第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册 · 第二章 一元二次函数、方程和不等式 · 单元复习专项训练（2026） 高中数学必修第一册　第二章　一元二次函数、方程和不等式 单元复习专项训练（2026）·人教A版必修第一册·满分 100 分·建议时长 60 分钟·约 8 课时 对标《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“预备知识”主题 · 落实“数学建模活动与数学探究活动”主线 适配江苏、广东、浙江、上海、安徽等地区（情境素材可替换为当地数据） 项目 内容 考试范围 第二章 一元二次函数、方程和不等式：等式性质与不等式性质（比较大小、不等式性质）、基本不等式及其应用、二次函数与一元二次方程、不等式（三个二次关系、含参不等式、恒成立问题） 建议时长 60分钟（基础＋提升＋综合）；月考仿真小测另计15分钟 卷面满分 100分（难度配比：基础∶提升∶综合＝5∶3∶2，按分值计） 素养指向 数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象 地区素材 江苏（南京·校园义卖定价）、广东（深圳·运动位移）、浙江（杭州·劳动基地围栏）、上海（网店耳机定价）、安徽（合肥·农场鸡舍），均为示例数据 版本对标 人教A版（2019）必修第一册第二章；与《第二章 单元复习讲义（2026）》配套使用 命题原则 全部原创命制，情境数据自拟，无版权风险 题量结构（细目表） 板块 题号 题量 分值 难度 题型 基础巩固 A1–A10 10 50 ★ 选择4＋填空6 能力提升 B1–B6 6 30 ★★ 选择2＋填空2＋解答2 综合应用 C1–C3 3 20 ★★★ 解答3（定价/物理/围栏） 合计 — 19 100 — — 综合与实践（附加） 项目 1 —（不计入卷面） — 项目式学习（可选做） 月考仿真小测（附加） S1–S8 8 80（另计） ★★～★★★ 选择2＋填空4＋解答2 【作答说明】 1．本卷分三部分，先易后难，建议按卷面顺序作答。2．解不等式题须写出“移项—因式分解（或配方）—定根—画图/穿轴—写解集”的过程；求最值题须写出“设式—求最值—检验取等—作答”的步骤。3．基本不等式问题按“一正二定三相等”三步检验：各项为正、和或积为定值、取等条件能否成立，缺一不可。4．含参数问题须分类讨论（如二次项系数为 0、判别式符号、端点取等），讨论后合并结果。5．独立完成后对照“五、参考答案与详细解析”逐题自评，错题归入错题本并标注错误类型（概念性/运算性/方法性）。 一、单元复习导航 1.1　知识框架（建议先看图，再动笔） 图1　第二章知识体系思维导图：以“三个二次”为主线，串联不等式性质、基本不等式、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式与恒成立问题 1.2　核心工具：“三个二次”对照 图2　二次函数图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集三者的对应关系（以 a＞0 为例，分 Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0 三种情形） 1.3　两个核心方法工具 图3　数轴穿根法：从右上方起笔，自右向左依次穿过各根，上正下负；奇次穿根、偶次穿而不过 图4　基本不等式的几何解释：半径 不小于半弦的高 ，a＝b 时取等 1.4　本章五大易错点（做题前先扫一眼） ①　乘除变号：不等式两边同乘（或同除）以负数，不等号必须改变方向；同乘（除）以正数才不变号。 ②　基本不等式：用 a＋b≥2 求最值，须同时满足“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到）”，缺一不可。 ③　端点开闭：严格不等号（＞、＜）对应开区间，“≥”“≤”对应闭区间；解集写成区间或集合时别漏写等号。 ④　含参讨论：先看二次项系数能否为 0（退化为一次不等式），再看判别式 Δ 的符号，最后比较两根的大小。 ⑤　恒成立与空集：ax2＋bx＋c＞0 对任意 x∈R 恒成立 ⇔ a＞0 且 Δ＜0；“解集为 R”与“解集为空集”条件相反，不要记混。 二、基础巩固（过关必会，每题5分，共50分） A1（选择·★）若 a＞b，则下列不等式一定成立的是（　） A．a2＞b2　　B．＜　　C．−2a＜−2b　　D．|a|＞|b| A2（选择·★）已知 1＜x＜4，2＜y＜6，则 x＋y 的取值范围是（　） A．(3，10)　　B．(2，24)　　C．(1，6)　　D．(3，6) A3（选择·★）若 x＞0，则 x＋ 的最小值为（　） A．2　　B．4　　C．8　　D．16 A4（选择·★）下列不等式的解集为 R 的是（　） A．x2−x＋2＜0　　B．x2−2x＋1≥0　　C．x2−2x＋2≤0　　D．−x2＋2x−1＞0 A5（填空·★）不等式 x2−3x−4＞0 的解集为____。 A6（填空·★）已知 x＞0，当 x＝____时，2x＋ 取得最小值，最小值为____。 A7（填空·★）若二次函数 y＝x2−2x＋m 的图象与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是____。 A8（填空·★）已知集合 A＝{x｜x2−x−2＜0}，则 A 用区间表示为____。 A9（填空·★）若关于 x 的不等式 x2−ax＋1＞0 对任意 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是____。 A10（填空·★）已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝6，则 xy 的最大值为____。 三、能力提升（方法进阶，每题5分，共30分） B1（选择·★★）若 a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　）（本题 5 分） A．＜　　B．a2＜b2　　C．＜1　　D．＜1 B2（选择·★★）已知 1≤a≤3，−2≤b≤−1，则 a−b 的取值范围是（　）（本题 5 分） A．[2，5]　　B．[−1，4]　　C．[−5，−2]　　D．[0，3] B3（填空·★★）已知 x＞1，则 x＋ 的最小值为____。（本题 5 分） B4（填空·★★）不等式 ≤0 的解集为____。（本题 5 分） B5（解答·★★）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点 A(1，0)、B(0，3)，且对称轴为直线 x＝2。（本题 5 分） （1）求该函数的解析式； （2）求不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集。 B6（解答·★★）某工厂生产一种产品，固定成本为 200 万元，年产量为 x（x＞0）万件时，年利润 y（万元）满足 y＝−x2＋60x−200。（本题 5 分） （1）当年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？ （2）若要求年利润不低于 300 万元，年产量 x 应控制在什么范围？ 四、综合应用（素养落地，共20分） C1（跨学科·财经·★★★）（上海·示例数据）某网店销售一款耳机，进价每副 80 元，定价每副 120 元时每天可售出 200 副。经调查：售价每降低 1 元，日销量增加 10 副。设每副降价 x 元（x≥0），日利润为 y 元。（本题 6 分） （1）求 y 关于 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）每副降价多少元时，日利润最大？最大日利润是多少？ C2（跨学科·物理·★★★）（广东·深圳）某物体做匀加速直线运动，位移 s（米）与时间 t（秒）的关系为 s＝2t2＋4t（t≥0；位移关系式由题目给出，不需物理前置知识）。（本题 6 分） （1）求 3 秒内物体通过的位移； （2）若某段运动过程中位移不超过 48 米，求时间 t 的取值范围。 C3（跨学科·工程·★★★）（浙江·杭州）某学校劳动基地计划用总长 60 米的栅栏围一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长 40 米），只围另外三边。设垂直于墙的边长为 x 米，菜园面积为 S 平方米。（本题 8 分） （1）求 S 关于 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ 五、参考答案与详细解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验。每题按“考查目标—思路分析—规范解答—易错点拨”四步呈现，解答题另附评分要点，便于自评自纠与互批互评。 （一）基础巩固（每题5分，共50分） A1　【答案】C 【考查目标】不等式的基本性质（逻辑推理、数学运算）。 【思路分析】已知 a＞b，逐项检验：乘负数变号、平方不保序、取倒数需同号且反向、绝对值不保序。 【规范解答】C 项：a＞b 且 −2＜0，不等式两边同乘负数 −2，不等号方向改变，得 −2a＜−2b，一定成立。A 项反例：a＝1，b＝−2，则 a2＝1＜4＝b2；B 项反例：同上，＝1＞−＝；D 项反例：同上，|a|＝1＜2＝|b|。故选 C。 【易错点拨】“乘负数变号”是最易漏的步骤；构造反例时取“一正一负”最有效，一次可排除多个选项。 A2　【答案】A 【考查目标】同向不等式的可加性（数学运算）。 【思路分析】两个同向不等式可以相加，但不能相减、相乘、相除。 【规范解答】由 1＜x＜4、2＜y＜6，两式相加得 1＋2＜x＋y＜4＋6，即 3＜x＋y＜10，故 x＋y 的取值范围为 (3，10)，选 A。 【易错点拨】同向不等式相加，区间端点直接相加即可；B 项 (2，24) 是“相乘”的陷阱，C、D 两项则是端点取错的干扰项。 A3　【答案】B 【考查目标】基本不等式求最值（数学运算）。 【思路分析】x＞0 保证“一正”；x 与 的积为定值 4，保证“二定”；最后检验取等条件。 【规范解答】因为 x＞0，所以 x＋ ≥ ＝＝4，当且仅当 x＝ 即 x＝2（x＞0）时取等号，故最小值为 4，选 B。 【易错点拨】别忘了检验“相等”能否取到；若去掉 x＞0 的条件，当 x＜0 时该式只有最大值 −4 而没有最小值。 A4　【答案】B 【考查目标】一元二次不等式解集为 R 的判定（直观想象、逻辑推理）。 【思路分析】逐项配方或算判别式，判断解集是 R 还是空集。 【规范解答】B 项：x2−2x＋1＝(x−1)2≥0 对任意 x∈R 恒成立，解集为 R。A 项：Δ＝1−8＝−7＜0 且开口向上，x2−x＋2 恒大于 0，故 x2−x＋2＜0 的解集为空集；C 项：Δ＝4−8＝−4＜0，同理 x2−2x＋2≤0 的解集为空集；D 项：−x2＋2x−1＝−(x−1)2≤0，故 −x2＋2x−1＞0 的解集为空集。选 B。 【易错点拨】注意 B 项在 x＝1 时函数值恰为 0，所以是“≥0”才使解集为 R；若把题干改成“＞0”，则四个选项的解集都不可能是 R。 A5　【答案】(−∞，−1)∪(4，＋∞) 【考查目标】解一元二次不等式（数学运算）。 【思路分析】因式分解定两根，开口向上取“两根之外”。 【规范解答】x2−3x−4＝(x−4)(x＋1)＞0，对应方程的两根为 −1、4；二次项系数 1＞0，抛物线开口向上，故解集在两根之外：x＜−1 或 x＞4，即 (−∞，−1)∪(4，＋∞)。 【易错点拨】“＞0 取两边、＜0 取中间”只在开口向上时成立；若二次项系数为负，先化为正再解。本卷统一用区间表示解集。 A6　【答案】2；8 【考查目标】基本不等式求最值及取等条件（数学运算）。 【思路分析】把 2x 与 配成“积为定值”的两项。 【规范解答】x＞0，则 2x＞0、＞0，且 (2x)·()＝16 为定值，故 2x＋ ≥ ＝8。当且仅当 2x＝，即 x2＝4、x＝2（x＞0）时取等号。故 x＝2 时取得最小值 8。 【易错点拨】取等条件是“两项相等”，即 2x＝，不是 x＝；两个空不要填反。 A7　【答案】m＜1 【考查目标】二次函数图象与 x 轴交点个数（直观想象、数学运算）。 【思路分析】“两个交点”⇔ 对应方程有两个不相等的实数根 ⇔ Δ＞0。 【规范解答】令 x2−2x＋m＝0。图象与 x 轴有两个交点 ⇔ Δ＝(−2)2−4×1×m＝4−4m＞0，解得 m＜1。 【易错点拨】“两个交点”对应 Δ＞0，“一个交点”对应 Δ＝0，“没有交点”对应 Δ＜0，不要把等号带进去。 A8　【答案】(−1，2) 【考查目标】集合的描述法与区间表示的互化（数学抽象）。 【思路分析】先解不等式求出 A，再写成区间形式。 【规范解答】x2−x−2＝(x−2)(x＋1)＜0，两根为 −1、2，开口向上取两根之间：−1＜x＜2，故 A＝(−1，2)。 【易错点拨】因式分解别写成 (x＋2)(x−1)（那是 x2＋x−2）；端点取不到，必须用开区间。 A9　【答案】(−2，2) 【考查目标】一元二次不等式的恒成立问题（逻辑推理）。 【思路分析】“对任意 x∈R 恒大于 0”⇔ 开口向上且与 x 轴无交点 ⇔ 二次项系数为正且 Δ＜0。 【规范解答】x2−ax＋1＞0 对任意 x∈R 恒成立，二次项系数 1＞0，故只需 Δ＝(−a)2−4×1×1＝a2−4＜0，解得 −2＜a＜2，即 a∈(−2，2)。 【易错点拨】若二次项系数含参数（如 ax2−ax＋1＞0），必须先讨论 a＝0 的情形；本题系数为常数 1，无需讨论。 A10　【答案】9 【考查目标】基本不等式求积的最大值（数学运算）。 【思路分析】和为定值，用 xy ≤ 2 求积的最大值。 【规范解答】x＞0、y＞0 且 x＋y＝6，由基本不等式得 xy ≤ 2＝2＝9，当且仅当 x＝y＝3 时取等号，故 xy 的最大值为 9。 【易错点拨】必须先说明 x、y 均为正（“一正”）；若去掉正数条件，xy 没有最大值。 （二）能力提升（每题5分，共30分） B1　【答案】D 【考查目标】不等式性质在负数范围内的综合运用（逻辑推理）。 【思路分析】a＜b＜0，可取特值逐项检验，也可由 |a|＞|b| 直接判定。 【规范解答】取 a＝−3，b＝−1 代入：A 项 ＝，＝−1，因为 ＞−1，故“＜”不成立；B 项 a2＝9＞1＝b2，故“a2＜b2”不成立；C 项 ＝3＞1，故“＜1”不成立；D 项 ＝＜1，成立。一般地，由 a＜b＜0 得 |a|＞|b|＞0，故 ＝|b|/|a|∈(0，1)，即 ＜1 恒成立。选 D。 【易错点拨】负数取倒数后大小关系反转，最易出错；取一组具体值代入逐项排除是最稳妥的办法。 B2　【答案】A 【考查目标】不等式性质中的取倒与同向相加（数学运算）。 【思路分析】要求 a−b，先把 −b 的范围求出来，再与 a 的范围相加。 【规范解答】由 −2≤b≤−1，两边同乘 −1 得 1≤−b≤2；又 1≤a≤3，两式相加得 1＋1≤a＋(−b)≤3＋2，即 2≤a−b≤5。a＝1、b＝−1 时取 2，a＝3、b＝−2 时取 5，端点均可取到，故范围为 [2，5]，选 A。 【易错点拨】求 a−b 不能用“a 的下界减 b 的下界”；必须先化成 a＋(−b)，再用同向不等式相加。 B3　【答案】3 【考查目标】基本不等式的变形运用（数学运算）。 【思路分析】分母是 x−1，需把分子也凑出 x−1；令 t＝x−1 换元。 【规范解答】令 t＝x−1，由 x＞1 得 t＞0。则 x＋＝(t＋1)＋＝t＋＋1 ≥ ＋1＝2＋1＝3，当且仅当 t＝ 即 t＝1、x＝2 时取等号。故最小值为 3。 【易错点拨】不能直接对 x 与 用基本不等式——它们的积不是定值；“换元凑定值”是本题的关键一步。 B4　【答案】(−2，1] 【考查目标】分式不等式的解法（数学运算、逻辑推理）。 【思路分析】分式不等式化为整式不等式求解，注意分母不能为 0。 【规范解答】≤0 ⇔ (x−1)(x＋2)≤0 且 x＋2≠0。由 (x−1)(x＋2)≤0 得 −2≤x≤1，再剔除 x＝−2，得 −2＜x≤1，解集为 (−2，1]。 【易错点拨】分母为 0 的点必须剔除，所以左端是开区间；不讨论符号直接“两边同乘 (x＋2)”是最常见的错法。 B5　【答案】（1）y＝x2−4x＋3；（2）(1，3) 【考查目标】待定系数法求二次函数解析式、解一元二次不等式（数学运算）。 【思路分析】三个独立条件（过点 A、过点 B、对称轴）恰好确定 a、b、c 三个待定系数。 【规范解答】（1）由图象过 B(0，3) 得 c＝3；由对称轴 x＝2 得 ＝2，即 b＝−4a；由图象过 A(1，0) 得 a＋b＋c＝0，即 a＋b＋3＝0。联立 b＝−4a 与 a＋b＋3＝0，解得 a＝1，b＝−4。故所求解析式为 y＝x2−4x＋3。（2）x2−4x＋3＜0 ⇔ (x−1)(x−3)＜0，解得 1＜x＜3，解集为 (1，3)。 【易错点拨】对称轴公式是 x＝，别漏掉负号；第（2）问直接用第（1）问求出的系数即可，不必重新设式。 【评分要点】求解析式 3 分（三个条件各 1 分）、解不等式 2 分。 B6　【答案】（1）30 万件，700 万元；（2）[10，50] 【考查目标】二次函数最值与一元二次不等式的实际应用（数学建模、数学运算）。 【思路分析】配方求顶点得最值；令 y≥300，解一元二次不等式得产量范围。 【规范解答】（1）y＝−x2＋60x−200＝−(x−30)2＋900−200＝−(x−30)2＋700。因为 −(x−30)2≤0，所以当 x＝30 时 y 取得最大值 700。答：年产量为 30 万件时年利润最大，最大年利润为 700 万元。（2）令 y≥300，即 −x2＋60x−200≥300，移项整理得 x2−60x＋500≤0，即 (x−10)(x−50)≤0，解得 10≤x≤50。答：年产量应控制在 10 万件到 50 万件之间。 【易错点拨】第（2）问要先移项使二次项系数为正，再因式分解；实际问题中 x＞0 的约束要一并考虑（本题 [10，50] 已满足）。 【评分要点】配方求最值 3 分、解不等式求范围 2 分。 （三）综合应用（共20分） C1　【答案】（1）y＝−10x2＋200x＋8000，0≤x≤40；（2）降价 10 元，最大日利润 9000 元 【考查目标】建立二次函数模型解决定价问题（数学建模、数学运算）。 【思路分析】日利润＝单件利润×日销量；单件利润随降价线性减少，日销量随降价线性增加；定义域由“降价非负”与“单件利润非负”共同确定。 【规范解答】（1）降价 x 元后，售价为 (120−x) 元，单件利润为 (120−x)−80＝(40−x) 元，日销量为 (200＋10x) 副。故 y＝(40−x)(200＋10x)＝8000＋400x−200x−10x2＝−10x2＋200x＋8000。由 x≥0 且 40−x≥0 得 0≤x≤40。（2）y＝−10x2＋200x＋8000＝−10(x2−20x)＋8000＝−10(x−10)2＋1000＋8000＝−10(x−10)2＋9000。当 x＝10 时 y 取得最大值 9000。答：每副降价 10 元时日利润最大，最大日利润为 9000 元。 【易错点拨】“降价 x 元”不等于“售价 x 元”，单件利润是 40−x 而不是 120−x；定义域 0≤x≤40 要由自己推出，题目不给。 【评分要点】函数关系式 3 分（含定义域 1 分）、配方求最值 3 分。 C2　【答案】（1）30 米；（2）0≤t≤4（秒） 【考查目标】二次函数模型在物理情境中的应用（数学建模、数学运算）。 【思路分析】第（1）问代入求值；第（2）问解一元二次不等式，并结合时间非负取交集。 【规范解答】（1）当 t＝3 时，s＝2×32＋4×3＝18＋12＝30（米）。答：3 秒内物体通过的位移为 30 米。（2）由 s≤48 得 2t2＋4t≤48，两边同除以 2 得 t2＋2t−24≤0，即 (t＋6)(t−4)≤0，解得 −6≤t≤4。又 t≥0，取交集得 0≤t≤4。答：时间 t 的取值范围为 0≤t≤4（秒）。 【易错点拨】不要忘记 t≥0 的实际约束；若忽略，会误写为 −6≤t≤4，多出负数段。 【评分要点】第（1）问 2 分、第（2）问 4 分（列式 2 分、求解与取交 2 分）。 C3　【答案】（1）S＝−2x2＋60x，10≤x＜30；（2）x＝15 米，最大面积 450 平方米 【考查目标】建立二次函数模型解决围栏最值问题（数学建模、直观想象）。 【思路分析】只围三边，用总长表示平行于墙的边；定义域受“边长为正”与“不超过墙长”双重限制。 【规范解答】（1）垂直于墙的两边各为 x 米，故平行于墙的边为 (60−2x) 米，S＝x(60−2x)＝−2x2＋60x。由 x＞0 且 60−2x＞0 得 0＜x＜30；又平行于墙的边不能超过墙长 40 米，即 60−2x≤40，解得 x≥10。故定义域为 10≤x＜30。（2）S＝−2x2＋60x＝−2(x2−30x)＝−2(x−15)2＋450。因为 x＝15 落在定义域 [10，30) 内，所以当 x＝15 时 S 取得最大值 450。答：垂直于墙的边取 15 米时菜园面积最大，最大面积为 450 平方米。 【易错点拨】墙长 40 米限制的是“平行于墙的边”，不要误加在 x 上；本题顶点 x＝15 恰好落在定义域内，所以墙长约束不影响最大值，但定义域仍须写全。 【评分要点】关系式与定义域 4 分（关系式 2 分、定义域 2 分）、配方求最值 4 分。 六、“上好复习课”方法指引（学生用） 【复习方法】 1．主线先行：不等式性质→基本不等式→三个二次，先默写主线再动笔。 2．图形辅助：二次不等式先画抛物线草图（开口、与 x 轴交点、符号区间）再写解集；恒成立问题画“图象恒在上方/下方”分析。 3．对比记忆：基本不等式“一正二定三相等”三条件缺一不可；配方法与基本不等式两条最值路径对比记忆。 4．一题多解：最值题用配方法与基本不等式各算一遍互验；含参不等式分类讨论后画数轴检验端点。 5．限时自评：基础＋提升部分建议 40 分钟内完成，对照答案解析自评，记录丢分类型（概念性/运算性/方法性），为月考提供靶向清单。 七、“上好课”课时与教学环节设计（教师用，2课时＋1课时练评） 【课时安排】 第 1 课时　不等式性质与基本不等式：梳理性质主线 → 突破“一正二定三相等” → 当堂过关 A1–A4、A6、A10。 第 2 课时　三个二次与恒成立：用“图象—方程—不等式”三对照突破解集与恒成立 → 当堂过关 A5、A7–A9、B1–B6。 第 3 课时　练评课：讲评 C 组解答题，重点讲“分类讨论”与“定义域—顶点”检验；完成仿真小测 15 分钟限时训练并当堂对答案。 【教学环节建议（每课时）】 ①　前测 5 分钟：默写“不等式性质五条＋基本不等式＋三个二次对照表”（对照图 1、图 2）。 ②　精讲 20 分钟：每类题型讲一道，板书完整规范步骤（移项—因式分解—定根—画图/穿轴—写解集）。 ③　练评 15 分钟：学生互批，标注错误类型（概念性 / 运算性 / 方法性）。 ④　小结 5 分钟：回到“一、单元复习导航”的思维导图，请学生口述五大易错点。 【讲评重点与分层建议】 讲评重点：C1（建模与定义域）、C3（墙长约束）、B4（分母不为 0）、A9 与 B6（恒成立与范围的转化）、B3（换元凑定值）。 分层建议：基础薄弱班级可只做 A 组＋B1–B4；学有余力班级加做 C 组与“综合与实践”项目；仿真小测建议全员限时完成，用于月考前摸底。 教师应用：可用 GeoGebra 画出“三个二次”对照图，动态改变 a、b、c 观察图象与解集的变化；用 AI 生成同类变式数据供学生互评；将典型错解录入做 AI 错因诊断，据诊断数据精准讲评。 八、综合与实践 · 项目式学习（附加，可选做） 【项目名称】校园义卖 · 最优定价（江苏·南京·示例场景） 【任务1】发现问题：从校园义卖或商品定价场景中找出一个可用二次函数描述的最值问题（如定价与销量、围栏与面积）。 【任务2】收集数据：调查或测量 3 组以上数据（如不同售价对应的销量），记录成表。 【任务3】建立模型：设售价为 x、利润为 y，用待定系数法求出 y 与 x 的二次函数关系式（可用 AI 工具辅助验算）。 【任务4】求解验证：求对称轴与顶点，解释最值的实际意义，检验销量与价格是否在合理范围。 【任务5】展示交流：用图表把“数据—模型—最值”讲给同学听，接受提问。 课标对接：“综合与实践”以跨学科主题学习与项目式学习为主，本项目融合财经（定价策略）、统计（数据整理）与信息科技（AI 验算），落实“数学建模活动与数学探究活动”主线。 评价维度 分值 评价标准 问题与数据 20 问题真实、数据≥3组、来源清楚 建模过程 30 解析式正确、待定系数法步骤完整 最值解释 20 最值实际意义说明清楚、检验合理 表达交流 20 图表规范、讲解有条理 合作反思 10 协作良好、有反思改进 延伸思考：求最值有“配方（二次函数）”与“基本不等式”两条路径，殊途同归；本章“恒成立”思想还将在函数值域、数列最值问题中继续使用，为月考与后续学习奠基。 九、月考加油站 · 仿真小测（限时15分钟，满分80分，每题10分） S1.（选择·★★）若关于 x 的不等式 x2−2x＋m＞0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是（　） A．m＞1　　B．m≥1　　C．m＜1　　D．m≤1 S2.（选择·★★）已知 x＞0，则 的最大值为（　） A．　　B．　　C．　　D．1 S3.（填空·★★）已知 −2＜a＜3，1＜b＜4，则 a−2b 的取值范围是____。 S4.（填空·★★）若关于 x 的不等式 x2−4x＋m＜0 的解集是 (1，3)，则 m＝____。 S5.（填空·★★）已知 x＞0，y＞0，且 2x＋y＝4，则 xy 的最大值为____。 S6.（填空·★★）不等式 (2−x)(x＋1)≥0 的解集为____。 S7.（解答·★★）解不等式 −x2＋2x＋3≥0。 S8.（解答·★★★）（安徽·合肥·示例数据）某农场用总长 32 米的篱笆靠墙围一个矩形鸡舍（墙足够长，只围三边），并在鸡舍中间加一道与墙平行的隔墙，把鸡舍分成两个小间。设垂直于墙的边长为 x 米，鸡舍（含两个小间）的总面积为 S 平方米。 （1）求 S 关于 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）问 x 为何值时总面积最大？最大面积是多少？ 仿真小测·参考答案（每题10分） S1　【答案】A。【解析】x2−2x＋m＞0 的解集为 R ⇔ 二次项系数 1＞0（已满足）且 Δ＝(−2)2−4m＜0，即 4−4m＜0，解得 m＞1。故选 A。【易错】“解集为 R”对应 Δ＜0；若问“不等式有解”，条件完全不同。 S2　【答案】B。【解析】由 (x−2)2≥0 得 x2＋4 ≥ 4x，又 x＞0，故 ≤ ＝，当 x＝2 时取等号，最大值为 。选 B。【易错】也可以分子分母同除以 x 后用基本不等式；关键都是把分母化为“定值＋变量”的结构。 S3　【答案】(−10，1)。【解析】由 1＜b＜4 得 −8＜−2b＜−2，与 −2＜a＜3 相加得 −10＜a−2b＜1，故取值范围为 (−10，1)。【易错】先求 −2b 的范围再相加，不能用“a 的下界减 b 的下界”。 S4　【答案】3。【解析】解集 (1，3) 说明方程 x2−4x＋m＝0 的两根为 1 和 3，由韦达定理 m＝1×3＝3（且 1＋3＝4 与一次项系数 −4 自洽）。【易错】也可代 x＝1 检验：1−4＋3＝0 ✓，结果自洽。 S5　【答案】2。【解析】x＞0、y＞0 且 2x＋y＝4，则 (2x)·y ≤ 2＝4，即 2xy ≤ 4，故 xy ≤ 2；当 2x＝y＝2，即 x＝1、y＝2 时取等号，最大值为 2。【易错】要把 2x 看作一个整体凑定值，不能直接写 xy ≤ 2。 S6　【答案】[−1，2]。【解析】(2−x)(x＋1)≥0 ⇔ (x−2)(x＋1)≤0，解得 −1≤x≤2。【易错】两边同乘 −1 时不等号要变向，这是本题唯一的陷阱。 S7　【答案】[−1，3]。【解析】−x2＋2x＋3≥0 ⇔ x2−2x−3≤0 ⇔ (x−3)(x＋1)≤0，解得 −1≤x≤3，解集为 [−1，3]。【评分要点】化标准形（二次项系数化为正）3 分、因式分解 3 分、写解集 4 分。 S8　【答案】（1）S＝−x2＋16x，0＜x＜16；（2）x＝8 米，最大面积 64 平方米。【解析】设平行于墙的边长为 L 米。加一道与墙平行的隔墙后，篱笆总长为 2x＋2L＝32，故 L＝16−x；S＝xL＝x(16−x)＝−x2＋16x。由 x＞0 且 L＝16−x＞0 得 0＜x＜16。S＝−(x2−16x)＝−(x−8)2＋64，当 x＝8 时 S 取得最大值 64。检验：此时 L＝8，隔墙把鸡舍分成两个 8×4 的小间，面积合计 64（平方米），符合题意。【评分要点】关系式与定义域 5 分、配方求最值 3 分、检验作答 2 分。 十、AI辅助学习 · 错题门诊（学生用） 用 AI 工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把 AI 当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给 AI 工具（如豆包），请它分析考查的知识点（不等式性质/基本不等式/二次不等式/恒成立） 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请 AI 出 2 道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用图象与取等条件逐条检验 AI 解析（重点核查“一正二定三相等”、乘除负数变号、判别式、端点开闭） AI 答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 衔接预告：本章“三个二次”与基本不等式是高一函数主线的基础工具；与第三章“函数的概念与性质”联合复习时，“恒成立”可转化为函数值域问题，月考可将两章联合命题，形成知识闭环。 ✨ 素养立意 · 分层进阶 · 原创命题 · 解析完整 —— 教辅标准 ✨ 依据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》编写 · 题目情境数据为示例值，可替换为当地真实数据 第二章 单元复习专项训练（2026）　·　第 1 页　共 1页 学科网（北京）股份有限公司 $