2.2平方根与立方根（分层作业，20大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 2.2 平方根与立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 平方根与立方根的估值 题型03 平方根的应用 题型04 平方根的概念 题型05 求一个数的平方根 题型06 利用平方根解方程 题型07 立方根的概念 题型08 计算立方根 题型09 立方根的应用 题型10 计算器使用 B组 能力进阶 题型01 利用算术平方根的非负性解题 题型02 确定无理数的整数部分 题型03 利用平方根的性质求解 题型04 已知平方根/立方根求数或代数式 题型05 平方根与立方根的综合应用 C组 思维拔高 题型01 与算术平方根有关的规律探究 题型02 立方根有关的规律探究 题型03 实数的简单运算 题型04 新定义问题 题型05 规律探究问题 求一个数的算术平方根题型01 1．4的算术平方根是（    ） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平方与算术平方根的互逆运算进行解答． 【详解】解：∵22＝4 ∴4的算术平方根是2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质与定义，若一个非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根． 2．（25-26八年级上·内蒙古·期中）的平方根为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，平方根，关键是掌握算术平方根，平方根的定义． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：的平方根为． 故选：B． 3．_________；_________；的算术平方根是_______；的立方根是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行解答即可． 【详解】解：；；，的算术平方根是，即的算术平方根是；的立方根是； 故答案为：；；；． 4．计算：﹣． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根进行化简以后进行计算即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，解题的关键是先化简再计算，需要注意符号． 5．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义； （1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可； （2）先整理成，其中为有理数．为无理数，再按题干提供的方法求解． 【详解】（1）∵，其中为有理数， ∴，； ∴，． （2）∵， ， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 平方根与立方根的估值题型02 1．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东云浮·期末）若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小．已知正方形的面积为10，其边长为．通过比较相邻整数的平方与10的大小关系，即可确定的范围． 【详解】解：∵ 正方形的面积为10， ∴ 边长为， ∵ ， ∴ ， ∴ 在3与4之间． 故选：C． 3．下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算,其中“夹逼法”是估算的一般方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断被开方数距离哪个整数的被开方数近,就接近哪个整数,由此即可求解． 【详解】解:∵方程的根是, ∴,, ∵,可知距离更近, ∴的解最接近． 故选:B． 4．满足的所有整数的和是______． 【答案】 【分析】首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，，它们和为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算． 5．（25-26七年级下·江苏南通·质检）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 平方根的应用题型03 1．（25-26八年级·山西临汾·期末）一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，设该茶几桌面的边长是，根据正方形的面积公式可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设该茶几桌面的边长是 由题意得， 解得或（舍去）， ∴该茶几桌面的边长是， 故选：B． 2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】或 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离h（单位：米）和下落的时间t（单位：秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 【答案】(1)落到地面需要4秒 (2)物体下落前离地面的距离是45米 【分析】（1）将代入公式求解即可； （2）将代入公式求解即可． 【详解】（1）解：当米时，， 即，解得：， ， ∴， ∴落到地面需要4秒． （2）解：把秒代入得：， ∴， ∴物体下落前离地面的距离是45米． 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）小明作为蓝信封行动的通信志愿者，有一次制作了一张面积为的正方形明信片想寄给对接的乡村小朋友．已知信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)判断小明能否将这张明信片不折叠就放入此信封，并说明理由． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 能将这张贺卡不折叠就放入此信封中，理由如下： ∵正方形明信片面积为， ∴正方形贺卡的边长为， ∵， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠就放入此信封中． 【分析】（）设长方形信封的长为，宽为， 由长方形的面积可求出的值，从而求出长方形信封的长和宽； （）先计算出正方形贺卡的边长，然后与长方形信封的宽进行比较，即可得出结论； 本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的运算是解题的关键． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得，， 解得负值舍去， ∴长方形信封的长为，宽为； （2）解：略． 5．（25-26七年级·广东珠海·期末）综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【答案】(1)； (2)点；； (3)， (4)； 【分析】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【详解】（1）解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； （2）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； （3）∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： （4）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 平方根的概念题型04 1．下列说法正确的是(   ) A．9的平方根是3 B．－3是9的平方根 C．是9的算术平方根 D．－3是9的算术平方根 【答案】B 【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：非负数a的平方根是，算术平方根是， 因此9的平方根是，算术平方根是3． A．9的平方根是±3，故错误，不符合题意； B．-3是9的一个平方根，故正确，符合题意； C．是9的平方根，故错误，不符合题意； D．-3是9的一个平方根，故错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的判断，解题关键是熟悉相关概念．平方根，又叫二次方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根与算术平方根的定义逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 3．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，平方数的非负性，掌握平方根仅对非负数有定义，利用平方数的非负性判断式子的正负是解题的关键． 平方根仅对非负数有定义，因此需找出无论取何值恒为负数的选项． 【详解】解：A、当时，，可能有平方根，不符合题意； B、当时，的值为，有平方根，不符合题意； C、恒成立，总有平方根，不符合题意； D、恒成立，故一定没有平方根，符合题意． 故选：D． 4．（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点、相反数、绝对值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由点M在原点左边，故m为负数，再根据相反数、绝对值、有理数乘方、平方根逐项判断即可． 【详解】解：∵点M在原点左边， ∴． ①由，则，故表示的数不可能是负数，故①错误； ②有且，则，故②正确； ③由，则，，故最大，故③正确； ④由且，∴，故④错误． 综上，正确的有②③． 故选B． 5．已知一个正数的两个平方根分别为和，则_____ 【答案】3 【分析】根据一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得． 求一个数的平方根题型05 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的平方根是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D． 3．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 【详解】解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． 4．（25-26八年级·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 【答案】± 【分析】本题考查了算术平方根和平方根． 根据“算术平方根是指一个正数的正的平方根”即可求解． 【详解】解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 故答案为：． 5．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 利用平方根解方程题型06 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了根据平方根的性质解方程，根据平方根的定义直接计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于______． 【答案】4或 【分析】本题考查了平方根，运用平方根的性质进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或． 3．求下列各式中的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴ ∴ 【点睛】本题考查利用平方根、立方根的定义解高次方程．掌握相关定义是解题关键． 4．小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 【答案】(1)负数没有平方根 (2)⑤或；⑥或 【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键． （1）根据平方根的性质即可得到答案； （2）仿照③、④，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根， 故答案为：负数没有平方根； （2）⑤解：． ． 或 ⑥解：． 或． 或． 5．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可； （2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可． 【详解】解：（1） . （2） ， ∴， . 【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键． 立方根的概念题型07 1．若，则的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可得出答案． 【详解】解：若，则的立方根是， 故选：A． 2．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 3．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 各项利用立方根定义判断即可． 【详解】解：A、正数有一个立方根，错误； B、立方根等于本身的数有，，，错误； C、负数的立方根是负数，正确； D、负数有立方根，错误， 故选：C． 4．若与互为相反数，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数与立方根的性质计算即可得答案． 【详解】解：∵ 与 是相反数， ∴== ∴3x－1=2y－１， 整理得：3x=2y，即 ， 故选A． 【点睛】本题主要考查立方根的性质，正数的立方根是正数，负数的立方根还是负数，一个数只有一个立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·质检）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（）由已知可得，再根据立方根的定义解答即可； （）由已知可得，即得的立方根等于它本身，得到或或，又由，可得，进而求出的值再代入到代数式求出的值，最后根据立方根的定义解答即可求解； 本题考查考查了立方根的定义和性质，掌握立方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴的立方根等于它本身， ∴或或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， ∴的立方根是或或． 计算立方根题型08 1．的立方根为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．（2026·宁夏银川·模拟）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质分别计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：选项A：∵， ∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：∵表示的算术平方根，结果为，不是， ∴ B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵由立方根的性质，可得， ∴C正确，该选项符合题意； 选项D：∵， ∴ D错误，该选项不符合题意． 3．求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根定义是解题关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可； （2）根据立方根的定义进行计算即可； （3）根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：， 的立方根是 ， 即； （2）解：， 的立方根是， 即； （3）解：， 的立方根是， 即． 4．求下列各式中x的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根，注意整数的立方根是正数，负数的立方根是负数．根据立方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解： （2） 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【详解】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 立方根的应用题型09 1．一个正方体的体积为27立方分米，则该正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．3分米 D．9分米 【答案】C 【详解】分米， 所以该正方体的棱长为3分米． 2．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算的实际应用，根据题意，得到正方体的棱长为，夹逼法求出范围即可． 【详解】解：由题意，得：正方体的棱长为， ∵， ∴； 故选C． 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的运用，熟练掌握相关概念是解题关键； 根据题意，虽然形状发生了变化，但是其体积仍然是没有变化的，以此计算即可； 【详解】解：由题意得长方体体积为：（立方厘米）， ∴立方体棱长（厘米）， 答：锻造成的立方体铁块的棱长是厘米； 4．（24-25八年级上·河北保定·月考）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）①根据解析（1）中规律进行解答即可； ②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． （2）①∵， ∴； ②∵正方体的体积为3000立方米， ∴正方体的棱长为：米， ∴需要铁皮的面积为： （平方米）． 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开算术平方，可得答案； （2）根据，其中，是雷雨持续时间，开立方，可得答案． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴ 答：这场雷雨大约能持续； （2）解： 把代入，得． ∴． 答：这场雷雨区域的直径大约是． 计算器使用题型10 1．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用计算器求算术平方根，知道计算器各个按键的功能是解决问题的关键． 根据题意，的算术平方根为，所以必须按的键是根号键． 【详解】解： 算术平方根的计算需按根号键 ， 故选： C． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为___________． 【答案】4 【分析】本题考查的是计算器的使用，求一个数的立方根，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：． 3．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 4．用计算器计算（精确到0.01）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 5．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 【答案】，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1 【分析】利用计算器对大于1的数（如1234），小于1的正数（如0.7），小于－1的数（如－1234），大于－1的负数（如－0.7）以及1、－1、0这三个数进行求若干次立方根，根据所得结果即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 大于1的数，如：1234， ， ， ， ， ， 小于1的正数，如：0.7， ， ， ， ， 小于－1的数，如：－1234， ， ， ， ， ， 大于－1的负数，如：－0.7， ， ， ， ， 对于1、－1、0这三个数而言，，，， 由此可得：，0，1不断开立方的结果仍为它们本身；小于的数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于；大于的负数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于；小于1的正数不断开立方的结果逐渐增大，并趋近于1；大于1的正数不断开立方的结果逐渐减小，并趋近于1． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求立方根以及对规律性的总结，熟练掌握立方根的意义是解决本题的关键． 利用算术平方根的非负性解题题型01 1．已知实数x、y满足，则的值是（    ）． A． B．4 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】依据平方根的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵实数x、y满足， ∴x-2≥0，2-x≥0 ∴x＝2，y＝−2， ∴yx＝（−2）2＝4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是平方根有意义的条件，熟练掌握负数没有平方根是解题的关键． 2．若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，绝对值非负性，平方根的非负性质．根据绝对值非负性，平方根的非负性质得出a，b，c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：B． 3．若有意义，则a应满足_______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的被开方数是非负数即可求解 【详解】解：若有意义，则 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，理解被开方数为非负数是解题的关键． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，平方根及实数的定义，熟练掌握算术平方根的非负性，平方根及实数的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的非负性可进行求解； （2）由（1）可得的值，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：把代入得：， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)或 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标系中的面积问题、中点坐标公式等，解题的关键是根据题意熟练应用上述知识． （1）依据题意，由，可得，进而计算可以得解； （2）作轴于点，由三点的坐标可知，再根据代入计算即可； （3）依据题意，可分为当点在线段上时、点在的延长线上和点在的反向延长线上三种情况，分别进行讨论即可得解． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）如图，作轴于点， 由（1）可得，，， ， ， ． （3）由题意，①如图，当点在线段上时， ， ， ， 边上的高是边上的高的3倍， ， 的纵坐标为2， ， ， ， 边上的高是边上的高的， ， 的横坐标为2， ； ②如图，当点在的延长线上时， ， 是线段的中点， 设， ，， ，， ，， ； ③当点在的反向延长线上时， 不成立，不合题意； 综上所述，或． 确定无理数的整数部分题型02 1．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．的小数部分为_________． 【答案】﹣4 【详解】解：∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，∴的小数部分是﹣4． 故答案为﹣4． 3．（24-25八年级上·北京·期中）的整数部分是_____，小数部分是_________________． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是根据完全平方数和算术平方根的定义得到，即可得出的整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是：． 故答案为：；． 4．（24-25八年级·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1)6； (2)的立方根是2 【分析】本题考查无理数整数部分的计算，求一个数的立方根： （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）通过无理数的估算求得，的值，然后将其代入中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6；； （2）， ， ， ∴， ， ， ∴， ∴的立方根是2． 5．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且，那么， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ， m，n是有理数， ，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)已知，其中a是整数，且，求a，b的值； (2)已知x，y是有理数，且满足等式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值． （1）根据无理数的估算方法即可得到答案； （2）根据题意得到，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是有理数，且满足等式， ， ， ， ， 或 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 利用平方根的性质求解题型03 1．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 【答案】C 【分析】求出m、n的值，求出m+n的值，再根据平方根定义求出即可． 【详解】解：∵m是169的算术平方根，n是121的负的平方根， ∴m=13，n=-11， ∴m+n=2， ∴（m+n）2的平方根是±=±2， 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 2．（25-26七年级·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 3． ，则x=_______． 【答案】 【分析】由题意根据算术平方根和平方根的性质进行分析求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴则，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查算术平方根和平方根的性质，熟练掌握一个数的平方根互为相反数． 4．已知且，则_________. 【答案】±3 【分析】由可得xy=1，代入可得x2+y2=7，利用完全平方公式可得(x+y)2=9，根据平方根的定义即可得答案. 【详解】∵， ∴xy==1， ∵， ∴x2+y2=7， ∴x2+y2+2xy=7+2=9，即(x+y)2=9， ∴x+y=±3. 故答案为±3 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.熟练掌握完全平方公式是解题关键. 5．（25-26八年级上·河南·月考）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式的变形运算，代数式求值，平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）利用完全平方公式，将化为，再将代入计算即可； （2）先计算的值，再根据平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 答：的值为； （2）∵， ∴ ， ∴． 已知平方根/立方根求数或代数式题型04 1．若是x的一个平方根．则x的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是x的一个平方根， ∴， 故答案为：． 2．已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知，，进一步可求出x、y，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是3， ∴， 把x的值代入解得： ， ∴， 它的算术平方根为． 【点睛】此题考查平方根，立方根，算术平方根的概念，解题关键在于掌握运算法则，难易程度适中． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)的平方根是． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义． （1）根据立方根，算术平方根的定义，无理数的估算分别求得的值； （2）由（1）可知，，，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∴的平方根是． 4．已知和都是的平方根，求与的值． 【答案】当时，；当时， 【分析】分①和是同一个平方根，②和是两个平方根两种情况，分别建立方程，解方程求出的值，再根据平方根的性质求出的值即可． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当和是同一个平方根时， 则， 解得， 此时； ②当和是两个平方根时， 则， 解得， 此时； 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质，正确分两种情况讨论是解题关键． 5．数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【详解】略 平方根与立方根的综合应用题型05 1．计算 ＋(－)的结果是(     ) A．4 B．0 C．8 D．12 【答案】B 【分析】根据算术平方根立方根的定义去掉根号，再计算即可判断． 【详解】解：原式=4-4=0． 故选B． 【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义． 2．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根以及立方根的定义，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．依据平方根、算术平方根以及立方根的定义，即可得出结论． 【详解】解：A．，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； B. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； C. ，等式成立，故本选项计算正确，不符合题意； D. ，故本选项计算错误，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 4．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 5．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【分析】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【详解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 与算术平方根有关的规律探究题型01 1．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若≈1.30，≈4.11，则≈（　　） A．13.0 B．130 C．41.1 D．411 【答案】C 【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵16.9×100＝1690， ∴＝×10＝41.1． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律，是解决本题的关键． 2．已知，，那么172010的算术平方根约是______． 【答案】 【分析】根据被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴172010的算术平方根约是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质．解题的关键是掌握算术平方根的性质，如果被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根也在扩大（或缩小），但只扩大（或缩小）为原来的10倍． 3．观察下列各式的特点：，，，，…计算：__________． 【答案】1012 【分析】本题考查了算术平方根．解此类题目的关键在于观察已知等式，从等式中找到规律；再根据规律解题． 认真观察式子，可以发现等式左边的被开方数是从1开始的连续奇数的和，右边是首末两个奇数的平均数（或奇数个数）的平方，利用此规律即可解答． 【详解】观察可得： ， ， …， ． 故答案为：． 4．将全体自然数的算术平方根如下图进行排列，如第3行第2列是． 请探究： (1)第6行第5列是 ； (2)第101行第100列是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中数据排列的顺序，找出第6行，第5列的数即可求解； （2）根据题中数据排列的顺序，找出规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知： 第2行，第1列的数为：， 第3行，第2列的数为：， 第4行，第3列的数为：， 第5行，第4列的数为：， 故第6行，第5列的数为：， 故答案为：． （2）解：由（1）可推测，第行，第列的数为： 当为偶数时，为， 当为奇数时，为， 故当时，第101行第100列的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类的规律问题，根据题意找出规律是解题的关键． 5．提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，则的整数部分是1，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含2位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究，尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则______（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上述探究结果，直接写出的近似值，______（结果只包含2位小数） 【答案】(1)， 面积是23的正方形的边长是，且，即， 设，如图，面积为23的正方形分成2个小正方形和2个长方形， ∵， 而， ∴， 由于较小故略去，得方程，解得， 即； (2) (3) 【分析】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键． （1）参照题目的过程解题即可； （2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可； （3）根据（2）所求，结合可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴由（2）可得． 立方根有关的规律探究题型02 1．若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点移动一位． 【详解】解：， ， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 【答案】B 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动 3 位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动 1 位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， 故选：B． 3．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 【答案】(1)两，9，3； (2)32，； 【分析】（1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）∵ ∴ 是两位数 ∵ 的个位上的数是 9 ∴ 的个位上的数字是 9 ∵划去59319后面的三位 319 得到数 59 ， ∴ 的十位上的数字是 3 故答案是：两，9，3 ； （2）①求 32768 的立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 8 ∴ 的立方根个位数是 2 ∵ ∴ 的立方根十位数是 3 综合可得 32768 的立方根是 32 ②求立方根 ∵ ∴ 的立方根是两位数 ∵ 个位数是 5 ∴ 的立方根个位数是 5 ∵ ∴274625的立方根十位数是6 ∴274625的立方根65 ∴的立方根是 【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握一些常用整数的立方值有助于快速判断立方根的整数范围． 4．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 实数的简单运算题型03 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（    ）      A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先计算出前面几次输出的结果，确定循环的组数，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：， …… 每3次为一组进行循环， （组）， ∴第2022次输出的结果是第674组的第三个，即第2022次输出的结果是1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，以及探寻规律问题，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：从第一次输出的结果开始，每次输出的结果分别是4、2、1、4、2、1、…，每3个数一个循环． 3．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】根据题目所提供的A变换，B变换的意义，有立方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可．本题考查立方根、算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：①输入数，经过一次变换，即先求出， ∵ ∴ ∴不小于的最小整数为3， 即得到的输出数是3； 故①是符合题意； 输入数，经过一次变换，即先求出， 则 ∴得到的输出数是3； 故②是符合题意； ∵输入数经过一次变换得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③是符合题意； ∵再经过一次变换得到1， ∴， ∴， ∴， ∵经过一次变换得到， 即不小于的最小整数是， ∵ ∴的取值范围是． 故④不符合题意； 故答案为：①②③ 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算平方、立方和奇次方，然后再计算加减法即可； （2）原式先去括号和去绝对值，然后再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 5．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 【答案】(1) (2)7和49（答案不唯一） (3)0，1 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）根据49的算术平方根是7，7的算术平方根是，即可得到答案； （3）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答． 【详解】（1）解：当输入的x值为25时，取算术平方根，即，5是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：49的算术平方根是7，7的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是7和49； 故答案为：7和49（答案不唯一） （3）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值． 新定义问题题型04 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，正确理解新定义的含义．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．根据的定义，将式子按的值分组，每组内符号交替，分别计算每组和再求和． 【详解】解：，， 、这个数等于1， ，， 到有个数等于2， ，， 到共有个数等于3， ， ，， 到之间工有个数等于44， ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 【答案】(1) ①，；②如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根.这就是说，如果，那么叫做的四次方根 (2) ①，，，没有；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根；③B (3) ①；② 【分析】（1）①仿照平方根、立方根的求法，分别求出、的四次方根；②根据计算结果总结四次方根的定义； （2）①根据四次方根的定义分别求、、、的四次方根；②归纳四次方根的特征；③我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①根据四次方根的定义求出结果；②分别求出和的四次方，通过比较它们的四次方，比较两数的大小． 【详解】（1）①解：， 若，则； ， 若，则； ②解：四次方根的定义：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫做的四次方根； （2）①解：， 的四次方根是； ， 的四次方根是； ， 的四次方根是； 任何数的次方都不等于， 没有四次方根； ②解：正数有两个四次方根，它们互为相反数；的四次方根是；负数没有四次方根； ③解：我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫分类讨论思想； （3）①解：， ； ②解：，， 又， ． 4．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，被开方数的非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据被开方数非负的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 5．（25-26七年级·河南濮阳·期中）材料：对于正整数a，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对48进行如下操作：，即对48进行3次操作后首次变为2． 根据以上材料，解决下面问题 (1) ， ． (2)若，正整数m的最大值是x，最小值是y，则的平方根是 ． (3)对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为 次． (4)若对正整数a进行2次操作首次变成了3，a的最小值是 ；若对正整数a进行2次操作首次变成了n，a的最小值是 （用含有n的代数式表示）． 【答案】(1)5，5 (2) (3)四 (4)17；当时，的最小值是5；当时，的最小值是 【分析】（1）根据，解答即可； （2）求出，则，可得的值，代入计算平方根即可； （3）根据定义和操作，逐次计算即可； （4）设，，其中为正整数，求出，正整数的最小值为，则当正整数取得最小值5时，的值最小；分三种情况：①，②和③，参考上面的方法，结合定义解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数的最大值是，最小值是， ∴， ∴， ∴的平方根是． （3）解：∵， ∴， ∴对2026进行第一次操作：， ∵， ∴， ∴对2026进行第二次操作：， 由题干可知，对2026进行第三次操作：， 对2026进行第四次操作：， ∴对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为四次． （4）解：由题意，设，，其中，且为正整数， ∴，， ∴，， ∴正整数的最小值为， ∴当正整数取得最小值5时，的值最小，最小值为． 设，，其中，且为正整数， ∴，， ①当时，，则正整数，不符合题意，舍去； ②当时，， ∴， ∴正整数或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴此时正整数的最小值为5； ③当时，，， ∴正整数的最小值为，正整数的最小值为， 此时假设， ∴，即， 由平方根的性质得：或，即或，均不符合题设， ∴假设不成立，即当时，必有， ∴当的值最小时，正整数的值最小，最小值为； 综上，当时，的最小值是5；当时，的最小值是． 规律探究问题题型05 1．（25-26七年级·浙江绍兴·期末）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 2．（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 【答案】45 【分析】仔细观察图形，根据前面几个图形，找到图形变化的规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：第1个图案由个小黑点组成， 第2个图案由个小黑点组成， 第3个图案由个小黑点组成， 第4个图案由个小黑点组成， ……， 第个图案由个小黑点组成， 根据题意可得，解得：（不合题意，舍去），． n的值为45． 3．（24-25八年级上·北京·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 【答案】(1)；； (2) 证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，依题意得， ； (3) 【分析】本题考查列代数式，整式的混合运算，有理数的混合运算， （1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可得证； （3）中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为，根据题意列出方程求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 不难发现，结果都等于， 故答案为：；；； （2）略 （3）解：设中间位置上的数为，则最小的数为，最大的数为， 依题意得，， ， ， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴中间位置上的数． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， a用点A、用点B、用点C表示． ． （2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是； （3）或；或或； （4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）； 不存在，理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 【答案】(1) (2)①；②32 (3)①1；② (4)或1 【分析】（1）根据“杨辉三角”的系数规律进行解答即可； （2）①根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案；②根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案； （3）①令即可求出答案；②分别令和列出式子，两式相减即可求出答案； （4）根据“杨辉三角”的系数规律变形后得到，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， （2）解：① ； ② （3）解：①当时， ， ②当时， ①， 当时， ②， 得到， ∴ （4） 当代数式的值为1时，则， ∴， ∴或， 解得或1 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 平方根与立方根 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 平方根与立方根的估值 题型03 平方根的应用 题型04 平方根的概念 题型05 求一个数的平方根 题型06 利用平方根解方程 题型07 立方根的概念 题型08 计算立方根 题型09 立方根的应用 题型10 计算器使用 B组 能力进阶 题型01 利用算术平方根的非负性解题 题型02 确定无理数的整数部分 题型03 利用平方根的性质求解 题型04 已知平方根/立方根求数或代数式 题型05 平方根与立方根的综合应用 C组 思维拔高 题型01 与算术平方根有关的规律探究 题型02 立方根有关的规律探究 题型03 实数的简单运算 题型04 新定义问题 题型05 规律探究问题 求一个数的算术平方根题型01 1．4的算术平方根是（    ） A．±2 B．﹣2 C．2 D．不确定 2．（25-26八年级上·内蒙古·期中）的平方根为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．_________；_________；的算术平方根是_______；的立方根是__________． 4．计算：﹣． 5．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，求和的值； (2)若，均为有理数，且，求的算术平方根． 平方根与立方根的估值题型02 1．估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．（24-25七年级下·广东云浮·期末）若一个正方形的面积是10，则它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 3．下列哪一个数与方程的解最接近（    ） A． B． C． D． 4．满足的所有整数的和是______． 5．（25-26七年级下·江苏南通·质检）用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 平方根的应用题型03 1．（25-26八年级·山西临汾·期末）一茶几的桌面为正方形，它的面积是，则该茶几桌面的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）经过反复实验得到一个物体从高处自由下落时，下落的距离h（单位：米）和下落的时间t（单位：秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从80米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了3秒，问物体下落前离地面的距离是多少米？ 4．（24-25八年级上·广东河源·期中）小明作为蓝信封行动的通信志愿者，有一次制作了一张面积为的正方形明信片想寄给对接的乡村小朋友．已知信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)判断小明能否将这张明信片不折叠就放入此信封，并说明理由． 5．（25-26七年级·广东珠海·期末）综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 平方根的概念题型04 1．下列说法正确的是(   ) A．9的平方根是3 B．－3是9的平方根 C．是9的算术平方根 D．－3是9的算术平方根 2．（25-26七年级下·广东惠州·期末）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各数一定没有平方根的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江西南昌·月考）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 5．已知一个正数的两个平方根分别为和，则_____ 求一个数的平方根题型05 1．64的平方根是（    ） A．8 B． C． D．4 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 3．若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 4．（25-26八年级·期末）若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 5．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 利用平方根解方程题型06 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）根据平方根的定义，我们可以解一些二次方程，若，则______． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·月考）已知，则的值等于______． 3．求下列各式中的值 (1) (2) 4．小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程． (1)小天先尝试解了下面两个方程： ①，解得或；②，此方程无实数解． 方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数； 方程②无实数解的依据是：___________； (2)小天进一步探究了解方程③和④： ③ 解：． 或． ④． 解：或． 或． 请你参考小天的方法，解下列两个方程： ⑤； ⑥． 5．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 立方根的概念题型07 1．若，则的立方根是（　　） A． B． C． D． 2．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 3．关于立方根，下列说法正确的是（　　） A．正数有两个立方根 B．立方根等于它本身的数只有 C．负数的立方根是负数 D．负数没有立方根 4．若与互为相反数，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·质检）某数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们数学小组探究发现的结果，内容如下：“我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．” (1)若，则的值是 ． (2)若，求的立方根． 计算立方根题型08 1．的立方根为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 2．（2026·宁夏银川·模拟）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．求下列各数的立方根： (1)； (2)；    (3)． 4．求下列各式中x的值． (1) (2)． 5．（25-26八年级上·上海·月考）设，且，且，求的值． 立方根的应用题型09 1．一个正方体的体积为27立方分米，则该正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．3分米 D．9分米 2．读了《曹冲称象》的故事后，亮亮深受启发，他利用排水法测出了正方体物块的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将一个正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块， 问锻造成的立方体铁块的棱长是多少厘米？ 4．（24-25八年级上·河北保定·月考）观察下表，并解答下列问题． 1 1000 1000000 1 10 100 【规律总结】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位． 【规律应用】 （2）已知，，． ①__________． ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 5．（24-25八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中d是雷雨区域的直径． (1)如果某场雷雨区域的直径是，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果保留根号） (2)如果这场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到；参考数据：） 计算器使用题型10 1．用计算器求2025的算术平方根时，下列四个键必须按的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为___________． 3．用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 4．用计算器计算（精确到0.01）： (1)； (2)． 5．任意找一个数，比如1234，利用计算器对它进行开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，你有什么发现？ 利用算术平方根的非负性解题题型01 1．已知实数x、y满足，则的值是（    ）． A． B．4 C． D．无法确定 2．若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．若有意义，则a应满足_______． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知实数a，b满足． (1)求a、b的值． (2)求的平方根． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，若点，，满足． (1)求的值； (2)若点的坐标为，连接，．则的面积为 ； (3)点在直线上，且．数学活动小组的同学发现：当点在线段上时，可连接，的面积是面积的，根据两者间的面积关系，即可求出点坐标．请你根据活动小组的思路，直接写出满足条件点的坐标． 确定无理数的整数部分题型02 1．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 2．的小数部分为_________． 3．（24-25八年级上·北京·期中）的整数部分是_____，小数部分是_________________． 4．（24-25八年级·期中）通过学习，我们知道是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．聪明的小丽认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分．所以用来表示的小数部分．根据小丽的方法请完成下列问题： (1)的整数部分为 ，小数部分为 ； (2)已知的整数部分为，的整数部分为，求的立方根． 5．（24-25七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且，那么， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ， m，n是有理数， ，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)已知，其中a是整数，且，求a，b的值； (2)已知x，y是有理数，且满足等式，求的值． 利用平方根的性质求解题型03 1．若是169的算术平方根，是121的负的平方根，则（＋）2的平方根为（ ） A．2 B．4 C．±2 D．±4 2．（25-26七年级·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 3． ，则x=_______． 4．已知且，则_________. 5．（25-26八年级上·河南·月考）已知． 求： (1)的值； (2)的值． 已知平方根/立方根求数或代数式题型04 1．若是x的一个平方根．则x的值是______． 2．已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 3．（24-25七年级上·吉林长春·期末）已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值． (2)求的平方根． 4．已知和都是的平方根，求与的值． 5．数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 平方根与立方根的综合应用题型05 1．计算 ＋(－)的结果是(     ) A．4 B．0 C．8 D．12 2．下列等式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·月考）已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 4．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 5．（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 与算术平方根有关的规律探究题型01 1．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若≈1.30，≈4.11，则≈（　　） A．13.0 B．130 C．41.1 D．411 2．已知，，那么172010的算术平方根约是______． 3．观察下列各式的特点：，，，，…计算：__________． 4．将全体自然数的算术平方根如下图进行排列，如第3行第2列是． 请探究： (1)第6行第5列是 ； (2)第101行第100列是 ． 5．提出问题： 单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．如何用数形结合的方法探究的近似值呢？ 探究方法： 面积为2的正方形边长为，可知，则的整数部分是1，因此设，且． 画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照上述的方法，探究的近似值（结果只包含2位小数），要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程； (2)综合上述具体探究，尝试计算：已知非负整数a、b、m，若，且，则______（用含a、b的代数式表示）； (3)应用上述探究结果，直接写出的近似值，______（结果只包含2位小数） 立方根有关的规律探究题型02 1．若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 2．（24-25七年级下·河南安阳·期中）已知，，则a的值约为（   ） A．525 B．5250 C．52500 D．525000 3．据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，可以确定是______位数．由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是______，如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此可以确定、59319的十位上的数字是______； (2)已知32768，都是整数的立方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根． 4．（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 实数的简单运算题型03 1．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 2．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（    ）      A．8 B．4 C．2 D．1 3．（24-25七年级下·福建龙岩·期中）小聪是个爱思考的好学生，他利用模型设计了两种数学程序变换： A变换：输入数—发出指令1：对数取立方根—发出指令2：取不小于该立方根的最小整数—输出数． B变换：输入数—发出指令1：对数取算术平方根—发出指令2：把减去1—输出数． 如：6经过一次变换得到2，7经过一次变换得到．小聪根据该程序变换，设计并解答了如下4个问题： ①输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ②输入数，经过一次变换得到的输出数是3； ③输入数经过一次变换得到，若，则的值为9； ④经过一次变换得到，再经过一次变换得到1，则的取值范围是． 利用验证结果，小聪解答正确的序号是______． 4．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）计算： (1)； (2)． 5．一个数值转换器如图所示： (1)当输入的值为25时，输出的的值是________； (2)若输出的值是，试写出两个满足要求的的值：________； (3)若输入（为非负数）值后，始终输不出的值，请直接写出所有满足要求的的值． 新定义问题题型04 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西长治·期中）规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 3．（25-26七年级下·福建厦门·期中）阅读与探究： 在第八章《实数》中，我们学习了平方根和立方根．下面类比平方根和立方根的学习方法理解四次方根． (1)填表与定义 ①填表 1 16 81 ___________ ___________ ②结合上述①中表格情况，类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： 平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根或二次方根． 立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根． 四次方根的定义：一般地，___________． (2)思考与归纳 求一个数的四次方根的运算叫做开四次方．开四次方和四次方互为逆运算． ①探究： 的四次方根是___________，的四次方根是___________，的四次方根是___________． ___________（填“有”或“没有”）四次方根． ②归纳： 根据上述①中正数、、负数情况，类比平方根和立方根的特征，归纳四次方根的特征：___________． ③总结： 我们归纳四次方根的特征时，分了正数、、负数三类进行研究，这种思想叫___________． A．类比思想                         B．分类讨论思想 C．由一般到特殊的思想    D．由特殊到一般的思想 (3)巩固与应用 类似于平方根和立方根，一个数的四次方根用符号“”表示，读作“正、负四次根号”，其中是被开方数，是根指数．例如表示16的四次方根，． ①___________（将结果直接填到横线上） ②比较大小：___________（填“<”或“=”或“>”） 4．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 5．（25-26七年级·河南濮阳·期中）材料：对于正整数a，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，． 现在对48进行如下操作：，即对48进行3次操作后首次变为2． 根据以上材料，解决下面问题 (1) ， ． (2)若，正整数m的最大值是x，最小值是y，则的平方根是 ． (3)对2026进行如上操作首次变为2，则需进行的操作次数为 次． (4)若对正整数a进行2次操作首次变成了3，a的最小值是 ；若对正整数a进行2次操作首次变成了n，a的最小值是 （用含有n的代数式表示）． 规律探究问题题型05 1．（25-26七年级·浙江绍兴·期末）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 2．（25-26九年级下·黑龙江绥化·月考）如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为______． 3．（24-25八年级上·北京·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； (2)设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 4．（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 5．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）【文化欣赏】我国南宋时期杰出的数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载了“杨辉三角”，此数表给出了展开式的系数规律． 第2行 第3行 第4行 第5行 【应用体验】 (1)的展开式为 ； (2)利用上面的规律计算： ① ； ② ； (3)若， ①求的值． ②求的值． (4)当代数式的值为1时，求a的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $