2.2 平方根与立方根 题型专练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 2.2 平方根与立方根 题型专练 【题型1】用计算器进行计算 【典例】用计算器计算230，按键顺序正确的是( 　　) A．2 3 0= B．2×3 0= C．2 3 0 xm= D．2 xm 3 0= 【举一反三1】用计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是 A．按键顺序为显示结果为1.44 B．按键顺序为显示结果为1 C．按键顺序为显示结果为16 D．按键顺序为显示结果为-1 【举一反三2】用我们数学课本上的科学计算器进行计算，当按键顺序如下时计算结果为(    ) A． B． C． D． 【举一反三3】利用计算器计算：﹣＝　　（保留两位有效数字）． 【举一反三4】用计算器计算并填空： ①11－2＝__________＝(3)2； ②1 111－22＝__________＝(33)2； ③111 111－222＝__________＝(333)2； ④11 111 111－2 222＝__________＝(3 333)2. 根据你发现的规律计算：__________－222 222＝(333 333)2. 【举一反三5】用计算器计算 (1)35＋18×19； (2)－6－126×27； (3)49－(52.3＋78.9)； (4)31.5－2.5×〔27.3－(－36.5)〕 【举一反三6】(1)用计算器计算下列各式，将结果写在横线上． ________；________； ________； ________． (2)根据(1)的计算结果，你发现了什么规律？ (3)不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 【题型2】无理数的估算 【典例】下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】是的整数部分，是的整数部分，则__________． 【举一反三2】将﹣2.5，，|﹣5|，﹣（﹣2）在数轴上表示出来，并用“＞”把它们连接起来． 【举一反三3】阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【题型3】求一个数的立方根 【典例】下列说法中，错误的是 （      ） A．0的平方根是0 B．1的立方根是1 C．的平方根是 D．2是4的算术平方根 【举一反三1】下列说法正确的是（    ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 【举一反三2】已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【举一反三3】的立方根是__． 【举一反三4】(苏科课本P68习题T2)计算： . 【题型4】立方根的性质 【典例】下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算术平方根是9；其中，不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】立方根等于它本身的数为__________. 【举一反三2】(人教课本P61复习题T3)求下列各式的值: (1)-；(2)；(3)±；(4). 【举一反三3】[发现]① ② ③ ④……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． [归纳]等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； [应用]根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【题型5】立方根的应用 【典例】体积为5的正方体棱长为(　　) A． B． C．± D． 【举一反三1】实数x满足x3＝81，则下列整数中与x最接近的是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三2】一个正方体体积为125立方厘米，现将它锯成8块同样大小的小正方体，每个小正方体的表面积为( ) A．2.5平方厘米 B．6.25平方厘米 C．25平方厘米 D．37.5平方厘米 【举一反三3】已知的立方根是，则__________． 【举一反三4】，则a=__________． 【举一反三5】(人教课本P51习题T5)把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗）,这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）? 【题型6】用直接开立方法解方程 【典例】形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（　　）cm． A． B． C．6 D． 【举一反三1】方程的解是（   ） A．-8 B．64 C． D． 【举一反三2】－x3＝8，则x＝__________. 【举一反三3】求下列各式中x的值： （1）（2x﹣1）3﹣64＝0； （2）﹣2（3x+1）3＝54； （3）64（x﹣1）3+27＝0． 【题型7】立方根的估算 【典例】跨学科 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积(即物块的体积等于排出的水的体积).如图所示，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中(绳子的体积忽略不计)，水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为.由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间(  ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【举一反三1】1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有　个. 【举一反三2】(湘教课本P45习题T4)不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间. 【举一反三3】阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是__________位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是__________ ∵ ∴ ∴的十位数是__________ ∴=__________． （1）请你帮东东补充完整上述探究过程； （2）已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【题型8】立方根的运算 【典例】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A．＝﹣3 B． C．＝±6 D．﹣ 【举一反三2】下列各等式中成立的是 ( ) A． B．-=-0.6 C．=-13 D．=±6 【举一反三3】若一个正数 的平方根是 和 ，则 的值为_____. 【举一反三4】计算__________． 【举一反三5】计算： （1）； （2）． 【题型9】与立方根有关的规律探究问题 【典例】已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（    ） A．0.528 B．0.0528 C．0.00528 D．0.000528 【举一反三1】已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326 【举一反三2】若＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是(          ) A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6 【举一反三3】观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① =__________，②若 =0.18308，则x=__________． 【举一反三4】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向__________移动__________位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则__________， __________． (3)类比上述立方根运算：已知，则__________， __________． 【举一反三5】(人教课本P51习题T9)任意找一个数，比如1 234,利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方......如此进行下去，你有什么发现? 【题型10】立方根与平方根的综合 【典例】数x没有平方根，但|x|＝1，则x的立方根是（　　） A．2 B．﹣1 C．±1 D．1 【举一反三1】若，则＝__________． 【举一反三2】已知2x+1是49的算术平方根，x+4y﹣10的立方根是﹣3．则y﹣x的立方根是__________． 【举一反三3】计算： （1）； （2） 【题型11】用计算器计算平方根与立方根 【典例】有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】下列计算结果正确的是（　　） A．≈0.066 B．≈30 C．≈60.4 D．≈96 【举一反三2】如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 【举一反三3】用计算器计算：≈　　（结果精确到0.01） 【举一反三4】(湘教课本P34习题T6)用计算器分别求 的近似值(结果精确到 0.001 ). 【举一反三5】用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【题型12】平方根的概念 【典例】下列叙述错误的是(　　) A．-4是16的一个平方根 B．±17是(-17)2的平方根 C．的平方根是± D．0.04的平方根是±0.02 【举一反三1】平方根等于它本身的数为__________. 【举一反三2】已知，若，则__________． 【举一反三3】(课本P33例3)求下列各数的平方根： (1)64；(2)；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11. 【举一反三4】下列各式中哪些有意义？哪些无意义？ ，-，，. 【题型13】已知一个数的平方根，求这个数 【典例】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】一个正数的算术平方根为a，则比这个数大5的数的 是 （ ） A．a+5 B．a-5 C． D． 【举一反三2】如果的平方根等于±2，那么a=__________ . 【举一反三3】已知：一个正数的两个不同平方根分别是和. (1)求的值； (2)求的算术平方根. 【举一反三4】已知的算术平方根是3,4是的算术平方根，求的值 【题型14】利用平方根求字母或代数式的值 【典例】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ） A． B．2 C．4 D．9 【举一反三1】已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】已知，，且，则的平方根为（    ） A．±1 B．±7 C．±1或 D．±1或 【举一反三3】若与x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为__________． 【举一反三4】已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求m和这个正数； （2）求m+12的平方根． 【题型15】用直接开平方法解方程 【典例】若x2＝25，则x的值是（　　） A．5 B．±5 C．625 D．±625 【举一反三1】已知，则的值等于（    ） A．8 B．2 C．−3 D．−8 【举一反三2】按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】如果，则__________． 【举一反三4】若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝__________. 【举一反三5】求下列各式中的x. 【题型16】求一个数或代数式的平方根 【典例】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】（﹣3）2的平方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．9 【举一反三2】若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 【举一反三3】的平方根是__________ 【举一反三4】下列各式的平方根 (1)；(2)；(3)；(4)． 【举一反三5】若（a－1）²＋|b－9|＝0，求的平方根. 【题型17】算术平方根的概念 【典例】的算术平方根可用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】64的算术平方根可表示为（　　） A．± B． C．﹣ D． 【举一反三2】“（-2）2的算术平方根”用数学式子可表示为(     ) A． B． C．±4 D．4 【举一反三3】计算：表示的意义是__________． 【题型18】求一个数的算术平方根 【典例】下列各数中是无理数的是(　　) A． B．3.141 5 C． D． 【举一反三1】长方形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（　　） A．1 B． C． D． 【举一反三2】的算术平方根是__________ . 【举一反三3】的算术平方根是3，则x的值是__________． 【举一反三4】(课本P44练习T2)求下列各式的值: (1)；　　　　　(2)-； (3)±. 【举一反三5】计算下列各式并归纳结论： (1)      ；      ； (2)      ；      ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【题型19】算术平方根的估算 【典例】估计与最接近的整数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三1】的整数部分是( ) A．8 B．9 C．10 D．84 【举一反三2】的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是__________． 【举一反三3】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【举一反三4】比较下列各组数的大小： （1）与8；（2）与；（3）与1. 【题型20】算术平方根的应用 【典例】球从空中落到地面所用的时间t(秒)和球的起始高度h(米)之间有关系式：t=.若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是(　　) A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【举一反三1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【举一反三2】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和4，则两个长方形的面积和（阴影部分）是__________ ． 【举一反三4】(湘教课本P34习题T10)如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸(图①)，可以把它剪拼成一个大正方形(图②). (1)图②中拼成的大正方形的面积是_____，边长是_____. (2)能把十个小正方形组成的图形纸(图③)剪拼成一个大正方形吗？若能，求出这个大正方形的边长. 【题型21】算术平方根的非负性 【典例】已知实数a，b满足|a+1|+＝0，那么的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【举一反三1】若，则ab的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．1 【举一反三2】若实数a、b满足，则的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2或 【举一反三3】若，则__________，__________，__________． 【举一反三4】已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的算术平方根． 【举一反三5】已知和互为相反数，且，求的值． 【题型22】与算术平方根有关的规律探究问题 【典例】已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【举一反三1】以下是按规律排列的一列数：，，，，，…，根据规律，其中的第个数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【举一反三2】已知≈2.0736，≈6.5574，下列运算正确的是（  ） A．≈0.65574 B．≈65.574 C．≈20.736 D．≈2073.6 【举一反三3】已知,则__________ . 【举一反三4】如果＝3.873，＝1.225，那么＝__________． 【举一反三5】(湘教课本P34习题T9)计算下表中各式的值, 并将结果填在相应的空格中: 从中你能发现什么规律？ 【举一反三6】观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 【题型23】平方根与算术平方根的综合 【典例】有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】81的算术平方根是__________，81的平方根是__________，的算术平方根是__________． 【举一反三3】如图，小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10 cm，长方形的周长是100 cm． （1）求长方形的长和宽； （2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为520 cm2的长方形新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由． 北师大版（2024）八年级上册 2.2 平方根与立方根 题型专练（参考答案） 【题型1】用计算器进行计算 【典例】用计算器计算230，按键顺序正确的是( 　　) A．2 3 0= B．2×3 0= C．2 3 0 xm= D．2 xm 3 0= 【答案】D 【解析】计算230的步骤是2、xm、3、0=． 故选D． 【举一反三1】用计算器进行计算时，按键顺序与显示结果不对应的是 A．按键顺序为显示结果为1.44 B．按键顺序为显示结果为1 C．按键顺序为显示结果为16 D．按键顺序为显示结果为-1 【答案】B 【解析】A项，按键顺序可得1.22=1.44，故该选项正确；B项，得到的式子为6÷=4，故该选项错误； C项，得到的式子为24=16，故该选项正确；D项，得到的式子为5×(-0.2)=-1，故该选项正确. 【举一反三2】用我们数学课本上的科学计算器进行计算，当按键顺序如下时计算结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：． 故选：A． 【举一反三3】利用计算器计算：﹣＝　　（保留两位有效数字）． 【答案】0.56． 【解析】＝2，≈1.442， 原式＝2﹣1.442＝0.558≈0.56， 故答案为0.56． 【举一反三4】用计算器计算并填空： ①11－2＝__________＝(3)2； ②1 111－22＝__________＝(33)2； ③111 111－222＝__________＝(333)2； ④11 111 111－2 222＝__________＝(3 333)2. 根据你发现的规律计算：__________－222 222＝(333 333)2. 【答案】9；1089；110889；11 108 889；111…11(12个1) 【解析】①11－2＝9＝(3)2； ②1 111－22＝1089＝(33)2； ③111 111－222＝110889＝(333)2； ④11 111 111－2 222＝11108889＝(3 333)2. －222 222＝(333 333)2. 【举一反三5】用计算器计算 (1)35＋18×19； (2)－6－126×27； (3)49－(52.3＋78.9)； (4)31.5－2.5×〔27.3－(－36.5)〕 【答案】解　(1)35+18×19=35+342=377； (2) (3)49-(52.3+78.9)=49-131.2=-82.2； (4)31.5-2.5×[27.3-(-36.5)]=31.5-2.5×63.8=31.5-159.5=－128. 【举一反三6】(1)用计算器计算下列各式，将结果写在横线上． ________；________； ________； ________． (2)根据(1)的计算结果，你发现了什么规律？ (3)不用计算器，你能直接写出的结果吗？ 【答案】解　(1)，； (2)通过计算观察可发现以下规律：如果n是21，22，23，…，29中的任何一个数，则：999×n=，其中是1个5位数，前2位是n－1，个位是30－n，中间2个数字总是97． (3)根据以上规律可直接写出：． 【题型2】无理数的估算 【典例】下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ，即，故A不符合题意； ， ，即，故B不符合题意； ， ， ，即，故C符合题意； ， ，即，故D不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】是的整数部分，是的整数部分，则__________． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【举一反三2】将﹣2.5，，|﹣5|，﹣（﹣2）在数轴上表示出来，并用“＞”把它们连接起来． 【答案】由题意可得|﹣5|=5，﹣（﹣2）=2 如图， 用“＞”连接为：|﹣5|＞3＞﹣（﹣2）＞﹣2.5． 【举一反三3】阅读下面的文字，解答问题． 例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列各题． (1)的整数部分是　　　，小数部分是　　　； (2)已知的小数部分是的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】解：（1）∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∵， ∴． 【题型3】求一个数的立方根 【典例】下列说法中，错误的是 （      ） A．0的平方根是0 B．1的立方根是1 C．的平方根是 D．2是4的算术平方根 【答案】C 【解析】 的平方根是 . 故 的平方根是 . 【举一反三1】下列说法正确的是（    ） A．没有立方根 B．是的立方根 C．一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数 D．的立方根是 【答案】C 【解析】解：A、有立方根，故A不正确，不符合题意； B、是的立方根，故B不正确，不符合题意； C、一个非零数的立方根，仍然是一个非零的数，故C正确，符合题意； D、的立方根是，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 【举一反三2】已知x没有平方根，且|x|＝64，则x的立方根为（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．﹣4 【答案】D 【解析】∵x没有平方根，∴x为负数， 又∵|x|＝64， ∴x＝﹣64， 故x的立方根为：﹣4． 故选：D． 【举一反三3】的立方根是__． 【答案】 【解析】∵，∴的立方根是 【举一反三4】(苏科课本P68习题T2)计算： . 【答案】解　 ； . 【题型4】立方根的性质 【典例】下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②a2的算术平方根是a；③﹣8的立方根是±2；④的算术平方根是9；其中，不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】①如果一个实数的立方根等于它本身，则这个数是0或±1，故错误； ②a2的算术平方根是|a|，故错误； ③﹣8的立方根是﹣2，故 错误； ④=9,9的算术平方根是3，故 错误； 所以不正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 【举一反三1】立方根等于它本身的数为__________. 【答案】-1，0，1 【举一反三2】(人教课本P61复习题T3)求下列各式的值: (1)-；(2)；(3)±；(4). 【答案】. 【举一反三3】[发现]① ② ③ ④……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． [归纳]等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； [应用]根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)，符合上述规律， 故答案为：； (2)∵与的值互为相反数，； ∴+=0， ∴， 解得， 代入中，得， 解得，，∴． 【题型5】立方根的应用 【典例】体积为5的正方体棱长为(　　) A． B． C．± D． 【答案】B 【举一反三1】实数x满足x3＝81，则下列整数中与x最接近的是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】∵33＝27，43＝64，53＝125， ∴64<81<125 ∴与x最接近的是4， 故选：B． 【举一反三2】一个正方体体积为125立方厘米，现将它锯成8块同样大小的小正方体，每个小正方体的表面积为( ) A．2.5平方厘米 B．6.25平方厘米 C．25平方厘米 D．37.5平方厘米 【答案】D 【解析】求出一个小正方体的体积，然后根据立方根的定义求出小正方体的棱长，再根据表面积公式进行计算即可．小正方体的体积是：125÷8＝立方厘米，因为()3＝，所以小正方体的棱长是厘米，所以小正方体的表面积为：6×()2＝37.5平方厘米． 【举一反三3】已知的立方根是，则__________． 【答案】 由题意得，，解方程即可． 【解析】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【举一反三4】，则a=__________． 【答案】8 【解析】若，则23=a,即a=8 【举一反三5】(人教课本P51习题T5)把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗）,这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）? 【答案】解　设这个正方体的棱长为, 则,解得. 答:这个正方体的棱长约为. 【题型6】用直接开立方法解方程 【典例】形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长为（　　）cm． A． B． C．6 D． 【答案】C 【解析】正方体的体积公式为，其中为棱长， 已知体积，代入公式得：， 解得． 故选：C． 【举一反三1】方程的解是（   ） A．-8 B．64 C． D． 【答案】C 【解析】解：解： ， ． 故选：C． 【举一反三2】－x3＝8，则x＝__________. 【答案】－2 【解析】x3＝－8，解得：x＝－2. 【举一反三3】求下列各式中x的值： （1）（2x﹣1）3﹣64＝0； （2）﹣2（3x+1）3＝54； （3）64（x﹣1）3+27＝0． 【答案】解：（1）（2x﹣1）3﹣64＝0， （2x﹣1）3＝64， 2x﹣1＝4， 2x＝5， x＝2.5． （2）﹣2（3x+1）3＝54， （3x+1）3＝﹣27， 3x+1＝﹣3， x＝﹣． （3）∵64（x﹣1）3+27＝0， ∴64（x﹣1）3＝﹣27， ∴， ∴x-1=-， ∴x=． 【题型7】立方根的估算 【典例】跨学科 读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积(即物块的体积等于排出的水的体积).如图所示，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中(绳子的体积忽略不计)，水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为.由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间(  ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【解析】由题意，得正方体的棱长为， 因为，所以. 【举一反三1】1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数有　个. 【答案】186 【解析】因为12=1，22=4，32=9，…，102=100， 所以1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根中，有理数有10个， 所以无理数有90个. 因为13=1，23=8，33=27，43=64<100，53=125>100， 所以1，2，3，…，100这100个自然数的立方根中，有理数有4个， 所以无理数有96个， 所以1，2，3，…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数共有90+96=186(个). 【举一反三2】(湘教课本P45习题T4)不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间. 【答案】解　因为 ,所以 , 所以 在 7 和 8 之间. 因为 ,所以 , 所以 在 5 和 6 之间. 【举一反三3】阅读理解 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求的立方根，华罗庚脱口而出．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？以下是东东的探究过程： ∵ ∴ ∴的立方根是__________位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是__________ ∵ ∴ ∴的十位数是__________ ∴=__________． （1）请你帮东东补充完整上述探究过程； （2）已知：17576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根． 【答案】解：（1）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵的个位数是9 ∴的立方根的个位数是9 ∵ ∴ ∴的十位数是3 ∴． 故答案为：两，，，； （2）∵ ∴ ∴的立方根是两位数 ∵只有个位数是的立方数的个位数依然是 ∴的立方根的个位数是 ∵ ∴ ∴的十位数是2 ∴ 【题型8】立方根的运算 【典例】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵＝2，∴A错误； ∵＝2，∴B错误； ∵＝﹣3，∴C正确； ∵±＝±3，∴D错误， 故选：C． 【举一反三1】下列计算正确的是（　　） A．＝﹣3 B． C．＝±6 D．﹣ 【答案】B 【解析】A、＝3，故A错误； B、＝﹣，故B正确； C、＝6，故C错误； D、﹣≠，被开方数为负数无意义，故D错误； 故选：B． 【举一反三2】下列各等式中成立的是 ( ) A． B．-=-0.6 C．=-13 D．=±6 【答案】A 【解析】A、，故本选项正确； B、-=-0.6，故本选项错误； C、=-13，故本选项错误； D、=±6故本选项错误． 故选A． 【举一反三3】若一个正数 的平方根是 和 ，则 的值为_____. 【答案】-2 【解析】因为一个正数 的平方根是 和 ,所以 ,所以 ,所以 ,所以 . 【举一反三4】计算__________． 【答案】-5 【解析】， 故答案为：． 【举一反三5】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型9】与立方根有关的规律探究问题 【典例】已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（    ） A．0.528 B．0.0528 C．0.00528 D．0.000528 【答案】C 【解析】∵ ， ， ∴a=0.00528， 故选C. 【举一反三1】已知，若，则x的值约为（    ） A．326000 B．3260 C．3.26 D．0.326 【答案】A 【解析】解：∵68.82＝6.882×10， ∴x＝326×103＝326000， 故选：A． 【举一反三2】若＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是(          ) A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6 【答案】B 【解析】被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. =154.2故选：B． 【举一反三3】观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① =__________，②若 =0.18308，则x=__________． 【答案】      【解析】解：∵=2.477， ∴ ， ∵=1.8308，=0.18308， ∴ 故答案为：，． 【举一反三4】观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题； (1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向__________移动__________位． (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则__________， __________． (3)类比上述立方根运算：已知，则__________， __________． 【答案】(1)：右，一；(2)：0.235，23.5；(3)：19.13，191.3． 【解析】(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一； (2)∵2.35，∴0.235， 23.5， 故答案为：0.235，23.5； (3)在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位． ∵1.913，∴19.13， 191.3． 故答案为：19.13，191.3． 【举一反三5】(人教课本P51习题T9)任意找一个数，比如1 234,利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立方......如此进行下去，你有什么发现? 【答案】解　当被开方数为-1,0,1时，结果分别为-1,0,1;当被开方数为正数时，不断开立方运算的结果趋向于1;当被开方数为负数时，不断开立方运算的结果趋向于-1. 【题型10】立方根与平方根的综合 【典例】数x没有平方根，但|x|＝1，则x的立方根是（　　） A．2 B．﹣1 C．±1 D．1 【答案】B 【解析】∵数x没有平方根，但|x|＝1， ∴x＝﹣1， 则x的立方根是﹣1. 【举一反三1】若，则＝__________． 【答案】﹣1 【解析】∵， ∴a﹣4＝0，b+5＝0， ∴a＝4，b＝﹣5， ∴＝﹣1． 【举一反三2】已知2x+1是49的算术平方根，x+4y﹣10的立方根是﹣3．则y﹣x的立方根是__________． 【答案】﹣2 【解析】∵2x+1是49的算术平方根， ∴2x+1＝7， 解得x＝3， ∵x+4y﹣10的立方根是﹣3， ∴x+4y﹣10＝（﹣3）3， 解得y＝﹣5． 当x＝3，y＝﹣5时，y﹣x＝﹣5﹣3＝﹣8， ∴y﹣x的立方根是． 【举一反三3】计算： （1）； （2） 【答案】（1）解： ； （2）解： ； 【题型11】用计算器计算平方根与立方根 【典例】有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意；  D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】下列计算结果正确的是（　　） A．≈0.066 B．≈30 C．≈60.4 D．≈96 【答案】B 【解析】用计算器开平方或者开立方 A、≈0.6557，故 错误； B、≈29.92≈30，故 正确； C、≈50.4，故 错误； D、≈9.65，故 错误． 故选：B． 【举一反三2】如图1，某计算器中、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将荧幕显示的数变成它的倒数； ③：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图2步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为5，那么第2020步之后，显示的结果是（　　） A．5 B． C． D．25 【答案】C 【解析】解：由题意知第1步结果为52＝25， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为0.22＝0.04， 第5步结果为， 第6步计算结果为＝5， 第7步计算结果为52＝25， …… ∴运算的结果以25、、、、25、5六个数为周期循环， ∵2020÷6＝336……4， ∴第2020步之后显示的结果为． 故选：C． 【举一反三3】用计算器计算：≈　　（结果精确到0.01） 【答案】44.92． 【解析】用计算器计算，可得≈44.92， 故答案为：44.92． 【举一反三4】(湘教课本P34习题T6)用计算器分别求 的近似值(结果精确到 0.001 ). 【答案】解　. 【举一反三5】用计算器计算下面各题： (1)（精确到0.01）； (2)（精确到十分位）． 【答案】解：（1） ； （2）解： =1.27 ． 【题型12】平方根的概念 【典例】下列叙述错误的是(　　) A．-4是16的一个平方根 B．±17是(-17)2的平方根 C．的平方根是± D．0.04的平方根是±0.02 【答案】D 【举一反三1】平方根等于它本身的数为__________. 【答案】0 【解析】只有0的平方根是0本身. 【举一反三2】已知，若，则__________． 【答案】 【解析】根据题意可知， ∵， ∴． 故． 故答案为：． 【举一反三3】(课本P33例3)求下列各数的平方根： (1)64；(2)；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11. 【答案】解 (1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8，即±=±8. (2)因为=， 所以的平方根是±，即±=±. (3)因为(±0.02)2=0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即±=±0.02. (4)因为(±25)2=(-25)2，所以(-25)2的平方根是±25，即±=±25. (5)11的平方根是±. 【举一反三4】下列各式中哪些有意义？哪些无意义？ ，-，，. 【答案】解　有意义的是，-，，无意义的是. 【题型13】已知一个数的平方根，求这个数 【典例】若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵正数n的两个不同平方根为和， 根据平方根互为相反数的性质，得方程：，， ， ， 将代入平方根表达式：因此，n的平方根为1和．∴， 故选：A． 【举一反三1】一个正数的算术平方根为a，则比这个数大5的数的 是 （ ） A．a+5 B．a-5 C． D． 【答案】C 【解析】因为一个正数的算术平方根为a，所以这个正数为a2， 则比这个数大5的数为，故答案为C. 【举一反三2】如果的平方根等于±2，那么a=__________ . 【答案】16 【解析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．∵=4，∴=4，∴a==16． 故答案为16． 【举一反三3】已知：一个正数的两个不同平方根分别是和. (1)求的值； (2)求的算术平方根. 【答案】(1)由题意得， 化简得：， 解得：； (2)将代入，得： ， 9的算术平方根是3. 【举一反三4】已知的算术平方根是3,4是的算术平方根，求的值 【答案】因为2a-1的算术平方根是3， 所以 所以 因为4是的算术平方根， 所以 所以 所以 【题型14】利用平方根求字母或代数式的值 【典例】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ） A． B．2 C．4 D．9 【答案】D 【解析】解：一个正数的两个平方根分别为与， ， 解得：， ， 这个正数为， 故选：D． 【举一反三1】已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【举一反三2】已知，，且，则的平方根为（    ） A．±1 B．±7 C．±1或 D．±1或 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴，． ∵， ∴，． 当，时，； 当，时，． 综上可知的值为1或7． 当=1时，1， 当=7时，， 综上可知的平方根为1或. 故选C． 【举一反三3】若与x3yb的和是单项式，则（a+b）2的平方根为__________． 【答案】±4 【解析】∵与x3yb的和是单项式， ∴a＝3，b＝1， 则（a+b）2＝（3+1）2＝16， 那么（a+b）2的平方根是±4. 【举一反三4】已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15． （1）求m和这个正数； （2）求m+12的平方根． 【答案】解：（1）由题意，得m+3+2m﹣15＝0， 解得m＝4， ∴m+3＝7，2m﹣15＝﹣7， ∴这个正数为（±7）2＝49. （2）当m＝4时，m+12＝16， ∵16的平方根是±4， ∴m+12的平方根是±4． 【题型15】用直接开平方法解方程 【典例】若x2＝25，则x的值是（　　） A．5 B．±5 C．625 D．±625 【答案】B 【解析】∵x2＝25， ∴x＝±， ∴x＝±5． 【举一反三1】已知，则的值等于（    ） A．8 B．2 C．−3 D．−8 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， 解得：， ∴  故选D． 【举一反三2】按照如图所示的计算程序，若输入，经过第二轮程序计算之后，输出的值为，则输入的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵ ∴，即每轮程序计算后所得结果是非正数 设第一轮程序计算后结果为a 由题意可得 解得：或（不符合已得结论，故舍去） ∴，且符合小于 则输入的应满足 解得： 故选A． 【举一反三3】如果，则__________． 【答案】 【解析】解：， ， ， 故答案为： 【举一反三4】若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝__________. 【答案】1或5 【解析】因为x2＝4，y2＝9，所以x＝±2，y＝±3，即x＋y＝5，－1，1，－5，则|x＋y|＝1或5. 【举一反三5】求下列各式中的x. 【答案】， ∴， ∴ ∴ 【题型16】求一个数或代数式的平方根 【典例】下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A．，故A正确， B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 故选：A． 【举一反三1】（﹣3）2的平方根是（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．9 【答案】C 【解析】（﹣3）2＝9， 9的平方根是±3． 【举一反三2】若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（ ） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 【答案】D 【解析】单项式定义是相同字母含有相同指数，所以m=3，n=1，43 【举一反三3】的平方根是__________ 【答案】 【解析】， ∵， 的平方根是， 即的平方根是， 故答案为：. 【举一反三4】下列各式的平方根 (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】解：（1）． （2）． （3）． （4）． 【举一反三5】若（a－1）²＋|b－9|＝0，求的平方根. 【答案】因为（a－1）²＋|b－9|＝0，，所以，所以，9的平方根是，所以的平方根是， 【题型17】算术平方根的概念 【典例】的算术平方根可用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：的算术平方根可用数学式子表示为； 故选：C． 【举一反三1】64的算术平方根可表示为（　　） A．± B． C．﹣ D． 【答案】B 【解析】64的算术平方根可表示为． 【举一反三2】“（-2）2的算术平方根”用数学式子可表示为(     ) A． B． C．±4 D．4 【答案】B 【解析】根据算术平方根的概念可知，“（-2）2的算术平方根”用数学式子可表示为，故选B. 【举一反三3】计算：表示的意义是__________． 【答案】2与的差. 【解析】解：，表示的意义是2与的差. 故答案为：2与的差. 【题型18】求一个数的算术平方根 【典例】下列各数中是无理数的是(　　) A． B．3.141 5 C． D． 【答案】A 【解析】是无理数，A符合题意； 3.141 5是有限小数，为有理数，B不符合题意； =2是整数，为有理数，C不符合题意； 是分数，为有理数，D不符合题意. 【举一反三1】长方形ABCD的面积是15，它的长与宽的比为3：1，则该长方形的宽为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设矩形的宽为x，则长为3x， 根据题意得：3x2＝15， 所以x2＝5． 解得：x＝±（负值舍去）， ∴长方形的宽为， 故选：D． 【举一反三2】的算术平方根是__________ . 【答案】2 【解析】∵， ∴的算术平方根是2. 故答案为：2. 【举一反三3】的算术平方根是3，则x的值是__________． 【答案】81 【解析】因为9的算术平方根是3，所以等于81. 【举一反三4】(课本P44练习T2)求下列各式的值: (1)；　　　　　(2)-； (3)±. 【答案】(1). 【举一反三5】计算下列各式并归纳结论： (1)      ；      ； (2)      ；      ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【答案】解：（1）； ； 故答案为：；； （2）； ； （3）解：由（1）（2）的结果可知，， 【题型19】算术平方根的估算 【典例】估计与最接近的整数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】∵32＝9，42＝16，9＜13＜16， ∴，即， ∵3.52＝12.25，且12.25＜13＜16， ∴， ∴，即， ∴与最接近的整数是3. 【举一反三1】的整数部分是( ) A．8 B．9 C．10 D．84 【答案】B 【解析】因为81＜84.1＜100，所以＜＜，即9＜＜10，所以84.1的整数部分是9. 【举一反三2】的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是__________． 【答案】18（答案不唯一） 【解析】解：根据题意知：， ∴， ∵是整数， ∴可以取18（答案不唯一） 【举一反三3】已知一个正数的两个平方根分别是和． (1)求这个正数； (2)请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】解：（1）由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 【举一反三4】比较下列各组数的大小： （1）与8；（2）与；（3）与1. 【答案】解：（1）∵64<65<81， ∴， ∴9， ∴>8. （2）.577， .707， ∵0.577<0.707， ∴<. （3）解法一： ∵9<10<16， ∴， ∴4， ∴4-1， ∴3， ∴， ∴>1. 解法二： .162， ∴≈， ∵1.081>1， ∴>1. 【题型20】算术平方根的应用 【典例】球从空中落到地面所用的时间t(秒)和球的起始高度h(米)之间有关系式：t=.若球的起始高度为120米，则球落地所用时间与下列最接近的是(　　) A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒 【答案】C 【解析】因为h=120米， 所以t==(秒). 因为与=5最接近， 所以球落地所用时间t与5秒最接近. 【举一反三1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 【举一反三2】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时， ， ∵是有理数， ∴倒回运算， ∴， 故选：． 【举一反三3】如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两个小正方形的面积分别是2和4，则两个长方形的面积和（阴影部分）是__________ ． 【答案】 【解析】∵两个小正方形的面积分别是2和4， ∴两个小正方形的边长为， 由图可知，两个阴影部分均为长为，宽为的长方形， ∴两个长方形的面积和（阴影部分）是； 故答案为：． 【举一反三4】(湘教课本P34习题T10)如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸(图①)，可以把它剪拼成一个大正方形(图②). (1)图②中拼成的大正方形的面积是_____，边长是_____. (2)能把十个小正方形组成的图形纸(图③)剪拼成一个大正方形吗？若能，求出这个大正方形的边长. 【答案】解　(1) (2)能剪拼成一个大正方形. 如图所示. 设正方形的边长为 ,则 , 所以 , 所以剪拼成的大正方形的边长为 . 【题型21】算术平方根的非负性 【典例】已知实数a，b满足|a+1|+＝0，那么的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】B 【解析】∵|a+1|+＝0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣1，b＝2， ∴＝1. 【举一反三1】若，则ab的值为（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣1 D．1 【答案】A 【解析】∵，而（a﹣2）2≥0，≥0， ∴a﹣2＝0，b+3＝0， 解得a＝2，b＝﹣3， ∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6， 故选：A． 【举一反三2】若实数a、b满足，则的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2或 【答案】D 【解析】因为，根据两个非负数之和为零，则每一项均为零得：x﹣3＝0，y2﹣1＝0， 解得x＝3，y＝±1， 则x+y＝3+1＝4或x+y＝3﹣1＝2． 所以的值为2或． 故选：D． 【举一反三3】若，则__________，__________，__________． 【答案】0     0     0 【解析】解：根据题意得：，，， 解得，，． 故答案为：0；0；0． 【举一反三4】已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】解：（1）由题可知，，， 解得：，； （2）， 的算术平方根为. 【举一反三5】已知和互为相反数，且，求的值． 【答案】∵和互为相反数，∴+=0， ∵两个非负数互为相反数则每一项均为0，∴－1＝0，1－2＝0， ∴＝1，∴＝2． 【题型22】与算术平方根有关的规律探究问题 【典例】已知，，则（     ） A．110 B． C． D． 【答案】D 【解析】解：因为， 即， 所以， 故选：D． 【举一反三1】以下是按规律排列的一列数：，，，，，…，根据规律，其中的第个数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【解析】解：由题意可得， ， ， ， ， ∴该组数据的规律是：， ∴第个数是：， 故选：A； 【举一反三2】已知≈2.0736，≈6.5574，下列运算正确的是（  ） A．≈0.65574 B．≈65.574 C．≈20.736 D．≈2073.6 【答案】A 【解析】被开方数扩大100倍，结果扩大十倍．按照此规律A正确． B选项， C选项， D选项， 【举一反三3】已知,则__________ . 【答案】36 【解析】因为被开方数的小数点每移动两位，其算术平方根的小数点向相同的方向移动一位,,所以. 【举一反三4】如果＝3.873，＝1.225，那么＝__________． 【答案】122.5 【解析】∵1.5×10000=15000，被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左或向右移动2个位数” ∴＝100＝122.5， 故答案为：122.5． 【举一反三5】(湘教课本P34习题T9)计算下表中各式的值, 并将结果填在相应的空格中: 从中你能发现什么规律？ 【答案】解　表格中的结果从左到右依次为0.03,0.3,30, . 规律:被开方数的小数点相向左（右）移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向左（右）移动一位. 【举一反三6】观察下列等式： ①； ②； ③； … (1)写出④______； (2)猜想：______； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】解：（1）， 故答案为：． （2）根据规律可知， ， 故答案为： ； （3） ． 【题型23】平方根与算术平方根的综合 【典例】有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③的平方根是；④算术平方根等于它本身的数是0和1．其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：①49的算术平方根是7，选项正确； ②负数没有平方根，选项错误； ③的平方根是，，选项错误； ④算术平方根等于它本身的数是0和1，选项正确. 故选：B. 【举一反三1】一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为一个自然数的一个平方根是，所以平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D. 【举一反三2】81的算术平方根是__________，81的平方根是__________，的算术平方根是__________． 【答案】9；；3. 【解析】解：81的算术平方根是9， 81的平方根是， ，9的算术平方根是3． 故答案为：9，，3． 【举一反三3】如图，小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10 cm，长方形的周长是100 cm． （1）求长方形的长和宽； （2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为5∶4，面积为520 cm2的长方形新纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由． 【答案】解：（1）设AB＝x cm，则BC＝（10+x）cm， 由题意得2[x+（10+x）]＝100， ∴x＝20， ∴长方形的长为30 cm，宽为20 cm． （2）设新长方形的长为5a cm，宽为4a cm， 则5a×4a＝520， ∴a=（负值舍去）， 即新长方形的长为5 cm，宽为4 cm， ∵26＞25， ∴＞5即4＞20， 故小丽不能成功． ∴小丽不能用这块长方形纸片裁出符合要求的长方形纸片． 学科网（北京）股份有限公司 $