湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项: 1.答题前,务必将自己的个人信息填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题 卡上。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的, 1.不等式x2-6x+5<0的整数解的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2已知集合A=x=m受,neZ,B=1-1<#<2到,则4nB= A.10,1 B.-1,1 C.1-1,0,1 D.-1,0,1,2 3.将四本不同的书分给甲、乙两人,若每本书都分出去,且每人至少一本,则不同的分法有 A.11种 B.12种 C.13种 D.14种 4,在 ABC中,4=60 ,4B=2,且 ABC的面积为)2,则BC9 A.3 B.√7 C.23 D.4 5已知椭圆C +公=1的左、右焦点分别为R,P2,上顶点为A,若一个圆恰好经过F,和 4 A三点,则该圆的半径为 A B.9 c D 6.已知函数f(x)= ,则“m=2”是“f(x)为奇函数”的 ln(mx+√J4x2+1) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知随机事件A,B满足P(AIB)=P(BIA)>0,且P(AUB)=2P(A),则P(BIA)= B.1 3 c D 数学第1页(共4页) 8已知函数)-2。,关于的方程]+2ml1+2m-16:0有4个实数根 x1,x2,3,x4(x1<x2<3<x4),若x2+x4=0,则m= A.-1-√7 B.-4 C.-√15 D.-3 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 已知双曲线C名-6,则下列说法正确的是 A.C的焦点在x轴上 B.C的渐近线方程为y= 3 4 C.C的离心率为号 D.C的虚轴长为8 10已知向量a=(smo,o赠m)(o>0)与6=(3,-3,函数)96,若-号与-君是 )的两个极值点,且)在区间-牙,一)内没有极值点,则 A)=co2-》 B)的单润递减区间为号+km,+(eZ) C,将f(x)的图象向左平移7个单位长度后,得到g(x)=sin2x的图象 D.cos4红+x+司)的最大值为号 11.某功率放大器的输出幅度值y=f(x)与输人幅度值x满足模型:f(x)=x(x-a)(x-b),其 中参数 ,b由功率放大器电路的特性决定,则下列说法正确的是 A.若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的,则当输入幅度值为2时,输出幅度值也为2 B.若输出幅度值为正数当且仅当输人幅度值为正数,则一定有 =b C.若a=√5,b=-3,输出曲线y=f(x)与系统安全运行边界|xl+lyl=2有6个交点 D.若a=b=2,且当输入幅度值在0,]内时,输出幅度值不超过m,则子<m≤3 数学第2页(共4页) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知向量a=(2,1),b=(2,k),若1a+2b1=1a-2b1,则实数k= 13.已知m-分则2a+引- 14.已知正方形ABCD的边长为2,点E,F分别在边AD,AB上(不含端点),且4AE=3AF,将 AEF沿直线EF翻折为 A'EF,则多面体A'BCDEF体积的最大值为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 随着人工智能技术的快速发展,A虹学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具.某校为了 解AI工具对数学成绩的影响,随机抽取了该校200名高二学生进行问卷调查,得到的2 2列联表如下: 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用AI工具 20 80 不经常使用AI工具 40 60 (1)将样本频率视为概率,从该校经常使用AI工具的学生中随机抽取3人,求这3人中数 学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率; (2)依据a=0.01的独立性检验,分析使用AI工具与数学成绩是否有关. n(ad-be)2 0.05 0.01 0.001 =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) x。 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD=2,AB=4, 点M在棱AB上,PM=MC,点N是PC的中点, (1)证明:MN⊥平面PCD; (2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值, 数学第3页(共4页) 17.(15分) 已知|an|是由复数构成的数列,满足a1=1+i,且(1-i)an+1=an-i,其中i是虚数单位, 设bn=1an-112 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记an的虚部为cn,判断数列{cn}的前1000项有多少项在数列{bn}中. 附:若z=a+bi=r(cos0+isin0),其中r=lzl,eas0=号,in0=马,则g=r(cosn0+in6). 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线y=2x在第一象限交于点P,0为坐标原点,I0P1= 25. (1)求C的方程. (2)已知点T(6,0),直线PT与C交于另外一点Q.若C上恰有4个不同的点M1,M2,M3, M4,使得 M1PQ, M2PQ, M3PQ, M4PQ的面积均为定值S,求S的取值范围. (3)已知点A,B是C上异于P的两点,且以AB为直径的圆过点P,证明:直线AB过定点. 19.(17分) 对于函数fx),记f(x)=f'(x),fm+(x)=[f(x)]'(n∈N).若n是使f(x)无 零点的最小正整数,则称f(x)是“n阶单调函数”. (1)判断函数f(x)=x3+x2-x+sinx是几阶单调函数; (2)若函数g(x)=xlnx+mcos x(m∈R)是2阶单调函数,记M(a,b)= √(a-b)2+[a-2-g(b)],当实数a,b变化时,求M(a,b)的最小值; (3)设w>1,函数h(x)=sin ax,当x>0时,h2(x)≤x恒成立,且存在xo>0,使得h2(xo)= 6,试用仙表示,并证明哥<名沿 HUN202610 高三数学 答案 一、选择题 1.答案B 命题透析本题考查一元二次不等式的解法, 解析由x2-6x+5<0,解得1<x<5,所以原不等式的整数解为2,3,4,共3个. 2.答案A 命题透析本题考查集合的表示与运算, 解析根据正弦函数的性质,得A={-1,0,1},所以A∩B={0,1. 3.答案D 命题透析本题考查排列组合相关知识 解析若不限制每人至少一本,则共有2=16种分法,全给甲或全给乙有2种分法,故符合条件的分法有16- 2=14种. 4.答案B 命题透析本题考查三角形的面积与余弦定理的应用, 解析 由三角形的面积公式,得5c=分AB ACm60=子 2 AC 号:35,所以AC=3,所以BC 2 AB2+AC2-2AB ACcos60 =√7. 5.答案D 命题透析本题考查椭圆与圆的方程和基本性质. 解析易得F,(-1,0),F2(1,0),A(0,2).因为F,F2关于y轴对称,所以这个圆的圆心一定在y轴上,设为 (0%).则个+=12-6,解得%=是所以半径1-2-子-子 6.答案A 命题透析本题考查函数的奇偶性、充分条件与必要条件 解析若f(x)为奇函数,因为1-xl=Ixl,所以y=ln(mx+√4x2+1)为奇函数.设函数g(x)=ln(mx+ √4x2+I),则有g(-x)=ln(-mx+√4r+1),根据奇函数的定义可知,g(x)+g(-x)=ln(mx+√4r2+1)+ ln(-mx+√4x2+1)=0,得(mx+√4x2+1)(-mx+√4x2+1)=1,即4x2+1-m2x2=1,所以(4-m2)x2=0 对定义域中的x恒成立,可得m2=4,即m= 2.故“m=2”是“f(x)为奇函数”的充分不必要条件 一1 5 7.答案C 命题透析本题考查条件概率. 解析由P(AIB)=P(B1A),得据-得,所以P(A)=P氏B.义因为P(AUA)=P(A)+P(B)- PA)=2P)-PAB)=含PA.所以PAB)=P.所以P(B)==分 8.答案C 命题透析本题考查函数与方程的综合应用. 解折因为)=。2当:>0时)>0且单调造减.当:0时-2且华调造减 八-)+x)=2e+ 。+二2一2敌的图象关于点0,少中心对称令1)1>0.已0 条件中的方程可化为2+2mt+2m2-16=0(*).原方程有4个实数根,则方程(*)有两个不等的正根t1,2, 且均大于2.不妨设x1<x2<0<x3<x4,则t1=-f八x2)=f八x3),2=-f(x1)=f(x4).由x2+x4=0,可得x4= r-41=-2, -x2,因为f代-x2)+f八x2)=-2,所以f八x4)+f(x2)=-2,即t2-t1=-2.由41+2=-2m,可得m2=15.当 lt2=2m2-16 m=√15时,方程(*)无正根,当m=-√15时,方程(*)有两个大于2的正实数根,故m=-√15. 二、选择题 9.答案ABD 命题透析本题考查双曲线的基本性质, 解折由双曲线的标准方程号-6=1知,a=3,6=4,c=V公+-5 对于A,因为x2项的系数为正,y2项的系数为负,所以C的焦点在x轴上,故A正确. b 4 对于B,C的渐近线方程为y= 名x= 3x,故B正确。 对于C,C的离心率为e=云=号,面不是?,故C错误 对于D,C的虚轴长为2b=2 4=8,故D正确. 10.答案BCD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质. 解析由题意知(x)=a:b_3 sin-5 cos wx 25n(a-6 =sin(ox-石)设其最小正周期为T, 23 23 6 则子-石-(-)受,可得T=m,所以w-2,放)=sm(2x-君) —2 6 对于Ax)=sim(2x-石)=cos(2x-写)≠cos(2x-牙),故A错误 对于B,令受+2km≤2x-石≤+2hm(keZ),得号+6m≤≤+km(keZ),所以)的单调递减区间 6 为[号+m,石+m]kez),故B正确 对于C,g()=sim[2(x+)-石]=sin2x,故C正确, 对于D,cos4x+/x+)=c0s4x+sin2x=1-2sin2x+sin2x令1=sin2x,则1e[-1,1小,所以原式转化为 y=1-2r+4(-1≤1≤1),当1=时,y=1-2r+(-1≤1≤1)取得最大值,最大值为1-2 ()+4 号,所以原式的最大值为号,故D正确 11.答案BC 命题透析本题考查函数与导数的综合应用. 解析对于A,由输出幅度值与输入幅度值是一一对应的,可知f(x)是单调函数,所以f(x)至多有一个零点, 所以f(x)=x3,f(2)=23=8,故A错误 对于B,假设a≠b,不妨令a<b.若b>0,则x=b一定是f(x)的一个变号零点,在x=b左侧一个区间内有 f(x)<0,即出现了输入为正但输出为负的情形;若b≤0,则a<0,且x=a一定是f(x)的一个变号零点,在x= a右侧的一个区间内有f(x)>0,即出现了输入为负但输出为正的情形,故B正确, 对于C,若a=3,b=-3,则f(x)=x3-3x.对于1xl+Iyl=2,讨论x,y的符号,容易得到该方程表示的曲线 是x+y=2,x-y=2,-x+y=2,-x-y=2四条直线围成的正方形的边.据此可得曲线y=f(x)和曲线|x|+ 1y=2如图所示,由图象可知,曲线y=f代x)与曲线|x+1yl=2有6个交点,故C正确. y=x3-3x -2 l+lyl=1 对于D,若a=b=2,则f(x)=x(x-2)2,f'(x)=(x-2)2+x 2(x-2)=(x-2)(3x-2),可得f(x)在 [0,号上单调递增,在(子,2上单调递减,在(2,+)上单调递增若m∈(0,],则x)在[0,m]上的最 大值为m)=m(m-2)2,由m(m-2)≤m,解得1≤m≤3,这与m∈(0,子]矛盾;若m∈(号,2],则x)在 [0,ml上的最大值为号)=子 (号-2-号由)≤m,得m≥号所以me[号2小若me(2,+0)。 —3 则)在[0,m]上的最大值为个号)或m),只要(号)≤m与m)=m(m-2)2≤m同时成立即可,解得 2<m≤3.综上,可得 ≤m≤3,故D错误 三、填空题 12.答案 -4 命题透析本题考查平面向量的坐标运算, 解析由|a+2b1=1a-2b1两边平方,整理可得a b=0,即2 2+k=0,解得k=-4. 13.答案 1 6 命题透析本题考查三角恒等变换 解析 tan a maoa+6设A血asa+,B=wsa+名,则B=2L tan(a+石)cos asin(a+石) B-A=sm[(a+君)-a=sim石=2结合B=-2A,解得A=石,所以B=子所以sim(2a+君)-=A+ B= 6 14.答案 322 45 命题透析本题考查立体几何中的翻折问题,体积的最值问题 解析设AF=4x,A=3x,易知0<x<分在翻折过程中,当平面A"EF1平面ABCD时,多面体A'BCDEF的 体积最大,此时,A'到平面ABCD的距离为号,五边形BCDEF的面积为4-6:,多面体A'BCDEF的体积为 V=写4-6)号=号2-3).0<<分设函数)=(2-32),则/()=2-9r,分析单调性,可 知当=时x)取极大值,也是)在区间(0,)上的最大值,且号) 3 号,故多面体A'RCDEF体 322 税的最大值为器 四、解答题 15.命题透析本题考查二项分布的性质以及独立性检验的应用, 解析(①由表中数据可知,经常使用A1工具的学生中,数学皮绩优秀的概率为品-写,数学成绩不优秀的 概率为子 (2分) 所以3人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为C x(兮x专+Gx(兮)=路 …(6分) 4 (2)零假设为H。:使用AI工具与数学成绩无关 根据列联表中的数据,得X-200X(20x6080x40)-20≈9.524.…(10分) 100 100 60 140 21 因为9.524>6.635,所以依据 =0.01的独立性检验,我们推断H。不成立,即认为使用AI工具与数学成绩 有关.…(13分) 16.命题透析本题考查利用空间向量计算线面角. 解析因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形, 所以PA⊥AB,AB⊥BC 因为PM=MC,所以PA2+AMP=BC2+BMP, 又PA=BC=2,所以AM=BM,即M是AB的中点.…(2分) 如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,…(3分) 则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(2,0,0),N(2,1,1).…(4分) 42 D y M B (1)M=(0,1,1),P元=(4,2,-2),D元=(4,0,0). 计算,得M.P元=0 4+1 2+1 (-2)=0,M.D元=0 4+1 0+1 0=0,…(6分) 所以MN⊥PC,MN⊥DC. 又因为PC∩DC=C,所以MN⊥平面PCD.… (8分)》 (2)设平面MWC的法向量为n=(x,y,z). 因为M元=(2,2,0),M=(0,1,1), rn MC=2x+2y=0, 所以 (11分) m.M=y+:=0, 令y=-1,得n=(1,-1,1) 易知PB=(4,0,-2). (12分)》 设直线PB与平面MNC所成的角为O, 则sin0=1es(Pi,n1=1P店l-4-0-2-15 1P1nl√20 515, -5 即直线PB与平面MNC所成角的正弦值为 151 (15分) 17.命题透析本题考查复数的运算,复数与数列的相关综合问题. 解析(1)由(1-i)an+1=an-i,得(1-i)an+1-(1-i)=an-i-(1-i),即(1-i)(an+1-1)=an-1. 又4-1=i≠0,所以1-1=,1=1+i a-11-=2 …(2分) 所以a,-1=i…(生) (3分) 所以6=a.-1=i("='生 (4分)》 因为=1生-所以-(” 2n- (6分) 2)1)可得a=1+i(生 因为片=+im)所以(生'=()[a,+ma到 所以a1-(mi(ma 即6-( cosn- …(9分) 4 数列{c}的前8项:9=1,9=2,c=0,4=- 6=-6=-日=0,4=6前8项中有3项在 {bn}中.…(12分) 又Cn+8 ma7=(9aa-(6=6 4 所以{cn}从c1开始每8项有3项在{bn}中. (14分) 又1000 8=125, 所以数列{c}的前1000项有3 125=375项在数列{bn}中. (15分) 18.命题透析本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系 =2px rx=0. 解析(1)由 '所以P(P (2分) y=2x, Ly=0, Y=P 由题意得10P1=√片+p2=2,5,解得p=4, 故C的方程为y2=8x. (4分) (2)由题意可知直线PT的方程为y=6-x 代入y2=8x,得x2-20x+36=0,解得x=2或18.由(1)知P(2,4),故Q(18,-12) 6 10 因此1PQ1=√162+16=162.… (6分》 考虑与PQ平行的直线l:y=-x+t,代入y2=8x,得y2+8y-8t=0, 令 =64+321=0,得1=-2.即t=-2时,1与C相切. 此时1与直线P0的距离d=-6-2!=42. …(8分) 2 当1在PQ上方时,与C恒有两个交点, 当l在PQ下方时,若d<4√2,1与C有两个交点:若d=42,1与C有一个交点;若d>42,l与C没有交点。 因为面积相同的三角形有4个,所以0<d<4√2. (10分) 又S=1PQ1…d=82d,所以0<S<64,即S的取值范围为(0,64).… (11分) 3)设A。,,B:,易知≠ 4,则=)+4同理38 3+4 64 因为以AB为直径的圆过点P,所以PA1PB,所以kk(+42+4)=-1, 整理,得y1y2+4(y1+y2)+80=0.(*)… (13分) 设直线AB:x=my+n,代入y2=8x,得y2-8my-8n=0, 则y1+y2=8m,y1y2=-8n.…(15分) 代入(*)中,得-8n+32m+80=0,整理得n=4m+10. 于是直线AB:x=m(y+4)+10,过定点(10,-4).…(17分)》 19.命题透析本题考查函数与导数、函数与方程的综合问题 解析(1)fD(x)=3x2+2x-1+cosx,易得f(0)=0,fx)不是1阶单调函数. f()=-6+2-m,则/(-君)-m+2+分-号-T<0(0)=2>0, 所以∫(x)在(-石,0上存在零点,所以八x)不是2阶单调函数 f3)(x)=6-cosx,因为cosx∈[-1,1],所以f3)(x)∈[5,7]f3)(x)无零点,所以f(x)是3阶单调函数 …(3分)》 (2)由题查知,g()的定义城为(0,+),且g"(x)=n+1-mn,g()=士-m0sx 因为g(x)是2阶单调函数,所以g2(x)在(0,+∞)上无零点. 若m>0.当充分大时,必存在g(2m)=7太。m<0,g(2+1))=2Dm+m>0, 所以g2(x)有零点,不符合条件. 若m<0,当长充分大时,必存在g(2m)水元m>0.g(2+1)m)02+)元+m<0. 一7 同理,不符合条件。 所以m=0,g(x)=xlnx. 验证:g0()=hx+1的零点为x=日g()=士>0,无零点,符合题意…(6分) M(a,b)=√(a-b)+[a-2-g(b)]表示曲线C:y=xnx上的点(b,blnb)到直线l:y=x-2上的点(a,a-2) 的距离。 由y=xlnx,可得y'=lnx+1,令lnx+1=1,得x=1,切点为(1,0),则曲线y=xlnx上与直线l平行的切线方 程为y=x-1. 设m(x)=xnx-(x-1),则m'(x)=lnx,m(1)=0为最小值,故xlnx≥x-1,即曲线y=xnx在切线y=x- 1上方(除切点以外). 直线y=x-2在切线y=x-1下方,故最短距离即为切点(1,0)到直线x-y-2=0的距离, 所以M(a,b6)的最小值为1-0-21=2 √2+(-1)22 …(10分) (3)由题意知,h)(x)=wcos wx,h2)(x)=-osin wx. 由条件可知,p(x)=x+w2 sin cx≥0在(0,+∞)上恒成立,且p(xo)=0. 因此。是 (x)的最小值点,也是极小值点, 所以p'(xo)=0.… (11分)》 由p'()=1+a'cosx,=0,得cosa,=- 由p(o)=,+w2 sin wx,=0,得sin。=-g 所以士+解得0白 (13分) 因为c0sor,=-人<0且sino,=-名<0,所以角u,的终边在第三象限, 即m+2km<o<37+2km(keZ),因为>0,所以k≥0.① 考虑(62)=%2治+如62)=%2+=-2治 因为<,-2<恶keZ),且(≥0在0,+)上恒成立,所以230. w 2w 于是k≤0.② 综合02,得6=0,所以日<,<温 (17分) 8 72