精品解析：广东深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试数学试卷

深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试试卷 数 学 命题人：王渊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：D. 3. 一条光线从点射出，到点经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由光线反射的性质可知，点关于轴对称的点在反射光线上，又经过点，求出斜率，代入点斜式方程即可求出反射光线所在直线的方程. 【详解】由题可知，点关于轴对称的点，由光线反射的性质可知，点在反射光线上， 又点也在反射光线上，则斜率，所以由点斜式方程可得，即. 4. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 5. 已知圆，圆，两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 首先判断两圆的位置关系，再判断公切线条数. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，， 所以两圆相外切，公切线条数是3条. 故选：C 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 7. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则 .因为，所以.所以，.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线斜率判断A；利用垂直关系列式求解判断B；求出平行线间距离判断C；求出斜率范围，进而求出倾斜角范围判断D. 【详解】对于A，直线的斜率为，它的一个方向向量为，即，A正确； 对于B，由直线与直线相互垂直， 得，解得或，B错误； 对于C，直线，即，所求距离为，C正确； 对于D，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，解得或，D正确. 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据空间向量模长公式求解；选项B，根据空间向量垂直的坐标表示求解；选项C，向量夹角为钝角说明数量积小于，并且不能是平角；选项D，根据投影向量的公式求解. 【详解】对于选项A，若，则，解得，选项A错误； 对于选项B，若，则，解得，选项B正确． 对于选项C，若为钝角，则，解得， 且两向量夹角不能是平角，即两向量不共线，则，所以且，选项C错误； 对于选项D，在上的投影向量为，则，解得，故选项D正确． 11. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形面积为 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 选项A，图象关于直线对称，即对图象上任意一点，满足也在图象上；选项B，根据图象对称性，可画出图象，进而求面积；选项C，求出曲线上离圆心最远的距离，就是能覆盖曲线的圆的半径的最小值；选项D，可对曲线方程化简求得的取值范围. 【详解】对于选项A，曲线上任意一点满足， 该点关于直线的对称点有，满足曲线方程， 即曲线上任意一点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确； 对于选项B，因为点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于轴，轴对称， 当时，曲线的方程可变形为， 表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 根据曲线的对称性，可画出如下图象, 所以曲线围成的图形面积是，B正确； 对于选项C，曲线上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线，则，C错误； 对于选项D，点在曲线上，则，变形得 则有，即，解得，而，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 【答案】0 【解析】 【详解】 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 13. 直线l：被圆C：截得的弦长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出圆心及半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式即可得解. 【详解】圆C：的圆心为，半径， 圆心到直线l：的距离为， 所以弦长为. 故答案为：2. 14. 是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，依题意可得，即可得到，从而表示出的坐标，再根据数量积的坐标运算计算可得； 【详解】设，，则，即，解得， 所以，，则，， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求的外接圆的方程； （2）若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【小问1详解】 由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示． 故，圆的半径， 所以外接圆的方程为． 【小问2详解】 当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即． 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为． 将代入，得，解得，所以的方程为． 16. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面; （2）若直线平面，求平面与平面的夹角的大小. 【答案】（1） 因为，所以，连接． 因为，所以， 在中，，所以，平面，平面， 故平面， 又在四边形ABCD中，， 所以，平面，平面， 故平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接．分别证明平面，平面，即可证明平面平面，根据面面平行的性质，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， 因为平面，平面，所以， 平面，所以，即两两垂直． 以分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系． 则， ， 设平面的法向量，则， 可取为平面的一个法向量， 设平面的法向量，则， 可取为平面的一个法向量， 所以，，所以， 所以平面与平面的夹角的大小为． 17. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 【答案】（1）米 （2）在弧中点位置时，的面积最大，最大值为平方米 【解析】 【分析】（1）因为能得出的度数，在里用余弦定理列出关于的方程，求解方程并根据确定. （2）设，由平行得，在用正弦定理求出，进而得到面积表达式.把面积表达式化简为含三角函数的形式，根据三角函数性质求最大值，确定值，得出的位置. 【小问1详解】 由，故 ， 在中，由余弦定理可得 ， 故，即 . 解得，因为，所以 故长为米； 【小问2详解】 由题可设，， 由，故，又， 在中，由正弦定理得，即， 则， 令 ， 当，即时，有， 所以 ，此时位于的中点. 所以当位于的中点时，的面积最大，最大值为平方米. 18. 已知圆． （1）若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 【答案】（1）或； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据给定条件确定圆心到直线的距离范围，再按直线斜率是否存在分类，结合点到直线距离公式求解. （2）①利用切线长定理及点到直线距离公式求出最小值；②利用对称思想，结合线段和的最小值问题求解. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为， 由圆C上恰有三个点到直线的距离相等，得，又直线过点， 当的斜率不存在时，点到直线的距离为1，的方程可以为； 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， ，的方程为， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 ①由直线与圆C相切，得，则当最小时，最小， 当且仅当与直线垂直时，最小值等于点C到直线的距离， 即，所以． ②记关于直线的对称点为，由，解得，即， 因此， 当且仅当点共线时，最小， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 在四棱锥中，平面平面，， 平面，平面平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）①； ② 如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上， 由，得，所以， 所以， 又得，，所以，， 由得，即， 亦即（*）， 因为，所以方程（*）无实数解， 所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）①建立空间直角坐标系，设，求得，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列式，即可求得线段的长. ②由题意，从而得，由得（*），因为方程（*）无实数解，故不存在点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示直角空间坐标系， 设，则，由，，，， 则，， 因，则，，且 所以，， ①设平面的法向量为，由，， 得：，可取， 设直线与平面所成角为，， 则有：， 即，化简得：， 解得或， 又因为，即，所以，即； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市松岗中学2025-2026学年第一学期高二年级期中考试试卷 数 学 命题人：王渊 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 已知，，且，则（ ） A. -6 B. 5 C. 4 D. 6 3. 一条光线从点射出，到点经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，两圆公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为 C. 直线与直线之间的距离为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 11. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的图形面积为 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若点在曲线上，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 如图，长方体中，，，、、分别是，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ______ 13. 直线l：被圆C：截得的弦长为_________． 14. 是函数图象上任意一点，过向直线和轴分别作垂线，垂足分别为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、. （1）求的外接圆的方程； （2）若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，. （1）证明:平面; （2）若直线平面，求平面与平面的夹角的大小. 17. “堆云积雪，芳华绝代”，春天的上海，是玉兰花的盛宴．除市花白玉兰外，还有黄玉兰和紫玉兰等品种．某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰．已知扇形的半径为30米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在线段上，且． （1）当米时，求的长； （2）当点在什么位置时，白玉兰种植区的面积最大，并求出此时的最大值． 18. 已知圆． （1）若直线过点，且圆C上恰有三个点到直线的距离相等，求直线的方程； （2）点为直线上的动点，点为圆上的动点， ①若直线与圆相切，求的最小值； ②若为坐标原点，求的最小值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，. （1）求证：平面平面； （2）设. ①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. ②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $