4.4 第1课时 数学归纳法 同步练-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

4.4数学归纳法 第1课时数学归纳法 A级必备知识基础练 1用数学归纳法证明1十a十a+十4*1一aa≠1)时，在第一步归纳英基 1-0 时，要验证的等式是() A.1=1-a 1-a B.1+a1-a3 1-a C.1+a2-1-a 1-a D.1+a+d-1-a' 1-a 2.(多选题)已知一个命题p(),-2n(n∈N,若当=1,2，，1000时，p(成 立，且当1001时也成立，则下列判断中正确的是() A.p份对=528成立 B.p()对每一个自然数k都成立 C.p()对每一个正偶数k都成立 D.p)对某些偶数可能不成立 3.用数学归纳法证明（十1）n十2)…(n十m)=2×1×3×…×(2n一1)n∈N时，从=k 到+1的证明，若设)(k+1)k+2)(+),则k+1)=() A.)+[2(2k+1)] B.)[2(2k+1)] C.+2k+1 k+1 D.2k+1 k+1 4,用数学归纳法证明不等式1十1。十…十1>13≥2，n∈N)的过程 n+1n+2n+n24 中，由k递推到十1时，不等式左边() A.增加了 (k+1) B.增加了 1 2k+12k+2 C.增加了 1+11 2k+12k+2k+1 D.增加了1 1 2(k+1)k+1 5利用数学归纳法证明不等式1十++…十1，<m≥2，nEN的过程中， 23 2”-1 由k到k十1时，左边增加了项. 6用数学归纳法证明1-上+上-++。1，一1-1，十1十十1 234 2n-12nn+1n+2 2n (∈N的时，第一步应验证的等式是：从“”到“=k十1”左边需增加的 代数式是 7.用数学归纳法证明：1×2+2×5+…十n(3n一1)=n(n+1)n∈N,n≥1). 8.用数学归纳法证明：12-22+32-42++(2n-1)2-(2m=一n(2n十1)(n∈N. B级关键能力提升练 9利用数学归纳法证明等式：1n十2（一1）十3(n一2)十…十n1=三n0n十1)0n十2) (n∈N,当=k时，左边的和1k+2(k一1)+3·(k一2)+…+k1记作Sx,当=k+1 时，左边的和记作Sx+1,则S+1一Sx() A.1+2+3+…+k B.1+2+3+…+(k-1) C.1+2+3+…+(k+1) D.1+2+3+…+(k-2) 10.(多选题)如果命题p(n)对=(k∈N)成立，那么它对=k+2也成立，则下列 结论正确的是() A.若p(m对=1成立，则p(m对所有正整数都成立 B.若p(m对=2成立，则p(n对所有正偶数都成立 C.若p()对=1成立，则p(n)对所有正奇数都成立 D.若p(m对=2成立，则pm对所有自然数都成立 1已知存在常数.使等式12+23+++0加+0+20m+0对 n∈N都成立，则= 12.若m1+1+1+…+。1,∈N,用数学归纳法验证关于m的命题时， 23 3n-1 第一步计算1)尸；第二步“从到+1时”，k+1))十一 13,用数学归纳法证明：(1+D+2+2)+…+0+m0+10+2为正整 数). C级学科素养创新练 14.(多选题)设x)是定义在正整数集上的函数，且x)满足当)≥k十1成立时， 总有k+1)≥k+2成立，则下列命题总成立的是() A.若6)<7成立，则5)<6成立 B.若3)≥4成立，则当k≥1时，均有)≥k+1成立 C.若2)<3成立，则1)≥2成立 D.若4)≥5成立，则当k≥4时，均有)≥k十1成立 15.已知向量a=1,1,b.-(分0，a+10,-ai+b+10m∈N,则b十 22 ab+…+agbl 32 102 答案： 1.D2.AD3.B 4C解析当≥2，N门时，可得k十十2十+安>是当m十 2k241 1时，可得，1。十，1十十上十1十。1二>13，故由k递推到k十1 k+2k+3 2k2k+12k+224 时，不等式左边增加了2，十 1 1 2k+12k+2k+1 故选C. 5.2解析增加的项为1十1 1 2k+2*+12*+2 2+11,共2*项. 十…十 1 6.1-1-11 1 222k+12(k+1) 7.证明①当=1时，左边=1×2，右边=1×2，等式成立； ②假设=k时，1×2十2×5+…十3k-1)=(k+1),则=k十1时，1×2十2×5+. +(3k-1)+(k+1)(3k+2)=R(k+1)+(k+1)3k+2)-(k+1)2+3k+2)=(k+1)[(k+1)+ 1],即k+1时，等式成立，综合①②可知，1×2+2×5+…+n(3n-1)n㎡(n十1) (n∈N,n≥l). 8证明(1)当=1时，左边=12一22=一3，右边=一3，等式成立. (2)假设当时，等式成立，即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2)2=-(2k+ 1). 当=k+1时，12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+ 1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1], 所以当=十1时，等式也成立. 根据(I)和(2)可知，等式对任何n∈N都成立. 9.C解析依题意，S=1k+2(k一1)十3(k-2)+…十k1,则S+1=1(k+1)十 2k+3(k-1)+4(k-2)+…+k2+(k+1)1,∴.S+1-S=1[(k+1)-月+2[k-(k-1)] +3[(k-1)-(k-2)]+4[(k-2)-(k-3)]+…+k(2-1)+k+1)1=1+2+3+…+k+ (k+1). 10BC解析由题意可知，若p)对=1成立，则pn)对1,3,5,7，…，即 所有正奇数都成立；若p(m对=2成立，则p(m对=2,4,6,8，…，即所有正偶数 都成立.故选BC. 11.5解析由题意当1时，等式成立，即4-1×1x2×3×3十)，解得15. 12 123是+1+，1。解析1)1+3 23k3k+13k+2 22 假设当k时，)=1+1+1+…十。1 23 3k-1 那么，当+1时，+1)=1+1+1+…+。1一十1十1十1 23 3k-13k3k+13k+2' +W+十3中2 13.证明①当1时，左边=2，右边=×1×2×3=2，等式成立. 3 ②假设当k∈N门时，等式成立，即1+1)十(2+2)+…+(W+)+1)k +2),那么当+1时，(12+1)+(22+2)+…+k2+丙+[匠+1)+(+1]+1) +2)++++1号+1+2++100++I广+1+2+3+) 3 [(k+1)+1][(k+1)+2]. 故当=k十1时，等式也成立. 综上可知等式对任意正整数n都成立. 14.AD解析选项A中，若5)<6不成立，则5)≥6，由题意知6)≥7，与 6)<7成立矛盾，所以)<6成立，故A正确：选项D中，若4)≥5成立，则 +1)≥m+2(≥4，m∈N,即)≥k+1(k≥5)，结合4)≥5，所以当≥4时，均有 )≥k十1成立，故D正确：选项C中，同理选项A,若2)<3成立，应有1)<2成 立，故C错误；B不一定成立.故选AD, 15弘解析a4-a6a1,1)-分0-异).a4-a6a得 220 )一子好0写1)，，a",1少.下面用教学归纳法进行证明：当1时， 2n a是，满足题感，很谈当时，a.》.剥当+1时，a 2×1 -a6海安小-法r0rz装品 1共，.故a+上，.所以二b2,120 2n 2(k+1) 2n (m+1(n+1 2n(n+n+2)nn+a+1n+7l所以+00+…+，b 11[1 1 22 32 102 1-1+1-1+…+。1-111-1)27 41×22×32×33×49×1010×1142110220