精品解析：天津市九十六中学2026-2027学年高三上学期阶段性质量检测(一)数学试卷

高三数学阶段性质量检测1 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用韦恩图即可得解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：C. 2. 设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合菱形的定义和几何性质，判断“四边形为菱形”和“”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当四边形为菱形时，必有两条对角线互相垂直，即； 当四边形的两条对角线垂直时，即，不一定能推出四边形为菱形， 还需要再加上对角线互相平分这一条件，才可推出四边形为菱形， 故“四边形为菱形”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把各个数化成指数相同的形式，然后再根据幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为，，， 且幂函数在 上单调递增， 又，所以. 【点睛】本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个： 一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间，， ）； 二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小. 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式进行化简，然后对原式进行齐次化，转化为只含有的代数式，代入计算可知结果为选项B. 【详解】利用诱导公式化简： 已知角的终边经过点，可得，且. 分子分母同时除以： . 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦化切可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】因为，解得. 故选：D. 8. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解 【详解】选项A：有可能出现的情况； 选项B：和有可能异面； 选项C：和有可能相交； 选项D：由，，得直线和平面没有公共点，所以， 故选：D 9. 如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设球的半径为，则，解得， 所以圆柱的底面半径，母线长为， 所以圆柱的侧面积为，故选C． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 在空间直角坐标系中，若点，，则_________________________ 【答案】 【解析】 【分析】直接利用空间向量的模长公式计算即可. 【详解】由题意知. 故答案为： 11. 在中，若，，，则_________. 【答案】5 【解析】 【分析】 根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】解：因为在中,,,, 由余弦定理：, , 所以. 故答案为： 【点睛】本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，求点到直线的距离______. 【答案】 【解析】 【分析】 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，取，，从而可得点到直线的距离. 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，1，， ，1，， ，， 取，， ，， 则点到直线的距离为. 故答案为：. 【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 13. 函数的图象的一个对称中心的坐标是______. 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】 令，解得，即可求得正弦型函数的对称中心. 【详解】令，因为的对称中心为， 所以令，解得， 所以的对称中心坐标为， 当时，函数的一个对称中心坐标为. 故答案为： 【点睛】本题考查正弦型函数的对称中心，属于基础题. 14. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成角的余弦值. 【详解】分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），F（1，0，2），D（0，0，0），E（0，1，2）， ∴=（，0，2），=（0，1，2）， 设，的夹角为， 则异面直线AF与DE所成角的余弦值是． 故答案为：. 15. 下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； 其中正确的是___________．（写出所有正确答案的序号） 【答案】 ②③ 【解析】 【分析】结合正切函数的单调性特征、三角函数诱导公式与奇偶性定义、正弦函数对称轴的性质逐一判断三个命题的正误. 【详解】对于①：正切函数的定义域为， 它仅在每个区间内单调递增，在整个定义域内不满足增函数的定义，故①错误； 对于②：由诱导公式得， 其定义域为，对任意，均有，符合奇函数的定义，故②正确； 对于③：将代入，得， 此时为函数的最小值，而正弦函数在对称轴处取得最值，因此是该函数的一条对称轴方程，故③正确. 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）法一：利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；法二：利用余弦定理计算即可求解； （2）（ⅰ）利用余弦定理计算即可求解；（ⅱ）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 中，， 法（一） 由正弦定理有①， 因为，所以， 代入①式整理得， 又，所以， 因为，所以. 法（二） 由余弦定理，代入， 整理得，代入， 因为，所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由已知，， 代入，解得，. （ⅱ）由正弦定理，有， 又因为，故为锐角，故， 所以，， 由，， 故. 17. 如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点. （1）求直线与平面BDE所成角的正弦值； （2）求平面与平面BDE的夹角的余弦值； （3）求点F到平面BDE的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得向量和向量的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为和向量，结合距离公式，即可求解. 【小问1详解】 解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 可得，，， 设平面BDE的法向量为，则，即， 取，可得，所以， 设直线与平面BDE所成的角为. 则， 即直线与平面BDE所成角的正弦值为. 【小问2详解】 解：因为，， 设平面的法向量为， 则，即，取，可得，所以， 设平面与平面BDE的夹角为， 则， 即平面与平面BDE的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 解：由（1）知，平面BDE的一个法向量为， 又由，所以点F到平面BDE的距离， 即点F到平面BDE的距离为. 18. 已知函数. （1）求在上的最值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，进而由的取值范围得出函数的最值； （2）利用面积公式，余弦定理和正弦定理求解即可． 【详解】（1） 当时， ，. （2） 又 又 19. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四面体的体积． 【答案】（1） 因为平面，且平面， 所以，，又， 则以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系 (如图)， 则，． 因为，， 又平面， 所以平面， 故是平面的一个法向量， 又，所以， 又因为平面 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系建立空间直角坐标系，通过证明向量与平面的一个法向量垂直即可证明； （2）先求出平面的一个法向量，再由坐标运算求出两个平面的法向量夹角余弦值的绝对值，即为所求； （3）利用空间向量公式求出点E到平面的距离，由勾股定理的逆定理求得，进而求出的面积，即可求得四面体的体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， 则， 又， ， 所以， 令，可得． 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量， 所以点E到平面的距离 ， 因为，， 又平面，，则平面， 又平面， 所以，， 又，， 则， 在中：， ， ， 所以，所以， 所以， 所以四面体体积. 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上. （I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM； （II）求证：； （III）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ） 证明：连接BD交AC于H点，连接MH， AI 因为四边形ABCD是菱形， 所以点H为BD的中点.                               又因为M为PD的中点， 所以MH // BP. 又因为 BP 平面ACM, 平面ACM. 所以 PB // 平面ACM. （Ⅱ）证明：因为为正三角形，E为AB的中点， 所以PE⊥AB . 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE平面PAB， 所以PE⊥平面ABCD. 又因为平面， 所以. (Ⅲ)当时，二面角的大小为60°. 【解析】 【详解】试题分析：(1) 连接BD交AC于H点，由三角形中位线性质得MH // BP ，再根据线面平行判定定理得结论(2)由面面垂直性质定理得PE⊥平面ABCD，即得；（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设列各点坐标，由方程组解得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，再根据二面角与法向量之间关系列方程，解得的值 试题解析：（I）略； （II）略; (Ⅲ) 因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点， 所以CE⊥AB . 又因为PE⊥平面ABCD， 以为原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系， 则，， ，，． 假设棱上存在点，设点坐标为，， 则， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，解得． 令，则，得． 因为PE⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量， 所以． 因为二面角的大小为60°， 所以， 即， 解得，或（舍去） 所以在棱PD上存在点，当时，二面角的大小为60°． 点睛：(1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学阶段性质量检测1 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设四边形的两条对角线为，则“四边形为菱形”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则 A. B. C. D. 4. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，则函数的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 9. 如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 在空间直角坐标系中，若点，，则_________________________ 11. 在中，若，，，则_________. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，求点到直线的距离______. 13. 函数的图象的一个对称中心的坐标是______. 14. 如图，正方体ABCA1B1C1D1中，E、F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是_________． 15. 下列说法： ①正切函数在定义域内是增函数； ②函数是奇函数； ③是函数的一条对称轴方程； 其中正确的是___________．（写出所有正确答案的序号） 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，. （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值. 17. 如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点. （1）求直线与平面BDE所成角的正弦值； （2）求平面与平面BDE的夹角的余弦值； （3）求点F到平面BDE的距离. 18. 已知函数. （1）求在上的最值； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，，，的面积为，求的值. 19. 如图，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四面体的体积． 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上. （I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM； （II）求证：； （III）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $