第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 2026-2027学年沪科版 数学八年级上册

参考答案 1．【答案】A 【详解】三角形的重心是三条中线的交点， 故选A． 2．【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可得： ＜第三边＜， 即： 3＜第三边＜9， 故选C． 3．【答案】D 【分析】根据高的定义即可求解． 【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高， 故选D． 【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义． 4．【答案】C 【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠B的度数为：60°．故选C． 5．【答案】D 【详解】∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =0． 故此题答案为D． 6．【答案】D 【分析】根据不等式的性质，判断该命题及其逆命题真假，即可求解． 【详解】解：若a ＞b，当 时， ， ∴原命题是假命题， 逆命题为若ac ＞bc，则a ＞b， 若ac ＞bc，当时， ， ∴该命题的逆命题是假命题，故A、B、C错误，D正确 ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 7．【答案】C 【分析】根据三角形的高线，角平分线及中线的定义解答即可. 【详解】∵AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线， ∴AD⊥BC，∠BAE=∠CAE，BF=CF， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的高线，角平分线及中线的定义，熟练掌握三角形的高线，角平分线及中线的定义所隐含的数量关系式解答本题的关键. 8．【答案】A 【分析】根据平行线的判定和平行公理的推论依次判断即可． 【详解】A、根据平行线具有传递性，判断该命题为假命题，故选项符合题意； B、根据平行线具有传递性，判断该命题为真命题，故选项不符合题意； C、根据同一平面内两直线平行，同位角相等，判断该命题为真命题，故选项不符合题意； D、根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，判断该命题为真命题，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线具有传递性、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行是解答本题的关键． 9．【答案】B 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10．【答案】B 【分析】由中线得：S△ABD=S△ADC得S△ABD=S△ABE，由已知S△ABC=24，得出△ABE和△ABD的面积为12，根据等式性质可知S△AEF=S△BDF，结合中点得：S△AEF=S△EFC=S△DFC=S△ADC，相当于把△ADC的面积平均分成三份，每份为4，由此可得S△ABF=S△ABD-S△BDF． 【详解】∵AD是中线， ∴S△ABD=S△ADC=S△ABC， ∵S△ABC=24， ∴S△ABD=S△ADC=×24=12， 同理S△ABE=12， ∴S△ABD=S△ABE， ∴S△ABD-S△ABF=S△ABE-S△ABF， 即S△AEF=S△BDF， ∵D是中点， ∴S△BDF=S△DFC， 同理S△AEF=S△EFC， ∴S△AEF=S△EFC=S△DFC=S△ADC=×12=4， ∴S△ABF=S△ABD-S△BDF=12-4=8， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的面积问题，应用了三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，与各三角形面积的和与差相结合，分别求出各三角形的面积；本题是求三角形的面积，思考的方法有两种：①直接利用面积公式求；②利用面积的和与差求；本题采用了后一种方法． 11．【答案】64° 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案； 【详解】解：：∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠COB=180°，∠AOD=∠COB ∴∠A+∠D=∠C+∠B， ∴∠D=∠C+∠B-∠A=64°； 故答案为：64°； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 12．【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 13．【答案】115° 【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，可得∠DFE＝∠2，由三角形的外角性质可求∠2的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠DFE＝∠2 ∵∠DFE＝∠1+∠E＝115° ∴∠2＝115° 故答案为115° 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形外角性质，熟练运用矩形的性质是本题的关键． 14．【答案】65° 【分析】利用三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB=130°，根据三角形外角性质得到∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，进而求得∠CBE+∠BCF=230°，根据角平分线定义可知 ∠1=∠2=∠CBE，∠3=∠4=∠BCF，进而求得∠2+∠3=115°，最后利用三角形内角和定理即可解决问题. 【详解】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB=130° ∵∠CBE、∠BCF是△ABC的外角 ∴∠CBE=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC ∴∠CBE+∠BCF=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=230° ∵OB、OC分别平分∠CBE、∠BCF ∴∠1=∠2=∠CBE，∠3=∠4=∠BCF ∴∠2+∠3=(∠CBE+∠BCF)=115° ∵∠2+∠3+∠BOC=180° ∴∠BOC=65° 故答案为65° 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及三角形外角性质，熟练掌握该知识点是解题关键. 15．【答案】110 【分析】根据三角形的高得到∠ADC=∠BFC=90°，利用四边形的内角和求出∠DFE，根据对顶角相等即可得出答案. 【详解】∵AD和BE是△ABC的高 ∴∠ADC=∠BEC=90° 又∠C=70° 在四边形DCEF中，∠DFE=360°-∠FDC-∠C-∠CEF=110° ∴∠AFB=∠DFE=110° 故答案为110°. 【点睛】本题考查了多边形的内角和：(n-2)×180°(n为多边形的边数). 16．【答案】 【分析】首先根据是中线得到，，然后利用的周长和的周长关系求解即可． 【详解】解：∵，是中线，且， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．【答案】50° 【分析】由为高，，求出，利用外角性质求出，根据是角平分线，求出，即可求出的度数. 【详解】解：∵为高，， ∴． ∵， ∴． ∵是角平分线， ∴， ∴. 【点睛】此题考查三角形的角平分线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 18．【答案】(1)4 (2)15° 【分析】（1）根据三角形面积公式求出BC的长度，再根据三角形中线的定义即可求出CE的长度． （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线的性质求出∠CAE，再根据角的和差关系即可求出∠DAE． 【详解】（1）解：∵AD是边BC上的高，AD=6，△ABC的面积为24， ∴． ∵AE为边BC上的中线， ∴点E是BC的中点． ∴． （2）解：∵∠C=66°，∠B=36°，AD为边BC上的高， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=78°，∠ADC=90°． ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=24°． ∵AE为∠BAC的角平分线， ∴． ∴∠DAE=∠CAE-∠DAC=15°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形中线的定义，角的和差关系，熟练掌握这些知识点是解题关键． 19．【答案】(1)125° (2)180°－ － 【分析】（1）先求∠ΑΒC+∠ΑCΒ=110°，ΒO、CO分别平分∠ΑΒC、∠ΑCΒ，根据角平分线的性质，即可求得∠OΒC+∠OCΒ的度数，继而求得答案； （2）先根据角平分线的定义用α、β表示出∠OΒC与∠OCΒ的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．． 【详解】（1）∵OΒ、OC分别平分∠ΑΒC、∠ΑCΒ ∴∠OΒC＝∠ΑΒC，∠OCΒ＝∠ΑCΒ ∵∠ΑΒC＝50°，∠ΑCΒ＝60° ∴∠OΒC＝25°，∠OCΒ＝30° ∵EF∥ΒC ∴∠ΒOE＝∠OΒC＝25° ∠COF＝∠OCΒ＝30° ∴∠ΒOC＝180°－∠ΒOE－∠COF＝125° （2）∵∠ΑΒC和∠ΑCΒ的平分线交于点O，∠ΑΒC=α，∠ΑCΒ=β， ∴∠OΒC=∠ΑΒC=α，∠OCΒ=∠ΑCΒ=β， ∴∠ΒOC＝180°－ － 【点睛】此题考查了角平分线的定义与三角形内角和定理．注意掌握数形结合思想的应用． 20．【答案】(1)见解析 (2)45° 【分析】（1）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （2）根据角平分线可得∠ABE=∠EBO，∠ADE=∠CDE，可设参∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，由（1）可得∠A＋∠ABE＝∠E＋∠ADE，∠E＋∠EBO＝∠C＋∠CDE， 从而得到∠E＋∠E＝∠A＋∠C＝90°，即可得解． 【详解】（1）解：∵∠A＋∠ABO＋∠AOB＝180°，∠C＋∠CDO＋∠COD＝180°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A＋∠ABO＝∠C＋∠CDO． （2）∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E， ∴设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y， 则∠A＋x＝∠E＋y，∠C＋y＝∠E＋x， ∵∠A＝40°，∠C＝50°， ∴∠E＋∠E＝∠A＋∠C＝90°， ∴∠E＝45°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理与对顶角性质、角平分线的定义，整体思想的应用是本题的关键． 21．【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】对于（1），过点A作，得∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，再结合平角定义得出答案； 对于（2），根据平行线的性质得∠BCA＝∠CDE，再结合三角形内角和定理得出答案； 对于（3），先根据三角形内角和定理和平角定义得∠BAD＋∠B＝∠ADC，再根据角平分线定义得∠BAD＝∠CAD，即可得∠EAD＝∠ADC，然后根据三角形内角和定理得出答案即可． 【详解】（1）证明：过A点作， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC． ∵∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝180°， ∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°． （2）证明：∵， ∴∠BCA＝∠CDE． ∵∠A＋∠B＋∠BCA＝180°，∠F＋∠E＋∠EDC＝180° ∴∠A＋∠B＝∠E＋∠F． （3）证明：∵∠BAD＋∠B＋∠BDA＝180°，∠BDA＋∠ADC＝180°， ∴∠BAD＋∠B＝∠ADC， ∵AD是的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAD＋∠B＝∠ADC． ∵∠EAC＝∠B， ∴∠CAD＋∠EAC＝∠ADC， 即∠EAD＝∠ADC， ∵EF⊥AD， ∴∠EFA＝∠EFD＝90°． ∵∠EFA＋∠EAD＋∠AEF＝180°，∠EFD＋∠ADC＋∠DEF＝180°， ∴∠AEF＝∠DEF， ∴EF平分∠AED． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的判定和应用，角平分线的定义和判定等，理解定理并会应用是解题的关键． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元测试卷 2026-2027学年沪科版 数学八年级上册 一、单选题 1．三角形的重心是（　　） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点 2．若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列图形中，正确画出AC边上的高的是（    ） A． B． C． D． 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（　　） A．120° B．80° C．60° D．40° 5．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　) A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 6．已知命题“若a ＞b，则ac ＞bc”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 7．如图，已知△ABC中，AD，AE，AF分别是三角形的高线，角平分线及中线，那么下列结论错误的是（　　）    A．AD⊥BC B．BF=CF C．BE=EC D．∠BAE=∠CAE 8．下列命题中，为假命题的是（　　） A．在同一平面内，a、b、c是直线，且，，则 B．在同一平面内，a、b、c是直线，且，，则 C．在同一平面内，a、b、c是直线，且，，则 D．在同一平面内，a、b、c是直线，且，则 9．已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，若△ABC的面积为24，则△ABF的面积为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 11．如图，已知交于点，且，则 ． 12．命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为____________________________. 13．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝ 14．若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝50°，则∠BOC= 度． 15．如图，△ABC的高AD和BE交于点F,若∠C=70°，则∠AFB= °. 三、解答题 16．在中，，是中线，的周长为，的周长为，求的长． 17．如图，在中，为高，为的平分线，若，，求的度数． 18．如图，在△ABC中，AD为边BC上的高，点E为边BC上的一点，连接AE． (1)当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC的面积为24，求CE的长； (2)当AE为∠BAC的角平分线时，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度数． 19．已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，EF经过点O且平行于BC，分别与AB、AC交于点E、F． (1)若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数； (2)若∠ABC＝，∠ACB＝，用、的代数式直接表示出∠BOC的度数． 20．如图，AD、BC交于点O，BE、DE分别是∠ABC、∠ADC的角平分线． (1)求证：∠A＋∠ABO＝∠C＋∠CDO； (2)若∠A＝40°，∠C＝50°，求∠E的度数． 21．在苏科版七年级（下）册数学教材第12章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是180°”． (1)请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是180°”；如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°； (2)如图2，点A、D、C、F在一条直线上，．求证：∠A＋∠B＝∠E＋∠F； (3)如图3，点AD是的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足为F．求证：EF平分∠AED． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $