精品解析：江西赣州市文清实验学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性练习

文清实验学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性练习 一．选择题（本大题共6个小题，每个小题3分，共18分） 1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是5，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 4. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是的两个根，则的值为（ ） A. 27 B. 28 C. 4 D. 3 6. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：；；方程的两根和为；若，则；点，在抛物线上，且当时，，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 8. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 9. 将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数图象的表达式是______． 10. 如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____． 11. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 12. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 三．解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 某图书馆2023年的藏书量为20000册，2025年达到了28800册，已知每年藏书量的增长率相同． （1）求该图书馆藏书量的年平均增长率； （2）假设2025到2026年的藏书量的增长率不变，2026年该图书馆的藏书量能否达到34000册？请说明你的理由． 15. 已知：关于的方程． （1）求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； （2）如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 16. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 17. 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． （2）如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 19. 【综合与探究】如图所示，抛物线交轴于、两点（点在轴的负半轴），将在轴下方部分翻折得到抛物线，交轴于点，且，连接、，抛物线的对称轴交于点，交轴于点，点是抛物线顶点，将抛物线与整体视作曲线． 【知识技能】 （1）求抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）求线段的长度； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线，讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数． 20. 如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，求的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 100 110 120 130 … 每日销售数量y（千克） … 180 160 140 120 … 问题解决： （1）根据表中信息可知： 该黄花每日的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的_________函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为_________． （2）若要使每日销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． （3）若物价局规定，该黄花的售价不得超过140元，当销售单价在什么范围内时日销售利润w（元）不低于5600元？ 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）连接，点是（1）中抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，是否存在，使的面积等于的面积？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 六、（本大题12分） 23. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文清实验学校2026-2027学年第一学期九年级数学第一次阶段性练习 一．选择题（本大题共6个小题，每个小题3分，共18分） 1. 已知一个一元二次方程的二次项系数是5，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，为常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的相关概念是解此题的关键． 【详解】解：∵一个一元二次方程的二次项系数是5，常数项是1， ∴这个一元二次方程可能是， 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 4. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的对称轴为直线，开口向上， 点关于对称轴的对称点为，当时，随的增大而减小， ， ， 故选：C． 5. 已知，是的两个根，则的值为（ ） A. 27 B. 28 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，． 根据一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，得出，，，，整体代入求值即可得到答案． 【详解】解：m，n是方程的两根， ，，，， ，， 故选A． 6. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：；；方程的两根和为；若，则；点，在抛物线上，且当时，，其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．利用开口方向，抛物线与轴交点在轴负半轴，对称轴的位置可分别判断、、正负性，从而可判断；根据抛物线的对称性可得到点的对称点为 ，代入到抛物线解析式中可得， 再结合，， 即可判断；由根与系数的关系可直接判断；将，，代入到中，利用不等式的性质即可判断；假设当点和关于对称轴对称时，解得，根据抛物线的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向上，抛物线与轴交点在轴负半轴， 对称轴为直线， ，， ， ，故错误； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， 点的对称点为 ， 将代入中得，， ， ，即， ， ，故正确； 设方程的两根为和， ， 故错误． 由知，， 由可知，， 即， ， ，即， ， 即， 故正确； 点，在抛物线上， 当时，， 解得 ， ， ，则正确． 综上，正确的结论有，共个 ． 故选：C． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，解得． 故答案为：． 8. 用配方法解方程，方程可化为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题关键是将方程左边配成完全平方式． 通过配方法将一元二次方程转化为“等号左边是完全平方形式，等号右边是数字”的形式，从而求出的值． 【详解】 移项得：， 配方得：， 即：， ∴ ． 故答案为． 9. 将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数图象的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”逐步计算即可． 【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的平移原则，原二次函数为，向左平移个单位长度，对横坐标左加，得到，再向下平移个单位长度，对纵坐标下减，得到，即得到函数图象的表达式是． 10. 如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____． 【答案】﹣5＜x＜3 【解析】 【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（3，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集． 【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0）， 根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝﹣1对称，即 抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x＝﹣1对称， ∴另一个交点的坐标为（3，0）， ∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣5＜x＜3． 故答案为﹣5＜x＜3． 【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 11. 若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一次函数的性质，由一元二次方程没有实数根得，故有直线经过第一、二、四象限，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∴直线不经过第三象限， 故答案为：三． 12. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 三．解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 14. 某图书馆2023年的藏书量为20000册，2025年达到了28800册，已知每年藏书量的增长率相同． （1）求该图书馆藏书量的年平均增长率； （2）假设2025到2026年的藏书量的增长率不变，2026年该图书馆的藏书量能否达到34000册？请说明你的理由． 【答案】（1）该图书馆藏书量的年平均增长率为. （2）能达到 理由如下： ∵2025年藏书量为28800册，每年藏书量的增长率相同，由（1）得增长率为， ∴2026年藏书量为（册）， ∵. ∴2026年该图书馆的藏书量能达到34000册． 【解析】 【分析】（1）根据2023年与2025年的藏书量，列关于年平均增长率的一元二次方程求解； （2）利用2025年藏书量和（1）中求得的增长率计算2026年藏书量，与34000册比较得出结论． 【小问1详解】 解：设该图书馆藏书量的年平均增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该图书馆藏书量的年平均增长率为． 【小问2详解】 略 15. 已知：关于的方程． （1）求证：不论为任何实数，此方程总有实数根； （2）如果该方程有两个不同的整数根，且为整数，求的值． 【答案】（1）证明：当时，方程为，解得， 此时方程有实数根； 当时，方程为一元二次方程，判别式． ，即， 此时方程有两个实数根， 综上，不论为任何实数，此方程总有实数根． （2）的值为，， 【解析】 【分析】（1）需要分情况讨论，当时，方程为一元一次方程，求解即可；当时，方程为一元二次方程，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可得证； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的解，根据该方程有两个不同的整数根，结合为整数，即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，，即方程为一元二次方程， 又， ， 或， 解得，． 又该方程有两个不同的整数根，即，故，且为整数，为整数， 的值为，，． 16. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 （2）拱顶到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【小问1详解】 解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 17. 请仅用无刻度的直尺分别按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，已知二次函数交轴于、两点，、两点是抛物线上的对称点，请利用已知点作抛物线的对称轴． （2）如图2，在抛物线对称轴上作点，使的值最小，写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）如图所示， 【解析】 【分析】（1）本题考查二次函数对称性，根据对称的性质连接与得到交点，连接与得到交点，所在直线即为所求； （2）本题考查轴对称最短距离和问题，根据、两点是抛物线上的对称点得到，即最小时最小，连接交对称轴于一点即为所求，再根据抛物线性质求点即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得，连接与得到交点，连接得到交点，所在直线即为对称轴 【小问2详解】 解：作点关于抛物线对称轴的对称点， ∵、两点是抛物线上的对称点， ∴， ∴最小时最小， ∴连接交对称轴于一点即为点， 设直线为， 由图可知，， 得， 解得， ∴， ∴时，， ∴． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）长为________米（包含门宽，用含的代数式表示） （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积是否可以达到，请说明理由． 【答案】（1） （2）的值为8 （3） 苗圃的面积不可以达到．理由如下： 若可以达到，则， 化简得：， ，无解， ∴苗圃的面积不可以达到． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键在于读懂题意，根据已知列方程求解． （1）根据木栏总长32米，如图所示的两处各留2米宽的门求出长； （2）根据题意得即可得到答案； （3）列出面积表达式，将代入判断即可． 【小问1详解】 解：依据题意，， 解得， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 即， 化简得， 解得，， 当时，， （舍去）， ； 【小问3详解】 略 19. 【综合与探究】如图所示，抛物线交轴于、两点（点在轴的负半轴），将在轴下方部分翻折得到抛物线，交轴于点，且，连接、，抛物线的对称轴交于点，交轴于点，点是抛物线顶点，将抛物线与整体视作曲线． 【知识技能】 （1）求抛物线的解析式； 【数学理解】 （2）求线段的长度； 【拓展探究】 （3）设平面内存在动直线，讨论并直接写出动直线与曲线的交点个数． 【答案】（1） （2） （3）当或时，直线与曲线的交点有个；当时，直线与曲线的交点有个；当时，直线与曲线的交点有个 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出的取值范围即可； （）求出顶点的坐标，再求出直线的解析式，得到点的坐标，即可求解； （）画出图象，结合图象及点的坐标解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 把和代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴当或时，直线与曲线的交点有个； 当时，直线与曲线的交点有个； 当时，直线与曲线的交点有个． 20. 如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点E，F作对称轴的垂线，垂足为M，N，证明，所以，，又点，，则，，得，再由，从而求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴直线为， 如图，分别过点E，F作对称轴的垂线，垂足为M，N， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ , ∴ ∵， ∴， ∴． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 100 110 120 130 … 每日销售数量y（千克） … 180 160 140 120 … 问题解决： （1）根据表中信息可知： 该黄花每日的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的_________函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为_________． （2）若要使每日销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． （3）若物价局规定，该黄花的售价不得超过140元，当销售单价在什么范围内时日销售利润w（元）不低于5600元？ 【答案】（1）一次； （2）黄花的最优销售单价为135元，最大利润为6050元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与实际问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与不等式，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； （2）根据题意列出利润的二次函数关系式，求出最值即可； （3）根据题意列出不等式，再运用二次函数图象解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：由表格可知单价每增加10元，销售数量减少20千克，则可知是一次函数； 设函数解析式为， 把，和，代入得， ， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． 故答案为：一次；． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值为（元）， ∴黄花的最优销售单价为135元，最大利润为6050元． 【小问3详解】 解：由题意得：， 整理得：， 设二次函数，图象如图： 令，则，解得，， ∴，， ∴由图象可知：时，， ∵黄花的售价不得超过140元， ∴当时，日销售利润w不低于5600元． 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； （3）连接，点是（1）中抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，是否存在，使的面积等于的面积？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）抛物线的对称轴为直线，由题意可得点、关于对称轴对称，连接，连接交对称轴于点，连接，由轴对称的性质可得，此时的周长最小，求出直线的解析式为，再计算出当时，的值即可得解； （3）求出，得到，从而可得，求出直线的解析式为，作轴交于，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，求出，得到，由三角形的面积公式可得，结合的面积等于的面积，得出，计算即可得解． 【小问1详解】 解：在中，当时，，故， 设抛物线的解析式为， 将、、代入抛物线解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意可得点、关于对称轴对称， 如图，连接，连接交对称轴于点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长，即此时的周长最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，故； 【小问3详解】 解：存在， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，作轴交于， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 在中，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 此时， 即． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，二次函数综合—面积问题，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 六、（本大题12分） 23. 阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则_______，_______； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 【小问3详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $