浙江平阳县万全综合高级中学普高升学部2026-2027学年高二上学期第9月月考数学试卷

万全综合高级中学2026学年第一学期普高升学部月考试卷 高 二 数 学 考生须知： 1.本卷共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.试卷分为试卷(共4页)和答题卡(共2页)。请在答题卷上写上考生姓名、班级、考号。 3.请考生将所有答案写在答题卷上，写在其他上无效。 4.本次考试不得使用计算器，请耐心解答.祝你成功！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4.已知复数的共轭复数为，且，则（  ） A． B． C． D． 5. 设，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，P为内一点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二.多项选择题：每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 点为平面上的一点，且，则 B. 若为空间的一组基底，则不能作为空间的一组基底 C. 若，则与共线 D. 两个不重合的平面，的法向量分别是，，则 10. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 D. 点O到直线BC的距离是 11. 如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 该三棱柱的外接球的表面积为 C. 异面直线与所成角的正切值为 D. 二面角的余弦值为 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面经过点，且向量是平面的法向量，则点到平面的距离为________. 13. 已知向量，，，若共面，则等于_________. 14. 二面角中，，且，若，，则此二面角的正弦值为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（13分）．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示，； (2)求线段的长 16（15分）. 如图，在四棱锥中，底面为正方形、平面分别为棱的中点 （1）证明：平面; （2）若，求直线与平面所成角的正弦值 17（15分）. 已知锐角的面积为6，且. （1）若，求； （2）若，且，求. 18（17分）. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 19（17分）. 已知定义在上的函数对任意恒有，当时，． （1）求，判断函数的奇偶性并说明理由； （2）判断的单调性，并证明； （3）若对任意的不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高二第一学期月考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 选项 A C 心 B D B BCD AC AD 12 马a 13.9 14. 2 15.【详解】(1)方法一：由题意知， BD=AD-AB=AD+AA-AB 4G-AB+BC+CG-AB+D+C-B+D+BB-BC) =B+D+4-0)=B+号D+4: 方法二：因为G为CB的中点，所以4G=(B+4C) 西+4)+（西+而列]=西+而+4。 (②)因为四边形4BCD是正方形， ∠AAD=∠AAB=60°AA=2AB=2 所以A6.AD=0,B:4=1x2×c0s60°=1D.A4-1x2xcos60°=1 商u4G-(丽+0+号a】 =丽+日而++孤D+丽+兮0 =1+1+0+1+5 24 所以AG= 15 2， 即线段AG的长为2， 16.【答案】 )证明：：M、N分别为 B,SC 的中点， ∴.MN/IBC,.ABCD 为正方形， :BC/AD,N1AD,:MNg平面SMD,DC平面SMD ∴.MN/SAD 平面 1 (2)2. 【解析】 【小问2详解】 SA⊥ ABCD,AB⊥AD 由题知 平面 建立如图所示的空间直角坐标系， ZA M D B 设SM=AD=2,则S(00,2)A(0,00),D(0,20),B(2,00),C(22,0) M(1,0,1),N(1,1,1).SD=(0,2,-2）.AD=(0,2,0）.AM=(1,0,1) 设平面4DWM的一个法向量为=(xy,z) 「i.AD=2y=0 则分M=x+2=0令x=,则y=0,2= ∴n=(1,0,-1) 设直线SD与平面ADNM所成的角为O, nSD 2 1 sin0=cos(i,SD） SD V2×2W22, 所以直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为2. 17.【小问1详解】 由题意， S.4mc-ABx BCxsin LABC=6 BC=6=6N2 将B=2与∠A8C=买代 ”4代入解 4 【小问2详解】 因BC=2DB,结合图形可知点D在线段BC的反向延长线上，且 D-RC-5 D B 2210x∠4c=6约m2AC- ,则sin∠ABD=3 , 因△ABC为锐角三角形，则cos∠ABC=V1-sin2∠ABC= 5, 在△ABC中，由余弦定理， AC2=AB2+BC2-2AB×BC×CoS∠ABC=4+100-2×2×10× 4=12 则4C=65,又由余弦定理，c0sC=1C,+BC-AB_72+100-47N2 2ACxBC 2×6V2×1010, 在△ACD中，由余弦定理， AD2=AC2+CD2-2AC×CD×c0S∠C=72+225-2×6V2×15 7N2-45 10 BD AD 则AD=3V5,在△ABD中，由正弦定理，sin∠BAD sin.∠ABD, 则有sin∠BAD=BD n∠ABD=5x3V5 AD 3555 18.【答案】 【小问1详解】 二面角P-BC-D为直二面角，即平面PBC⊥平面BCD, 又因为 DLBC,.CDC平面BCD,平面PBCn平面BCD=BC 平面 所以CD⊥平面PBC. 又因为PBC平面PBC,所以PB⊥CD 由题意PB⊥PC,CDnPC=C,CD,PCc平面PCD, 所以PB⊥平面PCD. 【小问2详解】 M 取BC中点O,BD中点M,连接OP,OM, 则OM⊥BC,OM/CD. 因为CD⊥平面PBC,OPc平面PBC,所以CD⊥OP,所以OM⊥OP, 在△ABC中，PB=PC,O为BC中点，所以OP⊥BC. 以{OB,OM,OP}为正交基底建立如图所示空间直角坐标系0-9z, 4oaao.uio.ca0小o9d 设该球的球心坐标为：少2)，则 ---可 解得*=0ys6 ,2-0 32 /6.18 x2+y2+ =6 所以该球的半径为 2 V44 【小问3详解】 法 平 面 BCD的 一个法向量为 元=(0,0,1)，BP 2 BD=(-3W2,N6,0 [32+32 则-=0即2 x+ =0, 设平面 的法向量为」 2 PBD ,=(x,y,z）n2·BD=0,-3V2x+V6y=0. 取x=1,得平面PBD的一个法向量为店=(V3,】 cosn,n2= 55 √5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5· 法二：取BC中点O,在△BCD中，过O作OH⊥BD,垂足为H,连接PH, 平面PBC⊥平面BCD,OP⊥BC,OPC平面PBC, 平 PBCn平面BCD=BC,所OPL平面BCD, 而BDC平面BCD,故OP⊥BD, 又因为OI⊥D.OPnOH=0,OP,OHC平面OPH,故BD1平面 OPH 而PHc平面OPH,所以PH⊥BD, 则∠PHO为平面PBD与平面BCD的所成角： 直角三角形ABC中， 0P=3V2 2, D B OH=OBxsin3:0°= 3√213V2 224 3W2 5 cos∠PHO= OH PH 322 5 4/ 5 所以平面PBD与平面BCD所成角的余弦值为5 19.【答案】(1) 令x=y=0,则f0+0)=f0)+f0),解得(0)=0， f(,)为奇函数，理由如下： f()定义域为R关于原点对称， 令’=-得f0)=f国+f(利=0，即f-0=-f四 所以f()为奇西数 (2) f()在R上单调递增，证明如下： 任取，西eR且>为，则-名>0， 因为当x>0时，f(x)>0 所以/（名-x)>0 又f()-f(x)=f()+f(-)=f(-x)>0,即f()>f). 所以（冈）在R上单调递增 (3) e 【解析】 【小问3详解】 法一：由(2)得（在R上单调递增， 则1og,(9+3列<x+a对任意的x∈[，2]恒成立， 即bg,(9+3)<1og,3"对任意的xe,2]恒成立， 因为y=108在0，+)上单调递增， 所以9+3<3，即9-3+3<0对任意的x∈，2]恒成立， 令1=3产则1e3,9] 令h(0=2-3”1+3 h(3)<09-3x3+3<0→3>28 则1h(9)<081-3”×9+3<0 3 28 解得a>log,3,所以a的取值范国 法二：由（②）得()在R上单调递增。 则log,(9+3)<+a对任意的x∈[，2]恒成立， 则log,(9+3)-x<a 9+3=l0g og+3)-log,3log, 3+ *对任意的x∈[l,2]恒成立， 3 >3+ 则有 3, 令1=3，则1∈B,9],所以 3”>1+3 1, 因为’=+i在3,9上单调递增。 3 28 1+- 所以当t=9,即x=2时，t取得最大值，最大值为3， 所以有3”28 28 28 >3,则a>log,3,所以a的取值范围