4.2.2一次函数与正比例函数 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版数学八年级上册 4.2.2 一次函数与正比例函数 专项练习 （全文约141\(\boldsymbol{0}\)字） ## 知识梳理 1. **一次函数**：形如 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(\(y=\)kx\)+b}\)}$（$k\(k、b\)b$ 为常数，$\boldsymbol{k eq\(\boldsymbol{0}\)}$）的函数，$x$ \(\boldsymbol{是}\)自变量，$y$ \(\boldsymbol{是}\)因变量。 2. **正比例函数**：当 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(b=\)\(\boldsymbol{0}\)}\)}$ 时，$\(\(y=\)kx\)$（$k$ 为常数，$\boldsymbol{k eq\(\boldsymbol{0}\)}$），\(\boldsymbol{是}\)特殊的一次函数。 ✅ 关系：正比例函数一定\(\boldsymbol{是}\)一次函数；一次函数不一定\(\boldsymbol{是}\)正比例函数。 3. 判断要点： - 自变量次数必须\(\boldsymbol{是}\)**1次**； - $x$ 不能在分母\(k、b\)根号里面； - $k eq\(\boldsymbol{0}\)$。 4. 实际问题写关系式：先找等量关系，再整理成 $\(\boldsymbol{\(\(y=\)kx\)+b}\)$ 形式。 易错提醒：不要漏掉条件 $k eq\(\boldsymbol{0}\)$；区分一次函数和正比例函数。 ## 一\(k、b\)选择题（每题4分，共24分） 1. 下列函数中，属于正比例函数的\(\boldsymbol{是}\)（） A. $\(\(y=\)3x\)$ B. $\(\(\(y=\)2x\)+1\)$ C. $\(y=\)x^2$ D. $\(y=\)\dfrac{1}{x}$ 2. 关于一次函数和正比例函数说法正确的\(\boldsymbol{是}\)（） A. 一次函数一定\(\boldsymbol{是}\)正比例函数 B. 正比例函数一定\(\boldsymbol{是}\)一次函数 C. 正比例函数不\(\boldsymbol{是}\)一次函数 D. 只有$b eq\(\boldsymbol{0}\)$才\(\boldsymbol{是}\)一次函数 3. 函数$\(y=\)(m-2)x+\(\boldsymbol{5}\)$\(\boldsymbol{是}\)一次函数，则（） A. $\(m=2\)$ B. $m eq2$ C. $\(m=\(\boldsymbol{0}\)\)$ D. $\(m>2\)$ 4. 下面\(\boldsymbol{是}\)一次函数的\(\boldsymbol{是}\)（） A. $\(y=\)\sqrt{x}$ B. $\(\(y=\)\(\boldsymbol{5}\)\)$ C. $\(y=\)-x+4$ D. $\(y=\)\dfrac{2}{x}$ \(\boldsymbol{5}\). 若$\(\(y=\)(k+3)x\)$\(\boldsymbol{是}\)正比例函数，则$k$满足（） A. $\(k=\)-3$ B. $k eq-3$ C. $\(k>\(\boldsymbol{0}\)\)$ D. $\(\(k=\)\(\boldsymbol{0}\)\)$ 6. 长方形周长2\(\boldsymbol{0}\)，长$y$，宽$x$，则$y$与$x$的关系式\(\boldsymbol{是}\)（） A. $\(y=\)2\(\boldsymbol{0}\)-x$ B. $\(y=\)1\(\boldsymbol{0}\)-x$ C. $\(y=\)2\(\boldsymbol{0}\)-2x$ D. $\(y=\)1\(\boldsymbol{0}\)-2x$ ## 二\(k、b\)填空题（每题4分，共24分） 7. 一次函数$\(\(y=\)\(\boldsymbol{5}\)\)x-3$中，$\(k=\)$____，$\(b=\)$____。 8. 正比例函数一定满足一次函数中$\(b=\)$________。 9. 函数$\(y=\)-4x$____（填“\(\boldsymbol{是}\)”或“不\(\boldsymbol{是}\)”）正比例函数。 1\(\boldsymbol{0}\). 若$\(y=\)(a-1)x+2$\(\boldsymbol{是}\)一次函数，则$a$的取值为________。 11. 已知$\(\(y=\)2x\)$，当$x=-2$时，$\(y=\)$________。 12. 出租车起步价8元，3千米后每千米收1.\(\boldsymbol{5}\)元，路程$\(x(x>3)\)$，费用$y$，关系式$\(y=\)$________。 ## 三\(k、b\)解答题（共\(\boldsymbol{5}\)2分） 13.（12分）判断下列函数哪些\(\boldsymbol{是}\)一次函数，哪些\(\boldsymbol{是}\)正比例函数： （1）$\(y=\)-2x$ （2）$\(\(y=\)3x\)-1$ （3）$\(y=\)x^2$ （4）$\(y=\)\dfrac{1}{3}x+\(\boldsymbol{5}\)$ 14.（12分） 已知函数$\(y=\)(2m-4)x+m+1$ （1）若它\(\boldsymbol{是}\)正比例函数，求$m$的值； （2）若它\(\boldsymbol{是}\)一次函数，求$m$的取值范围。 1\(\boldsymbol{5}\).（14分） 水池原有水12\(\boldsymbol{0}\)升，匀速放水，每分钟放出6升，放水时间$t$分钟，剩余水量$y$升。 （1）写出$y$与$t$的函数关系式； （2）判断它\(\boldsymbol{是}\)不\(\boldsymbol{是}\)一次函数，\(\boldsymbol{是}\)不\(\boldsymbol{是}\)正比例函数； （3）求自变量$t$的取值范围。 16.（14分）拓展探究： （1）已知$y$与$x$成正比例，当$\(x=3\)$时，$\(y=\)12$，求函数关系式； （2）某商店卖笔记本，进价2元，加价1.\(\boldsymbol{5}\)元卖出，卖出$x$本，总利润为$y$元，写出$y$关于$x$的关系式，并判断函数类型。 ## 参考答案与解析 1. A 解析：$\(\(y=\)3x\)$符合$\(\(y=\)kx\)$，正比例函数。 2. B 解析：正比例\(\boldsymbol{是}\)$\(\boldsymbol{\(b=\)\(\boldsymbol{0}\)}\)$的特殊一次函数。 3. B 解析：一次函数要求$\(k=\)m-2 eq\(\boldsymbol{0}\)$，即$m eq2$。 4. C 解析：$\(y=\)-x+4$\(\boldsymbol{是}\)$\(k=\)-1,\(b=\)4$的一次函数。 \(\boldsymbol{5}\). B 解析：$k+3 eq\(\boldsymbol{0}\)$，$k eq-3$。 6. B 解析：$2(x+y)=2\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow x+\(y=\)1\(\boldsymbol{0}\)\Rightarrow \(y=\)1\(\boldsymbol{0}\)-x$。 7. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$；$\boldsymbol{-3}$ 8. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)}$ 9. $\boldsymbol{\(\boldsymbol{是}\)}$ 1\(\boldsymbol{0}\). $\boldsymbol{a eq1}$ 11. $\boldsymbol{-4}$ 12. $\boldsymbol{\(y=\)1.\(\boldsymbol{5}\)(x-3)+8}$（化简：$\boldsymbol{\(y=\)1.\(\boldsymbol{5}\)x+3.\(\boldsymbol{5}\)}$） 13. 解： （1）一次函数，也\(\boldsymbol{是}\)正比例函数； （2）一次函数，不\(\boldsymbol{是}\)正比例函数； （3）不\(\boldsymbol{是}\)一次函数； （4）一次函数，不\(\boldsymbol{是}\)正比例函数。 14. 解： （1）正比例函数：$\begin{cases}m+1=\(\boldsymbol{0}\)\\2m-4 eq\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}$ $m=-1$，同时$2\times(-1)-4=-6 eq\(\boldsymbol{0}\)$，符合条件。$\boldsymbol{m=-1}$ （2）一次函数只要$2m-4 eq\(\boldsymbol{0}\)$，$\boldsymbol{m eq2}$ 1\(\boldsymbol{5}\). 解： （1）$\(y=\)12\(\boldsymbol{0}\)-6t$ （2）\(\boldsymbol{是}\)一次函数；$\(b=\)12\(\boldsymbol{0}\) eq\(\boldsymbol{0}\)$，不\(\boldsymbol{是}\)正比例函数。 （3）$\begin{cases}t\ge\(\boldsymbol{0}\)\\12\(\boldsymbol{0}\)-6t\ge\(\boldsymbol{0}\)\end{cases}$，解得$\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)\le t\le2\(\boldsymbol{0}\)}$ 16. 解： （1）设$\(\(y=\)kx\)$，代入$\(x=3\),\(y=\)12$ $12=3k \Rightarrow \(k=\)4$，关系式：$\boldsymbol{\(y=\)4x}$ （2）每本利润1.\(\boldsymbol{5}\)元，总利润$\(y=\)1.\(\boldsymbol{5}\)x$；\(\boldsymbol{是}\)正比例函数，也\(\boldsymbol{是}\)一次函数。 （字数统计：14\(\boldsymbol{0}\)6字） 需要我生成无答案空白版，或者继续4.3一次函数的图象？ 北师大版（新教材）数学8年级上册 4.2.2一次函数与正比例函数 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第四章 一次函数 通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展抽象思维能力、数学建模思想。 能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。 能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力。 1.“均匀”变化是指：一个变量增加______的数值时，另一个变量的改变量是_______的. 相同 固定 燃烧时间 t/min 1 2 3 4 5 ··· 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 ··· 2. 根据下面表格试写出这根香可燃烧部分的长度 l 与燃烧时间 t 之间的关系式. l=22.9－0.5t（45.8≥t≥0） 举一反三 新知探究 尝试思考 某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50km耗油4 L， 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 16 24 （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？ 或 y＝0.08x (3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？ 或 z＝40－0.08x 新知探究 观察思考 上面情景中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？ （1）y ＝ 0.5x ＋ 3 （2）y ＝ 0.12x （3）y ＝ -0.12x ＋60 y ＝ kx ＋ b 这些函数解析式都包含常数与自变量的乘积的形式！ 归纳总结 新知探究 函数的概念 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k为常数，k≠0) 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0) 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 判断函数是否为一次函数的方法 : 先看函数关系式是否是整式的形式，再将函数关系式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ，b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 . 利用一次函数定义判断 例1.下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？ (1)y＝－2x2； (2)y＝； (3)y＝3x2－x(3x－2) ；(4) y=－ . 解（1）：因为x的次数是2，所以y＝－2x2不是一次函数. （2）因为y＝＝x＋，k＝，b＝， 所以y＝是一次函数，但不是正比例函数. （3）解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0， 所以它是一次函数，也是正比例函数. （4）因为 y=－ 中，－ 不是整式，所以它不是一次函数 . 归纳总结 新知探究 函数的概念 1.判定一个函数是一次函数的条件： 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 一次函数 正比例函数 ① k 是常数，k≠ 0； ② x 的次数是 1. ① k 是常数，k≠0； ② x 的次数是 1. ③ b=0. 正比例函数是一种特殊的一次函数. 知识点1 一次函数与正比例函数 1.下列函数中不是一次函数的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.下列函数中，是 的正比例函数的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.对于函数，当 ______时，它是正比例函数；当 _____时，它是一次函数。 返回 举一反三 11 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 紧扣一次函数的定义与结构特征进行识别. 利用一次函数定义列关系式 例2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系； 解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x， y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得 y=πx2，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数. (2) 圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系. 题型二 题型探究 小亮 方法技巧 把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 利用一次函数定义列关系式 例2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ 解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，因而 y = 15 + 5x.y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数. (3)某水池有水15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3. 新知探究 思考交流 （1）例1中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？ （1）y = 60x k = 60，实际意义是汽车速度(每小时行驶 60 km )； b = 0，表示行驶 0 小时时，路程为 0 km 。y = 15 + 5x k = 5，实际意义是进水管进水速度(每小时进水 5m3 )； b = 15，表示打开进水管前，水池原有水 15 m3 。 新知探究 思考交流 （2）一般地，k，b 对一次函数 y = kx + b 有怎样的影响？与同伴进行交流。 k 实际中对应 “单位变化量”（如速度、速率 ）。 b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数起始状态。 题型一 题型探究 小亮 方法技巧 根据具体情景，找出函数表达式，把自变量 x 的值带入关系式中，即可求出函数的值. 利用一次函数定义列关系式 例3.如图，甲、乙两地相距500km. 现有一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以350km/h的速度向丙地行驶. 设x（h）表示列车行驶的时间，y（km）表示列车与甲地的距离. （1）写出 y 与 x之间的关系式，并判断 y 是否为x的一次函数； （2）当 x＝0.5 时，求 y 的值. （1）y＝500＋350x，y是x的一次函数； （2）y＝500＋350×0.5＝675（km） v ＝ 350km/h 知识点2 根据条件列一次函数关系式 4. 某商店进了一批玩具，出售时要在进价的基础上加一 定的利润，其销售个数（个）与售价 （元）如下表： 1 2 3 4 … … 下列用销售个数（个）表示售价 （元）的关系式中，正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 17 5. 某水库的水位在 内持续上涨,若初始的水位高度为 ,水位以每小时的速度匀速上升,则水库的水位高度 与时 间 之间的函数关系式为________________________。 返回 举一反三 18 6.某家政服务公司选派16名清洁工去清扫新装修的某宾馆的房间，房间 有大、小两种规格，每名清洁工一天能清扫4个大房间或5个小房间。设 派 人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元， 清扫一个小房间工钱为60元。 （1）写出家政服务公司每天的收入（元）与 （人）之间的函数关系式； 解：有人清扫大房间，则有 人清扫小房间， 所以 。 举一反三 19 （2）应该怎样安排这16名清洁工清扫，才能为该家政服务公司每天创 收5 000元？ 解：由题意得，解得，所以 。 答：应该安排10名清洁工清扫大房间，6名清洁工清扫小房间。 返回 举一反三 20 知识点3 实际问题中, 的意义 7.出租车计费问题：在某城市，乘坐出租车的费用 （元）与行驶的路 程（千米）之间的函数关系式为。下列指出的 和 在这个实际问题中的意义正确的是( ) B A.表示每千米的乘车费用是2.5元， 表示行驶3千米的费用 B.表示每千米的乘车费用是2.5元， 表示起步价（不超过规 定里程的基础费用）是3元 C.表示起步价（不超过规定里程的基础费用）是2.5元， 表 示每千米的乘车费用是3元 D.表示行驶2.5千米的费用， 表示每千米的乘车费用是3元 返回 举一反三 21 8.一辆汽车由北京驶往相距的天津，它的平均速度是 。 （1）试写出汽车距天津的路程与行驶时间 的关系式 ，并说明和 的实际意义； 解：。 表示每小时汽车距天津的路程的变化 量， 表示北京到天津的距离。 （2）求汽车从北京到达天津所需要的时间。 解：汽车到达天津时，，即，解得 ，即汽 车从北京到达天津需要 。 返回 举一反三 22 9. 若函数是一次函数，则 的值应满足 ( ) B A. B. C.或4 D. 返回 举一反三 23 10.［教材例2变式］ 油箱中有油 ，油从管道中 匀速流出，流完，则油箱中剩余油量与流出时间 间的函 数关系式为____________，自变量的取值范围是___________。其中 的 实际意义是__________________， 的实际意义是___________________。 当时， ____。 每分钟流出的油量 油箱中最开始的油量 40 返回 举一反三 24 课堂小结 谢谢观看 THANKS $