3.5.4 切线长定理与三角形的内切圆专项练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

3.5.4 切线长定理与三角形的内切圆 专项练习答案解析 一、单选题 1、A 解析： 是 的内心， 平分 ， 平分 。 ，。 。 2、D 解析：圆心 ，半径 。 圆心到 轴距离为纵坐标 ，，圆与 轴相离； 圆心到 轴距离为横坐标 ，距离等于半径，所以圆与 y 轴相切。 3、D 解析： 是 的切线，所以 ，。 四边形 内角和为 ： 。 对应圆心角 ，而 是半圆 ，所以 。 圆周角等于所对弧度数的一半：。 4、B 解析：由切线长定理：；，。 。 5、D 解析：连接 。 切 于 ， 所以 ， 垂直平分 。 是等边三角形，边长为 ，所以 。设 交 于 ，则 。 等边三角形的高：。 设 ，。在 中：　① 。在 中：　② 把①代入②并化简：，得 。 再代入①：，所以 。 6、C 解析：设 的内切圆与 切于 ，与 切于 ，与 切于 。 由切线长公式：。 已知 ，而 ，所以 。 。 7、B 解析：能完全覆盖三角形的最小圆是它的外接圆。，。设外心为 ，则圆心角 ，且 。 作 ，交 的延长线于 。由 得 。 在 中，设 ，则 ，。 。 在 中由勾股定理：，即 ，所以 。 8、D 解析：矩形 ，； 分别是 的中点， 到 的距离恒为 。 。 三角形内切圆半径公式：（ 为周长），所以 。 要使 最大，就要使 最小。当 ，即 落在 的垂直平分线上时，由"两点之间线段最短"知 最小。 此时水平距离为 ，竖直距离为 ，由勾股 。。 二、填空题 9、 解析： 都是切线， 平分 ， 平分 。 在 中，，所以 。 。 。 10、 解析：，，，由勾股得 。 设内切圆半径为 ，由切线长：两直角边上的切线长分别为 与 ，它们相加等于斜边 。 。 11、 解析：。 内切圆在 上的切点为 ，则 ，。 四边形 内角和 ：。 圆周角 。 12、 解析：菱形对角线 ，，则半条对角线 ，。 由勾股：边长 。 菱形面积 。 菱形面积也等于"边长 × 高"，而菱形的高就是内切圆的直径 。 。 13、 解析：直角三角形两直角边为 ，斜边为 。 外心是斜边的中点；内切圆半径 。 建立坐标系：直角顶点取 ，两直角顶点取 。 内心坐标为 ； 外心为斜边中点 。 两点距离：。 14、 解析：由切线长定理：。设正方形边长为 。 ，而 ，其中 ，。 所以 。 。 15、 解析：，，所以 。 平分 ，故 。 内切圆在 上的切点为 ，则 ， 为等腰三角形。 。 是 的外角：。 。 16、 解析：等腰直角 ，，斜边 。 取斜边中点 ，即半圆的圆心，半径 。 是 的中点，取 的中点 ，连接 。 由三角形中位线定理：，为定值。 所以点 到定点 的距离恒为 。 当 沿半圆从 走到 时， 的轨迹也是一段半圆。 路径长 。 三、解答题 17、(1) 平分 ， 平分 。 因为 ，所以 。 。 。 (2)在 中，由勾股：。 由切线长：，。 。 (3) 作 ，则 就是圆的半径。 直角三角形面积的两种算法： 。 。 18、(1) 证明： 是切线，所以 ； 平分 。 等腰 三线合一：，且 ，即 是 的中点。 又 是直径， 是 的中点。 在 中， 是连接两边中点的中位线， 所以 。 (2) 是 的中点，半径 ，所以 。 在 中：。 是切线，所以 ， 是直角三角形。 设 ，则 。 在 中：　① 在 中：　② 把②代入①：，解得 ，。 ，所以 。 19 、(1)证明： 是内心，所以 ，。 由同弧所对的圆周角相等：。 是 的外角，所以 。 又 。 所以 ，由等角对等边得 。 (2) 由 (1) 知 。设 ，则 。 由圆的相交弦定理的推论：。 。 取正根：。 20、（作图题） (1)作 两个内角的角平分线，交于内心 ； 过 向任意一边作垂线段； 以 为圆心、垂线段长为半径画圆，即得内切圆。 (2) 网格作图 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，找到斜边中点即为圆心 ； 作 平分 ：利用同弧所对圆周角相等，找到弧中点连线与 的交点 ； 作点 使 ：以 为圆心、 长为半径画弧，与圆周的交点即为 。 21、(1)证明： 是切线， 是直径，所以 。 因为 ，，所以四边形 两组对边分别平行，是平行四边形。 又 都是半径，，邻边相等的平行四边形是菱形。 所以 。而 ，故 ；又 ， 所以四边形 也是平行四边形，得 。 因为 ，，所以 。 是半径，故 是半圆的切线。 (2)结论： 。 证明： 四边形 是圆内接四边形， 由圆内接四边形对角互补：。 又 （邻补角）， 所以 。 因为 ，所以 。 而 （同角），代入即得 。 22、(1)证明： 连接 。正方形沿 折叠，得 ， 所以 。 正方形中 ，故 。 又 （都是半径）， 是公共边， 所以 （SSS）。 所以 ，即 。 是半径， 故 是 的切线。 (2) 半径为 ， 所以正方形边长 。 设 ，则 。 由折叠知 。 在 中：。 由切线长：，而 。 所以 ，即 ， 解得 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5.4切线长定理与三角形的内切圆 专项练习 一、单选题 1、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（ ） A．125° B．120° C．115° D．110° 2、在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（ ） A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切 3、如图，是的直径，点C是外一点，过点C的两条直线分别与圆相切于点B、D，点E是圆周上任意一点，连接、，若，则（ ）    A． B． C． D． 4、如图，、是的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为（ ）    A． B．2 C．3 D．6 5、如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 6、如图，在中，，点D在边上，过的内心作于点E．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 7、如图，中，，．呢么能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径为（ ）    A． B． C． D． 8、如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 9、如图，是的切线，是切点，分别交于，两点，若，则 ． 10、如图，△ABC的内切圆分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径等于 　 　　． 11、如图，内切于，切点为，已知，则的度数= ； 12、在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8、BD=6，则菱形ABCD的内切圆半径为 ． 13、一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 14、以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则正方形的边长为 ． 15、如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，的延长线交于点F，则 ． 16、如图，在等腰直角三角形中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．    三、解答题 17、如图，直线、、分别与相切于E、F、G，且，，．求： （1）的度数； （2）的长； （3）的半径． 18、如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 19、如图，O是的外心，是的内心，连接并延长交和于D，E． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20、按着要求画图．               (1)在图1中，利用直尺和圆规，作出的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过、、三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①在图2中，找出的圆心． ②在图2中的边上找到一点，使得平分； ③在图2备用图中的上找到一点（不与点重合），使得． 21、如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接． (1)连接，若，求证：是半圆的切线； (2)如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论． 22、如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为1，则AE的长为 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $