮复习，整合第1章三角形、第2章实数的初步认 识、第3章勾股定理三章中档重难点，聚焦全等三角形完整推理论证、等腰三角形边角分类讨 论、实数混合运算、勾股定理方程思想与网格、面积计算，对应江苏各地期中试卷中档解答题 与填空压轴。重点训练几何证明步骤书写规范、等腰三角形分类讨论取舍、折叠问题中勾股方 程列式，解决证明跳步、分类漏解、实数运算粗心、勾股方程列错等高频失分问题。适配课堂 中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中解答题中档得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 全等三角形完整推理论证（含二次全等）；全等结合平行线、角平分线 条件的证明；等腰三角形边长、角度不确定时的分类讨论并用三边关系 三角形 取舍；三线合一综合计算；线段垂直平分线与角平分线综合及周长代 换；等边三角形性质与判定综合 平方根、立方根与绝对值的实数混合运算；利用”一个正数的两个平方 实数的初步认识 根互为相反数"列方程求参数；实数的估算与大小比较 勾股定理方程思想（设未知线段为X建立方程求边长）；网格中求线段 勾股定理 长、判定格点直角三角形；勾股定理逆定理求不规则四边形面积；勾股 定理在航行、距离测量中的中档实际应用 全等三角形与等腰三角形结合的证明与计算；角平分线性质与勾股定理 跨章节中档综合 综合求线段长；等腰三角形背景下运用勾股定理求边长；实数运算与几 何求值综合 三、必考、常考题型 题型1：三角形内角和、外角性质在多三角形叠加图形中的综合角度计算 1.(26-27八年级上·河南商丘阶段检测)在△ABC中，∠ACB=90,CD1AB,垂足为 D,点E在CB的延长线上，∠ACD=55° (1)求∠A的度数： (2)求∠ABE的度数. B 【答案】(1)35°；(2)125 【分析】(1)由垂直可得∠ADC=90°，再结合三角形内角和定理求解： (2)利用三角形外角的性质求解即可. (1)解：CD⊥AB, .∴.∠ADC=90° ∠ACD=55°， ∴.∠A=180°-∠ADC-∠ACD=180°-90°-55°=35° (2)解：~点E在CB的延长线上， “∠ABE是△ABC的外角， ∠ACB=90°，∠A=35°， ∴.∠ABE=∠A+∠ACB=35°+90°=125° 2.(26-27八年级上河南商丘阶段检测)在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为() A.10°或45°或60°B.10°或60° C.45°或60° D.10°或45° 【答案】B 【分析】当△ACD为直角三角形时，分两种情况：∠ADC=90°或∠ACD=90°，根据三角形内 角和定理求解即可 解：情况1：当∠ADC=90°时，如图所示， D 图1 ∠B=30°. ∴.∠BCD=90°-30°=60° 情况2：当∠ACD=90°时，如图所示， D 图2 ∠A=50°，∠B=30°， .∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100° 又∠ACD=90°， ∴.∠BCD=∠BCA-∠ACD=100°-90°=10° ∠BCD=60°.10° 综上所述， 或 3.(26-27八年级上山东期中)如图，BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角 平分线，BA是∠ABD的角平分线，CA是∠ACD的角平分线，BA是∠A,BD的角平 分线，C4是∠4CD的角平分线，若∠A=0,则∠44为 A a-- 金经A C D 1 【答案】22mQ 【分析】根据角平分线的定义推出∠4BC=)∠ABC,∠ACD=)∠ACD,再由三角形外角的 性质可推出∠48C+∠A=(∠A+∠A8C),侧可证明∠4=A,可得到规律∠A=∠A (为正整数)，据此可得答案。 解：：BA和CA分别是△ABC的内角平分线和外角平分线， ABc=ABC,∠4CD=ACD, ∠ACD=∠A+∠ABC,∠ACD=∠ABC+∠A, ∴∠4Bc+∠A-∠A+∠AC). ∠Ac+∠A=A+ABC, 4=a, 同理得4=4=分4， 4=4=24, ”) 以此类推，可知∠A,=2∠1(n为正整数)， 2∠4=2 4.(26-27八年级上山西大同阶段检测)如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交边 AB于点E,在AE上取点F,过点F作BC的平行线交CE的延长线于点D. (1)判断∠D和∠ACE的数量关系，并证明. (2)当∠A=40°，∠DFE=34°时，求∠AEC的度数. B 【答案】(I)解：∠D=∠ACE,证明如下， DF∥BC, .·.∠D=∠BCD ,CE平分∠ACB, ∴.∠ACE=∠BCD ∴.∠D=∠ACE (2)87° 【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出相等的角： (2)根据平行线的性质以及角平分线的定义求出相关角的度数，然后利用三角形的外角定理 求解。 (1)解：略： (2)解：DF∥BC,∠DFE=34°， ∴.∠B=∠DFE=34°， 在△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-34°=106°， .CE平分∠ACB, ∠BCB=∠ACB=53. 2 :∠AEC是△BCE的一个外角， ∴.∠AEC=∠BCE+∠B=53°+34°=87° 题型2：全等三角形完整推理论证解答题 1.(26-27八年级上山西大同阶段检测)如图，在△AOB和△COD中，OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD=25°，连接AC与BD交于点P. (1)求证：AC=BD」 (2)求∠APB的度数 【答案】(1)证明：：∠AOB=∠COD, ∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD OA=OB 在 和 中， ∠AOC=∠BOD △AOC△BOD OC=OD ∴.△AOC≌ABOD(SAS) .AC=BD (2)25 【分析】(I)利用SAS证明△AOC≌aBOD,即可得出结论： (2)根据全等三角形得出相等的角，然后利用三角形的外角定理得出 ∠OBD+∠APB=LOAC+∠AOB,即可求解. 解：(1)证明：略： (2)解：如图，将AC与OB的交点记为点Q, ○ B 由(1)，得△AOC2aBOD, ∴.∠OAC=∠OBD :∠00C是△A00的一个外角， .∴∠OQC=∠OAC+∠AOB 同理∠OQC=∠OBD+∠APB. ∴.∠OBD+∠APB=∠OAC+∠AOB ∴∠APB=∠AOB=25° 2.(26-27八年级上山西大同阶段检测)如图，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC ，点C的坐标为(-1,0)，点A的坐标为(-5,2)，则点B的坐标为() B A.(1,2) B.(1,4) C.(2,4) D.(2,5) 【答案】B 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,证明△ADC≌△CEB,得 出相等的边，然后利用点的坐标求出相关线段的长度，即可确定点的坐标 解：如图所示，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E, .∠ADC=∠CEB=90° .∠DAC+∠ACD=90°， 又∠ACB=90°. .∠ECB+∠ACD=90°. .∠DAC=∠ECB, 又：AC=BC, ·.△ADC≌△CEB(AAS), .'AD=CE,CD=BE :点A的坐标为(-5,2)，点C的坐标为(-1,0)， .AD=2,OC=1,OD=5. .CD=OD-0C=5-1=4, .CE=2,BE=4 ∴.OE=CE-OC=2-1=1, (1,4) .点B的坐标为 3.(26-27八年级上山西大同阶段检测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E是 AB边上一点，延长CB至点D,使BD=BE,连接AD交CE的延长线于点F.已知 AB-BC-6BE-3 CE-13 2， =2,则F的长为 E 5 【答案】26 【分析】根据条件证明△ABD≌△CBE,得出相等的边和角，证明∠AFE=9O°，然后利用等面积 法求解。 解：，∠ABC=90」 ∴.∠ABC=∠ABD=90° 又，AB=BC,BD=BE, :.△ABD≌aCBE(SAS). BD=BE=4D=CE=号∠BD=∠BCE, 又，∠BCE+∠BEC=90°，且∠BEC=∠AEF, .∠BAD+∠AEF=90°， ∴.∠AFE=90°， 由等面积可得4D-CF=)CD4B. ..CF=CD.AB 6+ ×6 2 102 AD 13 13 2 EF=CF-CE=102_13_35 13226 4.(26-27八年级上·辽宁葫芦岛阶段检测)【阅读材料】中线是三角形中的重要线 段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线，所谓 倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全 等三角形的有关知识来解决问题的方法. 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=10,AC=6,点D 为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这 个问题，他的做法是：如图2，延长AD到E,使DE=AD,连接BE,构造 △BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决. (I)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： (用字母表示) (2)AD的取值范围是 【灵活运用】 (3)如图3，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，试说 明：DE=2AM; M 图1 图2 图3 【答案】(1)SAS;(2)2<AD<8;(3)证明：延长AM至点N,使MN=AM,连接 BN :点M为BC的中点， .BM=CM 在△AMC和△NMB中， AM=NM ∠AMC=∠NMB CM=BM ,'.△AMC≌aNMB(SAS) ∴.AC=BN,∠C=∠NBM, ·AD=AC, .BN=AD :AB⊥AE,AD⊥AC, ∴.∠BAE=∠CAD=90°. ∴.∠BAC+∠EAD=180° .∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD .AD=AC, .BN AD 在△ABN和△EAD中， AB=AE ∠ABN=∠EAD, BN=AD :∴△ABN≌aEAD(SAS) :DE=AN, AN AM+NM =2AM ..DE=2AM 【分析】(I)根据“边角边”证明△BED≌△CAD,即可求解； (2)根据△BED≌△CAD,得到BE=AC=6,根据三角形三边关系得到4<AE<16,即可得 到2<AD<8: (3)延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.先证明△AMC≌aNMB,进而证明 △ABN≌△EAD,得到DE=AW,即可证明DE=2AM. (1)解：，点D为BC的中点， .BD=CD. 在△BED和△CAD中， BD=CD ∠BDE=∠CDA ED=AD .△BED≌aCAD(SAS): (2)解：，△BED≌△CAD. .BE=AC=6. .在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, .10-6<AE<10+6. .4<2AD<16, .2<AD<8: (3)略. 题型3：二次全等证明解答题（需两次证明三角形全等） 1.(24-25七年级下·宁夏银川期末)某种产品的商标如图所示，0是线段AC、BD 的交点，并且AC=BD,AB=CD.小明认为该商标图中的两个三角形是全等的， 他的证明如下： AC=BD 在 和 中， ∠AOB=∠DOC △ABO ADCO AB=CD ∴.△ABO2aDCO(SMAS) 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果 不正确，请你给出正确的证明 B 【答案】小明的证明不正确， 正确方法如下：如图，连接BC, ○ B 在△ABC和△DCB中， AB=DC AC=DB BC=CB :.△ABC≌aDCB(SSS): ∴.∠A=∠D, 在△ABO和△DCO中， ∠A=∠D ∠AOB=∠DOC AB=DC ∴.△ABO≌aDCO(AAS) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创 造条件来判定三角形全等，切记一定要规避“SSA”陷阱，因为AC,BD不属于某个三角形 的一条边，所以不能直接运用AC=BD这个条件.连接BC,先利用SSS证明△ABC≌△DCB ,得到∠A=∠D,再通过AAS证出△ABO≌△DCO. 解：略 2.(25-26七年级下·贵州毕节期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD, 连接AC、BD相交于点O,下列说法不正确的是() A.∠ACB=∠ACD B.△ABO≌△ADO C.BO=CD D.AC⊥BD 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关 键.先证明△ABC≌△ADC,进而得到∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,再证明 △ABO≌△AD0,得到OB=OD,∠AOD=∠AOB=90°，进而得到AC⊥BD,即可得出结论. 解：：AB=AD,CB=CD,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC, ,∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD:故选项A正确： .AB=AD,OA=OA :.△ABO≌△ADO:故选项B正确： .OB=OD,∠AOD=∠AOB=90°， ∴，AC⊥BD;故选项D正确； 在△COD中，CD为斜边， .CD>OD, :CD>OB；故选项C错误： 故选：C 3.(25-26七年级上山东淄博期中)如图，点D是△ABC内的一点，点E,F,G分别 是点D关于AB,BC,CA的对称点.则∠E+∠F+∠G=. D 【答案】360 【分析】本题考查了考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接DA,DB,DC,由 对称性可得AD=AE=AG,BD=BE=BF,DC=CG=CF,利用SSS可证明 △MEB≌aADB,△AGC≌△ADC,△BFC≌aBDC,可得∠E=∠ADB,∠G=∠ADC,∠F=∠BDC,即 可求解， 解：连接DA,DB,DC, B :点E,F,G分别是点D关于AB,BC,CA的对称点， AD=AE=AG,BD=BE=BF,DC=CG=CF, 「AD=AE 在 与 中BD=BE, △AEB△ADB AB=AB .△AEB≌aADB(SSS), .∠E=∠ADB: 同理得：△AGC≌aADC(SSS),aBFC≌aBDC(SSS), .∠G=∠ADC,∠F=∠BDC: ∴.∠E+∠F+∠G=∠ADB+∠ADC+∠BDC=360° 360 故答案为： 4.(25-26八年级上湖北武汉期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E 是BC的中点，DE平分∠ADC. (I)求证：AD=CD+AB: (2)若AD=16,BC=12,求四边形ABCD的面积. D E B 【答案】(I)证明：如图：过点E作EF⊥DA于点F, E A B ,DE平分∠ADC. ∴.∠CDE=∠FDE, 在△CDE与AFDE中 ∠C=∠EFD=90° ∠CDE=∠FDE, DE=DE .△CDE≌△FDE(AAS) ..CE=EF,CD=DF, ∵E是BC的中点， ∴.BE=CE=EF, 在Rt△ABE与Rt△AFE中， BE=FE AE=AE ..RtABE RtAAFE(HL), :'AB=AF, .AD=CD+AB: (2)96 【分析】此题考查角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题关键是掌握角平分 线的性质和判定定理， (I)过点E作EF⊥DA于点F,证明△CDE≌aFDE(AAS),RtAABE≌RtAAFE(HL),即可 求证： (2)由题可得S(4B+CD)xBC=×ADxBC,代入即可求解 2 解：(1)略 (2)由(1)可知AD=CD+AB,AD=16,BC=12 :Ssn=Z(AB+CD)xBC-)×AD×BC=X16x12=96 题型4：等腰三角形边长或角度不确定的分类讨论 1.(26-27八年级上·重庆巫山：阶段检测)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,中线 BD将△ABC周长分为9和15两部分，求它的底边BC的长. 【答案】4 【分析】根据三角形中线的定义得到D=CD=)4C=弓4B,再分两种情况：当 2 2 AB+AD=9,BC+CD=15时，当AB+AD=15,BC+CD=9时，求出此时AB,BC的长，再利 用构成三角形的条件验证即可. 解：，BD是△ABC的中线， 1 1 .AD=CD=AC=AB. 2 2 ,中线BD将△ABC周长分为9和15两部分， .分两种情况： 当AB+AD=9,BC+CD=15时， AB+-AB=9,BC+AB=15, .AB=6,BC=12, .6+6=12, ∴此时不能构成三角形，不符合题意： 当AB+AD=15,BC+CD=9时， 则AB+)AB=15,BC+号AB=9, 2 .AB=10,BC=4 ,4+10=14>10. ∴此时能构成三角形，符合题意： BC=4 综上所述， 2.(25-26八年级上吉林长春期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AB 边上的高CD长为V2,点A在数轴上，且对应的数为-1.以点A为圆心，AB长为 半径作圆弧，交数轴于点E,则点E表示的数是() B A.1或-3 B.2W2-1 C.-1+V2或-1-2 D.-1+22或-1-2V2 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，实数与数轴的关系：根据等腰直角 三角形的性质求出AB的长，结合数轴，即可得到答案. 解：在Rt△ABC中，AC=BC,AB边上的高CD长为V2, .AD=BD,AB=2CD=22. ∴点E表示的数为：-1+2V2或-1-2V2, 故选：D 3.(24-25八年级上·北京期中)等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角 为30°，则这个三角形的底角为 【答案】60°或30° 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用.分两种情况讨论，求出每种情况的顶角的度 数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数 解：有两种情况： (I)如图，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D, 则∠ADB=90°， 已知∠ABD=30°， .∠A=90°-30°=60°， :AB=AC, ∠4BC=∠C=x080°-60)=60°： (2)如图，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H, H E G 则∠FHE=90°， 己知∠HFE=30°， ∠HEF=90°-30°=60°， ∠FEG=180°-60°=120°， EF=EG ∠BrG=ZG-x080P-120)=30。 60°.30° 故答案为： 或 4.(26-27八年级上·陕西榆林阶段检测)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,CD是 △ABC的中线，DE是△BDC的中线.若四边形ADEC的周长与△BDE的周长差为5， 求AB的长 D 【答案】5 【分析】由三角形中线的定义得到BE=CE,BD=AD,根据四边形ADEC的周长与△BDE的周 长差为5推出AC的长即可得到答案。 解：：CD是△ABC的中线，DE是△BDC的中线， .'BE=CE,BD=AD ,四边形ADEC的周长与△BDE的周长差为5， ..AD+DE+CE+AC-(BD+DE+BE)=5, .AC=5, AB=AC=5 题型5：线段垂直平分线、角平分线综合求三角形周长（线段代换） 1.(25-26七年级下·陕西榆林期末)如图，在△ABC中，0为∠ABC,∠ACB的平分线 的交点，OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,垂足分别为D,E,F,连接OA,若OF=4 ,△ABC的面积是60，求△ABC的周长. B 【答案】△ABC的周长为30 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到该角两边的距离相等是解题 的关键.根据角平分线的性质得到OD=OF,OE=OF,则OD=OE=OF=4,根据△ABC的 面积为60得出AB+BC+AC=30,即可求解： 解：因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OD⊥AB,OF⊥BC,OE⊥AC, 所以OD=OF,OE=OF, 因为0F=4, 所以OD=OE=OF=4, 因为△ABC的面积为60， 所以3AB-0D+8BC-0F+)4C-0B=60 因为OD=OE=OF=4」 所以2AB+2BC+2AC=60. 所以AB+BC+AC=30, 即△1BC的周长为30. 2.(26-27八年级上广西南宁阶段检测)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为 圆心，以大于2AC的长为半径作弧，两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于 点D.若△ABD的周长为15，AB=4,则BC的长为() A.11 B.12 C.7 D.6 【答案】A 解：由作图过程可知，MN垂直平分AC, :AD=CD, :△ABD的周长为15， :.AB+BD+AD=15, .AB+BD+CD=AB+BC=15 AB=4, .BC=15-AB=11 3.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，在△ABC中，B0,C0分别平分∠ABC ,∠ACB,OD⊥BC于点D.若OD=3,△ABC的面积是75，则△ABC的周长为 B 【答案】50 【分析】连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,,作OF⊥AC于点F,由角平分线的性质定理 可得，OF=OE=OD=3,再结合三角形面积公式计算即可得解； 本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键， 解：连接OA,过点O作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F, 由BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=3. 故OF=OE=OD=3, B OFAC+OEAB+OD-BC-75, 2 x3x(C+B+BC)75, 解得AC+AB+BC=50 故答案为：50. 4.(25-26八年级下·河北保定阶段检测)如图，在△ABC中， AB=5,AC=8,∠A=120,P为边1上的一动点（不与点B,C重合），DE垂直平分BP ,FG垂直平分CP. (1)求∠EPG的度数. (2)嘉嘉说：“四边形AEPG的周长为定值.”你同意他的说法吗？若同意，请 直接写出这个定值；若不同意，请说明理由. 【答案】(1)120°：(2)同意，这个定值是13.理由如下： 由(1)得：BE=EP,CG=PG, ∴.四边形AEPG的周长为：AE+EP+PG+AG=AE+BE+CG+AG=AB+AC=13 即四边形AEPG的周长为定值，定值为13 【分析】(1)由垂直平分线的性质可知BE=EP,CG=PG,从而得到∠B=∠BPE, ∠C=∠CPG,于是可得∠EPG=180°-∠BPE-∠CPG=180°-∠B-∠C=∠A=120°： (2)由(1)得BE=EP,CG=PG,则可得四边形AEPG的周长为AB+AC,从而得解. (1)解：，DE垂直平分BP,FG垂直平分CP, .BE=EP,CG=PG. .∠B=∠BPE,∠C=∠CPG. ∠EPG=180°-∠BPE-∠CPG=180°-∠B-∠C=∠A=120°： (2)略 题型6：等边三角形性质与判定综合证明计算题 1.(26-27八年级上江苏泰州阶段检测)已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是 AC的中点 (I)求证：BE=DE; (2)若F为BD中点，求证：EF⊥BD: (3)探究∠BED与∠BAD的关系，并说明理由；当AC=8,∠BAD=30°时，求BD的 长 E 【答案】(1)证明：：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， .BE,DE分别是斜边上的中线， ÷BE=)AC,DE=AC, 2 2 .BE=DE: (2)证明：由(1)得BE=DE, 又，F为BD中点， .EF⊥BD; (3)∠BED=2∠BAD, 理由：：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， :.BE-IAC-AE, ,∠EAB=∠EBA, .∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB. 同理：∠DEC=2∠EAD, .∴.∠BED=∠BEC+∠DEC =2∠EAB+2∠EAD =2∠BAD: BD的长为4 【分析】(1)利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可证明： (2)利用等腰三角形“三线合一”证明： (3)利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等，然后利用“等边对等 角”得到∠EAB=∠EBA,再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”得到 ∠BEC=2∠EAB,∠DEC=2∠EAD,进而完成证明；第二个问题利用前面的结论可以得到BE 的长，再利用∠BED=2∠BAD=60°可证得△EBD是等边三角形，于是得到答案. 解：(1)略 (2)略. (3)∠BED=2∠BAD, 理由：略； AC=8, 1 1 ∴.由(I)知BE=DE=。AC= ×8=4 2 2 又∠BAD=30°， ∴.∠BED=2∠BAD=2×30°=60°， ,△EBD是等边三角形， BD=BE=4 2.(26-27八年级上黑龙江期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB, BP平分∠ABC,∠PB=15°，过点P作MN∥BC,分别交AC、AB于M、N,若 △AMN周长是24，则AB长是() A.8 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得∠MPC=∠ACP,∠NPB=∠ABP,从而得 到CM=PM,BN=PN,再根稀直角三角形的性质可得4C=方AB,然后结合AAN周长是 24,即可求解， 解：：CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∠NPB=15°， .∠ACP=∠BCP,∠ABP=∠CBP, .MN∥BC. .∠MPC=∠BCP,∠NPB=∠CBP .∠MPC=∠ACP,∠NPB=∠ABP=15°， .CM=PM,BN=PN,∠ABC=2∠NBP=30° MN-PM+PN=CM+BN 4C-74B, 2 :△AMN周长是24， :AM+MN+4N-AM+CM+BN+4N-4C+4B-14B+4B-34B-24. B=16 3.(26-27八年级上江苏扬州阶段检测)如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠， 其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE,若AB=3,DE=1,则△EFC的面积 为 B 【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质以及线段间的关系求出EC的长，然后根据正方形性质以及角 度关系得到∠FEC=30°，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质 计算求出△EFC中EC边上的高，最后根据三角形面积公式求解. 解：如图，过点F作FO⊥BC于Q, B 则∠FE=90°，即△FOE是直角三角形. △ABC是等边三角形，AB=3, .BC=AB=3,∠B=60° .BD=BE,DE=1, .△BDE是等边三角形，且边长为1， .BE=DE=1,∠BED=60°， ∴.CE=BC-BE=3-1=2. :四边形DEFG是正方形，DE=1, .EF=DE=1,∠DEF=90°， .∠FEC=180°-∠DEF-∠BED=30°， -2 Sr=）BC-F0=x2x 11 2 2 22 4.(26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测)法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个 极具趣味性的几何难题.如图1，已知△ABC,求作一点P,使得点P到三个顶点的 距离之和最短（即PA+PB+PC的值最小），后来人们将位于三角形内且到三角形 三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”.确定费马点位置的方法是：如图2， 分别以△ABC中的AB和AC为边，作等边△ABD和等边△ACE.连接CD、BE,记 CD与BE的交点为P,点P即为费马点， 阅读上述文字后请解决下列问题： (1)证明：△ADC≌△ABE, (2)如图3，在(1)的基础上连接AP,以AP为边，在PE上取一点O,使得 PO=PA.试判断△AP№的形状. (3)由(2)不难推断出△APC≌△AQE,综上所述：若PA=3,PB=4,PC=5 时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为 L入 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：等边△ABD和等边△ACE, .AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°， ∴.∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE,即∠DAC=∠BAE, :.△ADC≌△ABE(SAS). (2)△AP卫是等边三角形 (3)12 【分析】(I)利用等边三角形的性质可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，证明 ∠DAC=∠BAE即可得到结论： (2)如图，连接AP,以AP为边，在PE上取一点O,使得P9=PA,过A作AH⊥DC于H ，过A作A伏LBE于K·证明P4平分∠DPE,∠APE=号DPE=60,进步可得结论 2 3)证明△APC≌aAQE(SAS),可得PC=QE,可得PA+PB+PC=PB+Pg+OE=BE,进 一步可得答案。 解：(1)略 (2)解：△AP№是等边三角形，理由如下： 如图，连接AP,以AP为边，在PE上取一点O,使得PQ=PA,过A作AH⊥DC于H,过 A作AK⊥BE于K, ,△ADC≌△ABE, .△ADC,AABE的面积相等，DC=BE,∠ADC=∠ABE, 0cM贴K. .AH=AK, ∴.PA平分∠DPE, ,结合对顶角相等与三角形的内角和可得：∠ADC+∠BAD=∠ABE+∠BPD, .∠BPD=∠BAD=60°， ÷∠DPE=120:∠APE=)∠DPE=60r. ..PA=PO, :.△APO是等边三角形. (3)解：：△AP9是等边三角形，△ACE是等边三角形， :AP=A0,AC=AE,∠PAQ=∠CAE=60°， .∠PAQ-∠CAQ=∠CAE-∠CAg,即∠PAC=∠EAQ, .△APC2aAQE(SAS), ..PC=OE, .PA=PO, .PA+PB+PC=PB+PO+OE=BE +4+5=12 此时点P到三角形三个顶点的距离之和最短，最短为 题型7：平方根、立方根、绝对值混合实数运算 1.(26-27八年级上河南新乡阶段检测)按要求求值 (1)若m是V23的整数部分，n是V23的小数部分，求m2-n的值. (2)已知3x-9+2x-3y-6=0,求3x-2y的立方根. 【答案】(1)20-V23;(2)9 【分析】(1)估算出√23的取值范围，从而确定m、的值，再代入求值即可； (2)根据非负数的性质求出x、y的值，再根据立方根的定义求解即可. (1)解：，V16<V23<√25， .4<√23<5， .V23的整数部分为4，即m=4,, ∴V23的小数部分为V23-4,即n=23-4, :.m2-n=42-（V23-4=20-V23, (2)解：3x-9+2x-3y-6=0,V3x-9≥0,2x-3y-6≥0， .V3x-9=2x-3y-6=0, .3x-9=0,2x-3y-6=0, .x=3,y=0, 1 3x 2y=3x3 ×0=9， 2 31 阿 的立方根为 2.(26-27八年级上·重庆阶段检测)若实数x,y满足x-3+V+2=0,则(2x+y) 的平方根为() A.±8 B.8 C.4 D.4 【答案】A 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求出x,y的值，代入计算后求结果的平方根. 解：x-3+Vy+2=0,且x-3≥0，√y+2≥0， .x-3=0,y+2=0 解得x=3,y=-2, .2x+y=2×3+(-2)=4, .(2x+y)°=43=64， :(±8)2=64， :6 的平方根为8，则2x+ ±8 的平方根为 3.(24-25七年级下福建厦门期中)1的平方根是一，V0.09=一， ■64= ,2-5 【答案】 ±1 0.3 -4 V5-2/-2+V5 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根、绝对值的定义依次计算即可· 解：：()2=1， ∴.1的平方根为±1； ,0.32=0.09,V0.09表示0.09的算术平方根，结果为非负数， .0.09=0.3: :(4)°=64， .-64=4: :2<V5,可得2-V5<0,负数的绝对值等于它的相反数， .2-5=5-2 4.(26-27八年级上江苏连云港阶段检测)计算与求解： (1)计算：16-V-22+27: (2)求式中x的值： ①4x-1)2=36: ②2x3+16=0. 【答案】(1)5；(2)①x=4或x=-2;②x=-2 【分析】(1)先分别计算各根式的值，再进行加减运算. (2)将方程整理后，分别利用平方根和立方根的定义求解. (1)解：16-V-2+27 =4-2+3 =5； (2)①解：4(x-1)2=36. 两边同除以4得：(x-)2=9, 开平方得：x-1=3, 解得x=4或x=-2； ②解：2x3+16=0, 移项得：2x3=-16, 两边同除以2得：x3=-8, 开立方得： x=-2 题型8：利用正数两个平方根互为相反数列方程求参数 1.(25-26七年级下·广西桂林期中)已知-2x+1和3x-2是实数m的两个不同的平 方根. (1)求x,m的值： (2)计算5x+7m2的值. 【答案】(1)x=1,m=1:(2)12 【分析】(1)一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出x的值，进而可求出m的 值： (2)根据(1)所求代入求值即可. (1)解：，-2x+1和3x-2是实数m的两个不同的平方根， .-2x+1+3x-2=0, 解得x=1, .m=(3x-2)}2=(3×1-2)}2=1: (2)解：由(1)得x=1,m=1, :5x+7m=5x1+7xP=5+7=12 2.(26-27七年级上·浙江杭州阶段检测)已知一个正数的平方根分别为2x+1和 3-4x,则这个正数的值为() A.2 B.5 C.5 D.25 【答案】D 解：，一个正数的平方根分别为2x+1和3-4x, ∴.2x+1+3-4x=0,解得x=2, .2x+1=5, 2=25 则这个正数的值为 3.(25-26八年级上山东青岛阶段检测)已知一个数a的平方根分别是2-m和 2m+1,则这个数a= 【答案】25 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出m，再平方计算得到a的值. 解：：一个数a的平方根分别是2-m和2m+1, .(2-m)+(2m+1)=0. 整理得m+3=0, 解得m=-3, 将m=-3代入2-m得2-(-3)=5， a=52-25 4.(25-26七年级下·广西柳州阶段检测)解答下列问题 (1)己知a、b满足a-3+b-1=0,求a+b的算术平方根： (2)如果一个正数m的两个平方根分别是2a-3和a-9,求m的值. 【答案】(1)2：(2)25 【分析】(1)根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出a、b的值，从而求出 a+b的算术平方根： (2)根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出a的值，再根据平方根的定义计算m 的值 (1)解：Va-3+b-1=0. a-3=0 1b-1=0 a=3 解得： b=1· ∴.a+b=3+1=4, ∴.a+b的算术平方根为V4=2: (2)解：一个正数m的两个平方根分别是2a-3和a-9, ∴(2a-3)+(a-9)=0, 整理得：3a=12, 解得：a=4, m=(a-9)2=(4-9)2=(-5)2=25 题型9：网格中勾股定理求线段长与格点直角三角形判定 1.(25-26八年级下·吉林·期中)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， △ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (I)画线段ADBC且使AD=BC,连接CD: (2)AD的长为 、。 (3)△ACD为 三角形： (4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为」 一（平方单位). B 【答案】(1)解：如图所示，即为所求： (2)5;(3)直角：(4)10 【分析】(1)根据题意结合网格的特点作图即可： (2)利用勾股定理求解即可： (3)利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可： (4)利用割补法求解即可. 解：(1)略 (2)解：由勾股定理和网格的特点可得AD=V32+42=5: (3)解：由勾股定理和网格的特点可得AD2=32+42=25,CD2=P+22=5, AC2=22+42=20, .AC2+CD2=20+5=25=AC2, .△ACD是直角三角形： (④解：S.n=4x6-×3x4-)×1x2-×3x4-x1x2=10 2 2 2 2 2.(2026贵州黔东南·三模)如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为 AB的中点，则线段CD的长为() V26 A.5 B.6 C. 2 D. 5-2 【答案】C 【分析】先判定△ABC是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即 可 解：由图可得，AC=32+32=18,BC=22+22=8,AB=52+1P=26 ∴.AC2+BC2=AB2. ,△ACB为直角三角形.∠ACB=90°， 又D为AB中点， CD=26 2 3.(25-26八年级上：江苏连云港期末)如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方 形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，AD⊥BC于D,则AD的长为一 【答案】4 【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积 公式即可得到结论. 解：由勾股定理得：AC2=22+42=20,AB2=42+82=80,BC2=82+62=100, :.AC2+AB2 BC2, ∴△MBC是直角三角形，∠BAC=90°，BC=10,AC=2V5,AB=45, :AD⊥BC, .5wBCD-BC 2 AD=AB.AC_45x2V5 4 BC 10 故答案为：4 【点拨】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键， 4.(24-25八年级上·北京·期中)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1,点A,B,C,D是网格线的交点. (1)求出∠DCB的度数： (2)求出四边形ABCD的面积. 5 【答案】(1)∠DCB=450:(2)2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. (I)连接BD,根据勾股定理的逆定理，可以判断△CBD是等腰直角三角形，即可求得 ∠DCB=45°， (2)同理，可判断△ABD是等腰直角三角形，根据四边形ABCD的面积 B×D+×BCxRD,代入数据求解即可。 (1)解：连接BD, BD=V1+32=V10,BC=V12+32=V10,CD=V22+42=V20, .BD=BC,BD2+BC2=CD2, .∠CBD=90°， ∴.△CBD是等腰直角三角形， .∠DCB=45°： (2)解：AB=AD=VP+22=5,BD=VP+32=0, .AB2+AD2=BD2, ∴.△ABD是等腰直角三角形， :边形ABCD的面积=方×ABxD+分×BCxD -5x5+i0x而-当 2 题型10：勾股定理方程思想（设未知数列方程求边长） 1.(25-26九年级上河南安阳·阶段检测)如图，点M,N分别在正方形ABCD的边 BC,CD上，且∠MAN=45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE, (1)求证：△AEM≌△ANM. (2)若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长. E B 【答案】(I)证明：由旋转的性质得，△ADN≌△ABE, ∴∠DAN=∠BAE,AN=AE,∠D=∠ABE=90° .∠ABC+∠ABE=180° 、.E,B,C三点共线. ∠DAB=90°.∠MAN=45°. .∠BAM+∠DAN=∠BAM+∠BAE=∠EAM=45°， ∴.∠EAM=∠MAN=45°， 在△AEM和△ANM中， 「AE=AN ∠EAM=∠NAM」 AM=AM ∴.△AEM≌△ANM(SAS) (2)6 【分析】(1)先由旋转的性质，证明∠EAM=∠MAW=45°，再根据SAS证明 △AEM≌△AWM. (2)设正方形边长CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2,在Rt△MCN中利用勾股定理建立 方程即可求解. 解：(1)略 (2)解：设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2, △AEM≌△ANM, ∴.EM=MN. .BE DN, :MIN=EM=BM+BE=BM+DN=3+2=5, ∠C=90°， ∴由勾股定理，MN2=CM2+CW2, 52=(x-22+(x-32, 解得x=6或2=-1（舍去）. ·正方形 ABCD 的边长是6 2.(26-27九年级上河北保定阶段检测)如图，在RIAABC中，AC⊥BC,MN垂直平 分AB,交AB于点M,交BC于点N,连接CM,若AC=4,CM=2V5,则BN的长为 () B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】连接AN,由线段垂直平分线的性质得AM=BM,AN=BN,求出 BC=VAB2-AC2=8,设BN=x,则AW=x,然后根据AC2+CN2=AN2求解即可. 解：如图，连接AN」 :MN垂直平分AB, ∴.AM=BM,AN=BN, ,AC⊥BC,CM=2V5, .AB=2CM=2×2W5=4V5. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB, BC=VAB2-AC2=45-42=8. 设BN=x,则AN=x,CN=BC-BN=8-x, 在Rt△ACN中，由勾股定理得AC2+CN2=AW2, 42+(8-x2=x2, 解得=5，即BN=5 3.（吉林省四平市2025一2026学年度下学期期末测试卷八年级数学)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=18,DE是线段AB的垂直平分线，则BD的 长为 【答案】13 【分析】利用垂直平分线性质得到AD=BD,然后将CD用AD表示，在直角三角形中用勾股 定理列方程求出AD,即可得BD的长. 解：如图，连接AD, :DE是线段AB的垂直平分线， .AD BD. BC=18 .CD=18-AD, ∠C=90°，AC=12」 .AC2+DC2=AD2.AD>AC. 即122+(18-AD2=AD2,，4AD>12, 解得AD=13, ∴.BD=13 4.(26-27八年级上·广东梅州阶段检测)如图，在Rt△ABC中∠ACB=90° AB=I0cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时 间为s. (1)求BC边的长： (2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值 A A C 备用图(1) 备用图(2) 25 【答案】(1) BC=8cm:(2)8或5或8 【分析】(1)利用勾股定理求解即可： (2)分三种情况：①PA=PB=2cm,②PB=AB=10cm和③PA=AB,利用勾股定理和等 腰三角形的三线合一求解即可. (1)解：：在Rt△ABC中∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm, ∴，BC=VAB2-AC2=8Cm. (2)解：由题意得：PB=21cm. ①如图，当PA=PB=21cm时，△ABP为等腰三角形， B ..PC=BC-PB=(8-2t)cm. 在RtAACP中，AC2+PC2=PA,即6+(8-2I)=(2)}, 解得125 8: ②如图，当PB=AB=l0Cm时，△ABP为等腰三角形， B C P .2t=10, 解得1=5： ③如图，当PA=AB时，△ABP为等腰三角形， C P :∠ACB=90°，即AC⊥PB, .PB=2BC,即2t=2×8, 解得1=8： 25 综上，当△MBP 8 等腰三角形时，的值为°或5或8. 题型11：勾股定理逆定理求不规则四边形面积 1.(26-27八年级上四川达州阶段检测)已知a,b,c满足 (a-5+vb-5+c-25=0. (1)求a,b,c的值： (2)试问以a,b,c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积. 【答案】(1)a=V5,b=5,c=25；(2)能构成直角三角形，面积为5 【分析】(1)几个非负数（平方、算术平方根、绝对值）之和为0，则每一个都为0，由此 求出a、b、c: (2)用勾股定理的逆定理判断直角三角形并求面积，注意最大边b=5应为斜边， 1)解：：(a-5≥0，b-5≥0,1c-251≥0， 且(a-5+vb-5+Hc-251=0, a-V5=0,b-5=0,c-2W5=0, .a=V5,b=5,c=25. (2)解：：(5+(25=5+20=25,5=25 (5+25-5, ,以a,b,c为边长能构成直角三角形，其中b=5为斜边， s=x5x25=5 2 2.(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，在四边形ABCD中，AB=2,BC=V5, CD=5,DA=4,∠B=90°，那么四边形ABCD的面积是() A.10 B.V5+6 C.4+V5 D.6-V5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理. 根据勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后利用 S边形ABCD=S,ABc+S,AD进行计算即可解答. 解：如图： D ∠B=90°，AB=2,BC=V5, ÷4C=VAB+BC=V2+N5=3, CD=5,AD=4, .AC2+AD2=32+42=25,CD2=52=25, .AC2+AD2=CD2. ∴.△ACD是直角三角形， .∠CAD=90°， .S网边形ABCD=SABC+S,ACD -号4Bac+4C4D 2 x2x5+x3x4 2 2 =5+6. 故选：B. 3.(25-26八年级上·江苏徐州期中)四边形ABCD的面积是 12 13 C 4 B 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理判 断三角形是直角三角形是解题关键.根据勾股定理，先计算AC的长，再根据勾股定理的逆定 理，判断△ACD是直角三角形，最后利用三角形的面积公式求解即可. 解：观察图形可知，AB⊥BC,AB=4,BC=3, .AC=V42+32=5, :AD=13,DC=12,52+122=132, ..AC2+DC2=AD2, :△ACD是直角三角形， 1 ×3×4+-×5×12=36 一四边形 ABCD 2 的面积为 4.(25-26七年级下·贵州遵义阶段检测)已知：四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3 ,AD=4,BC=13,CD=12」 (1)求BD的长 (2)求四边形ABCD的面积. D B 【答案】(1)5：(2)36 【分析】(I)根据勾股定理可知BD的长度： (2)根据勾股定理的逆定理可知∠BDC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解. 解：(1)在△ABD中，∠A=90°，AB=3,AD=4, 根据勾股定理得，BD=√AB2+AD2=5; (2)在△BCD中，BC=13,CD=12,BD=5, CD2+BD2=12+52=132=BC2, ∴.△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°， .S四边形ABCD=SABD+SBCD SAB·AD+CDBD =x3x4+号×12x5 2 =36 题型12：勾股定理在航行、距离测量中的实际应用中档题 1.(25-26八年级下·重庆期中)如图1，有两棵树，一棵高10米(AB=10米)， 另一棵高2米(CD=2米)，两树相距6米(BD=6米) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处， 则树AB折断处M距离地面多少米？ 10米 M 2米 2米 6米D B 6米D(A) (图1) (图2) 16 【答案】(1)10米：(2)5米 【分析】(1)根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞 行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出： (2)由勾股定理求出BM的长，即可求解. (1)解：两棵树的高度差为10-2=8（米），两树相距6米(BD=6米)， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=V82+62=10(米)， 答：至少飞了10米： (2)解：由勾股定理得：BM2+AB2=AM2, BM2+6=(10-BM）2, 解得：BM=16 16 答：树1B折断处M距离地面5米。 2.(25-26八年级下·甘肃金昌期中)如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以 16海里时的速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，1.5小时后， 甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距30海里，则乙船的航速是() 北 》东 A A.8海里/时 B.12海里/时 C.16海里时 D.20海里/时 【答案】B 【分析】由题意可知，∠BAC=90°，AC=24海里，BC=30海里，利用勾股定理计算出AB, 进而求出乙船的航速， 解：由题意可知， ∠BAC=180°-40°-50°=90°，AC=16×1.5=24(海里)，BC=30海里， 在RIAABC中，AB=√BC2-AC2=V302-24=18(海里)， 18 =12 .5 ∴.乙船的航速为 (海里时). 3.(24-25八年级下·广西南宁·期中)某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影 响，实际上岸地点C偏离了想到达的点B50米.他在水中游了130米，则这条河的 宽度为（两岸可近似看作平行) B 【答案】120米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知 ∠ABC=90°，在R1△ABC中，利用勾股定理可以求出AB=120米. 解：游泳爱好者想横渡一条河， .AB⊥BC .∠ABC=90°， 在R1aABC中，AC=130米，BC=50米， .AB=VAC2-BC2=V1302-502=120米. 120 故答案为： 米。 4.(25-26八年级上河南期末)勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历 程中占有举足轻重的地位.历史上有很多方法可以验证勾股定理， (1)如图1，在四边形ABCD中，∠B=∠C=∠AED=90°，B、E、C三点共线， Rt△ABE≌RtAECD,请利用图I验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，AB=AD=5m,近期雨水多， 水位上涨至EF,水深AE=3.8米.一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长 方形，高2.5米，宽为3米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由. b C E ▣ B a E A B 图1 图2 【答案】(1)证明：S稀形= (AB+CD)BC (a+b) 2 2月 :'RtAABE≌Rt△ECD .Sww-2S.m+S.-ab:2+ 1 2 2 :a+b=b2+5c2. 22 2 .a2+b2=c2 (2)可以安全通过， 理由：取CD中点P,由题知：PM=1.5, 过点M作MN⊥CD交桥洞于点N,连接PN,如下图所示： D E A .PN=2.5, ∴.在RtAPMN中，MN=VPW2-PM2=2, 2+5-3.8=3.2>2.5, ,可以安全通过 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键. (1)根据面积公式计算，可证出勾股定理； (2)过点M作MN⊥CD交桥洞于点N,连接PV,结合勾股定理求出MN的长度，计算其与 水面的高度，进行比较即可. 解：(1)略 (2)略 题型13：三角形（或矩形）折叠结合勾股定理求线段长 1.(2026八年级上江苏专题练习)如图，在△ABC中，AB=8,BC=12,D为BC 的中点，己知AD=10 (I)如图①，∠BAD+∠ADB= (2)如图②，将△ABD沿AD折叠，使点B落在△ABC外点E处，连接CE,则线段 CE的长为 E D B 图① 图② 【答案】(1)90：(2)7.2 【分析】(I)根据勾股定理逆定理得到△ABD是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算 即可 (2)根据折叠性质得到△ABD≌△AED,从而得到对应边相等，再利用求三角形△ABD面积求 出BO,根据三角形内角和定理得到△BEC是直角三角形，利用勾股定理计算即可. (1)解：：D为BC的中点，BC=12, BD=号BC=6, 2 AD=10,AB=8,62+82=102 .BD2+AB2 =AD2, ∴.△ABD是直角三角形，且∠B=90°， 根据三角形内角和定理得∠BAD+∠ADB+∠B=180°， ∴.∠BAD+∠ADB=90° (2)解：连接BE交AD于O, ,BC=12,D为BC的中点， ..BD=DC=6. ,△ABD≌△AED(折叠的性质)， .AB=AE,BD=DE, ∴.AD是线段BE的垂直平分线， .BO=OE,AD⊥BE, 4-BD-D:BD. :.BO=AB.BD_8x6 24 AD105 .'BE=2BO= 48 5 .BD=DE DC=6. ∴.∠DBE=∠DEB,∠DEC=∠DCE. ∠DBE+∠BED+∠DEC+∠DCE=18O°， .2∠BED+2∠DEC=180° ∴.∠BEC=∠BED+∠DEC=90°」 ∴.△BEC是直角三角形， 根据勾股定理得CE=√BC2-BE2, CE=BC2-BE2 25 =7.2 2.(26-27八年级上江苏常州期中)如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将一 边AD折叠，使点A恰好落在边BC的点F处，折痕为DE.若AB=4,BF=2,则 AE的长是() D A.8 B.3 C. 4 D. 【答案】C 【分析】设AE=x,在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程求解即可 解：设AE=x, 则BE=AB-AE=4-x, 由折叠的性质可得：EF=AE=x, :四边形ABCD是长方形， .∠B=90°， 在RtABEF中，由勾股定理得，BE2+BF2=EF2, 即(4-x)2+22=x2, 翔 5 即4E的长为2 3.(26-27八年级上四川达州开学考试)如图，在R1aABC中，∠C=90°，AB=10, BC=8,点D在BC上，将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对称点E恰好落在AB 上，则线段BD的长为 B 【答案】5 【分析】先根据勾股定理，求得AC,接着利用折叠可得AE=AC=6,∠AED=∠C=90°， ED=CD=8-BD,最后在△BDE中利用勾股定理求得答案. 解：∠C=90°，AB=10,BC=8 ∴.AC=VAB2-BC2=V102-82=6, ∴由翻折得AE=AC=6,∠AED=∠C=90°，ED=CD, .BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°，ED=CD=8-BD, .BE2+ED2=BD2. V即4+(8-BD)}2=BD2, BD=5 解得 4.(25-26七年级下山东济南期中)如图，长方形ABCD沿对角线AC折叠，顶点 B落在点E处，EC与AD交于点O. (1)求证：△AOC是等腰三角形： (2)若AB=4,BC=8,求线段E0的长. E B 【答案】(I)证明：~四边形ABCD是长方形， AD∥BC, ∴.∠DAC=∠ACB 由折叠得，∠ACB=∠ACE, .∠DAC=∠ACE, ..AO=CO :△AOC是等腰三角形； (2)3 【分析】(1)由折叠和平行线的性质得到∠DAC=∠ACE,进而证明即可： (2)由折叠得，AB=AE=4,BC=EC=8,设OE=x,则AO=C0=8-x,然后根据勾股 定理求解， 解：(1)略 (2)解：由折叠得，AB=AE=4,BC=EC=8, 设OE=x,则AO=CO=8-x, 在R1△AEO中，根据勾股定理得：AE2+EO=AO2, 42+x2=(8-x)2, 解得x=3, ∴.EO=3 题型14：全等三角形与等腰三角形跨小问综合 1.(26-27八年级上江苏苏州·阶段检测)如图，在四边形ABCD中， ∠BAC=∠BDC=9O°，E,F分别为边BC,AD的中点，连接EF,求证：EF⊥AD 【答案】证明：如下图所示，连接AE、DE, B4 E :∠BAC=90°，点E是BC的中点， .AE=IBC, :∠BDC=90°，点E是BC的中点， D-C. :.AE DE, “点F是AD的中点， .EF⊥AD 【分析】连接AE、DE根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证AE=DE,根据等 腰三角形的三线合一定理可证结论成立. 解：略 2.(26-27八年级上黑龙江期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB, BP平分∠ABC,∠NPB=I5°，过点P作MN∥BC,分别交AC、AB于M、N,若 △AMN周长是24，则AB长是() A.8 B.12 C.14 D.16 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得∠MPC=∠ACP,∠NPB=∠ABP,从而得 到CM=PM,BN=PN, 再根据直角三角形的性质可得4C=)AB,然后结合。MN周长是 24,即可求解. 解：：CP平分∠ACB,BP平分∠ABC,∠NPB=15°， .∠ACP=∠BCP,∠ABP=∠CBP .MN∥BC, .∠MPC=LBCP,∠NPB=∠CBP. .∠MPC=∠ACP,∠NPB=∠ABP=15°. .CM=PM,BN=PN,∠ABC=2∠NBP=30°， MN=PM+PN =CM+BN:4Cs. :△AMN周长是24， :AM+MN+AN=AM+CM+BN+AN=AC+AB=-4B+AB=AB=24 2 B=16 3.(26-27七年级上山东泰安阶段检测)如图，把一块等腰直角三角形零件( △ABC,其中∠ACB=90°)，放置在一凹槽内，三个顶点A、B、C分别落在凹槽内 壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=3cm,BE=4cm,则DE= E 【答案】7cm/7厘米 【分析】因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，所以AC=BC,且 ∠ACD+∠BCE=90°，结合∠ADE=90°可得∠ACD+∠CAD=90°，由此推出∠CAD=∠BCE ,确定证明三角形全等的角相等条件.因为∠ADE=∠BED=90°，∠CAD=∠BCE,AC=BC ,所以可通过AAS判定△ADC和△CEB全等.由全等三角形的性质可得对应边 AD=CE,DC=BE,因为DE=DC+CE,所以将对应边长度代入即可求出DE的长度. 解：∠ACB=90° ∴.∠DCA+∠ECB=90°， .∠ADE=∠BED=90°， ∴.∠DAC+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠ECB 又，AC=CB, △ACD≌aCBE(AAS), ∴.CD=BE=4cm,AD=CE=3cm」 :DE=CD+CE=7em 4.(26-27八年级上江苏扬州：阶段检测)已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底 边BC上的高，DEI‖AB,且DE交AC于点E. (1)求证：△ADE是等腰三角形： (2)若AB=10,求DE的长. A E D 【答案】(1)证明：：AD是等腰三角形ABC的底边BC上的高， .∠BAD=∠CAD DE∥AB, ∴.∠EDA=∠BAD. .∴∠EDA=∠CAD .AE=DE, △ADE是等腰三角形. (2)5 【分析】(1)根据等腰三角形的性质和平行线的性质证明即可： (2)根据等腰三角形的判定和性质解答即可 解：(1)略 (2)解：：△ABC是等腰三角形， ∠B=∠C, DE∥AB, ∴.∠EDC=∠B .∠EDC=∠C, :DE=EC, DE=AE. DE=AE=EC=AC- 2 AB, AB=10, :DE=14B-1x10-5 1 2 2 期中复习专题2——综合运算与推理证明 （苏科版八年级上册：期中核心综合考点） 目录 一、专题定位 1 二、核心考点梳理 2 三、必考、常考题型 2 题型1：三角形内角和、外角性质在多三角形叠加图形中的综合角度计算 2 题型2：全等三角形完整推理论证解答题（结合平行线、角平分线条件） 3 题型3：二次全等证明解答题（需两次证明三角形全等） 5 题型4：等腰三角形边长或角度不确定的分类讨论填空压轴题 7 题型5：线段垂直平分线、角平分线综合求三角形周长（线段代换） 8 题型6：等边三角形性质与判定综合证明计算题 9 题型7：平方根、立方根、绝对值混合实数运算解答题 11 题型8：利用正数两个平方根互为相反数列方程求参数 12 题型9：网格中勾股定理求线段长与格点直角三角形判定 12 题型10：勾股定理方程思想解答题（设未知数列方程求边长） 14 题型11：勾股定理逆定理求不规则四边形面积 15 题型12：勾股定理在航行、距离测量中的实际应用中档题 16 题型13：三角形（或矩形）折叠结合勾股定理求线段长 18 题型14：全等三角形与等腰三角形跨小问综合解答题（一问证明、一问计算） 20 一、专题定位 本专题为苏科版八年级上册期中第二轮复习，整合第1章三角形、第2章实数的初步认识、第3章勾股定理三章中档重难点，聚焦全等三角形完整推理论证、等腰三角形边角分类讨论、实数混合运算、勾股定理方程思想与网格、面积计算，对应江苏各地期中试卷中档解答题与填空压轴。重点训练几何证明步骤书写规范、等腰三角形分类讨论取舍、折叠问题中勾股方程列式，解决证明跳步、分类漏解、实数运算粗心、勾股方程列错等高频失分问题。适配课堂中档讲练、限时专题训练与阶段性检测组卷，是提升期中解答题中档得分率的核心专题。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 三角形 全等三角形完整推理论证（含二次全等）；全等结合平行线、角平分线条件的证明；等腰三角形边长、角度不确定时的分类讨论并用三边关系取舍；三线合一综合计算；线段垂直平分线与角平分线综合及周长代换；等边三角形性质与判定综合 实数的初步认识 平方根、立方根与绝对值的实数混合运算；利用"一个正数的两个平方根互为相反数"列方程求参数；实数的估算与大小比较 勾股定理 勾股定理方程思想（设未知线段为x建立方程求边长）；网格中求线段长、判定格点直角三角形；勾股定理逆定理求不规则四边形面积；勾股定理在航行、距离测量中的中档实际应用 跨章节中档综合 全等三角形与等腰三角形结合的证明与计算；角平分线性质与勾股定理综合求线段长；等腰三角形背景下运用勾股定理求边长；实数运算与几何求值综合 三、必考、常考题型 题型1：三角形内角和、外角性质在多三角形叠加图形中的综合角度计算 1.（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，垂足为D，点E在的延长线上，． （1）求的度数； （2）求的度数． 2.（26-27八年级上·河南商丘·阶段检测）在中，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（     ） A．或或 B．或 C．或 D．或 3.（26-27八年级上·山东·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为 ______ ． 4.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在中，的平分线交边于点E，在上取点F，过点F作的平行线交的延长线于点D． （1）判断和的数量关系，并证明． （2）当，时，求的度数． 题型2：全等三角形完整推理论证解答题 1.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在和中，，，，连接与交于点P． （1）求证：． （2）求的度数． 2.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 3.（26-27八年级上·山西大同·阶段检测）如图，在中，，点E是边上一点，延长至点D，使，连接交的延长线于点F．已知，，，则的长为_______． 4.（26-27八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） （2）的取值范围是________； 【灵活运用】 （3）如图3，，，，，点为的中点，试说明：； 题型3：二次全等证明解答题（需两次证明三角形全等） 1.（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 2.（25-26七年级下·贵州毕节·期末）如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 4.（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中， ，E是的中点，平分． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 题型4：等腰三角形边长或角度不确定的分类讨论 1.（26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，在等腰中，，中线将周长分为9和15两部分，求它的底边的长． 2.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，△中，，，边上的高长为，点在数轴上，且对应的数为．以点为圆心，长为半径作圆弧，交数轴于点，则点表示的数是（    ） A．1或 B． C．或 D．或 3.（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为，则这个三角形的底角为_____________． 4.（26-27八年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在等腰中，，是的中线，是的中线．若四边形的周长与的周长差为5，求的长． 题型5：线段垂直平分线、角平分线综合求三角形周长（线段代换） 1.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的平分线的交点，，，，垂足分别为，连接，若，的面积是60，求的周长． 2.（26-27八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 3.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，分别平分，，于点．若，的面积是75，则的周长为________． 4.（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边1上的一动点（不与点B，C重合），垂直平分，垂直平分． （1）求的度数． （2）嘉嘉说：“四边形的周长为定值．”你同意他的说法吗？若同意，请直接写出这个定值；若不同意，请说明理由． 题型6：等边三角形性质与判定综合证明计算题 1.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知：如图，，是的中点． （1）求证：； （2）若为中点，求证：； （3）探究与的关系，并说明理由；当，时，求的长． 2.（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 3.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，等边与正方形重叠，其中D、E两点分别在、上，且，若，，则的面积为________． 4.（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）法国数学家皮埃尔·德·费马曾提出了一个极具趣味性的几何难题．如图1，已知，求作一点P，使得点P到三个顶点的距离之和最短（即的值最小）．后来人们将位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为“费马点”．确定费马点位置的方法是：如图2，分别以中的和为边，作等边和等边．连接、，记与的交点为P，点P即为费马点． 阅读上述文字后请解决下列问题： （1）证明：． （2）如图3，在（1）的基础上连接，以为边，在上取一点Q，使得．试判断的形状． （3）由（2）不难推断出，综上所述：若，，时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最短为___________． 题型7：平方根、立方根、绝对值混合实数运算 1.（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按要求求值 （1）若是的整数部分，是的小数部分，求的值． （2）已知，求的立方根． 2.（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若实数x，y满足，则的平方根为（     ） A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·福建厦门·期中）的平方根是___，_____，_____，______． 4.（26-27八年级上·江苏连云港·阶段检测）计算与求解： （1）计算：； （2）求式中的值： ①； ②． 题型8：利用正数两个平方根互为相反数列方程求参数 1.（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． （1）求，的值； （2）计算的值． 2.（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知一个正数的平方根分别为和，则这个正数的值为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）已知一个数a的平方根分别是和，则这个数________． 4.（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）解答下列问题 （1）已知、满足，求的算术平方根； （2）如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 题型9：网格中勾股定理求线段长与格点直角三角形判定 1.（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （1）画线段且使，连接； （2）的长为____________； （3）为______三角形； （4）根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 2.（2026·贵州黔东南·三模）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __． 4.（24-25八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D是网格线的交点． （1）求出的度数； （2）求出四边形的面积． 题型10：勾股定理方程思想（设未知数列方程求边长） 1.（25-26九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到． （1）求证：． （2）若,，求正方形的边长． 2.（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在Rt中，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，则的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（吉林省四平市2025—2026学年度下学期期末测试卷八年级数学）如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，则的长为____________． 4.（26-27八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，在中 ，，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为． （1）求边的长； （2）当为等腰三角形时，求t的值 题型11：勾股定理逆定理求不规则四边形面积 1.（26-27八年级上·四川达州·阶段检测）已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（   ） A．10 B． C． D． 3.（25-26八年级上·江苏徐州·期中）四边形的面积是________． 4.（25-26七年级下·贵州遵义·阶段检测）已知：四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 题型12：勾股定理在航行、距离测量中的实际应用中档题 1.（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 2.（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（   ） A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时 3.（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 4.（25-26八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． （1）如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； （2）如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 题型13：三角形（或矩形）折叠结合勾股定理求线段长 1.（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 2.（26-27八年级上·江苏常州·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 3.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，，，，点D在上，将 沿直线翻折后，点的对称点恰好落在上，则线段的长为______． 4.（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求线段的长． 题型14：全等三角形与等腰三角形跨小问综合 1.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在四边形中， ，，分别为边 ，的中点，连接，求证：． 2.（26-27八年级上·黑龙江·期中）如图，中，，平分，平分， ，过点作，分别交、于、，若周长是24，则长是（     ） A．8 B．12 C．14 D．16 3.（26-27七年级上·山东泰安·阶段检测）如图，把一块等腰直角三角形零件（，其中），放置在一凹槽内，三个顶点A、B、C分别落在凹槽内壁上，已知，测得，则__________． 4.（26-27八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知：如图，是等腰三角形的底边上的高，，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $