浙江省杭州市2026-2027学年第一学期高二数学期中模拟卷

2026—2027学年第一学期杭州市高二年级

数学期中模拟卷

（满分150分　考试时间120分钟）

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，请在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号。

3．所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题卡。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1．已知向量 ，，则 =

A． B．

C． D．

2．直线 的倾斜角为

A． B．

C． D．

3．圆 的圆心坐标和半径分别为

A．， B．，

C．， D．，

4．已知空间三点 ，，，则 =

A． B．

C． D．

5．直线 与圆 的位置关系是

A．相交但不过圆心 B．相离

C．相切 D．相交且过圆心

6．若直线 与 平行，则 =

A． B．

C． 或  D．

7．在棱长为 1 的正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为

A． B．

C． D．

8．已知圆 ，直线 ．若圆 上恰有三个点到直线 的距离为 1，则 =

A． B．

C． D．

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．已知空间向量 ，，则

A．

B．

C． 与 的夹角为钝角

D．

10．已知直线 过点 ，则下列说法正确的是

A．若 与直线 垂直，则 的方程为

B．若 在两坐标轴上的截距相等，则 的方程为

C．若 的斜率为 ，则 与两坐标轴围成的三角形的面积为 4

D． 的方程可表示为 或

11．已知圆 与圆 ，则

A．当 时，两圆外切

B．当 时，两圆相交

C．当 时，两圆外切

D．当 时，两圆内含

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12．在空间直角坐标系中，点 关于 平面对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．

13．过点 且与圆 相切的直线方程为＿＿＿＿＿＿＿＿．

14．已知直线 与圆 交于 ， 两点，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿．

四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是正方形，， 为 的中点．

（1）求证： 平面 ；

（2）求点 到平面 的距离．

16．（15分）已知直线 经过点 ．

（1）若 与直线 平行，求 的方程；

（2）若 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 4，求 的方程．

17．（15分）已知圆 过点 ，且与 轴相切，圆心在直线 上．

（1）求圆 的方程；

（2）若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求 的值．

18．（17分）如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 的中点．

（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；

（2）求平面 与平面 所成角（锐角）的余弦值．

19．（17分）已知圆 ，直线 ．

（1）证明：直线 恒过一个定点 ；

（2）判断点 与圆 的位置关系，并说明直线 与圆 的位置关系；

（3）当直线 被圆 截得的弦长最短时，求直线 的方程及最短弦长．