精品解析：上海市金卫中学2026-2027学年八年级数学上学期第 一次学情自测

2026 学年第一学期初二数学自我诊断练习 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 一、选择题（本大题共 6题，每题3分，满分18 分） 1. 某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 2. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. （每相邻两个1之间依次多1个4） 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，与 不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①实数的平方根互为相反数；②小数都可以化为分数；③有限小数和无限循环小数都是有理数；④任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；⑤和 互为有理化因式；⑥被开方数不同的二次根式一定不能合并． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共12题，每题3 分，满分 36 分） 7. 算术平方根等于它本身的数是_____． 8. 比较大小 _________（填不等号） 9. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的算术平方根是___________ 10. 的平方根是____. 11. 如果代数式 有意义，那么a 的取值范围是__________． 12. 下列各数中，哪些是无理数? 、、 、、、、 ____________________ 13. 面积为3的正方形的周长是______________ 14. 将无限循环小数化成分数：___________ 15. 计算：_________ 16. 化简： _________________ 17. 若 ，那么 ________________ 18. 按照一定规律排列的一串数： ， ， ，2 ，5，···， ． 请写出这一串数中最大的有理数_______ 三、解答题 （本大题共 7 题，19-24 题每题 6 分，25 题10 分） 19. 计算： 20. 计算： 21. 计算： 22. 计算： 23. 解不等式： 24. 已知 求 的值 25. 如图，在数轴上，O为原点，正方形的边落在数轴的正半轴上（点C在原点右侧）．已知正方形的面积为，点 E 在边上，且的面积为 ． （1）用含 a的式子表示与的长； （2）在数轴上是否存在点 P，使?若存在，用含a的式子表示点 P 所表示的数，说明理由； （3）设（2）中所求点 P 表示的数为 p，化简 并说明它在数轴上的几何意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 学年第一学期初二数学自我诊断练习 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 一、选择题（本大题共 6题，每题3分，满分18 分） 1. 某微电子光学中心最新研究出一种光芯片的直径为厘米，该数据用科学记数法表示为 （ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. （每相邻两个1之间依次多1个4） 【答案】A 【解析】 【分析】带根号的数需先化简，再判断是否为有理数． 【详解】解：∵ ， ∴ 是有理数； ∵ 开方开不尽，、（每相邻两个1之间依次多1个4）是无限不循环小数， ∴ 三者均为无理数． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两步排查选项：先排除被开方数含分母的，再排除被开方数含能开得尽方的因数或因式的． 【详解】解：A选项，的被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； C选项，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式； D选项，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式． 4. 下列各式中，与 不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】需先将各二次根式化为最简形式，再比较被开方数判断是否为同类二次根式． 【详解】解：A、，被开方数为； B、，被开方数为； C、，被开方数为； D、，被开方数为； 只有A的被开方数与不同，不是同类二次根式． 5. 下列各等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、运算法则以及被开方数大于0的隐含条件，逐个化简四个选项的式子，判断等式是否成立，选出正确选项． 【详解】解：A、，算术平方根结果非负，故A错误； B、由二次根式及除数有意义的条件得，，故B正确； C、，故C错误； D、由二次根式有意义的条件得，即，则，，故D错误． 6. 下列说法正确的个数是（ ） ①实数的平方根互为相反数；②小数都可以化为分数；③有限小数和无限循环小数都是有理数；④任何一个无理数都可以用数轴上的一个点对应表示；⑤和 互为有理化因式；⑥被开方数不同的二次根式一定不能合并． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根定义、有理数小数分类、实数与数轴的关系、有理化因式概念、同类二次根式判定方法分辨对错，统计正确命题数量选出答案． 【详解】解：①负数没有平方根，0的平方根是0，故①错误； ②无限不循环小数不能化为分数，故②错误； ③有限小数和无限循环小数都可化为分数，都是有理数，故③正确； ④实数与数轴上的点一一对应，无理数是实数的一部分，故任何无理数都可以用数轴上的一个点表示，故④正确； ⑤，结果仍含二次根式，二者不互为有理化因式，故⑤错误； ⑥被开方数不同的二次根式化简后若被开方数相同，则可以合并，如与，故⑥错误． 综上，正确的说法有2个． 二、填空题（本大题共12题，每题3 分，满分 36 分） 7. 算术平方根等于它本身的数是_____． 【答案】0和1 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为非负数，由此即可解决问题． 【详解】解：∵1的算术平方根为1，0的算术平方根为0， ∴算术平方根等于它本身的数是1和0， 故答案为：1和0． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义和性质，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键． 8. 比较大小 _________（填不等号） 【答案】 【解析】 【详解】解：，，且， ． 9. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的算术平方根是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据同类二次根式定义，先确定根指数的值，再由被开方数相等求出，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，二次根式的根指数为2， ∴ ，且 解得 ∴ ∴ 的算术平方根是 ． 10. 的平方根是____. 【答案】± 【解析】 【分析】首先计算的值为，再计算的平方根即可得解 ． 【详解】∵=，=±， ∴的平方根是± ． 故答案为± ． 【点睛】本题考查了正数的算术平方根以及平方根的相关知识，在计算时不应忽略= ． 11. 如果代数式 有意义，那么a 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ∴ ， 移项得 ， 不等式两边同时除以，不等号方向改变， ∴ ． 12. 下列各数中，哪些是无理数? 、、 、、、、 ____________________ 【答案】 、 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断每个数即可． 【详解】解：逐个判断各数：是有限小数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中开平方开不尽，得到的是无限不循环小数，因此是无理数． 综上，和是无理数． 13. 面积为3的正方形的周长是______________ 【答案】 【解析】 【分析】已知正方形面积，先根据正方形面积公式求出边长，再根据周长公式计算周长即可． 【详解】解：设正方形的边长为，其中， ∵正方形面积等于边长的平方，正方形面积为， ∴， ∵边长为正数，舍去负根，得， ∵正方形周长等于倍边长， ∴正方形周长为． 14. 将无限循环小数化成分数：___________ 【答案】 【解析】 【分析】设未知数表示该无限循环小数，利用等式性质消去循环部分，求解得到分数结果． 【详解】解：设， ∵循环节为两位数，从小数点后第二位开始循环， ∴等式两边同乘得 ， 再将两边同乘得： ， 两式相减得：， 化简得：， 解得：， ∴． 15. 计算：_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法法则计算，合并被开方数后化简为最简二次根式即可． 【详解】解：二次根式乘法法则为， 原式 原式有意义，可得，即， ． 16. 化简： _________________ 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 若 ，那么 ________________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出和的值，再代入所求代数式化简计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得：，， 将，代入得：． 18. 按照一定规律排列的一串数： ， ， ，2 ，5，···， ． 请写出这一串数中最大的有理数_______ 【答案】 【解析】 【分析】整理数列得到规律：所有数可表示为，，要得到有理数则被开方数需为完全平方数，找出满足条件的最大结果即可． 【详解】解：先将已知数统一变形：，，，，，最后一项， 可得这串数的规律为：所有数为，其中的取值范围是，即．若为有理数，则必须是完全平方数． ∵ 是质数，完全平方数的所有质因数次数都是偶数， ∴中至少含有个因数， 可设，为正整数，代入得，化简得， ∴ 正整数的最大值为，此时，， 因此这串数中最大的有理数是． 三、解答题 （本大题共 7 题，19-24 题每题 6 分，25 题10 分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则运算，将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 20. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式除法法则，将多个二次根式的除法合并为一个二次根式，再化简得到结果． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，． 原式 ． 21. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先对两个二次根式分式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 22. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】将系数和二次根式分别分组计算，先算系数的乘除，再算二次根式的乘除，最后化简，根据得，开方时取非负结果． 【详解】解：由二次根式有意义，结合，得，   ． 23. 解不等式： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再按照一元一次不等式的解法求解． 【详解】解：化简，代入原不等式得 ， 去括号得， 移项合并同类项得：， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得． 24. 已知 求 的值 【答案】 【解析】 【分析】先由已知条件得到的值，再对分子变形得到的值，代入化简即可求出结果． 【详解】解：∵ ∴  ， ∴ 整理得：  ， ∴． 25. 如图，在数轴上，O为原点，正方形的边落在数轴的正半轴上（点C在原点右侧）．已知正方形的面积为，点 E 在边上，且的面积为 ． （1）用含 a的式子表示与的长； （2）在数轴上是否存在点 P，使?若存在，用含a的式子表示点 P 所表示的数，说明理由； （3）设（2）中所求点 P 表示的数为 p，化简 并说明它在数轴上的几何意义． 【答案】（1）， （2）解：存在， ∵，， ∴， 在数轴上，到原点距离为的点有两个，分别位于原点的两侧， ∴点 P 所表示的数为或； （3）或，在数轴上的几何意义为：表示数轴上点到表示数的点（即点）的距离与点到原点的距离之和 【解析】 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， 在正方形中，，且的面积为 ， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知点 P 所表示的数为或， 当点 P 所表示的数为时， ； 当点 P 所表示的数为时， ； 在数轴上的几何意义为：表示数轴上点到表示数的点（即点）的距离与点到原点的距离之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $