3.2.1单调性与最大(小)值课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值 ——函数的单调性 新课导入 一杯奶茶中加入一定的糖，未饱和状态下，糖加的越多，奶茶越甜。 我们知道，“记忆”在我们学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的变化规律. 新课导入 你能描述该曲线的规律吗？ 我们知道，“记忆”在我们学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的变化规律. 新课导入 乌鲁木齐一天24小时的气温变化图 请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的? 我们知道，“记忆”在我们学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的变化规律. 新课导入 数学模型函数 函数变化规律 把握客观世界 变化中的不变性就是性质， 变化中的规律性也是性质. 研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法. 新知探究 观察下面各个函数图象的特征，你能说说它们反映了相应函数的哪些性质吗？ 在初中，我们利用函数的图象研究过函数值随自变量增大而增大或减小的性质，这一性质叫做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质. 新知探究 先研究二次函数f(x)＝x2的单调性. 用符号语言描述，就是∀x1，x2∈(－∞，0]，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)这时我们就说函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减的. 思考2：你能类比二次函数f(x)＝x2在区间(－∞，0]上单调递减的刻画方法，给出一般函数y＝f(x)在区间I上单调递增的符号语言吗？ 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D. 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 1、单调递减的定义 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 归纳总结 思考3：类比单调递减的定义得出单调递增的定义. 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D. 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减. 1、单调递减的定义 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D. 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增. 2、单调递增的定义 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 思考4：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？ 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的“局部”性质．描述函数单调性，要说哪个函数、在哪个区间上，单调性怎样．允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间单调递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数． 归纳总结 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间. 3、单调性与单调区间 例如，二次函数f(x)＝x2在[0，＋∞)和(－∞，0]上具有单调性，单调增区间是[0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0]. 单调性是函数局部的性质 单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的“局部”性质．描述函数单调性，要说哪个函数、在哪个区间上，单调性怎样．允许函数在某些区间上单调递增，在另一些区间单调递减，只有在整个定义域上单调递增才能叫增函数． 例题解析 例1、如图是定义在闭区间[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间. 单调增区间为[－2，1)，[3，5]. 函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2，1)，[1，3)，[3，5]. 其中单调减区间为[－5，－2)，[1，3)， 单调性是函数局部的性质 注意： 1、区间的端点不影响区间的单调性，但要明确端点是否在定义域内. 2、当函数有多个单调区间时，不能写并集连接，要用“，”或者“和”隔开. you 随堂练习 1、反比例函数 是减函数吗？我们该怎么描述它的单调性？ 解：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上也单调递减. 但在整个定义域内不具备统一的单调性，所以，反比例函数 不是减函数. 有两个单调减区间：(－∞，0)和(0，＋∞). you 新知探究 思考4：函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？ 函数在区间(－∞，0)上单调递减；在区间[0，＋∞)上也单调递增. 函数在区间(－∞，0)上单调递增；在区间[0，＋∞)上也单调递减. 函数名称 一次函数 二次函数 反比例函数 解析式 定义域 图象 单调性 R R {x|x∈R，x≠0} k＞0 k＜0 a＞0 a＜0 k＞0 k＜0 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增 在 上单调递减， 在 上单调递增 在 上单调递增， 在 上单调递减 写出一次函数、二次函数和反比例函数的单调性： 随堂练习 2、根据单调性的定义，完成概念辨析: (1)若f(1)＜f(2)，则 f(x)在[1，2]上单调递增.（ ） (2)f(x)在R上单调递增，则f(－3)＜f(2).（ ） × √ y x O 1 2 f(1) f(2) you 例题解析 例2、根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性. 解：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R.∀x1，x2∈R且x1＜x2. f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b) ＝k(x1－x2) 由x1＜x2，得x1－x2＜0，所以 ①当k＞0时，k(x1－x2)＜0， 于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). 这时，函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函数； ②当k＜0时，k(x1－x2)＞0， 于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). 这时，函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是减函数. 取值 定号 变形 作差 下结论 you 证明：∀x1，x2∈(－∞，0)，x1＜x2， ∵x1＜x2＜0，∴x1x2＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函数 在区间(－∞，0)上单调递增. 随堂练习 3、根据定义证明函数f(x)＝4x－5是增函数. 4、证明函数 在区间(－∞，0)上单调递增. 证明：函数f(x)＝4x－5的定义域是R. ∀x1，x2∈R且x1＜x2， f(x1)－f(x2)＝(4x1－5)－(4x2－5) ＝4(x1－x2) 由x1＜x2，得x1－x2＜0，所以 4(x1－x2)＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函数f(x)＝4x－5是增函数. you 归纳总结 用定义证明函数的单调性的步骤: 1、取值：∀x1，x2∈D，且x1＜x2； 2、作差：f(x1)－f(x2)； 3、变形：向有利于判断差的符号的方向变形，通常是利用因式分解和配方，化为几个因式相乘或相除的形式； 4、定号：判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5、结论：指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 例题解析 例3、根据定义证明函数 在区间(1，＋∞)上单调递增. 证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2， ∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x1＞1，x2＞1，∴x1x2＞1，即x1x2－1＞0 又∴x1＜x2，得x1－x2＜0，于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴函数 在区间(1，＋∞)上单调递增. 对勾函数：增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)；减区间是(－1，0)，(0，1). you 例题解析 例4、物理学中的玻意耳定律 (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大，试用函数单调性证明之. 分析：按题意就是证明函数 在区间(0，＋∞)上是减函数. 证明：∀V1，V2∈(0，＋∞)，且V1＜V2，则 由V1，V2∈ (0，＋∞)且V1＜V2，得V1V2＞0, V2－V1＞0 又k＞0，于是p1－p2＞0，即p1＞p2 所以，函数 是减函数. 也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. 取值 定号 作差变形 结论 you $