精品解析：陕西宝鸡南山高级中学2026～2027学年度高一第一学期阶段一考试数学试题

宝鸡南山中学2026级2026~2027学年度高一第一学期阶段一考试试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于A，0不是正整数，故A错误； 对于B，不是有理数，故B正确； 对于C，不是整数，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式分析即可. 【详解】易知，的否定形式为，. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简条件与结论，结合充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】等价于，即或， 等价于，即，等价于， 因为可推出或， 因此可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 当时，此时， 但，，， 所以“”不是“”的充分条件， 因此“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 6. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得集合，， 又阴影部分表示的集合为：在全集中的补集为， 故其真子集的个数为. 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，，且，所以， 又由可得，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18. 故选：C. 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】AD 【解析】 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断. 【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 10. 已知集合，，且，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，判断集合间的包含关系，进而根据集合中的元素情况进行分类讨论，求出参数范围. 【详解】由，可得， 由，得； 当时，，符合条件； 当时，，解得； 当时，，解得； 故选：ACD. 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对C先由基本不等式可得，再由不等式性质可得；对D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得. 【详解】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若，则实数的取值集合为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性. 【详解】因为， 当时，则，不满足元素互异性，舍去； 当时，即，解得或或（舍去）， 当时，符合题意； 当时，符合题意； 故实数的取值集合为． 故答案为： 13. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的否定得出判别式的不等关系计算求解. 【详解】命题：“，”为假命题，则“，”为真， 可知方程无实数解，所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合中恰有两个整数分别是3和4或2和3列式计算求解. 【详解】若集合中的两个整数是3和4，则解得； 若集合中的两个整数是2和3，则解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），； （2），或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得； （2）先求集合的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得. 【小问1详解】 因为集合， 又集合， 所以， ． 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可；（2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知， 若，当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），时，所用篱笆总长最小 （2），时，菜园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）先依题意得到，再结合基本不等式求和的最小值即可求解； （2）先依题意得到，再结合基本不等式求积的最大值即可求解． 【小问1详解】 由题可得（，）， 所以篱笆总长为， 当且仅当，即，时，等号成立， 又，所以当，时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题可得， 所以菜园面积， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，时，菜园的面积最大，最大面积为． 18. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以当时，的最小值是. （2）由，可得，解得， 所以， 当且仅当，即时，取得等号，所以的最大值是． （3）因为，令，则，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． 19. 已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. （1）若集合，求、和； （2）若集合，，且，求和的值； （3）若集合，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）， （3）1350 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义一一计算即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求集合元素个数的范围，即可求出最大值． 【小问1详解】 解方程可得，由定义可知； 【小问2详解】 因为，，， 所以中最大的元素为，则， 即， 中余下的元素对应， 又，所以， 则 【小问3详解】 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 而中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为675． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡南山中学2026级2026~2027学年度高一第一学期阶段一考试试题 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则命题p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 7. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 24 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 10. 已知集合，，且，则的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 11. 已知，，，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 的最大值为； D. 的最小值为. 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 若，则实数的取值集合为___________． 13. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为________. 14. 已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 四．解答题（共5小题，满分77分） 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 18. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 19. 已知集合为非空数集，定义集合，，记为集合中元素的个数. （1）若集合，求、和； （2）若集合，，且，求和的值； （3）若集合，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $