精品解析：福建省福州屏东中学2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测

福州屏东中学2026—2027学年第一学期九年级数学 适应性训练02 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可． 【详解】解∶ ∵抛物线的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为（1，2）， ∴平移后所得的抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便． 3. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，直接计算的度数． 【详解】解：， ． 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：B． 5. 如图，，、相交于点，，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线性质证三角形相似，利用相似比计算线段长． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 6. 用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在的外部”，首先应假设（ ） A. B. 点在外部 C. 点在上 D. 点在上或点在内部 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了反证法的概念，解题的关键是理解用反证法证明，即是假设命题的结论不成立，以命题的否定方面作为条件进行推理，得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定命题的结论成立． 否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 【详解】若用反证法证明该命题，则首先应假设命题的结论不成立，即点在上或点在内部， 故选：． 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：根据旋转的性质可得，， ∴． 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 9. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由是的直径得，再根据同弧所对圆周角相等和直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 13. 已知四边形内接于，若，则的度数为________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】已知四边形内接于，得到，已知，，即可求得的度数． 【详解】∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 14. 已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为_________． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 【答案】直线 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，比较简单． 由于时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解． 【详解】解∶和2时的函数值都是4， 对称轴为直线， 故答案为∶直线． 15. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点D的坐标为，可得点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上得到，再根据点在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】解：设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴点A的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 16. 如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，构造正方形，利用勾股定理及旋转性质求出长度；过作于，利用三角形中位线定理求出和，进而求出，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， 四边形是矩形 ， ， 四边形是正方形 ， ， ， ， 在中， ， 由旋转性质可知 ， 在中， ， ， ， ， ， ， 是的中点 ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ， 在中，． 三．解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程． 【答案】， 【解析】 【分析】利用求根公式法或配方法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：① ∵，， ∴ ∴ ∴，． ② ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，常用方法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，能根据题目特点选择合适的解法是解题的关键． 18. 如图，在中，点，分别是边，上的点，．求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】证明，即可解答． 【详解】略 19. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】26寸 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ， 寸， 为的直径，弦，寸， 寸，， 在中，， ， 解得：， 为的直径， 寸． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的根的判别式即可． （2）根据根与系数关系定理，得，结合计算即可，熟练掌握根的判别式和根与系数关系定理是解题的关键． 【小问1详解】 ∵方程，， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵的两个实数根分别是，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， 故． 21. 阅读材料： 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （1）证明：在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为（________，________）． _______________________， ∴点也在反比例函数的图象上． 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】 （2）类比前面的证明过程，证明：函数的图象关于轴对称． 【答案】（1）,．将代入，得，即点的坐标满足函数解析式， （2）证明：在函数的图象上任取一点， 则点关于轴对称的点的坐标为， 将代入，得， ∴点也在函数的图象上， 是函数图象上的任意一点，它关于轴对称的点都在函数的图象上， ∴函数的图象关于轴对称． 【解析】 【分析】（1）依据证明过程补全条件即可； （2）在函数的图象上任取一点，则关于轴对称的点的坐标为，再代入即可证明． 【小问1详解】 证明： 在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为， 将代入，得，即点的坐标满足函数解析式， ∴点也在反比例函数的图象上， 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点； 【小问2详解】 略 22. 在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，为半径作弧交于点，分别以，为圆心，，为半径画弧，两弧交于点，连接，，由作法知利用可证明与全等，且两三角形有公共顶点，，所以即为所求； （2）设，由已知条件可推出，利用勾股定理逆定理可证明为直角三角形，则题目可解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵在矩形中， ∴， ∵ ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 设， 则， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； （2）在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； （3）要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 【答案】（1）8 （2）① 2 3 4 6 24 16 12 8 ②反比例函数的图象如图所示； ③ （3） 【解析】 【分析】（1）设，把代入得到，把代入即可得到结论； （2）①根据题意求得，的值即可得到结论；②根据题意画出反比例函数的图象即可； ③把，的对应值代入反比例函数的解析式即可得到结论； （3）根据题意得到关于的不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 解：设， 把代入得，， ， ， 把代入得，， ； 【小问2详解】 解：①略 ②略； ③设， 把代入得，， ， 所得曲线对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得， 重物的质量的取值范围为． 24. 已知二次函数． （1）求这个二次函数的顶点坐标； （2）当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）如果，在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）的取值范围是 （3）当时，的取值范围是或；当时，的取值范围是 【解析】 【分析】（1）通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得到顶点坐标； （2）结合抛物线的对称性、开口方向与在范围端点的函数值，列不等式组求解 （3）先代入点A的坐标求出的值，再代入点B的坐标得到b与a，n的关系，结合已知不等式化简后分a的正负讨论求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 ∵抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， 判别式， ∴当时，，抛物线与x轴无交点，不符合题意； 当时，，抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且关于直线对称， 要使时图象与x轴有且只有一个交点，需两个交点中仅有一个落在区间范围内， ∵对称轴在范围内且顶点在x轴下方， ∴若两端点函数值均大于0，则两个交点都在范围内；若左端点函数值小于0且右端点函数值大于等于0，则仅有一个交点在范围内： 当时，； 当时，； ∵， ∴， ∴列不等式组， 解得， 综上所述，a的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵点在二次函数图象上， ∴将，代入，得：， 化简得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴将，代入解析式，得：， 整理得， 将代入，得：， 化简得，即，也就是； 分两种情况讨论： 当时，，解得或，即或； 当时，，解得，即． 25. 如图，，，点在边上，延长交于点． （1）求证：； （2）如图，当，时，求的值； （3）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，点的对应点，点的对应点，若，，三点共线，且，求的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，结合，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，再利用线段的和差列出方程即可解答； （3）画出图形，证明，可得，再根据相似三角形的性质得到线段之间的关系，最后列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 当，时，,， ， ， ， ， ， 可得， ，， ； 【小问3详解】 解：如图， 设，可得, 由旋转的性质得，，， ， 设， ∵三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 根据（1）可得， ， ，， ， 可得方程， 解得（负数舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2026—2027学年第一学期九年级数学 适应性训练02 一．选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 5. 如图，，、相交于点，，且，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离大于，则点在的外部”，首先应假设（ ） A. B. 点在外部 C. 点在上 D. 点在上或点在内部 7. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在线段的延长线上，则为（　　） A. B. C. D. 8. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为______． 13. 已知四边形内接于，若，则的度数为________． 14. 已知二次函数的x、y部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为_________． x 0 1 2 y 4 2 4 7 12 15. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 16. 如图，在四边形中，，，以点为旋转中心，将边绕点顺时针旋转，使点的对应点恰好落在边上，连接，取的中点，连接，若，，则的长为________． 三．解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程． 18. 如图，在中，点，分别是边，上的点，．求证：． 19. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 20. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21. 阅读材料： 如何通过代数推理证明反比例函数图象的性质？代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． 【理解】反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （1）证明：在函数图象上任取一点， 则点关于原点对称的点为（________，________）． _______________________， ∴点也在反比例函数的图象上． 是反比例函数图象上的任意一点， 它关于原点对称的点都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【拓展】 （2）类比前面的证明过程，证明：函数的图象关于轴对称． 22. 在矩形中，点在边上，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点在线段上． （1）请在图中作出；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若与的交点为的中点，求的度数． 23. 如图，某物理实验装置由一个带刻度的无盖圆柱体玻璃筒和一个带托盘的活塞组成，该装置竖直放置时，活塞受到托盘中重物的压力向下压缩装置内的空气．某同学试着放上不同质量的物体，并根据筒侧的刻度记录活塞到筒底的距离，得到下面组数据： 重物质量 活塞到桶底的距离 （1）该同学经过分析数据发现，不同重物的质量数值加上后得到的数值与对应的距离数值成反比．请你根据数据求出________； （2）在上面组数据的基础上，该同学以的值作为一个点的横坐标，的值作为该点的纵坐标，得到个点的坐标． ①将这个点的坐标填入下表； … … … … ②将这个点描在如图所示的平面直角坐标系中，并用平滑曲线连接； ③给出所得曲线对应的函数表达式________； （3）要使活塞到筒底的距离不小于，求在托盘中放入重物的质量的取值范围． 24. 已知二次函数． （1）求这个二次函数的顶点坐标； （2）当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； （3）如果，在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 25. 如图，，，点在边上，延长交于点． （1）求证：； （2）如图，当，时，求的值； （3）如图，将绕点按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，点的对应点，点的对应点，若，，三点共线，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $