专题03 空间向量与立体几何（期中复习讲义）高二数学上学期北师大版选择性必修第一册

专题03 空间向量与立体几何 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一：空间直角坐标系的建立 考点二：空间向量的基本概念 考点三：空间向量的坐标运算 考点四 空间向量基本计算 05 重难题型突破 题型一 空间坐标系、对称点、基础坐标运算 题型二 基底表示向量、四点共面 题型三 数量积、平行垂直、投影向量 题型四 异面直线夹角 题型五 向量法处理法向量、线面角、点面距离 题型六 向量法处理二面角 题型七 综合大题：证明、动点存在性、翻折 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①空间直角坐标系中点坐标、对称点、距离计算；②向量线性运算（基底表示向量）；③向量数量积、平行垂直判定、投影向量；④四点共面判定；⑤求法向量；⑥三类空间角：异面直线所成角、线面角、二面角；⑦点到平面距离；⑧解答大题：建系证明平行垂直、求角、距离、动点存在性、翻折问题。 难度分布：基础题集中在坐标运算、向量平行垂直、简单求角；中档难点：基底法向量运算、四点共面、投影向量；压轴大题：几何体翻折、动点参数、是否存在型综合设问。 识记 记住空间直角坐标系右手系；点关于坐标平面、坐标轴、原点对称坐标规律；向量线性运算法则；共线向量定理、共面向量定理；向量数量积定义与坐标公式；异面直线角、线面角、二面角；点面距离公式。 理解 理解向量可以自由平移；区分基底与空间基底条件；理解共面向量定理推论；理解法向量含义；区分向量夹角和立体几何空间角；明白翻折问题中哪些长度角度不变，哪些发生改变。 应用 熟练写点、向量坐标，会基底表示向量；会用坐标 / 基底判定向量平行垂直；会利用共面向量定理判断四点共面；会求平面法向量；向量法求解异面直线角、线面角、二面角；计算点到平面距离；建系完成立体几何证明（线线、线面、面面平行垂直）；处理几何体动点、参数、存在性、翻折综合大题。 考点一：空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 考点二：空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 共线向量定理（空间向量平行） 存在实数，使得。 空间中平行向量定理和平面完全一致；A,B,P三点共线。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： ⚠结果是实数，不是向量！ 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： ❗易错：不满足结合律，左右两边是不同方向向量。 考点三：空间向量的坐标运算 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 考点四 空间向量基本计算 1四点共面的向量推论 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 ⚠注意条件：A,B,C不能三点共线。 2向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 3空间角的向量计算公式 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 4空间距离 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型一 空间坐标系、对称点、基础坐标运算 典例1 （福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点，即可求解. 【详解】根据空间直角坐标系的定义，结合关于坐标平面的对称点的特点， 可得点关于平面对称的点的坐标是. 故选：D. 迁移应用1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的中点的坐标，再求出关于平面对称的点的坐标即可． 【详解】因为点， 所以的中点， 所以关于平面对称的点的坐标为， 故选：C． 2．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影求出点坐标，再求坐标即可. 【详解】因为点是点在平面内的射影， 所以,所以. 故选：A. 题型二 基底表示向量、四点共面 典例1 （安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，点为棱的中点， 所以 . 故选：B. 迁移应用1．（福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用共面向量定理的推论求解. 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 题型三 数量积、平行垂直、投影向量 典例1（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用投影向量公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】由题意可得． 故选：A. 迁移应用1．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量、不共面 【答案】B 【分析】对A，根据条件，利用空间向量的夹角公式，求出两向量的夹角，即可求解；对B，利用两个向量的数量积为零，则两个向量垂直，即可判断正误；对C，利用投影向量的计算公式，即可求解；对D，利用空间向量共面的性质，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以，又，则，故 A 错误； 对于B，因为，又，则， 所以，故 B 正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，故 C 错误； 对于D，因为，，则与不共线，又，且， 所以向量与向量，共面，故D不正确， 故选：B. 2．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 题型四 异面直线夹角 典例1（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， (1)用、、表示，并求线段的长； (2)求直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算用、、表示，再根据向量数量积的运算律求其模即可； （2）先用、、表示，求出和，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）依题意，，， 由图知，， 则 ， 故线段的长为. （2）由（1），，又， 则 ， 且， 设直线和所成角为， 则， 即直线和所成角的余弦值为. 迁移应用1．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为在中，，分别为，的中点， 所以，，所以， 又为的中点，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面， 又平面，所以. (2)； (3)存在，. 【分析】（1）先证，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值； （3）假设存在点，设，其中，由（2）建立的空间直角坐标，可求得直线的方向向量与直线的方向向量，根据题意，可求得的值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，.建立空间直角坐标系，如图所示， 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 所以直线和平面所成角的正弦值为. （3）假设线段上存在点适合题意，设，其中. 设，则， 则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以. 又直线和所成角的余弦值为， 所以，整理得. 解得或2（舍去） 所以线段上存在点适合题意，且. 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为空间基底，得到，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据向量的运算法则，得到，再由向量的数量积的定义，求得，进而求得异面直线与所成角. 【详解】（1）根据题意，以为基底，可得， 因为，且， 且. 所以 . 所以，所以. （2）因为和分别为和中点， 可得， ， 可得，即，所以异面直线与所成角为. 题型五 向量法处理法向量、线面角、点面距离 典例1 （福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，求出直线的向量与平面的法向量，利用向量夹角公式计算直线与平面所成角的正弦值. （2）求出平面的法向量，借助点到平面的距离公式，计算点到平面的距离. 【详解】（1）以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.    可得，，，，由为棱的中点，得， ，，. 设为平面的法向量， 则，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）向量，设平面的法向量， ，即，令，则，， 得为平面的一个法向量， 则， 所以点到平面的距离为. 迁移应用1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 中，点，分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）先证明，再根据线面平行的判定定理可得； （2）根据点到平面的距离的向量求法可求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）因为三棱锥中，平面，，所以直线两两垂直. 以点为坐标原点，分别以直线所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，，所以. 所以. 所以. 设平面的法向量，则，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 又因为， 所以点到平面的距离为. 48．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 【答案】 【分析】根据空间向量法求点到平面的距离即得. 【详解】由题， 点到平面的距离. 故答案为： 题型六 向量法处理二面角 典例1（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)连接，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，AB，平面，所以平面， 又平面，则， 因为在直三棱柱中，所以四边形为正方形， 所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，则； (2). 【分析】（1）先求证平面，再证明平面即可； （2）以A为原点建系，计算平面的一个法向量为，利用面面角的向量求法可求余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为直三棱柱中，，所以，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 而平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 则 迁移应用1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，M是棱的中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)E为棱的中点，在棱上是否存在点F，使得∥平面？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 底面是边长为2的正方形， 底面，平面，,， 平面，平面，平面， 又，平面，平面，. ，M是棱的中点，所以，平面， 平面，，平面, 平面，所以 (2) (3)存在，当点F为棱的中点 【分析】（1）先证明平面，再证平面,平面，所以 （2）建立空间直角坐标系，即可求解. （3）利用线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）略 （2）如图：以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系, 则,， 设平面的法向量为 则即 ，取，则， ，所以， 直线与平面所成角的大小    （3）    存在，当点F为棱的中点时，∥平面，证明如下： 分别是的中点，. E为棱的中点，,， 四边形为平行四边形，，平面， 平面,∥平面. 2．（福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，焦距为2，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方）.将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，. (1)求椭圆C的方程； (2)当时，求平面和平面所成角的余弦值； (3)是否存在，使得折叠后的周长为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）由给定的离心率、焦距，求出，求出椭圆方程. （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值； （3）设折叠前，折叠后对应的，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出所以的值. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为2，所以，所以， 因为离心率为，故，解得， 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， 所以椭圆方程为. （2）直线：，即：，联立得， 解得或，当时，，当时，，因为点A在x轴上方，，， 以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 其中平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令得，故 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为； （3）设折叠前，折叠后对应的，， 设直线方程为，将直线与椭圆方程联立得，， 则，， 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，， 由，，故， 所以①， 分子有理化得， 所以②， 由①②得， 因为， 故，即， 将，代入上式得， 两边平方后，整理得，即，解得. 因为，所以. 题型七 综合大题：证明、动点存在性、翻折 典例1（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求空间几何体的体积； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明：由可得，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【分析】(1)利用面面垂直可证明线面垂直和线线垂直，再利用面面垂直性质，可得到线面垂直； (2)在(1)的基础上，即可得三棱锥的高，从而利用体积关系求三棱锥的体积; (3)利用空间垂直关系可作出二面角的平面角，再通过计算即可得二面角的余弦值. 【详解】（1）略； （2）结合(1)可得四棱锥的高， 因为为的中点，所以三棱锥的高为， 因为底面是直角梯形，，，且，， 所以 （3）因为为的中点，所以取的中点为，连接可知: ， 因为平面，所以平面, 取的中点为,连接,可知, 底面是直角梯形，，,，， 所以所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以, 又因为平面,所以平面， 因为平面，所以， 则就是二面角的平面角， ， 所以， 设二面角的平面角为，则, 所以， 即二面角的余弦值为 迁移应用1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 【答案】(1) 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以. (2)（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii） 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. 【详解】（1）略 （2）（i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 2．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 【答案】(1) 取的中点，连接，因为是的中点， 所以，且， 因为和都垂直平面，所以， 所以，且，所以为平行四边形， 所以， 因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为,面,面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以平面⊥平面； (2) 【分析】（1）利用线面垂直判断面面垂直； （2）将几何体分成两个三棱锥进行计算体积. 【详解】（1）略 （2）连接，设该几何体的体积为，则， ，所以， ， 所以. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 2．（福建省厦门市第二外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得两两成角，模都为1，以这三个向量为基底，进行向量数量积运算即可求解． 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 3．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先求得的坐标，然后根据垂直对应的坐标关系求得结果. 【详解】因为， 所以，所以， 故选：D. 4．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解判断①；作出截面并求出面积判断②；利用线面角的向量法列式求出范围判断③即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ,设，则 ，即，， 设平面的法向量为，则，取，得， 对于①，到平面的距离，①正确； 对于②，连接，在中，，面，面， 则面，同理面，而平面， 因此平面平面，即过点且平行于面的平面被正方体 截得的多边形为正，其边长为，面积为，②正确； 对于③，设直线与平面所成角为，则 ，由，得，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，③错误. 故选：C 5．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到平面距离的向量求法直接求解即可. 【详解】，点到平面的距离. 故选：A. 6．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 7．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 8．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）在四面体中，点满足，为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】在四面体中，点满足，为中点， 连接，则， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图像，建立空间直角坐标系，利用向量坐标计算直线与直线所成角的余弦值即可. 【详解】 因为由题意知两两垂直， 故分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 所以， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：A. 2．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于平面对称，值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可． 【详解】由题意知点关于对称的点的坐标为. 故选：. 3．（福建省南安市龙泉中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．点C到直线AB的距离为 D．三角形ABC的面积为 【答案】AC 【分析】对于选项A，先求向量的坐标，再根据数量积的坐标运算求解；对于选项B，先求向量与的夹角，再根据投影向量的计算方法求解；对于选项C，根据点到直线的距离计算公式求解；对于选项D，先求夹角，再求模，然后根据面积公式计算. 【详解】因为， 所以，所以选项A正确； ， 所以在方向上的投影向量为, 所以选项B错误； 在方向上的投影向量的长度， 点到直线的距离为，所以选项C正确； ， 的面积，所以选项D错误. 故选：AC 4．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合空间向量平行、垂直及模的坐标表示求解判断ABC；求出投影向量的模判断D. 【详解】对于A，，而，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，则，D正确. 故选：BD 5．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）下列说法错误的是（    ） A．若，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．设，，动点P满足，则动点P的轨迹为双曲线 D．一条光线从点射入，经x轴反射后，由点射出，则反射后光线所在的直线方程为 【答案】ABC 【分析】由向量共线反向可判断A，由可判断B，由双曲线的定义可判断C，由对称性可判断D. 【详解】对于A，当共线反向时，，此时向量的夹角是，故A错误， 对于B，因为，即共面，故B错误， 对于C，由双曲线的定义可知当P满足时，动点P的轨迹为双曲线， 而动点P满足，轨迹为双曲线的一支，故C错误； 对于D，点关于轴的对称点， 由对称性可知：反射后光线过，， 斜率为， 所以反射光线所在直线方程为：， 即，故D正确， 故选：ABC 6．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 【答案】AC 【分析】依据向量的坐标运算得出，利用向量的求模公式、向量平行的坐标关系、数量积的坐标运算逐一判断. 【详解】由题意得，， ， ， 则，故A正确； 因，故B错误； ，， 则，，故是平面的一个法向量，C正确； ，故D错误. 故选：AC 7．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知空间向量，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量在上的投影向量的坐标 【答案】BCD 【分析】利用空间向量的加法运算和模长公式判断A，C，利用空间向量数量积的坐标运算判断B，利用投影向量的坐标公式判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，由空间向量的模长公式得，故A错误， 对于B，因为，，所以，故B正确， 对于C，因为，，所以，故C正确， 对于D，由模长公式得， 由投影向量的坐标公式得，向量在上的投影向量的坐标如下， 为，故D正确. 故选：BCD 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量与立体几何 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一：空间直角坐标系的建立 考点二：空间向量的基本概念 考点三：空间向量的坐标运算 考点四 空间向量基本计算 05 重难题型突破 题型一 空间坐标系、对称点、基础坐标运算 题型二 基底表示向量、四点共面 题型三 数量积、平行垂直、投影向量 题型四 异面直线夹角 题型五 向量法处理法向量、线面角、点面距离 题型六 向量法处理二面角 题型七 综合大题：证明、动点存在性、翻折 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 高频考点：①空间直角坐标系中点坐标、对称点、距离计算；②向量线性运算（基底表示向量）；③向量数量积、平行垂直判定、投影向量；④四点共面判定；⑤求法向量；⑥三类空间角：异面直线所成角、线面角、二面角；⑦点到平面距离；⑧解答大题：建系证明平行垂直、求角、距离、动点存在性、翻折问题。 难度分布：基础题集中在坐标运算、向量平行垂直、简单求角；中档难点：基底法向量运算、四点共面、投影向量；压轴大题：几何体翻折、动点参数、是否存在型综合设问。 识记 记住空间直角坐标系右手系；点关于坐标平面、坐标轴、原点对称坐标规律；向量线性运算法则；共线向量定理、共面向量定理；向量数量积定义与坐标公式；异面直线角、线面角、二面角；点面距离公式。 理解 理解向量可以自由平移；区分基底与空间基底条件；理解共面向量定理推论；理解法向量含义；区分向量夹角和立体几何空间角；明白翻折问题中哪些长度角度不变，哪些发生改变。 应用 熟练写点、向量坐标，会基底表示向量；会用坐标 / 基底判定向量平行垂直；会利用共面向量定理判断四点共面；会求平面法向量；向量法求解异面直线角、线面角、二面角；计算点到平面距离；建系完成立体几何证明（线线、线面、面面平行垂直）；处理几何体动点、参数、存在性、翻折综合大题。 考点一：空间直角坐标系的建立 构成：在空间中取定点O（原点），作三条两两互相垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴。 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）； 右手系规则：右手握住z轴，四指从x轴正方向旋转指向y轴正方向，大拇指指向z轴正方向。 坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，共 3 个 xOy平面（由x,y轴确定） yOz平面（由y,z轴确定） xOz平面（由x,z轴确定） 卦限：三个坐标平面把空间分成8 个卦限。 空间任意一点M，对应唯一有序实数组，叫做点M的空间直角坐标； x：横坐标，y：纵坐标，z：竖坐标。 表格 点的位置 坐标特征 原点O x轴上的点 y轴上的点 z轴上的点 xOy平面内 yOz平面内 xOz平面内 设点P(x,y,z) 关于平面对称：（z变号，x,y不变） 关于平面对称：（x变号，y,z不变） 关于平面对称：（y变号，x,z不变） 关于x轴对称：（x不变，y,z变号） 关于y轴对称：（y不变，x,z变号） 关于z轴对称：（z不变，x,y变号） 关于原点O对称：（x,y,z全部变号） 记忆口诀：关于哪个坐标轴对称，哪个坐标不变，其余坐标取相反数；关于坐标平面对称，不在该平面的那个坐标变号。 考点二：空间向量的基本概念 空间向量定义：空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。 表示：；或者，A起点，B终点。 向量的模：向量的长度，记作、。 几类特殊向量 零向量：模长为0，方向任意；与任意向量平行。 单位向量：模长等于1的向量。 相等向量：大小相等，方向相同（起点可以不同）。 相反向量：大小相等，方向相反；。 共线向量（平行向量）：表示向量的有向线段所在直线平行或重合；。 注意：向量只看大小方向，和位置无关，可以自由平移。 1. 向量加法 三角形法则： 平行四边形法则：同起点两个向量，以它们为邻边作平行四边形，对角线为和向量。 2. 向量减法 ；共起点，指向被减向量。 3. 数乘向量 模长： 方向： 方向相同； 方向相反； ，零向量。 4. 线性运算运算律 ①交换律： ②结合律：； ③分配律： 共线向量定理（空间向量平行） 存在实数，使得。 空间中平行向量定理和平面完全一致；A,B,P三点共线。 共面向量定理： 如果不共线，则向量与共面存在实数x,y，使得 四点P,A,B,C共面等价条件：； 或。 空间向量的数量积（点积，内积） 向量夹角：，范围 ，两向量同向； ，两向量反向； ，。 数量积定义： ⚠结果是实数，不是向量！ 重要结论 ①；非零向量） ②，； ③。 数量积运算律 交换律 数乘结合： 分配律： ❗易错：不满足结合律，左右两边是不同方向向量。 考点三：空间向量的坐标运算 设 加减： 数乘： 数量积： 模： 夹角余弦： 平行垂直坐标条件 （对应坐标成比例） 向量坐标求法：若， 终点坐标减起点坐标。 考点四 空间向量基本计算 1四点共面的向量推论 已知A,B,C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件： 且 。 这个是高频推论，大题经常用来判断四点共面。 推导： 若P,A,B,C共面，则 整理：，令x=1-m-n,y=m,z=n，则。 ⚠注意条件：A,B,C不能三点共线。 2向量平行、垂直的坐标条件 设 平行（共线） 坐标对应成比例。 垂直（非零向量） 3空间角的向量计算公式 区分：向量夹角和立体几何角范围不一样！ 异面直线所成角 两异面直线方向向量 取绝对值！异面直线角不取钝角。 直线与平面所成角直线方向向量，平面法向量 二面角 两个平面法向量 关键：看图判断二面角是锐角还是钝角，决定结果取正还是取负。 4空间距离 点到平面距离：点P，平面内任取一点A，平面法向量 分子取绝对值。 线面距离、面面距离可以转化成点面距离。 题型一 空间坐标系、对称点、基础坐标运算 典例1 （福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 迁移应用1．（福建省长乐第五中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）若点是点在平面内的射影，则（   ） A． B． C． D． 题型二 基底表示向量、四点共面 典例1 （安徽省潜山市黄铺中学2025~2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在三棱柱中，，点为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 迁移应用1．（福建省泉州科技中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 2．（安徽省马鞍山市中加双语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 题型三 数量积、平行垂直、投影向量 典例1（安徽省鼎尖名校大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（A卷））已知，则在上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 迁移应用1．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量、不共面 2．（福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题）下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 题型四 异面直线夹角 典例1（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，设，，， (1)用、、表示，并求线段的长； (2)求直线和所成角的余弦值. 迁移应用1．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图1，在中，、分别为、的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. (1)求证：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，且，. (1)求的长； (2)若和分别为和中点，求异面直线与所成的角. 题型五 向量法处理法向量、线面角、点面距离 典例1 （福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E为棱的中点.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离. 迁移应用1．（福建省厦门市第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中阶段性检测数学试题）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 48．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是___________. 题型六 向量法处理二面角 典例1（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 迁移应用1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，M是棱的中点．    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)E为棱的中点，在棱上是否存在点F，使得∥平面？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由． 2．（福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，焦距为2，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方）.将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，. (1)求椭圆C的方程； (2)当时，求平面和平面所成角的余弦值； (3)是否存在，使得折叠后的周长为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型七 综合大题：证明、动点存在性、翻折 典例1（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求空间几何体的体积； (3)求二面角的余弦值. 迁移应用1．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. (1)求证：； (2)（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 2．（安徽省亳州市涡阳县第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题A）如图，为等边三角形，和都垂直平面，且，是的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求该几何体的体积． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（福建省厦门市第二外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知向量，，且与互相垂直，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.①三棱锥中，点到平面的距离为定值；②过点且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为；③直线与平面所成角的正弦值的范围为；以上命题为真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（福建省南平市建瓯市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）若点在平面内，且的一个法向量，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题）已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（安徽省池州市贵池区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题）在四面体中，点满足，为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）在直三棱柱中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（安徽省皖北七校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（福建省南安市龙泉中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．点C到直线AB的距离为 D．三角形ABC的面积为 4．（福建省厦门市海沧中学2025-2026学年高二上学期期中适应性练习数学试题）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 5．（福建省厦门市翔安第一中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题）下列说法错误的是（    ） A．若，则向量的夹角是钝角 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．设，，动点P满足，则动点P的轨迹为双曲线 D．一条光线从点射入，经x轴反射后，由点射出，则反射后光线所在的直线方程为 6．（安徽省合肥锦绣中学2025~2026学年高二上学期期中检测数学试题）已知向量，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．是平面的一个法向量 D． 7．（福建省三明市尤溪县第七中学等校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题）已知空间向量，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．向量在上的投影向量的坐标 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $