陕西宝鸡南山高级中学2026～2027学年度高一第一学期阶段一考试数学试题

宝鸡南山中学2026级2026~2027学年度高一第一学期阶段一考试试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解． 【解答】解：对于，因为0不是正整数，所以，故错误； 对于，因为不是有理数，所以，故正确； 对于，因为不是整数，所以，故错误； 对于，因为中没有任何元素，所以，故错误． 故选：． 2．（5分）已知命题，，则命题的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 【分析】利用特称命题的否定形式分析即可． 【解答】解：因为特称命题的否定为全称命题， 所以命题，的否定形式为，． 故选：． 3．（5分）已知集合，，，则（　　） A．，2， B．， C．，0，2， D．，1，2，3， 【分析】根据交集的定义即可求解． 【解答】解：因为，，2，4，6，8，，，， 所以，2，． 故选：． 4．（5分）已知，，“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案． 【解答】解： 或， 因为或；或 所以； 所以是的必要不充分条件 故选：． 5．（5分）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】结合不等式性质检验各选项即可求解． 【解答】解：因为， 由不等式性质可得，错误； 当时，显然没有意义，错误； 由可得，则，错误； 由可得，， 则， 所以，即，正确． 故选：． 6．（5分）已知全集，0，1，2，3，，集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【分析】结合补集、并集的运算法则，以及真子集的个数公式，即可求解． 【解答】解：，，，2，， 则，2，3，， 全集，0，1，2，3，， 又阴影部分表示的集合为：在全集中的补集为，， 故其真子集的个数为． 故选：． 7．（5分）若，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用待定系数法将用、加以表示，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围． 【解答】解：因为， 又因为，， 所以，， 由不等式的性质可得，即， 因此的取值范围是． 故选：． 8．（5分）已知正数，满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．18 D．24 【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值． 【解答】解：因为，，且，所以， 又由可得，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 故选：． 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知命题，，命题，，则（　　） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断． 【解答】解：命题：当时，，为假命题，则为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故，正确，，错误． 故选：． （多选）10．（6分）已知集合，，，且，则的值可以为（　　） A． B． C．0 D． 【分析】根据已知条件，判断集合间的包含关系，进而根据集合中的元素情况进行分类讨论，求出参数范围． 【解答】解：由，可得，且，； 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得． 故选：． （多选）11．（6分）已知，，，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【分析】用并说明无最小值，把两因式凑成与，和为定值10，再利用基本不等式求最值，先平方再用求最值；先把分式拆成“整式加真分式“以消去常数，再对、用“乘1法“求最小值． 【解答】解：由、、． 对于，由知的最大值为1（当且仅当时取到）， 而可无限接近于0（如，故无最小值，错误． 对于，由， 得， 当且仅当，即、时取等号，故正确． 对于，由及， 得，当且仅当时取等号，故正确． 对于，由、， 得，又， 故， 即，所以， 当且仅当，即，也即、时取等号，故正确． 故选：． 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若，，则实数的取值集合为， ． 【分析】分和两种情况讨论，求出的值，再检验是否满足集合元素的互异性． 【解答】解：因为，， 当时，即， 解得或或， 当时，，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，则，不满足元素互异性，舍去； 故实数的取值集合为，． 故答案为：，． 13．（5分）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【分析】结合全称量词命题的真假关系即可求解． 【解答】解：若命题：“，”为假命题， 则命题：“，”为真命题， 故△，解得． 故答案为：． 14．（5分）已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是或 ． 【分析】根据集合中恰有两个整数分别是3和4或2和3列式计算求解． 【解答】解：若集合中的两个整数是2和3，则解得． 若集合中的两个整数是3和4，则解得； 综上所述，实数的取值范围是或． 故答案为：或． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【分析】（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得； （2）先求集合，的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得． 【解答】解：（1）因为，， 所以， ． （2）因为，，， 所以或，或， 所以， 或或或． 16．（15分）已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可； （2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意知， 若， 当时，则，解得； 当时，则，解得或， 的范围是或． （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是． 17．（15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）先依题意得到，再结合基本不等式求和的最小值即可求解； （2）先依题意得到，再结合基本不等式求积的最大值即可求解． 【解答】解：（1）若菜园面积为， 则， 所以篱笆总长为， 当且仅当，即，时，等号成立， 又，所以当，时，所用篱笆总长最小． （2）若使用的篱笆总长度为， 则， 则菜园面积， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，时，菜园的面积最大，最大面积为． 18．（17分）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 【分析】（1）把凑成，使与之积为定值4； （2）先由被开方式非负定出的范围，再把拆成，由和为定值求积的最大值； （3）换元把分母化为，分子分母同除以后，由的最小值确定原式的最大值． 【解答】解：（1）由得，故， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为7． （2）由得，此时、且为定值， 故， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为． （3）令，由得且， 故， 由得，当且仅当，即（此时时取等号， 故，则，即的最大值为． 19．（17分）已知集合为非空数集，定义集合，，，，，，记为集合中元素的个数． （1）若集合，求、和； （2）若集合，，，，，且，求和的值； （3）若集合，且，求的最大值． 【分析】（1）直接根据新定义一一计算即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求集合元素个数的范围，即可求出最大值． 【解答】解：（1）集合为非空数集，定义集合，，， ，，，为集合中元素的个数， 集合，， ，，3，，，； （2）集合，，，，，且， 中最大的元素为，则， 即，，，， 中余下的元素，，对应，， 又，，， 则． （3）集合，且， 设，，，，满足题意，其中， ， ， ，， ，， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ， ， 当，676，677，，时，满足题意． 证明如下： 设，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 由题意得， 即，故的最小值为675． 即，676，677，，时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为个． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝鸡南山中学2026级2026~2027学年度高一第一学期阶段一考试试题 数 学 试卷类型：A 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（5分）已知命题，，则命题的否定为（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（5分）已知集合，，，则（　　） A．，2， B．， C．，0，2， D．，1，2，3， 4．（5分）已知，，“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（5分）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）已知全集，0，1，2，3，，集合，，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 7．（5分）若，，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知正数，满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．18 D．24 二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） （多选）9．（6分）已知命题，，命题，，则（　　） A．是真命题 B．是假命题 C．和都是真命题 D．和都是假命题 （多选）10．（6分）已知集合，，，且，则的值可以为（　　） A． B． C．0 D． （多选）11．（6分）已知，，，则下列说法正确的有（　　） A．的最小值为1 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（5分）若，，则实数的取值集合为　　 ． 13．（5分）若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为　　 ． 14．（5分）已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是　　 ． 四．解答题（共5小题，满分77分） 15．（13分）已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16．（15分）已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 18．（17分）（1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 19．（17分）已知集合为非空数集，定义集合，，，，，，记为集合中元素的个数． （1）若集合，求、和； （2）若集合，，，，，且，求和的值； （3）若集合，且，求的最大值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $