江苏连云港市灌云县实验中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

2026-2027学年灌云县实验中学九年级数学第一次过程性检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象在第一、三象限 B. 当时，y的值随x的增大而减小 C. 当时， D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 6. 在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 小于 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点A（1，0），B（0，2），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线CD与y轴交于点G，再以DG为边在第一象限内作正方形DEFG，若反比例函数的图像经过点E，则k的值是 （ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 二、填空题（每题3分，共30分） 9. 方程的解是________． 10. 一元二次方程的一次项系数为___________． 11. 已知一元二次方程的两根为，则的值为______． 12. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是___________. 14. 已知与成反比例，且当时，，则关于的函数解析式为________． 15. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．则代数式的值为________． 16. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 17. 如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 18. 如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 三、解答题（共96分） 19. 解下列方程 （1）； （2）； （3）． 20. 庆典气球需要安全且能飘升，氦气作为一种惰性气体，常被用于填充庆典气球．某次庆典活动，主办方需要5千克氦气来填充气球，已知氦气瓶的容量（升）跟压力P（标准大气压）之间成反比例关系，图示如图所示． （1）试确定P与V之间的函数表达式； （2）运输过程中，安全考虑，氦气瓶内气体不能超过120个标准大气压，氦气瓶容量要满足什么条件？ 21. 已知反比例函数y=的图象经过点． （1）求的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的取值范围． 22. 已知关于x的一元二次方程（m为实数且）． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有两个异号的整数根，求整数m的值． 23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，一次函数的图象与y轴交于点B，且． （1）求函数的解析式（不需要写自变量取值范围）； （2） ， ； （3）满足不等式的x的取值范围是 ； （4）为x轴上一点，若的面积等于的面积，请求出m的值． 24. 阅读下面的例题与解答过程： 例：解方程：， 解：当时，原方程可化为，解得，（不合题意，舍去）； 当时，原方程可化为解得（不合题意，舍去），； ∴原方程的解是，． 在上面的解答过程中，我们对进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想--分类讨论．请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： （1）； （2）． 25. 东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是_________： （2）下列表格是与几组对应值： … … … … 直接写出的值_________； （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数当时，随的增大而_________（填增大或减小）； ②若函数与一次函数相交于点，，结合函数图象直接写出使不等式成立的的取值范围． 27. 综合与实践． （1）【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． （2）【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． （3）【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 2026-2027学年灌云县实验中学九年级数学第一次过程性检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每题3分，共30分） 【9题答案】 【答案】 ， 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】##0.25 【13题答案】 【答案】且 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】## 【16题答案】 【答案】3 【17题答案】 【答案】2 【18题答案】 【答案】## 三、解答题（共96分） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， 【20题答案】 【答案】（1） （2）不低于200升 【21题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）． 【22题答案】 【答案】（1） 证明：依题意，得 ，，， ， ， 方程总有两个实数根； （2）或 【23题答案】 【答案】（1）； （2）2；； （3）； （4）或． 【24题答案】 【答案】（1）原方程的解为，， （2）原方程的解为， 【25题答案】 【答案】（1）每次下降的百分率为； （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【26题答案】 【答案】（1） （2）1； （3）如图， （4）①减小；②或 【27题答案】 【答案】（1）该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； （2）； （3）如图所示： 该方程的其中一个正根为6 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $