第二章 一元二次函数、方程和不等式高频重难点题型归纳（7大知识点+15大题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、两个实数比较大小的方法 3 知识点二、等式的性质 3 知识点三、不等式的性质 3 知识点四、基本不等式 4 知识点五、利用基本不等式求最值 5 知识点六、一元二次不等式 6 知识点七、分式不等式 7 常用二级结论 7 1、基本不等式模型 7 2、浓度不等式 8 3、一元二次不等式恒成立常用结论： 8 03 题型精讲 9 题型 1：数与代数式大小比较（必考基础） 9 题型 2：无参一元二次不等式求解（基础考点） 11 题型 3：不等式性质的应用（必考基础） 12 题型 4：由不等式条件求范围（高频考点） 14 题型 5：二次方程、二次函数与一元二次不等式相互转化（必考考点） 15 题型 6：一元二次不等式区间恒成立与能成立问题（高频考点） 17 题型 7：利用基本不等式解决实际应用（高频考点） 19 题型 8：基本不等式直接使用（基础考点） 22 题型 9：换元与消元法（高频考点） 23 题型 10：齐次化法（高频考点） 25 题型 11：“1” 的代换（必考考点） 27 题型 12：不等式的证明技巧（高频考点） 28 题型 13：含参一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 30 题型 14：浓度相关不等式问题（基础应用） 34 题型 15：基本不等式恒成立与能成立综合问题（必考综合考点） 37 知识点一、两个实数比较大小的方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点二、等式的性质 性质1　对称性：如果，那么； 性质2　传递性：如果，，那么； 性质3　可加(减)性：如果，那么； 性质4　可乘性：如果，那么； 性质5　可除性：如果，，那么. 知识点三、不等式的性质 性质1　对称性：； 性质2　传递性：； 性质3　可加性：； 性质4　可乘性：； 性质5　同向可加性：； 性质6　同向同正可乘性：； 性质7　同正可乘方性：. 知识点四、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点五、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 知识点六、一元二次不等式 一元二次不等式或的解法： 对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为） 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 R 的解集 知识点七、分式不等式 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味a，b同号，故与等价的； 与均意味a，b异号，故与等价的； ① ，且. ② ，且. 常用二级结论 1、基本不等式模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 2、浓度不等式 (1) 浓度不等式定理：若，，则一定有> 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜 (2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>. 3、一元二次不等式恒成立常用结论： ⑴的解集为R，则一定满足 ⑵的解集为，则一定满足 ⑶的解集为R，则一定满足 ⑷的解集为，则一定满足 题型 1：数与代数式大小比较（必考基础） 【典例1】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 【变式1-1】（2026·高一·山西大同·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，则，所以，故A为假命题； 对于B，若，则，且，所以，故B为假命题； 对于C，若，当时，，故C为假命题； 对于D，若，则，所以，故D为真命题． 【变式1-2】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知条件为，逐一分析选项： 选项A：令，则，，此时，不等式不恒成立； 选项B：取，，， 此时，不等式不恒成立； 选项C：作差：， 由条件得， 因此差值为正，即，该不等式不成立； 选项D：先拆分变形：， 由条件：故；，因此， 两个正数相加结果必大于，即恒成立. 【变式1-3】（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A：因为且为正数，两边同乘以负数，则. 选项B：由于，则. 选项C：因为，，所以， 由，，得，即 则，两边同时加，即，即， 两边同时除以正数，得. 选项D：分母，，用作差法比较： 分子：，，故； 分母：，，故. 因此，即. 题型 2：无参一元二次不等式求解（基础考点） 【典例2】（2026·高一·河南安阳·阶段检测）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得，即为集合， 则选项C是充要条件，故C错误； 与和均无交集，故A，B错误； 集合是的真子集， 则成立，一定满足，但成立，不一定满足， 故D是的一个必要不充分条件，故D正确． 【变式2-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解析】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A 【变式2-2】（2026·高一·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由可得且， 解得或， 即不等式的解集为或. 故选：D. 【变式2-3】不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】将原不等式化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选： 题型 3：不等式性质的应用（必考基础） 【典例3】（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 【变式3-1】（2026·高一·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解析】举反例，则，故选项A错误； 举反例，则，故选项B错误； 因为，所以，因为，所以，故选项C正确； 当，则，故选项D错误. 故选：C. 【变式3-2】（2026·高一·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 【变式3-3】（2026·高一·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 题型 4：由不等式条件求范围（高频考点） 【典例4】（2026·高一·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 当时，，即， 当时，，即， 综上可知， 故选：B. 【变式4-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 【变式4-2】（2026·高二·重庆·期中）已知实数x，y满足：且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，设，整理得， 可得，解得，即， 又由且，则， 所以，即. 故选：B. 【变式4-3】（2026·高一·广西崇左·开学考试）已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：B. 题型 5：二次方程、二次函数与一元二次不等式相互转化（必考考点） 【典例5】（2026·高一·山西大同·阶段检测）若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或. 故不等式的解集为. 【变式5-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为的解集为，所以， 且的根为， 所以，可得， ，即， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式5-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【解析】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 【变式5-3】（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】A 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以，A正确； 且-3和4是方程的两个解，则. 所以，所以不等式可化简为， 解得或，所以不等式的解集为，B错误； ，所以C错误； 不等式化简为，即，解得， 所以不等式的解集为，D错误； 故选：A. 题型 6：一元二次不等式区间恒成立与能成立问题（高频考点） 【典例6】（2026·高一·河南新乡·开学考试）“”是“命题，为假命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的充分不必要条件. 【变式6-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 【变式6-2】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】命题为存在量词命题，命题为全称量词命题，由题意得为假命题，为真命题， ① 当为假命题时，其否定“”为真命题， 即二次方程有两个不相等的实根， 故判别式，得，即，解得或； ② 当为真命题时，因为的取值范围是，的最大值是， 只需即可满足条件，故为真命题时， 取上述两个范围的交集，可得实数的取值范围是. 【变式6-3】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分情况讨论： 当时，不等式化为，符合题意； 当时，为二次函数， 命题为真则二次函数需满足 开口向下，即； 且函数图像与轴至多有一个交点，即， 即， 化简得，解得， 结合，得的取值范围为， 综上，的取值范围为. 题型 7：利用基本不等式解决实际应用（高频考点） 【典例7】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 【变式7-1】（2026·高一·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式7-2】（2026·高二·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【解析】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 【变式7-3】（2026·高一·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以， 故选：D. 题型 8：基本不等式直接使用（基础考点） 【典例8】（2026·高一·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【解析】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 【变式8-1】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 【变式8-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 【变式8-3】（2026·高三·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 题型 9：换元与消元法（高频考点） 【典例9】（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 【变式9-1】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 【变式9-2】（2026·高一·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 【变式9-3】（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，且， 所以，所以，所以； 所以， 所以， 所以， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为2. 故选：A. 题型 10：齐次化法（高频考点） 【典例10】（2026·高一·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时联立可得， 故选：C. 【变式10-1】（2026·高一·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，则. 当且仅当，即时取等号. 故选：A 【变式10-2】（2026·高一·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【变式10-3】（2026·高一·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 题型 11：“1” 的代换（必考考点） 【典例11】（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 【变式11-1】（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【变式11-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【变式11-3】（2026·高一·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【解析】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 题型 12：不等式的证明技巧（高频考点） 【典例12】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 【变式12-1】（2026·高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【解析】（1） 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【变式12-2】（核心考点3 不等式泸教版【讲】）设，都是正数．证明：； 【解析】由于，都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以，得证. 【变式12-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： (1)当时，求最小值； (2)当时，求最大值； (3)且，证明：. 【解析】（1）因为，三元均值不等式即可证明. 当且仅当即时取等号. （2）当时，， 当且仅当即时取等号. （3）因为， 所以，当且仅当即时取等号. 所以， 同理，. 所以. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号. 题型 13：含参一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 【典例13】（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知（k为常数）． (1)若，为真命题，求k的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【解析】（1）由题意可得， 当时，原不等式为，不满足题意； 当时，， 解得， 故的取值范围为． （2）不等式， 即． ，∴不等式可化为． 当，即时，不等式无解； 当，即时，； 当，即时，． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式13-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【解析】（1）， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）不等式化为， 则因式全部为负或两正一负， 又因为，所以，所以， 所以或， 则不等式的解集为或. （3）当时，解集为； 当时，， 即，， 当，即时，解集为或； 当时，解集为； 当，即时，解集为或. 【变式13-2】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【解析】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式13-3】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 题型 14：浓度相关不等式问题（基础应用） 【典例14】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【解析】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 即证明不等式 (其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克， 糖水浓度为，且，求证： (其中). 证明：，且，， ，即， ， 即， ， 即. 【变式14-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【解析】（1）因为，， 所以，，， 所以，， 故的范围为，的范围为； （2）（i），证明如下： ， 因为，，所以，， 所以，即； （ii）， 所以由（i）中的结论可得. 【变式14-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【解析】（1） ， 将三式相乘得，， 当且仅当，时等号成立． （2）①， 因为，所以， 所以， 即． ②因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又． 所以， 所以原不等式成立． 【变式14-3】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【解析】（1） 不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. （2）由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 题型 15：基本不等式恒成立与能成立综合问题（必考综合考点） 【典例15】（2026·高一·上海·阶段检测）设为正实数， (1)试比较的大小，并说明理由； (2)当时，求的最大值； (3)若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以， 即. （2）若，则， 则， 所以， 由，知，则， 所以 的最大值为. （3）若a，b，c为三边可构成三角形，由（1）知，则，且成立， 即，且成立， 即，且成立， 设， 令，则，令， 则，易知在上递减， 所以，所以，则； 设，而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以，则. 综上，. 【变式15-1】（2026·高一·广东茂名·阶段检测）已知正实数，，满足． (1)若，求证：． (2)若对任意的正实数，，恒成立，求正整数的可能取值． (3)将（2）的不等式进行推广，正整数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【解析】（1） 由于，，均为正数， ． 当目仅当，即时等号成立， 而，显然等号取不到，故； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 可变形为，所以． 又，所以或2或3． （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，即． 所以当正整数满足时，不等式恒成立． 【变式15-2】（2026·高二·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【解析】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 【变式15-3】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 【解析】正数，且，则， 当且仅当时取等号，又恒成立，则， 所以m的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式高频重难点题型归纳 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一、两个实数比较大小的方法 3 知识点二、等式的性质 3 知识点三、不等式的性质 3 知识点四、基本不等式 4 知识点五、利用基本不等式求最值 5 知识点六、一元二次不等式 6 知识点七、分式不等式 7 常用二级结论 7 1、基本不等式模型 7 2、浓度不等式 8 3、一元二次不等式恒成立常用结论： 8 03 题型精讲 9 题型 1：数与代数式大小比较（必考基础） 9 题型 2：无参一元二次不等式求解（基础考点） 9 题型 3：不等式性质的应用（必考基础） 10 题型 4：由不等式条件求范围（高频考点） 10 题型 5：二次方程、二次函数与一元二次不等式相互转化（必考考点） 11 题型 6：一元二次不等式区间恒成立与能成立问题（高频考点） 12 题型 7：利用基本不等式解决实际应用（高频考点） 12 题型 8：基本不等式直接使用（基础考点） 14 题型 9：换元与消元法（高频考点） 14 题型 10：齐次化法（高频考点） 15 题型 11：“1” 的代换（必考考点） 15 题型 12：不等式的证明技巧（高频考点） 15 题型 13：含参一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 17 题型 14：浓度相关不等式问题（基础应用） 18 题型 15：基本不等式恒成立与能成立综合问题（必考综合考点） 19 知识点一、两个实数比较大小的方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点二、等式的性质 性质1　对称性：如果，那么； 性质2　传递性：如果，，那么； 性质3　可加(减)性：如果，那么； 性质4　可乘性：如果，那么； 性质5　可除性：如果，，那么. 知识点三、不等式的性质 性质1　对称性：； 性质2　传递性：； 性质3　可加性：； 性质4　可乘性：； 性质5　同向可加性：； 性质6　同向同正可乘性：； 性质7　同正可乘方性：. 知识点四、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点五、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 知识点六、一元二次不等式 一元二次不等式或的解法： 对于一元二次方程，设，（当时，方程两根为） 的图象 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 R 的解集 知识点七、分式不等式 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味a，b同号，故与等价的； 与均意味a，b异号，故与等价的； ① ，且. ② ，且. 常用二级结论 1、基本不等式模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 2、浓度不等式 (1) 浓度不等式定理：若，，则一定有> 通俗的理解：克的不饱和糖水里含有克糖，往糖水里面加入克糖，则糖水更甜 (2) 浓度不等式的倒数形式：设，，则有>. 3、一元二次不等式恒成立常用结论： ⑴的解集为R，则一定满足 ⑵的解集为，则一定满足 ⑶的解集为R，则一定满足 ⑷的解集为，则一定满足 题型 1：数与代数式大小比较（必考基础） 【典例1】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·山西大同·阶段检测）下列命题为真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】（2026·高一·河南新乡·开学考试）已知，则下列不等式恒成立的是（） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 题型 2：无参一元二次不等式求解（基础考点） 【典例2】（2026·高一·河南安阳·阶段检测）的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高一·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2-2】（2026·高一·云南昭通·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D． 题型 3：不等式性质的应用（必考基础） 【典例3】（2026·高三·福建龙岩·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【变式3-2】（2026·高一·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 4：由不等式条件求范围（高频考点） 【典例4】（2026·高一·湖北荆门·阶段检测）已知，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·高一·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高二·重庆·期中）已知实数x，y满足：且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·高一·广西崇左·开学考试）已知且，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型 5：二次方程、二次函数与一元二次不等式相互转化（必考考点） 【典例5】（2026·高一·山西大同·阶段检测）若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-2】（2026·高一·四川广安·阶段检测）若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【变式5-3】（2026·高一·浙江宁波·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 题型 6：一元二次不等式区间恒成立与能成立问题（高频考点） 【典例6】（2026·高一·河南新乡·开学考试）“”是“命题，为假命题”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）已知命题：“，”，命题：“，”.若两个命题中全称量词命题是假命题，另一个命题是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高一·广东揭阳·开学考试）若命题“，都有”是真命题，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型 7：利用基本不等式解决实际应用（高频考点） 【典例7】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·福建·期中）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式7-2】（2026·高二·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【变式7-3】（2026·高一·安徽黄山·阶段检测）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 题型 8：基本不等式直接使用（基础考点） 【典例8】（2026·高一·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【变式8-1】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·高三·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 题型 9：换元与消元法（高频考点） 【典例9】（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【变式9-2】（2026·高一·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【变式9-3】（2026·高一·四川攀枝花·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 题型 10：齐次化法（高频考点） 【典例10】（2026·高一·贵州贵阳·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式10-1】（2026·高一·江苏连云港·期中）设正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2026·高一·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【变式10-3】（2026·高一·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型 11：“1” 的代换（必考考点） 【典例11】（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式11-1】（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【变式11-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2026·高一·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 题型 12：不等式的证明技巧（高频考点） 【典例12】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【变式12-1】（2026·高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【变式12-2】（核心考点3 不等式泸教版【讲】）设，都是正数．证明：； 【变式12-3】（2026·高一·陕西西安·阶段检测）三元均值不等式：“当a、b、c均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立.”利用上面结论，解决下列问题： (1)当时，求最小值； (2)当时，求最大值； (3)且，证明：. 题型 13：含参一元二次不等式分类讨论求解（高频考点） 【典例13】（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知（k为常数）． (1)若，为真命题，求k的取值范围； (2)当时，解关于x的不等式． 【变式13-1】（2026·高一·湖北随州·阶段检测）（1）求关于的不等式的解集； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）当时，求关于的不等式的解集. 【变式13-2】（2026·高一·江西南昌·期中）（1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【变式13-3】解下列关于的不等式： (1)； (2)． 题型 14：浓度相关不等式问题（基础应用） 【典例14】（2026·高一·浙江嘉兴·阶段检测）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡. 【变式14-1】（2026·高一·四川成都·阶段检测）（1）已知，，求及的取值范围. （2）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，假设全部溶解糖水更甜了.这就是著名的“糖水不等式” （i）请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 利用（i）的结论比较的大小. 【变式14-2】（2026·高一·广东佛山·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． ①证明糖水不等式； ②已知是三角形的三边，求证：． 【变式14-3】（2026·高一·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 题型 15：基本不等式恒成立与能成立综合问题（必考综合考点） 【典例15】（2026·高一·上海·阶段检测）设为正实数， (1)试比较的大小，并说明理由； (2)当时，求的最大值； (3)若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 【变式15-1】（2026·高一·广东茂名·阶段检测）已知正实数，，满足． (1)若，求证：． (2)若对任意的正实数，，恒成立，求正整数的可能取值． (3)将（2）的不等式进行推广，正整数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【变式15-2】（2026·高二·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【变式15-3】（2026·高一·山东潍坊·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，求m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $