第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册 · 第二章 一元二次函数、方程和不等式 · 单元复习讲义 第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元复习讲义 人教A版必修第一册 · 第二章 一元二次函数、方程和不等式（约6课时） 对标《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“预备知识”主题 · 落实“数学建模活动与数学探究活动”主线 适配江苏、广东、浙江、上海、安徽等地区（情境素材可替换为当地数据） 项目 内容 教学范围 等式性质与不等式性质（比较大小、不等式性质）、基本不等式及其应用、二次函数与一元二次方程、不等式（三个二次关系、含参不等式、恒成立问题） 课标依据 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》必修课程“预备知识”主题；数学建模活动与数学探究活动贯穿教学 课时建议 6课时：4课时精讲＋1课时专题＋1课时练评；月考仿真小测另计15分钟 教学目标 ①掌握不等式的基本性质，能用作差法比较大小；②理解基本不等式“一正二定三相等”，会求最值；③理解三个二次关系，会解一元二次不等式（含含参讨论、恒成立问题）；④经历“问题—模型—求解—验证”的数学建模活动 教学重难点 重点：基本不等式求最值、三个二次关系；难点：含参不等式的分类讨论、恒成立问题的转化 素养指向 数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、直观想象 地区素材 江苏（南京·地铁票价优惠）、广东（深圳·快递分拣效率）、浙江（杭州·劳动基地围栏）、上海（网店耳机定价）、安徽（合肥·农场鸡舍），均为示例数据 【教师使用建议】本讲义按“知识框架→知识梳理→例题精讲→方法归纳→易错提醒→分层练习→项目式学习→月考小测”编排。第1、2课时完成一至三部分并精讲例1—例3；第3、4课时精讲例4—例6并完成四、五部分；第5课时专题（含参不等式与恒成立）；第6课时限时完成配套练习 A、B 组并讲评。C 组、项目式学习与仿真小测按学情选做。全部情境数据为示例，教师可直接替换为当地真实数据。 一、单元知识框架 1.1 知识框架总览（建议授课前先板书或投影本框架） 图1　第二章知识体系思维导图（"三个二次"为主线） 不等式：比较大小（作差法）→ 不等式性质（同向可加/正数同向可乘等）→ 基本不等式 ≤（一正二定三相等） 二次：二次函数（图象/对称轴/最值）→ 一元二次方程（判别式/韦达定理）→ 一元二次不等式（三个二次关系） 应用：求最值（配方法/基本不等式）→ 恒成立问题（判别式/分离参数/数形结合） 核心工具：数轴、抛物线草图；基本不等式 a＋b≥2（a，b＞0） 1.2 考点清单与命题角度 考点 命题角度 本讲对应 不等式性质 作差比较、同向可加、乘除变号 例1、A1、B1 基本不等式 一正二定三相等、配凑求最值 例2、例3、A3、A6、B3 三个二次 图象关系、解不等式、含参讨论 例4、A5、B4、B5 恒成立问题 判别式、分离参数、数形结合 例5、A7、C2 应用与建模 最值模型、跨学科情境 例6、B6、C1 综合 韦达定理、区间长度、不等式证明 C2、M4 二、知识梳理与核心公式 2.1 不等式的基本性质 比较大小常用作差法：a−b＞0 ⇔ a＞b，a−b＜0 ⇔ a＜b。不等式主要性质：对称性（a＞b ⇔ b＜a）、传递性、可加性（a＞b ⇔ a＋c＞b＋c）、同向可加（a＞b，c＞d ⇒ a＋c＞b＋d）、可乘性（a＞b，c＞0 ⇒ ac＞bc；a＞b，c＜0 ⇒ ac＜bc）、正数同向可乘（a＞b＞0，c＞d＞0 ⇒ ac＞bd）。 2.2 基本不等式 若 a＞0，b＞0，则 ≤，当且仅当 a＝b 时等号成立。变形：a＋b≥2（和定积最大）、ab≤（积定和最小）。使用条件“一正二定三相等”：各项为正、和或积为定值、取等条件能够成立。 图2　基本不等式的几何解释（半圆中半径不小于高） 2.3 三个二次关系 二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象、一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根、一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0（＜0）的解集相互对应：Δ＞0 时解集取“两根之间或之外”，Δ＝0 时取“单根以外”，Δ＜0 时由开口方向决定恒正或恒负。解不等式先化二次项系数为正，再因式分解（或求根）定区间。 图3　"三个二次"对照表（Δ 的三种情形） 2.4 含参不等式与恒成立 含参问题按“二次项系数是否为 0、判别式符号、根的大小关系”分类讨论，讨论后合并结果；恒成立问题常用判别式法（ax2＋bx＋c＞0 恒成立 ⇔ a＞0 且 Δ＜0，注意 a＝0 情形）、分离参数法（a＞g(x) 恒成立 ⇔ a＞g(x) 的最大值）与数形结合法。 2.5 核心公式速记表 公式/结论 内容 注意点 作差比较 a−b＞0 ⇔ a＞b；a−b＜0 ⇔ a＜b 先作差再因式分解/配方 基本不等式 ≤（a，b＞0），取等 a＝b 一正二定三相等 变形公式 a＋b≥2；ab≤ 和定积最大、积定和最小 三个二次 Δ＞0 取两根之间/之外；Δ＝0 取单根以外；Δ＜0 看开口 先化二次项系数为正 恒成立 ax2＋bx＋c＞0 恒成立 ⇔ a＞0 且 Δ＜0 勿漏 a＝0 情形 三、典型例题精讲 例1（基础·★）已知 a＞b＞0，c＜d＜0，比较 ac 与 bd 的大小。 【思路分析】条件给出两组不等式，需利用“正数同向可乘”性质；也可取特殊值验证后证明。 【规范解答】由 c＜d＜0 得 −c＞−d＞0。又 a＞b＞0，正数同向可乘：a(−c)＞b(−d)，即 −ac＞−bd，两边乘 −1 变号得 ac＜bd。 【方法归纳】比较两个乘积的大小，可先利用“乘 −1 变号”把负号移到一边，再运用“正数同向可乘”；符号变化是易错点，务必逐次检验。 例2（基础·★）已知 x＞0，求 y＝x＋ 的最小值。 【思路分析】x＞0 时 x 与 的积为定值 4，可用基本不等式求最小值。 【规范解答】x＞0，x·()＝4 为定值，所以 x＋≥2＝4；当 ＝x 即 x＝2（x＞0）时取等。故最小值为 4。 【方法归纳】“积定和最小”：两项乘积为定值时，可用基本不等式求和的极小值，务必验证取等条件。 例3（提升·★★）已知 x＞2，求 y＝x＋ 的最小值。 【思路分析】x＞2 时 x−2＞0，将 x 拆为 (x−2)＋2，使两项积为定值，即可用基本不等式。 【规范解答】令 t＝x−2＞0，则 y＝t＋2＋。由 t＋≥2＝2，得 y≥2＋2＝4；当 t＝1 即 x＝3 时取等。故最小值为 4。 【方法归纳】配凑技巧：把变量拆成“定值部分＋新变量”，如 x＝(x−2)＋2，使新变量与其倒数之积为定值。 例4（提升·★★）解不等式 −x2＋2x＋3＞0。 【思路分析】二次项系数为负，先两边乘 −1 化正，再因式分解、画图写解集。 【规范解答】−x2＋2x＋3＞0 ⇔ x2−2x−3＜0 ⇔ (x−3)(x＋1)＜0，解得 −1＜x＜3。 【方法归纳】解一元二次不等式三步：①化二次项系数为正；②因式分解（或求根）定根；③开口向上“大于取两边、小于取中间”。 例5（提升·★★）若关于 x 的不等式 x2−2x＋m＞0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围。 【思路分析】二次项系数为 1＞0，图象开口向上；“恒大于 0”等价于图象在 x 轴上方，即判别式小于 0。 【规范解答】y＝x2−2x＋m 开口向上，对任意 x∈R 恒有 y＞0 ⇔ Δ＝(−2)2−4m＜0，解得 m＞1。 【方法归纳】恒成立问题优先用判别式：开口向上恒正 ⇔ a＞0 且 Δ＜0；开口向下恒负 ⇔ a＜0 且 Δ＜0；若二次项系数含参数，先讨论其是否为 0。 例6（综合·★★★）某农场用总长 80 米的篱笆围一个矩形菜园，其中一边靠墙（墙长 50 米），只围另外三边。设垂直于墙的边长为 x 米，菜园面积为 S 平方米。（1）求 S 与 x 的函数关系式及定义域；（2）当 x 取何值时面积最大？最大面积是多少？ 【思路分析】先设变量建立面积函数，再由栅栏与墙长确定定义域，最后用配方法求最值。 【规范解答】（1）垂直于墙的边为 x 米，则平行于墙的边为 (80−2x) 米，S＝x(80−2x)＝−2x2＋80x。由 x＞0、80−2x＞0 且 80−2x≤50（墙长 50 米），得 15≤x＜40。（2）S＝−2(x−20)2＋800，x＝20∈[15，40)，当 x＝20 时 S 最大＝800。答：垂直墙边取 20 米时面积最大，最大为 800 平方米。 【方法归纳】建模求最值三步：设变量→列函数（注意定义域）→配方（或基本不等式）求最值并检验。 四、方法归纳（快查表） 题型 核心方法 易忽视点 对应例题/练习 比较大小 作差（配方/因式分解） 符号判断 例1、A1、M3 基本不等式 一正二定三相等、配凑 取等条件 例2、例3、A3、B3 解二次不等式 化正、因式分解、画图 开口方向 例4、A5、B4 恒成立问题 判别式、分离参数 漏 a＝0 例5、A7、C2 最值模型 配方或基本不等式 定义域 例6、B6、C1 含参讨论 分类讨论、端点检验 漏类 例5、C2 五、易错提醒（错解—正解对照） 错误做法 正确做法 点拨 基本不等式不验证“正” a＞0，b＞0 才可用 一正二定三相等 取等条件不检验 验证 a＝b 能否成立 不能取等时改用单调性 同乘负数不变号 乘负数要变号 乘除时先判符号 二次不等式漏看开口 先化二次项系数为正 开口向下先乘 −1 恒成立漏 a＝0 讨论 分 a＝0 与 a≠0 两类 二次项系数含参时 六、配套练习（分层） 限时建议：A 组＋B 组约 45 分钟；C 组为综合选做。A、B、C 合计满分 100 分。 A组　基础巩固（每题5分，共40分） A1（选择·★）若 a＞b，则下列不等式一定成立的是（　） A．a2＞b2　　B．＜　　C．−2a＜−2b　　D．|a|＞|b| A2（选择·★）已知 1＜x＜4，2＜y＜6，则 x＋y 的取值范围是（　） A．(3，10)　　B．(2，24)　　C．(1，6)　　D．(3，6) A3（选择·★）若 x＞0，则 x＋ 的最小值为（　） A．2　　B．2　　C．3　　D．2 A4（选择·★）不等式 x2−2x−3＞0 的解集为（　） A．(−1，3)　　B．(−∞，−1)∪(3，＋∞)　　C．(−3，1)　　D．(−∞，−3)∪(1，＋∞) A5（填空·★）不等式 x2−4x＋5＜0 的解集为____。 A6（填空·★）已知 x＞0，当 x＝____时，2x＋ 取得最小值，最小值为____。 A7（填空·★）若关于 x 的不等式 x2−ax＋1＞0 对任意 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是____。 A8（填空·★）已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝6，则 xy 的最大值为____。 B组　能力提升（每题5分，共30分） B1（选择·★★）若 a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　） A．＜　　B．a2＜b2　　C．＜1　　D．＜1 B2（选择·★★）已知 1≤a≤3，−2≤b≤−1，则 a−b 的取值范围是（　） A．[2，5]　　B．[−1，4]　　C．[−5，−2]　　D．[0，3] B3（填空·★★）已知 x＞1，则 x＋ 的最小值为____。 B4（填空·★★）不等式 ≤0 的解集为____。 B5（解答·★★）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点 A(1，0)、B(0，3)，且对称轴为直线 x＝2。（1）求该函数的解析式；（2）求不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集。 B6（解答·★★）已知 x＞0，y＞0，且 x＋2y＝4，求 xy 的最大值。 C组　综合应用（共30分） C1（跨学科·财经·★★★）某网店销售一款耳机，进价每副 80 元，定价每副 120 元时每天可售出 200 副。经调查：售价每降低 1 元，日销量增加 10 副。设每副降价 x 元（0≤x≤40），日利润为 y 元。（本题 15 分） （1）求 y 关于 x 的函数关系式； （2）每副降价多少元时日利润最大？最大日利润是多少？ C2（解答·★★★）已知函数 y＝x2−2x＋a。（本题 15 分） （1）若 y＞0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）若关于 x 的不等式 x2−2x＋a＜0 的解集是 (m，n)，且 n−m＝4，求实数 a 的值。 七、综合与实践·项目式学习（附加，可选做） 【项目名称】校园快递站 · 包裹分拣区设计 【任务1】发现问题：快递站需用固定长度的围栏围出一个矩形分拣区，找出“围栏总长一定、面积何时最大”的现实问题。 【任务2】收集数据：测量或查找快递站可用围栏长度、预留通道宽度等约束数据，记录成表。 【任务3】建立模型：设垂直于墙的边长为 x，写出面积 S 关于 x 的二次函数关系式（可用 AI 工具辅助验算）。 图4　靠墙围栏示意图（例6 与项目式学习通用） 【任务4】求解验证：求对称轴与顶点得出最大面积，检验尺寸是否满足通道等约束、结果是否合理。 【任务5】展示交流：用图表把“数据—模型—最值”讲给同学听，接受提问。 课标对接：“综合与实践”以跨学科主题学习与项目式学习为主，本项目融合工程（场地设计）、统计（数据测量）与信息科技（AI 验算），落实“数学建模活动与数学探究活动”主线。 评价维度 分值 评价标准 问题与数据 20 问题真实、数据≥3组、来源清楚 建模过程 30 解析式正确、关系式推导完整 最值解释 20 最值实际意义说明清楚、检验合理 表达交流 20 图表规范、讲解有条理 合作反思 10 协作良好、有反思改进 延伸思考：求最值有“配方（二次函数）”与“基本不等式”两条路径，殊途同归；本章“恒成立”思想还将在函数值域、数列最值问题中继续使用，为后续学习奠基。 八、上好复习课 8.1 学生用·复习方法指引 【复习方法】 1．主线先行：不等式性质→基本不等式→三个二次，先默写主线再动笔。（对照 1.1 知识框架） 2．图形辅助：二次不等式先画抛物线草图（开口、交点、符号区间）再写解集；恒成立画“图象位置”。（对应例4、例5、B4） 3．对比记忆：基本不等式“一正二定三相等”三条件缺一不可；配方法与基本不等式两条最值路径对比。（对应例2、例3、A3、B3） 4．一题多解：最值题用配方法与基本不等式各算一遍互验；含参不等式分类讨论后画数轴检验。（对应例6、B6、C2） 5．限时自评：配套练习 A＋B 组建议 45 分钟内完成，对照答案解析自评，记录丢分类型（概念性/运算性/方法性），为月考提供靶向清单。 8.2 教师用·课时与教学环节设计（4课时精讲＋1课时专题＋1课时练评） 环节 时间 课时1 内容要点 课时2 内容要点 课时3 内容要点 课时4 内容要点 目标导学 5 展示框架：“不等式两工具＋三个二次” 回顾基本不等式三条件 明确恒成立的三种转化 明确建模四步流程 情境引入 5 地铁票价优惠方案引出比较大小 快递分拣区围栏引出面积模型 月考易错恒成立题引入 校园义卖定价情境 合作探究 15 例2、例3 配凑与取等讨论 例4、例5 三个二次与恒成立 含参分类讨论（例5 变式、C2） 例6 建模求解与检验 精讲点拨 10 一正二定三相等 化正解二次不等式 判别式与分离参数 定义域与最值 当堂检测 8 变式限时完成并互批 变式限时完成并互批 变式限时完成并互批 变式限时完成并互批 小结作业 2 思维导图填空式小结＋分层作业 错题归因＋练习 A/B 组 恒成立专题整理 项目式启动 课时5（专题）：恒成立与含参不等式专项——判别式法、分离参数法、数形结合法三法并练，配套 C2、B6，并回练例5 变式。 课时6（练评）：限时 45 分钟完成配套练习 A、B 组并当堂批改，讲评聚焦“取等条件漏检”与“开口方向漏判”两类高频失分点。 衔接展望（教师参考）：本章“三个二次”与基本不等式是高一年级函数主线的基础工具，与第三章“函数的概念与性质”联合复习时，“恒成立”可转化为函数值域问题；月考可将两章联合命题，形成知识闭环。 九、月考加油站·仿真小测（限时15分钟，满分50分，每题10分） M1（选择·★）不等式 (x−1)(x＋2)＜0 的解集为（　） A．(−2，1)　　B．(−1，2)　　C．(−∞，−2)∪(1，＋∞)　　D．(1，2) M2（选择·★）若 x＞0，则 x＋ 的最小值为（　） A．1　　B．2　　C．　　D．4 M3（填空·★）已知 a＞b＞0，则 a2____b2（填“＞”“＜”或“＝”）。 M4（填空·★★）若关于 x 的不等式 x2−4x＋m＜0 的解集是 (1，3)，则 m＝____。 M5（解答·★★★）某农场用总长 32 米的篱笆围一个矩形鸡舍，其中一边靠墙（墙足够长），只围三边。设垂直于墙的边长为 x 米，鸡舍面积为 S 平方米，问 x 为何值时面积最大，最大面积是多少？ 十、AI辅助学习·错题门诊 用 AI 工具辅助复习时，建议按“三步门诊法”操作，把 AI 当作“学习助手”而不是“答案机器”： 步骤 操作 注意 1 诊断 把错题发给 AI 工具（如豆包），请它分析考查的知识点（不等式性质/基本不等式/二次不等式/恒成立） 不发送真实姓名、学校、家庭住址等隐私信息 2 变式 请 AI 出 2 道同类变式题（难度递进），独立完成后核对 先自己思考，再对照答案 3 核查 用图象与取等条件逐条检验 AI 解析（重点核查“一正二定三相等”、乘除负数变号、判别式、端点开闭） AI 答案仅供参考，以课本和老师讲解为准 十一、参考答案与解析 先独立完成全部题目，再对照本部分核验；解析中给出关键步骤、评分要点与错误原因。 （一）A组　基础巩固（每题5分，共40分） A1　C。解析：a＞b 且 −2＜0，两边同乘负数变号，得 −2a＜−2b。A、B、D 均可用反例排除（如 a＝1，b＝−2）。 A2　A。解析：同向不等式相加：1＋2＜x＋y＜4＋6，即 3＜x＋y＜10。 A3　B。解析：x＞0 时 x＋≥2，当 x＝ 时取等。 A4　B。解析：x2−2x−3＝(x−3)(x＋1)＞0，解集为 (−∞，−1)∪(3，＋∞)。 A5　∅。解析：Δ＝(−4)2−4×5＝−4＜0 且开口向上，图象恒在 x 轴上方，故不等式无解，解集为 ∅。 A6　2；8。解析：2x＋≥2＝8，当 2x＝ 即 x＝2（x＞0）时取等。 A7　−2＜a＜2。解析：x2−ax＋1＞0 对任意 x∈R 恒成立 ⇔ Δ＝a2−4＜0，解得 −2＜a＜2。 A8　9。解析：xy≤＝9，当 x＝y＝3 时取等。 （二）B组　能力提升（每题5分，共30分） B1　D。解析：取 a＝−3，b＝−1 代入：A 中 ＝−＞＝−1，错；B 中 a2＝9＞b2＝1，错；C 中 ＝3＞1，错；D 中 ＝＜1，正确。也可由 a＜b＜0 得 ＞0 且 ＜1。 B2　A。解析：由 −2≤b≤−1 得 1≤−b≤2，与 1≤a≤3 相加得 2≤a−b≤5。 B3　3。解析：令 t＝x−1＞0，则 x＋＝t＋1＋≥2＋1＝3，当 t＝1 即 x＝2 时取等。 B4　(−2，1]。解析：≤0 ⇔ (x−1)(x＋2)≤0 且 x≠−2，得 −2＜x≤1。 B5　（1）y＝x2−4x＋3。解析：由 B(0，3) 得 c＝3；对称轴 x＝2 得 ＝2，即 b＝−4a；代入 A(1，0) 得 a＋b＋3＝0，联立解得 a＝1，b＝−4。 （2）x2−4x＋3＜0 ⇔ (x−1)(x−3)＜0，解集为 {x｜1＜x＜3}。评分要点：求解析式 3 分、解不等式 2 分。 B6　2。解析：x＋2y＝4，则 xy＝≤＝＝2，当 x＝2y＝2 即 x＝2，y＝1 时取等。评分要点：配凑定值 3 分、取等验证 2 分。 （三）C组　综合应用（共30分） C1　（1）y＝(120−x−80)(200＋10x)＝(40−x)(200＋10x)＝−10x2＋200x＋8000，0≤x≤40。（2）配方得 y＝−10(x−10)2＋9000，当 x＝10 时 y 最大＝9000。答：每副降价 10 元时日利润最大，最大日利润为 9000 元。评分要点：关系式 6 分（含范围）、最值 6 分、作答 3 分。 C2　（1）y＝x2−2x＋a 开口向上，恒有 y＞0 ⇔ Δ＝4−4a＜0，解得 a＞1。（2）解集 (m，n) 对应方程 x2−2x＋a＝0 的两根为 m、n，由韦达定理 m＋n＝2，mn＝a；又 n−m＝4，则 (n−m)2＝(m＋n)2−4mn＝4−4a＝16，解得 a＝−3。评分要点：第（1）问 6 分、第（2）问 9 分（韦达定理 4 分、区间长度转化 5 分）。 （四）月考仿真小测（每题10分，共50分） M1　A。解析：开口向上，"小于取中间"，由 (x−1)(x＋2)＜0 得 −2＜x＜1，解集为 (−2，1)。 M2　B。解析：x＋≥2＝2，当 x＝1 时取等。 M3　＞。解析：a＞b＞0 时，a2＞ab＞b2，故 a2＞b2。 M4　3。解析：解集 (1，3) 对应方程 x2−4x＋m＝0 的两根为 1 和 3，由韦达定理 x₁x₂＝m＝1×3＝3。 M5　x＝8 时面积最大，最大面积为 128 平方米。解析：S＝x(32−2x)＝−2x2＋32x＝−2(x−8)2＋128，当 x＝8 时 S 最大＝128。检验：垂直边 8 米、平行边 16 米，8×16＝128（平方米），符合题意。评分要点：关系式 4 分、配方求最值 4 分、检验作答 2 分。 说明：本讲义题目情境数据（票价、销量、围栏等）为示例或常识性约值，教师可替换为当地真实数据；对标《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》编写，可在教学与组卷中合理使用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $