精品解析：福建龙岩市第二中学2026-2027学年第一学期高二第一次月考数学试卷

龙岩二中 2026～2027 学年高二上第一次月考 数 学 试 题 命题人：李莉 审题人：陈建勤 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上. 1. 已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线与轴的交点为，根据求得. 【详解】设直线与轴的交点为，因为与向量平行， 所以，即， 则，所以. 故选：D 2. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过，求出数列的通项公式，然后求出即可. 【详解】因为，当时，， 当时，， 则， 当时，， 所以数列的通项公式为， 所以， 故选：B. 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解即可. 【详解】由等比数列中，为方程的两根，得，， 因此，，， 所以. 故选：B 4. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 5. 设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式及二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 6. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求直线所过定点，确定定点在圆内，则有时，直线l被圆C截得的弦长最小，依此求解即可. 【详解】直线， 令，即，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即点P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 7. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 8. 如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 使得成立的正整数的最大值为3 D. 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，，，结合等比数列性质可判断AB，根据等比数列通项公式求法可得，根据通项公式性质可判断C，根据等比数列前项和公式计算可判断D. 【详解】由题意可得，， ， ，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即； 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为随着的增大而减小， 而，， 所以使得成立的正整数的最大值为3，故C正确； 对于D，设数列的前项和为， 则， 当时，，故， 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近4，故D错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；利用垂直关系计算判断B；由两直线不相交求出判断C；求出直线所过定点，并求出它与点的距离判断D. 【详解】对于A，变形为， 令，解得，因此直线一定过定点，A正确； 对于B，若，则，解得，B正确； 对于C，当与不相交时，，解得或， 当时，直线与平行， 当时，直线与平行， 因此当时，或，C错误； 对于D，直线恒过点，点到直线的距离的最大值为间距离， 而，D正确. 故选：ABD 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等差数列 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项根据得；B选项根据得；C选项根据是等比数列可得，根据为等差数列可得，联立即可；D选项利用分组求和. 【详解】对于A选项，因为，所以， 则是首项为 ，公比为3的等比数列，A错； 对于B选项，因为，所以，且 ， 所以数列为首项为2，公差为0的等差数列，B对； 对于C选项，由A选项可得 ， 由B选项可得 ，联立①②可得，C对； 对于D选项，，D错. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据题意运用两点间距离公式列出方程，化简得轨迹C的方程，可判断选项A；满足的点的轨迹是以为直径的圆，根据圆与圆的位置关系判断出圆和圆外离，可判断选项B；由距离公式判断直线与圆的位置关系，从而判断C；设，并由距离公式结合点P的轨迹方程，利用待定系数法解方程，从而判断D. 【详解】如图： 对于选项A，因为在平面直角坐标系中，，，点满足. 设，则，化简可得，故选项A正确； 对于选项B，若，则在以为直径的圆上. 因为中点，直径， 所以圆的半径，则圆的方程为， 设圆的半径为，则，圆心距， 则圆和圆外离，即圆上不存在点，使得，故B错误； 对于选项C，圆心到直线的距离为， 则该直线与圆相离，因为，也就是圆上恰有一个点到直线距离等于（离直线最近那一点），故C正确； 对于选项D，假设存在这样的点，可设，可得， 两边平方并整理：， 由P的轨迹方程为，可得， 解得或（舍去），即存在，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在等差数列中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得，进而求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，由等差数列的性质可得：， 又，所以， 故答案为：. 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 14. 已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在数列中为第项，利用分组求和法求，再结合错位相减法以及并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：在数列中为第项， 且与之间插入个的和为， 因为，， 则， 设，则， 可得，且，即，所以； 当为奇数时，则， 可得， 所以. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线在轴上的截距，可得方程，联立方程，可得结果； （2）利用（1）的结论，采用分类讨论，设直线的方程可得答案. 【小问1详解】 由直线的方程为，， 可得直线的斜率为2， 又在轴上的截距为，即过点， 所以直线方程：， 即， 联立方程，得： ，故交点为； 【小问2详解】 依据题意直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍， 且直线经过与的交点 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 故方程为：， 即 综上所述：的方程为或. 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知等式用等比数列通项公式转化为关于公比的一元二次方程，结合正项条件求得，即可得到的通项公式； （2）先化简得到为等差数列，利用分组求和法，分别计算等比数列和等差数列的前项和，相加得到. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去​） . 所以数列的通项公式为： . 【小问2详解】  由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【小问1详解】 ∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴，化简展开得，解得， ∴，半径，∴圆的方程为：． 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率，设直线的方程为， ∴，则△是等腰直角三角形，∴， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：，解得或 ， ∴直线的方程为或． 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 已知， 当时，， 两式相减得： ， 整理得： ，， 当时，， ，满足， 又， 因此是首项为1，公比为2的等比数列，得证； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过作差法得到，再通过配凑即可求证； （2）由（1）确定通项公式，再结合错位相减法和等差数列求和公式即可求解； （3）通过分参得到，构造，通过作差法判断单调性，确定最大值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得， 因此： ， 设前项和为， 则， ， 两式相减得：， 即， 又数列前项和为， 因此； 【小问3详解】 由得：，因此， 化简不等式左边： ，， 因此， 不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 设 则 ， 当，， 即时，； 当时，， 因此的最大值为​，故， 即的取值范围为. 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 【答案】（1）或； （2）①②. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式可求得圆的方程，再分别讨论过点的圆的切线斜率不存在和存在两种情况，利用直线和圆的位置关系计算得到切线方程； （2）①由可得，结合两点间的距离公式，化简可得结果；②由中点条件将  与  的关系转化为直线  与单位圆相交，从而得到 ；再在此范围内分段讨论  的单调性，合并各段值域即得最终取值范围. 【小问1详解】 由题意，过点且斜率为的直线方程为， 又圆到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为，解得， 所以圆的方程为，圆心坐标为，半径为， 当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即. 由，解得，则切线方程为， 所以过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ①设点，则，， 因为，，所以， 又，化简得， 因为为圆上任意一点，所以， 又，，解得，所以常数. ②由①知， ，所以圆 ，，， 曼哈顿距离： 因为直线  过 ，与圆交于 ，且  为  的中点，设 ，则 ， 由  在圆  上，得 又  在圆上：，两式相减得 因为直线  与圆有两个交点，分别为， 故圆心到该直线的距离小于1，所以， 整理得，解得，所以 ， 令，在 上分段求值域： 当，，在上单调递减，所以此时值域为； 当，，在上单调递增，所以此时值域为； 当，，  时取最大值 ，值域为 ； 当， ，在上单调递增，值域为 ； 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中 2026～2027 学年高二上第一次月考 数 学 试 题 命题人：李莉 审题人：陈建勤 （考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求请把答案填涂在答题卡上. 1. 已知直线过点，且与向量平行，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列中，为方程的两根，则等于（ ） A. 6 B. 12 C. 6或12 D. -6 4. 直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长为4，分别取正方形各边的四等分点，作第2个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去．设第个正方形的边长为，阴影部分中第个直角三角形的面积为（例如：，，…），则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 使得成立的正整数的最大值为3 D. 如果作图过程可以一直继续下去，那么阴影部分面积之和将趋近3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线和直线，以下说法正确的有（ ） A. 直线一定过定点 B. 若，则 C. 的充要条件是 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等差数列 C. D. 11. 古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 已知点，，圆上存在点，使得 C. 圆上恰有一个点到直线的距离为2 D. 在轴上存在异于，的两个定点，，使得 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 在等差数列中，若，则______. 13. 已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为________. 14. 已知数列的通项公式为．在与之间插入个，使它们和原数列的项构成新的数列．记数列的前项和为，则__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． （1）求直线和的交点坐标； （2）已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 16. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 18. 设是数列的前n项和，已知，． （1）证明：是等比数列； （2）若，求数列的前n项和； （3）记，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知过点且斜率为的直线被圆截得的弦长为 （1）求过点的圆的切线方程； （2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）. ①求常数的值； ②“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，若过点作直线与圆交于、两点，且点恰好是线段的中点，又已知点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $