第27章 反比例函数--反比例函数与一次函数综合 重点知识点归纳 专项练（1） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章 反比例函数--反比例函数与一次函数综合 重点知识点归纳 专项练（1） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、反比例函数与一次函数图象综合辨析 1．正比例函数y=kx和反比例函数（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A． B． C． D． 2．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是（   ） A． B． C． D． 3．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 二、求反比例函数与一次函数图象交点坐标 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______． 7．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)D为第一象限反比例函数图象上的一动点，当的面积大于的面积时，直接写出点D的横坐标a的取值范围． 三、已知反比例函数与一次函数交点求解集 8．一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．若直线和双曲线在同一坐标系内的图象没有交点，则关于的一元二次方程的根的情况： 嘉嘉说：m、n符号相反，方程有两个不相等的实数根； 琪琪说：一定不是方程的根． 他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，琪琪不正确 B．嘉嘉不正确，琪琪正确 C．他俩说的都正确 D．他俩说的都不正确 10．已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 11．如图，在矩形中，，，点D是边的中点，反比例函数的图象经过点D，交于点E．    (1)求k的值及直线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 四、双曲线与直线交点个数与判别式和根与系数关系 12．若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 13．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 14．如图，矩形的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是__________． 15．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 五、反比例函数与一次函数面积综合 16．一次函数与反比例函数交于，当时， x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 17．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 18．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的“友好点”．已知点的“友好点”在反比例函数的图像上，且点在直线上，则点的坐标为______． 19．如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)如图，点是轴上一动点，连接，，当的面积为6时，求点的坐标； (3)将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数，点是新的一次函数与轴的交点，点是轴上一动点，请直接写出取最小值时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 8 9 12 13 16 答案 C A C B A D C D B B 题号 17 答案 D 1．C 首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx所过象限，进而选出答案． 反比例函数（k是常数且k≠0）中，＜0，图象在第二、四象限，故A、D不合题意， 当k＞0时，正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，经过原点，故C符合； 当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，经过原点，故B不符合；． 故选C． 2．A 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 解：分两种情况讨论： ①当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，反比例函数的图象在第一三象限；D选项不符合； ②当时，与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，反比例函数的图象在第二四象限．B、C选项不符合；A选项符合． 故选：A． 3．C 本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故B错误，C正确； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A、D选项错误； 故选：C． 4．B 本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 5．A 先利用根的判别式求出的取值范围，再联立两个函数得到一元二次方程，结合的取值范围与非负数的性质判断方程根的个数即可． 解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 解得 ， 联立反比例函数与一次函数可得， ， 整理，得， ∵，， ∴，即该方程没有实数根， ∴两个函数无交点． 6．12 该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 7．(1)，； (2)． 本题考查了求一次函数与反比例函数解析式，反比例函数与几何综合，正确求得一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）把代入一次函数即可求得一次函数的解析式，再把代入求得的值，即可求得反比例函数解析式； （2）利用面积公式找到的面积等于的面积时，点的坐标，即可得到点D的横坐标a的取值范围． （1）解：把代入一次函数， 可得， 解得， 一次函数的表达式为， 把代入，可得， ， 把代入反比例函数可得， 解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：如图，当的面积等于的面积时 当时，， ， ， 设点的纵坐标为， 则可得， 解得， 点的横坐标为， 当时，点的纵坐标大于，此时的面积大于的面积， 故． 8．D 解答本题的关键是要理解两函数交点和方程组的解的对应关系．同时同学们要掌握解方程组的方法．把代入中，得：，得，把代入中，得：，然后联立这两函数求出交点坐标． 解：把代入中， 得：， ， 把代入中， 得：， 反比例函数关系式为， 联立方程组得， 得或， 所以点坐标是． 故选：D． 9．C 先由直线与双曲线无交点推出与异号，再分别判断两人说法的正误． 解：联立与，得， 整理得， ∵两函数图象无交点， ∴没有实数解， ∴，即，与符号相反． 判断嘉嘉的说法： 一元二次方程的判别式为， ∵， ∴， 又， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，嘉嘉说法正确； 判断琪琪的说法： 将代入，得， ∵， ∴一定不是方程的根，琪琪说法正确， 综上可得，他俩说的都正确． 10．8 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根与系数的关系，通过联立反比例函数与一次函数方程，得到关于x的二次方程，利用根与系数的关系求解n的值即可． 解：联立方程得：， 整理得：， 由根与系数的关系，得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：8． 11．(1)，直线的关系式为 (2)点 (3) 本题考查一次函数与反比例函数的交点坐标，理解一次函数、反比例图象上点的坐标特征以及图形面积之间的和差关系是正确解答的前提． （1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式即可; （2）求出点D关于轴的对称点的坐标，求出直线与x轴的交点即可满足的周长最小; （3）进行计算即可 （1）解：1.在矩形中，，， 点， 点D是边的中点， 点， 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的关系式为， 当时，即， 解得， 点 ， 设直线的关系式为，则， 解得， 直线的关系式为 （2）点关于x轴的对称点的坐标为， 直线与x轴的交点即为所求的点P，此时的周长最小， 设直线的关系式为，则 解得， 直线的关系式为 ， 当时，即， 解得， 直线与x轴的交点， 当的周长最小时，点， （3） 如图，   由（1）（2）知 ，，，， ，，，， 1 的面积为． 12．D 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键．把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式即可求得、的值． 解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ∴， ， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， 故选：D． 13．B 先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 14．10 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，先求出反比例函数的解析式，然后利用解方程组求出点D的坐标，然后根据计算即可． 解：设，则， ∴点的坐标为， ∴ ，解得， ∴点的坐标为， 代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 解方程组， 解得，， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：． 15．(1)20 (2)能，理由： 设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． （1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）略 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 16．B 不等式表示一次函数值小于反比例函数值，结合两个交点坐标及对应函数图象即可得到的取值范围． 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为，其函数图象分别位于第二、四象限； 把，代入，得， 解得，即一次函数的表达式为． ∴反比例函数与一次函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，的取值范围是或． 17．D 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 18．或 本题考查反比例函数，一次函数的图象和性质，一元二次方程的知识，解题的关键是掌握“友好点”的定义，设点，其“友好点”，根据函数的图象和性质，进行解答，即可． 解：设点，其“友好点”， ∵点的“友好点”在反比例函数的图像上 ∴； ∵点在直线上， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点或点． 19．(1)， (2)或 (3) 此题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，轴对称最短路线问题等，解答（1）的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，解答（3）的关键是利用轴对称求最短路线． （1）将点和代入反比例函数可得、的值，再将点、的坐标代入一次函数解析式可得答案； （2）根据求得，进一步求得的坐标即可； （3）先求出点，作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为线段的长，可根据待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标即可． （1）解：点和都在反比例函数的图象上， ， ， ， 将点和代入得，， ， ， 反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）解：令，则，解得， 令，则， ，， ， ， ， 或； （3）解：将一次函数向右平移1个单位得到新的一次函数， 点是新的一次函数与轴的交点， ， 作点关于轴的对称点，则点，连接交轴于点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 代入得，解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $