黑龙江哈尔滨市第一二二中学校2026-2027年度上学期10月月考考试高三数学试题

哈一二二中学2026—2027年度上学期月考考试 高三数学试题 考试时间：2026年10月8日 时长：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，函数，若存在两个不同零点，则的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C．点是的一个对称中心 D．的图象向左平移个单位得到的图象关于轴对称 10．已知数列满足，则（ ） A． B．的前项和为 C．的前项和为 D．若数列满足，则的前项和为 11．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．若，则下列说法正确的是（ ） A． B．的一个周期为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围为 ． 13．锐角满足，则 ． 14．设数列满足（）．若，则 ；若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，，． （1）求出的解析式，并写出的最小正周期； （2）令，求的单调递减区间． 16．（15分）已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求的通项公式和前项和． 17．（15分）在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的取值范围． 18．（17分）成为一个平静的人究竟要流多少眼泪？记正整数为流泪的次数，第次流泪带来的情绪平复值为，前次流泪的累计总平复值为数列的前项和．已知，且对任意正整数，满足；当累计总平复值时，人达到完全平静的状态，即成为一个平静的人． （1）求数列的通项公式； （2）求，并证明：对任意正整数，； （3）求达到完全平静状态所需的最小流泪次数． 19．（17分）已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，设，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $