期中复习03 函数的概念与性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

领先高考培优课程 期中复习03 函数的概念与性质 目录 模块一 函数的定义域 1 模块二 函数的解析式与值域 3 模块三 函数的单调性 11 模块四 函数的奇偶性 14 模块五 函数性质综合 18 模块六 幂函数 22 模块一 函数的定义域 知 识 点 睛 考点一、定义域的求解：（x的取值范围，有以下4个注意点） 1.分母不为0；2.开偶次方根时，根号里面大于等于0；3. 无意义；4.对数的真数部分大于0 考点二、抽象函数定义域的求解：（1）定义域就是x的范围；（2）同一对应法则下范围一致 热 点 题 型 归 纳 【例1】若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则，即，解得，所以函数的定义域为. 故答案为：. 【练习1】（单选）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【练习2】（单选）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，，解得且， 则函数的定义域是． 故选：C． 【练习3】已知的定义域为，求的定义域___________。 【答案】 【解析】由题可知,则，又因为“”与“”范围一致，所以,所以 模块二 函数的解析式与值域 知 识 点 睛 考点一、求解析式 ①待定系数法：已知的函数类型时，设函数表达式，在代点求解； eg.已知为幂函数，过点（3,9），可设，，所以a=2 ②换元法：设新元t，写新元范围，把x用t表示，代回求，最后t改写成x ，求。令t=，， 考点二、值域 分析函数值域的一般思路：①求定义域；②分析奇偶性；③分析单调性；④看是否有特殊的点（定点、零点）特殊的线（对称轴、渐近线等）可以把函数的大致图像画出，方便我们求值域 （1） 型（当ab>0为对勾函数,ab<0为飘带函数） Eg.：①定义域为{x|x≠0}；②奇函数； ③顶点坐标为（1,2）； ④在0<x<1上f(x)单调递减，x>1上，f(x)单调递增，由此可以画图： Eg.： ①定义域为{x|x≠0}；②f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称③单调性：x>0时，x单调递增，单调递减，因为，所以f(x)单调递增；④f(x)=0时，解得x=1，所以f(x)必过点（1,0），由此可以画图： （2） 型（分离常数法） 所以为 右移1个单位，上移3个单位平移得到。定义域：{x|x≠1}，值域：{y|y≠3} 热 点 题 型 归 纳 【例2】（单选）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】令，则，所以， 所以. 【练习4】（单选）已知函数，若，则实数之值（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】令，则，所以，由，解得. 故选：D． 【练习5】（多选）下列各选项给出的命题中，正确的有（ ） A. 的解集为 B. 已知的定义域为，则的定义域为 C. 化简结果为 D. 若为一次函数，满足，则 【答案】BC 【解析】选项A,分式不等式等价于，解得,故A错误； 选项B，已知定义域为，则满足，解得，故B正确； 选项C，由二次根式有意义得，即， 因此： ，故C正确。 选项D，设一次函数，则， 可得： ，解得或，即或，故D错误. 【练习6】（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 【答案】ABC 【解析】对于A：要使函数有意义，则，解得，所以A正确； 对于B：因，令，得， ，再以换，得，故B正确； 对于C：因的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D：因不等式的解集为，所以方程的解为和3， 所以，得代入，化简得， 进而得或，解得，所以D错误. 故选：ABC. 判断同一函数：函数的定义域与解析式相同即可。 【例3】（单选）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】对于A, 的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一函数，A错误， 对于B，，，两个函数相同，故B正确， 对于C, 两个函数的对应关系不相等，故不是同一个函数，C错误， 对于D, 的定义域为，的定义域为，定义域不相等，不是同一函数，D错误， 故选：B 【练习7】（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 函数与函数为同一个函数 B. 若的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值为2 【答案】BC 【解析】对于A，函数定义域为，函数的定义域为，故不是同一个函数，错误； 对于B，由的定义域为，得，即，故的定义域为，正确； 对于C，，故的值域为，正确； 对于D，函数当且仅当，即时等号成立，显然等号不成立，故错误； 故选：BC 【练习8】（多选）下列命题是正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得或，所以定义域为，正确； 对于B，定义域为，定义域为， 所以与不是同一个函数，错误； 对于C，，解得，正确； 对于D，因为，所以， 又，所以，正确． 情景题在阅读时首先要确定x和y的含义，再从题中找它们的关系。 【例4】（单选）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离，条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 【练习9】（单选） 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用（10,6）和（11,7）表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（ ） A. 该月12日是星期二，有五天是星期二 B. 该月12日是星期一，有四天是星期二 C. 该月23日是星期六，有五天是星期六 D. 该月23日是星期二，有四天是星期二 【答案】C 【解析】由题意及可知，7月4日是星期一，列表如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 可知选项C正确.故选：C. 【例5】（单选）函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为指数函数，所以． 【练习10】（多选）以下命题正确的是（ ） A. 函数与函数是相同的函数. B. 函数 是定义域上的单调递减函数. C. 函数的定义域和值域相等. D. 如果函数的定义域为，那么函数的定义域是. 【答案】AC 【解析】函数与函数的定义域及对应关系均相同，是相同的函数，故A正确； 函数的定义域为，而， 因为且，可知在定义域上不是单调递减函数，故B错误； 函数的定义域为，，显然，则值域为，故函数的定义域和值域相等，故C正确； 如果函数的定义域为，那么函数有意义，需满足， 解得，则函数的定义域是，故D错误， 故选：AC . 【练习11】函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是 ，最小值是6． （换元法） 【例6】若，则函数的值域为___________. 【答案】 【解析】解：令（），则，所以， 因为抛物线开口向下，，所以当时，取得最大值，所以函数的值域为， 故答案为： 【练习12】（单选）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【解析】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 模块三 函数的单调性 知 识 点 睛 ①掌握定义法判断证明函数的单调性：取值->作差->变形->定号->下结论 ②熟悉常见函数的单调性： 一次函数看a，a>0在R上单调递增，a<0在R上单调递减； 二次函数，一看开口，二看轴 反比例函数看k，k>0在上单调递减， k<0，在递增。 ③复合函数：同增异减 （1）增减相同，区别是要求； （2） 与增减相反； （3） 与，分段来看，>0，两个函数增减相反，<0，两个函数也增减相反。 （4）和，当时，函数与增减相同，当时，与增减相反；与对数函数复合要留意先求定义域再求单调区间。 ④ 热 点 题 型 归 纳 【例7】已知函数，用定义法证明：在单调递增. 【解析】（1）对任意且， ， 因为，，，所以，即， 所以在单调递增. 【练习13】（单选）下列函数中，在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数为一次函数且斜率，所以在上单调递增，A选项错误； 函数在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； ，因为幂函数在上单调递增， 在上单调递减，C选项正确； ，在和上单调递增，在和上单调递减，D选项错误. 故选：C. 【练习14】已知函数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【解析】函数在上单调递增，证明如下： ，且，则， 因为，所以，，则， 所以，即， 所以，函数在上单调递增. 【练习15】已知函数，且定义域为．利用单调性定义证明：在上单调递减； 【答案】见解析 【解析】证明：取，规定，则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. 【练习16】已知函数定义在上的函数，判断的单调性，并用定义法证明你的结论； 【解析】在上单调递增，证明如下： 取任意，且，则 因为，所以，，， 所以 ，所以，即， 因此在上单调递增. 【例8】函数的单调增区间为 ． 【答案】 【解析】函数的定义域是， 在定义域内函数的单调增区间是，而函数的单调增区间就是在定义域内函数的增区间，所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 【练习17】（单选）函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】令，解得且，所以函数的定义域为，又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，.故选：B 模块四 函数的奇偶性 知 识 点 睛 考点①根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出. 考点②会根据函数的奇偶性求参数: （1）若函数为奇函数，先看定义域是否包括0，含0可以用;若二次函数为偶函数，则b=0； （2）若上，函数具有奇偶性，则； （3）若已知函数为奇偶性，可以考虑在定义域内取特殊值代入列方程求参； （4）解答题中，可以用判断函数奇偶性的定义式来化简求参； 热 点 题 型 归 纳 【例9】（单选）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题可知，时，，取，则，， 由奇函数性质可得：. 故选：A 【练习18】已知函数，且定义域为．判定函数的奇偶性； 【答案】函数为奇函数 【解析】证明如下：因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数. 【练习19】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，， 设，则，则，所以.综上所述，. 故答案为： 【练习20】已知函数是上的偶函数，当，，求函数的解析式； 【答案】 【解析】当时，则，由题意可得： ， 所以函数的解析式为. 【例10】（单选）函数是奇函数，，已知，则的值为（ ） A. －6 B. －3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】，则， 由于是奇函数，则，， 则， 故选：D. 【练习21】（单选） 已知为偶函数，当时，，则的值为（ ） A. -10 B. 6 C. -6 D. 10 【答案】D 【解析】，故， 为偶函数，， 故选：D. 【练习22】已知函数是奇函数.求实数的值； 【答案】 【解析】因为是奇函数，则其定义域关于原点对称，即，则，经验证，，故满足题意. 【练习23】已知奇函数，求实数a的值； 【答案】1 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，所以， 检验：当时，，因为，故满足题意. 【练习24】已知函数是定义在上的偶函数，，求的值及的解析式； 【答案】， 【解析】，化简得：，整体换元：令， 有，解得或（舍），， 因为偶函数定义域关于原点对称，所以；故 【练习25】已知函数是定义在上的奇函数，且.求实数的值； 【答案】， 【解析】由题意可知，故，又由可得，解得； 此时定义域为，关于原点对称，且，故是定义在上的奇函数，满足题意，所以. 模块五 函数性质综合 知 识 点 睛 分析函数步骤：1.求定义域，2.看奇偶性，3看单调性，4.画函数草图，求解不等式 若f(x)为R上偶函数，且x>0上，f(x)单调递增，f(a)>f(b)=>|a|>|b|；（解绝对值不等式，可以直接平方求解）加绝对值可避免分类讨论。 热 点 题 型 归 纳 【例11】（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】对于A，因为，所以是奇函数，又根据对勾函数性质，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，因为，所以是奇函数，又因为函数、在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以是偶函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，而，函数在上单调递减，所以在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 【练习26】（单选） 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 对于A，函数图象关于原点对称是奇函数，故A错误； 对于B，幂函数在上单调递减， 又，，故是偶函数，故B正确； 对于C，指数函数没有奇偶性，故C错误； 对于D，函数在上单调递增，故D错误. 故选：B. 【练习27】（多选）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为，， 是奇函数，D不是. 故选：BC 【例12】（单选）已知是偶函数且在区间上单调递增，若，那么的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】是偶函数且在区间上单调递增，， 所以在区间上单调递减，，所以当或时，； 当或时，，或， 所以或，即的解集为. 故选：D. 【练习28】（单选）已知奇函数的定义域为R，当时，为增函数，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当时，为增函数，且，所以可转化为， 所以的解集为，又为奇函数，所以，即， 当时，为增函数，所以转化为，所以的解集为， 因为为R上的奇函数，所以，所以的解集为； 故选：B 【例13】已知函数是R上的偶函数，当，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】因为的开口向下，对称轴为，可知函数在内单调递增，且函数是R上的偶函数，可知函数在内单调递减， 若，则，整理可得，解得或， 所以实数的取值范围为. 【练习29】已知函数，且定义域为． （1）判定函数的奇偶性；（奇函数） （2）利用单调性定义证明：在)上单调递减；（直接看第三问） （3）解关于m的不等式． 【答案】 【解析】因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由，所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以，解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 【练习30】已知函数的定义域为，求使成立的实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题可知，是在上单调递增的奇函数， 所以由可得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 【例14】已知满足恒成立，则k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】因为定义域为R，又， 所以为奇函数，又当时，则在上单调递增， 则在上单调递增，又为连续函数，所以在R上单调递增； 因为恒成立，所以恒成立，即恒成立， 当时恒成立，所以符合题意； 当时，则，解得； 综上可得的取值范围是. 【练习31】已知是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】 【解析】在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递增， 因为奇函数，则在上单调递增， 又当时，；，则在R上单调递增， 因恒成立，且为奇函数， 则恒成立， 所以对，恒成立，即恒成立， 所以，得，` 则m的取值范围为. 模块六 幂函数 知 识 点 睛 一般幂函数的共性规律（解题利器） ①定义域： 遇到分母为偶数的最简分数指数幂（如 ）要符合；负指数幂（如 ），要注意 ②奇偶性： 对于,a是奇数，函数为奇函数；a是偶数，函数为偶函数； 对于 来说，先看分母n， · 当n为偶数时，分子为偶数，函数为偶函数，分子为奇数，函数非奇非偶（定义域不对称！）； · 当n为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，分子为偶数，函数为偶函数。 ③单调性：因为函数的奇偶性刚分析完，所以只需分析x>0部分的单调性即可； · 当a>0时，函数在上单调递增： a. 当a>1时，函数增长越来越快，x>0时与形状类似； b. 当0<a<1时，函数图像与形状类似，增长越来越慢 · 当a<0时，函数在上单调递减。（x>0时，图像与 形状类似） ④定点：所有的幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 。 当a>0时，都过原点，a<0时，不过原点。（是否过原点可用来区分a的正负） 任何幂函数的图象都不过第四象限。 熟悉幂函数的性质后，无论a值是多少，我们都可以把相应的幂函数图像画出来！ 热 点 题 型 归 纳 【例15】若幂函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】3 【解析】因为函数为幂函数，且在区间上单调递减， 所以，，解得. 故答案为：3. 【练习32】（单选）已知幂函数在定义域上单调递增，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵函数为幂函数， 所以，解得或； 当时，，在定义域R上单调递增，满足题意； 当时，，在定义域上不是单调递增函数，不满足题意。 综上，故选：B. 【例16】（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【解析】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 【练习33】已知幂函数（α是常数）满足，则________. 【答案】5 【解析】由，得，解得，，故. 故答案为：5. 【练习34】（单选）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（ ） A. B. C. - D. 【答案】D 【解析】由幂函数在单调递减，可得指数， 因此排除指数为正的选项A，B，再由图像关于轴对称，说明是偶函数， 对于C：，，定义域为， 因为，所以是奇函数，关于原点对称，故C不符合要求， 对于D：，，定义域为， 因为，所以是偶函数，关于轴对称，因此答案选D. 【练习35】（单选）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在R上单调递减 B. 的图象关于y轴对称 C. 的图象过点 D. 【答案】D 【解析】由于的定义域为，故ABC错误， 为上的单调递减函数，故，D正确， 故选：D 【例17】幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 【答案】（1），值域为 （2）34 【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得或, 所以或.由图知在第一象限的图象是曲线，不是直线，所以. 所以的定义域为，值域也为. （2）由（1）知，由得. 所以 【练习36】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________ 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，所以设，由所以. 又在上单调递增，所以. 故所求不等式的解集为. 故答案为： 【练习37】已知函数为奇函数，幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，若，则___________． 【答案】3 【解析】因为幂函数在区间上单调递减，所以，解得 ， 因为 ，所以 或 或 ， 当时，是奇函数，不符合题意；当时， 是偶函数，符合题意； ，是奇函数，不符合题意；则，，因为， 所以，因为函数为奇函数，所以，所以， 故答案为：3 课后作业 1.（多选） 下列命题正确的是（ ） A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数与函数是同一个函数 C. 若函数在单调递减，则实数的取值范围为 D. 若奇函数在上单调递增，且满足，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】因为的定义域为，所以，所以的定义域为， 又，解得，所以的定义域为，故A正确； 令，解得，令，解得或， 所以函数的定义域为，的定义域为， 所以与的定义域不同，则不是同一个函数，故B错； 因为函数在上单调递减，所以，解得，故C正确； 可整理为， 因为单调递增，所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 2. （多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. 为增函数 D. 函数为偶函数 【答案】BCD 【解析】因为幂函数的图像经过点，所以， 所以， 对于A，因为定义域关于原点不对称，所以不为偶函数，故A错误； 对于BC，因为，所以在单调递增， 所以当，则，故BC正确； 对于D，定义域为R，，所以为偶函数，故D正确． 3 （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知不等式的解集为，则， 【答案】ABD 【解析】对于A：当时，在定义域R上单调递增，所以， 又，所以，故A正确； 对于B：因为，又， 所以与的定义域均为R，且解析式一致，故与是同一函数，故B正确； 对于C：的单调递减区间为，故C错误； 对于D：因为不等式的解集为， 所以、为关于x的方程的两解， 所以，解得，故D正确. 故选：ABD 4. 已知函数，若关于x的不等式在上有解，求m的取值范围. 【答案】 【解析】关于x的不等式在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，即在上有解， 因为， 所以当时，， 所以. 5. 已知函数，判断函数的单调性，并用定义证明； 【答案】是R上的单调增函数，证明见解析 【解析】是R上的增函数，证明如下：设任意，，， 因为 所以， ，∴，，， ， ∴是R上的单调增函数． 6. 已知函数，.判断在上的单调性并用定义加以证明； 【答案】在上是增函数. 【解析】证明如下：在内任取两个数，且， ， ，，，， ，，， 在上是增函数； 7. 已知是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求k的值，并写出当时的解析式； （2）当时，求不等式的解集； 【答案】（1）； （2）； 【解析】（1）是定义在R上的奇函数，， 时，，，； 设，则， 时，，， 是定义在R上的奇函数，，， ∴当时，的解析式为； （2），， ，，， ，，， ，，，， ，，，不等式的解集为； 8. 已知函数定义域为； （1）判断在上的单调性（要求写出单调区间），用定义证明单调性； （2）若在定义域内恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】（1）在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取， ， ，所以， ，即在上单调递减； 同理，任取， ，∴， ，即在上单调递增； （2）由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 则在定义域中的最小值为，即恒成立，即， ∴. 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $领先高考培优课程 期中复习03 函数的概念与性质 目录 模块一 函数的定义域 1 模块二 函数的解析式与值域 2 模块三 函数的单调性 6 模块四 函数的奇偶性 8 模块五 函数性质综合 10 模块六 幂函数 13 模块一 函数的定义域 知 识 点 睛 考点一、定义域的求解：（x的取值范围，有以下4个注意点） 1.分母不为0；2.开偶次方根时，根号里面大于等于0；3. 无意义；4.对数的真数部分大于0 考点二、抽象函数定义域的求解：（1）定义域就是x的范围；（2）同一对应法则下范围一致 热 点 题 型 归 纳 【例1】若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【练习1】（单选）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【练习2】（单选）函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【练习3】已知的定义域为，求的定义域___________。 模块二 函数的解析式与值域 知 识 点 睛 考点一、求解析式 ①待定系数法：已知的函数类型时，设函数表达式，在代点求解； eg.已知为幂函数，过点（3,9），可设，，所以a=2 ②换元法：设新元t，写新元范围，把x用t表示，代回求，最后t改写成x ，求。令t=，， 考点二、值域 分析函数值域的一般思路：①求定义域；②分析奇偶性；③分析单调性；④看是否有特殊的点（定点、零点）特殊的线（对称轴、渐近线等）可以把函数的大致图像画出，方便我们求值域 （1） 型（当ab>0为对勾函数,ab<0为飘带函数） Eg.：①定义域为{x|x≠0}；②奇函数； ③顶点坐标为（1,2）； ④在0<x<1上f(x)单调递减，x>1上，f(x)单调递增，由此可以画图： Eg.： ①定义域为{x|x≠0}；②f(-x)=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称③单调性：x>0时，x单调递增，单调递减，因为，所以f(x)单调递增；④f(x)=0时，解得x=1，所以f(x)必过点（1,0），由此可以画图： （2） 型（分离常数法） 所以为 右移1个单位，上移3个单位平移得到。定义域：{x|x≠1}，值域：{y|y≠3} 热 点 题 型 归 纳 【例2】（单选）已知，则（ ） A. B. C. D. 【练习4】（单选）已知函数，若，则实数之值（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【练习5】（多选）下列各选项给出的命题中，正确的有（ ） A. 的解集为 B. 已知的定义域为，则的定义域为 C. 化简结果为 D. 若为一次函数，满足，则 【练习6】（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 判断同一函数：函数的定义域与解析式相同即可。 【例3】（单选）下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【练习7】（多选）下列命题中为真命题的是（ ） A. 函数与函数为同一个函数 B. 若的定义域为，则的定义域为 C. 函数的值域为 D. 函数的最小值为2 【练习8】（多选）下列命题是正确的是（ ） A. 函数的定义域是 B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 情景题在阅读时首先要确定x和y的含义，再从题中找它们的关系。 【例4】（单选）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 【练习9】（单选） 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用（10,6）和（11,7）表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（ ） A. 该月12日是星期二，有五天是星期二 B. 该月12日是星期一，有四天是星期二 C. 该月23日是星期六，有五天是星期六 D. 该月23日是星期二，有四天是星期二 【例5】（单选）函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【练习10】（多选）以下命题正确的是（ ） A. 函数与函数是相同的函数. B. 函数 是定义域上的单调递减函数. C. 函数的定义域和值域相等. D. 如果函数的定义域为，那么函数的定义域是. 【练习11】函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． （换元法） 【例6】若，则函数的值域为___________. 【练习12】（单选）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 模块三 函数的单调性 知 识 点 睛 ①掌握定义法判断证明函数的单调性：取值->作差->变形->定号->下结论 ②熟悉常见函数的单调性： 一次函数看a，a>0在R上单调递增，a<0在R上单调递减； 二次函数，一看开口，二看轴 反比例函数看k，k>0在上单调递减， k<0，在递增。 ③复合函数：同增异减 （1）增减相同，区别是要求； （2） 与增减相反； （3） 与，分段来看，>0，两个函数增减相反，<0，两个函数也增减相反。 （4）和，当时，函数与增减相同，当时，与增减相反；与对数函数复合要留意先求定义域再求单调区间。 ④ 热 点 题 型 归 纳 【例7】已知函数，用定义法证明：在单调递增. 【练习13】（单选）下列函数中，在定义域内为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【练习14】已知函数，判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【练习15】已知函数，且定义域为．利用单调性定义证明：在上单调递减； 【练习16】已知函数定义在上的函数，判断的单调性，并用定义法证明你的结论； 【例8】函数的单调增区间为 ． 【练习17】（单选）函数的单调递增区间是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 模块四 函数的奇偶性 知 识 点 睛 考点①根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出. 考点②会根据函数的奇偶性求参数: （1）若函数为奇函数，先看定义域是否包括0，含0可以用;若二次函数为偶函数，则b=0； （2）若上，函数具有奇偶性，则； （3）若已知函数为奇偶性，可以考虑在定义域内取特殊值代入列方程求参； （4）解答题中，可以用判断函数奇偶性的定义式来化简求参； 热 点 题 型 归 纳 【例9】（单选）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【练习18】已知函数，且定义域为．判定函数的奇偶性； 【练习19】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 【练习20】已知函数是上的偶函数，当，，求函数的解析式； 【例10】（单选）函数是奇函数，，已知，则的值为（ ） A. －6 B. －3 C. 5 D. 7 【练习21】（单选） 已知为偶函数，当时，，则的值为（ ） A. -10 B. 6 C. -6 D. 10 【练习22】已知函数是奇函数.求实数的值； 【练习23】已知奇函数，求实数a的值； 【练习24】已知函数是定义在上的偶函数，，求的值及的解析式； 【练习25】已知函数是定义在上的奇函数，且.求实数的值； 模块五 函数性质综合 知 识 点 睛 分析函数步骤：1.求定义域，2.看奇偶性，3看单调性，4.画函数草图，求解不等式 若f(x)为R上偶函数，且x>0上，f(x)单调递增，f(a)>f(b)=>|a|>|b|；（解绝对值不等式，可以直接平方求解）加绝对值可避免分类讨论。 热 点 题 型 归 纳 【例11】（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【练习26】（单选） 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A. B. C. D. 【练习27】（多选）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【例12】（单选）已知是偶函数且在区间上单调递增，若，那么的解集为（ ） A. B. C D. 【练习28】（单选）已知奇函数的定义域为R，当时，为增函数，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【例13】已知函数是R上的偶函数，当，，若，求实数的取值范围. 【练习29】已知函数，且定义域为． （1）判定函数的奇偶性；（奇函数） （2）利用单调性定义证明：在)上单调递减；（直接看第三问） （3）解关于m的不等式． 【练习30】已知函数的定义域为，求使成立的实数的取值范围. 【例14】已知满足恒成立，则k的取值范围是__________. 【练习31】已知是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 模块六 幂函数 知 识 点 睛 一般幂函数的共性规律（解题利器） ①定义域： 遇到分母为偶数的最简分数指数幂（如 ）要符合；负指数幂（如 ），要注意 ②奇偶性： 对于,a是奇数，函数为奇函数；a是偶数，函数为偶函数； 对于 来说，先看分母n， · 当n为偶数时，分子为偶数，函数为偶函数，分子为奇数，函数非奇非偶（定义域不对称！）； · 当n为奇数时，分子为奇数，函数为奇函数，分子为偶数，函数为偶函数。 ③单调性：因为函数的奇偶性刚分析完，所以只需分析x>0部分的单调性即可； · 当a>0时，函数在上单调递增： a. 当a>1时，函数增长越来越快，x>0时与形状类似； b. 当0<a<1时，函数图像与形状类似，增长越来越慢 · 当a<0时，函数在上单调递减。（x>0时，图像与 形状类似） ④定点：所有的幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 。 当a>0时，都过原点，a<0时，不过原点。（是否过原点可用来区分a的正负） 任何幂函数的图象都不过第四象限。 熟悉幂函数的性质后，无论a值是多少，我们都可以把相应的幂函数图像画出来！ 热 点 题 型 归 纳 【例15】若幂函数在区间上单调递减，则___________. 【练习32】（单选）已知幂函数在定义域上单调递增，那么（ ） A. B. C. D. 【例16】（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【练习33】已知幂函数（α是常数）满足，则________. 【练习34】（单选）已知幂函数在单调递减，且其图像关于y轴对称，则m可以是（ ） A. B. C. - D. 【练习35】（单选）已知幂函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在R上单调递减 B. 的图象关于y轴对称 C. 的图象过点 D. 【例17】幂函数在第一象限的大致图象如图所示. （1）求的解析式，并写出其值域； （2）若，求的值. 【练习36】已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________ 【练习37】已知函数为奇函数，幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，若，则___________． 课后作业 1.（多选） 下列命题正确的是（ ） A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数与函数是同一个函数 C. 若函数在单调递减，则实数的取值范围为 D. 若奇函数在上单调递增，且满足，则的取值范围为 2. （多选）若幂函数的图像经过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 若，则 C. 为增函数 D. 函数为偶函数 3 （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 和表示的是同一个函数 C. 函数的单调递减区间是 D. 已知不等式的解集为，则， 4. 已知函数，若关于x的不等式在上有解，求m的取值范围. 5. 已知函数，判断函数的单调性，并用定义证明； 6. 已知函数，.判断在上的单调性并用定义加以证明； 7. 已知是定义在R上的奇函数，当时，. （1）求k的值，并写出当时的解析式； （2）当时，求不等式的解集； 8. 已知函数定义域为； （1）判断在上的单调性（要求写出单调区间），用定义证明单调性； （2）若在定义域内恒成立，求实数t的取值范围. 23 目标双一流 学科网（北京）股份有限公司 $