进阶第10讲 直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第10讲 直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题 目 录 题型01 距离型最值范围问题 题型02 三点共线类最值与将军饮马模型 题型03 点与圆的位置关系最值 题型04 直线与圆的位置关系最值 题型05 圆与圆的位置关系最值 题型06 代数式的几何意义类最值 题型07 直线与圆中的新定义问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 距离型最值范围问题 题型点拨 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【典例1】（25-26·福建厦门）已知实数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设直线，则的几何意义为点到直线的距离，求解即可. 【详解】设直线，设点， 则点到直线的距离为， 因为，所以，则直线的斜率为， 当趋于时，直线趋近于轴，此时趋于，但不能取到，故， 当时，， 所以. 故答案为：. 【典例2】（25-26·北京）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于或等于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 【变式1】（25-26·江苏无锡）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意转化为动点到的距离之和，结合图象得到为矩形对角线交点时距离最小，进而得到答案. 【详解】 相当于动点到的距离之和， 因为四边形为矩形，所以， 所以当为矩形对角线交点时，， 此时最小，最小为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据几何意义，转化为动点到的距离之和问题，画出图象，，当为矩形对角线交点时，距离最小. 【典例3】（25-26·江苏宿迁）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 【变式2】（25-26·江苏扬州）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 题型2 三点共线类最值与将军饮马模型 题型点拨 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则。当直线与相交，且交点位于线段的延长线上时，等号成立；若，则只是上确界。 3、点在直线异侧，点在直线上，则。当共线且相应交点存在时等号成立；若，则最大值不能取到。点是点关于直线的对称点。 【典例1】（25-26·安徽六安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点A关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果． 【详解】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 【变式1】如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设，和列方程化简可得； （2）求出点关于直线的对称点为，结合图形分析即可得解. 【详解】（1）设，如图，连接，为切点，， 由勾股定理得， 又，， ，整理得． 点的轨迹方程为． （2）如图，作出直线，设关于直线的对称点为，连接， 则，解得，． 连接，则， 当三点共线时，取得等号．则的最大值为． 题型3 点与圆的位置关系最值 题型点拨 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一条定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【典例1】（25-26·四川广安）已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点在定直线上，根据的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径求解. 【详解】因为，所以在直线即上. 又圆心到直线的距离为：，所以的最小值为：。 故选：C 【变式1】（25-26·上海）已知实数满足关系：，则的最小值 . 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 题型4 直线与圆的位置关系最值 题型点拨 1、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r. （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 d-r； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r=2r 和 d-r=0，此时 d=r； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 0． 2、设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦，弦长为 【典例1】（25-26·云南曲靖）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，可求出点到直线距离的最大值，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为. 故选：A. 【变式1】（25-26·上海）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】设，由题意直线与圆有公共点，通过圆心到直线的距离与半径的关系可以求解. 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 题型5 圆与圆的位置关系最值 【典例1】（25-26·山东烟台）已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 ；若点是圆上的动点，则的最大值为 【答案】 / 【分析】根据直线经过定点以及两直线垂直可判断的轨迹是以的中点为圆心，即可根据圆心和半径求解轨迹，利用圆心距与半径的求解最值. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线：过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆， 故点的轨迹为圆； 的圆心，半径， 所以的最大值是． 故答案为：， 【变式1】已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设关于直线的对称点为，求出，要使的值最大，转化为（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，利用该直线过两点可得答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最大， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，如图， 其最大值为.    故答案为：. 题型6 代数式的几何意义类最值 题型点拨 1、形如 z=(y-b)/(x-a)，可以转化为过点 (x,y) 和点 (a,b) 的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、对于，当时，可看作直线的纵截距；一般情况下，也可将转化为平行直线族到原点的有向距离进行研究 【典例1】（多选）已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】CD 【分析】设，则只需直线与圆有公共点，利用点到直线的距离公式可得不等式求得z的范围，可判断A；同理可判断D；设，利用几何意义求得t的范围判断B；设，则直线和圆有公共点，进而可得不等式求得k的范围判断C. 【详解】由题意知方程即表示圆，圆心为，半径为， 对于A，设，则只需直线与圆有公共点， 则，解得，    即的最大值为，A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 而上的点到原点距离的最大值为， 即t的最大值为，故的最大值为，B正确； 对于C，设，则，则直线和圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，C错误； 对于D，设，则直线与圆有公共点， 则，解得， 即的最大值为，D错误； 故选：CD 【变式1】（25-26·上海）已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 题型7 直线与圆中的新定义问题 【典例1】对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过所求图形，求出最小值，利用特殊点求解点到A、B、C、D的“耿直距离”之和，逐项判断即可． 【详解】由题意可知满足所有阴影，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12. 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除C； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为14，排除A； 当时，点到A，B，C，D的“耿直距离”之和为12，排除D. 故选：B 【变式1】（25-26·江西）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程. (2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）存在， 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 （2）（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 强化训练（共10题） 1．（25-26·湖南衡阳）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得. 【详解】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为. 故选：C. 2．（25-26·贵州毕节）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 3．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，经过定点且互相垂直，再由圆的弦长公式得，再用基本不等式即可得最大值. 【详解】由题知圆M的方程为，圆心，半径． 可化为，可知经过定点，同理可得也经过定点. 又，所以，即，经过定点且互相垂直，如图， 设AC和BD中点分别为F，G，可知四边形EFMG为矩形． 设，则，结合，， 可得，所以, ， 当且仅当，即时取等号． 综上所述，当时，取得最大值． 故选：B. 4．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解. 【详解】对于圆，整理可得：， 可知圆心为，半径为， 令，则，解得或，即； 令，则，解得或，即； 因为与相外切，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，    则点的轨迹方程为， 可得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为20. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知点的轨迹方程为，且，进而利用基本不等式即可得结果. 5．（25-26·山西太原）（多选）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 6．（25-26·广西）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】求出点关于的对称点，利用求解即可. 【详解】设点关于的对称点，则,    则， 当且仅当三点共线时等号成立. 故答案为： 7．（25-26·内蒙古赤峰）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    8．在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为 . 【答案】/0.8 【分析】首先利用极距定义，以及点线距离公式，将问题转化为求，即可求解. 【详解】 如上图所示，在平面直角坐标系中，、，作出直角三角形，则由极距的定义可知，就是直角三角形中较小的直角边的大小. 因为点是直线：上的动点，是圆：上的动点，要使得最小，则，最小，此时，设直线交轴于点，交轴于点，因为直线的斜率为，则.如下图所示， 过点作平行于轴，过点作平行于轴，则，所以，在直角三角形中，，两点之间的极距即为. 设，则，所以，解得，即，两点之间最小的极距为. 故答案为： 9．（25-26·安徽蚌埠）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据直线平行可得方程，解方程即可得解. （2）根据对称可知直线与垂直，中点在上，列出方程，接方程组即可； （3）根据对称可知，再作平行四边形，结合平行四边形性质可转化为求的最小值，即可得解. 【详解】（1）由直线与直线平行， 则， 解得或， 当时，直线，，两直线平行； 当时，直线，，两直线重合，不成立； 综上所述； （2）由（1）得，其斜率， 设点，则，中点为， 则，解得， 即； （3） 由（2）得点关于直线的对称点为，则， 又，分别在直线，上，且， 则，且， 则， 以，为平行四边形邻边作平行四边形， 则，且， 此时， 所以， 所以当点，，三点共线时， 取得最小值为. 10．（25-26·四川南充）常用测量距离的方式有3种，设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离；定义余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，，求，之间的余弦距离； (2)若，，求的取值范围； (3)动点在直线上，动点在圆上，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，结合平面向量数量积的坐标表示计算即可求解； （2）根据新定义，由平面向量数量积的坐标表示，将问题转化为半圆与直线有公共点时t取值范围，结合直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）设，根据新定义，结合绝对值不等式和三角恒等变换的化简以及三角函数的性质计算即可求解. 【详解】（1）由已知， 所以. （2）由已知有， 所以， 令，则有， 所以问题转化为半圆与直线即有公共点时t取值范围， 由，得，圆心坐标为，半径为2，如图， 当直线l经过时，， 当直线l与半圆相切时，由，得，解得， 又，解得，所以， 故，于是， 所以. （3）设， 则 ， 又取时， ，所以的最小值为. 知识小测（共5题） 1．（25-26·四川雅安）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据点到点的距离公式，结合圆的性质即可求解. 【详解】的圆心为，半径为， 由题意得，故在圆外， 所以的最大值为． 故选：D 2．（25-26·广东深圳），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值. 【详解】由，可得两条直线相互平行， 所以最小值为平行线之间的距离，可化为， 所以，. 故选：A 3．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 4．（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 【答案】BCD 【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误. 【详解】设， 对于A，即为， 故， 所以直线的方程为：， 因为，直线与直线平行，故A正确； 对于B，设直线，取， 则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误； 此时也成立，故C错误； 对于D，仍取直线，取， 此时，故成立，此时与直线重合，故D错误. 故选：BCD. 5．（25-26·吉林延边）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】表示圆上的点到原点之间的距离，再结合点圆关系确定最值和范围即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 表示圆上的点到原点之间的距离， 因为， 所以原点在圆外， ， 所以，即， 即. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题 目 录 题型01 距离型最值范围问题 题型02 三点共线类最值与将军饮马模型 题型03 点与圆的位置关系最值 题型04 直线与圆的位置关系最值 题型05 圆与圆的位置关系最值 题型06 代数式的几何意义类最值 题型07 直线与圆中的新定义问题 强化训练（共10题） 知识小测（共5题） 题型精讲 题型1 距离型最值范围问题 题型点拨 点到直线的距离公式：点到直线的距离． 【典例1】（25-26·福建厦门）已知实数，则的取值范围是 ． 【典例2】（25-26·北京）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【变式1】（25-26·江苏无锡）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ． 【典例3】（25-26·江苏宿迁）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26·江苏扬州）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 题型2 三点共线类最值与将军饮马模型 题型点拨 1、点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 2、点在直线同侧，点在直线上，则。当直线与相交，且交点位于线段的延长线上时，等号成立；若，则只是上确界。 3、点在直线异侧，点在直线上，则。当共线且相应交点存在时等号成立；若，则最大值不能取到。点是点关于直线的对称点。 【典例1】（25-26·安徽六安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 题型3 点与圆的位置关系最值 题型点拨 1、若点在圆内，则，； 2、若点在圆外，则，； 3、圆上一点到圆外一条定直线的距离最值 若直线与圆相离，圆上一点到直线的距离为，为圆心到直线的距离， 为圆半径，则，. 【典例1】（25-26·四川广安）已知点，点Q为圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·上海）已知实数满足关系：，则的最小值 . 题型4 直线与圆的位置关系最值 题型点拨 1、圆上的点到直线的最大、最小距离 设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r. （1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 d-r； （2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r=2r 和 d-r=0，此时 d=r； （3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 0． 2、设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂直的弦，弦长为 【典例1】（25-26·云南曲靖）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·上海）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 题型5 圆与圆的位置关系最值 【典例1】（25-26·山东烟台）已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 ；若点是圆上的动点，则的最大值为 【变式1】已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为 . 题型6 代数式的几何意义类最值 题型点拨 1、形如 z=(y-b)/(x-a)，可以转化为过点 (x,y) 和点 (a,b) 的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、对于，当时，可看作直线的纵截距；一般情况下，也可将转化为平行直线族到原点的有向距离进行研究 【典例1】（多选）已知实数，满足方程，则下列说法不正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【变式1】（25-26·上海）已知实数满足，则的取值范围是 ． 题型7 直线与圆中的新定义问题 【典例1】对于平面直角坐标系中任意两点，，我们将定义为PQ两点的“耿直距离”.已知，，，，设是平面直角坐标系中的一个动点，若使得点M到A，B，C，D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26·江西）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” (1)求点P所在曲线的方程. (2)已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 强化训练（共10题） 1．（25-26·湖南衡阳）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 2．（25-26·贵州毕节）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．设，圆M：．若动直线：与圆M交于点A，C，动直线：与圆M交于点B，D，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（    ） A．20 B． C．10 D． 5．（25-26·山西太原）（多选）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 6．（25-26·广西）在平面直角坐标系中，已知，点是直线上一动点，则的最大值为 . 7．（25-26·内蒙古赤峰）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 8．在平面直角坐标系中，点，，定义为点、之间的极距，已知点P是直线上的动点，已知点Q是圆上的动点，则、两点之间的距离最小时，其极距为 . 9．（25-26·安徽蚌埠）已知直线与直线平行，点，. (1)求； (2)若点关于直线对称后的点为，求点坐标； (3)已知，分别在直线，上，且，求的最小值. 10．（25-26·四川南充）常用测量距离的方式有3种，设，，定义欧几里得距离；定义曼哈顿距离；定义余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，，求，之间的余弦距离； (2)若，，求的取值范围； (3)动点在直线上，动点在圆上，求的最小值. 知识小测（共5题） 1．（25-26·四川雅安）已知为圆上的一动点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26·广东深圳），分别为直线与上任意一点，则最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是，以下命题不正确的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 5．（25-26·吉林延边）已知是圆上的一个动点，则的取值范围为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $