专题17 因式分解相关压轴题分类训练（7种类型56道）2026-2027学年人教版八年级数学上册高频考题专项训练（重庆专用）

专题17 因式分解相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用因式分解求参数】 1 【类型2 利用因式分解简便运算】 4 【类型3 因式分解与几何图形面积】 8 【类型4 在实数范围内因式分解】 14 【类型5 利用因式分解判断三角形形状】 16 【类型6 分组分解法】 21 【类型7 利用配方法因式分解】 29 【类型1 利用因式分解求参数】 1．多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 2．若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 3．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求整式中的系数，解题的关键是正确设另一个因式． 由于是多项式的一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零． 【详解】解：将代入多项式，得 ， 计算得 ， ， ， 解得． 故答案为：． 4．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】9 【分析】把展开，求出、的值，计算即可． 【详解】解：， ， ，， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算． 6．已知关于的多项式的一个因式是，则的值是__． 【答案】 【分析】设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可； 【详解】设另一个因式为， 则， 即， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键． 7．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 【答案】/ 【分析】设出另一个因式，利用因式乘积展开后对应系数相等求解． 【详解】解：设多项式的另一个因式为，则， ， ， 解得：， 因此另一个因式为． 8．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【类型2 利用因式分解简便运算】 9．利用分解因式简便运算：． 【答案】4 【分析】本题考查平方差公式的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 10．利用分解因式简便运算：． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解中的完全平方公式法，掌握公式是解题的关键． 利用完全平方公式，进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 11．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 12．利用分解因式简便运算： (1) (2)． 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题考查了利用分解因式进行简便运算，解题的关键在于掌握平方差公式与完全平方公式． （1）利用平方差公式计算求解，即可解题； （2）根据完全平方公式进行计算求解，即可解题； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用平方差公式进行计算即可； （）根据完全平方公式进行因式分解即可； 此题考查了平方差公式和因式分解的运用，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 【答案】（1）2021；（2）40000 【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解； （2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算． 15．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用提公因式法进行因式分解即可求解； （2）运用公式法进行因式分解即可求解． 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】本题主要考查因式分解，懂得运用提公因式法和公式法进行因式分解来进行简便运算是解题的关键． 16．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)-20； (2)1000000． 【分析】运用提公因式法和公式法进行因式分解即可求解． 【详解】（1）原式==． （2）原式=． 【点睛】本题主要考查因式分解，懂得运用提公因式法和公式法进行因式分解来进行简便运算是解题的关键． 【类型3 因式分解与几何图形面积】 17．将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设，，根据题意可得，，再由完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：设，， 由题得，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵． 故选：C． 18．如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（取正值）， ∵ ， ∴； 故选：C． 19．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】设正方形，正方形的边长分别为，由甲可得，由乙可得，即得，进而可得，再根据图形解答即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， 由甲得：，即， 由乙得：，即， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴（负值舍去）， ∴， 由丙得知：． 20．如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据图形分别用含a、b的式子表示出甲、乙两图中草坪的面积即可得到答案． 【详解】解：甲中草坪面积为，乙中草坪面积为， ∴甲、乙两块场地中草坪面积的比是， 故选：C． 21．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可． 【详解】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2， 由题意，得S1=b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2=a2+2b2， S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2， S=（a+b）2， ∵S=3S2， ∴（a+b）2=3（2ab-b2）， 整理，得（a-2b）2=0， ∴a-2b=0， ∴a=2b． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键． 22．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为，每个小长方形的面积为，则拼成的大长方形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． 依题意得大长方形的周长为，由，得，再根据得，据此即可得出拼成的大长方形周长． 【详解】解：依题意得：大长方形的长为：，宽为， ∴大长方形的周长为：， ∵四个正方形的面积为，每个小长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴拼成的大长方形周长为． 故选：D． 23．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（）可得等式：，将图（）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，作出图形，利用所示图形的面积间的和差关系即可求解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：如下图： ∴， 故选：． 24．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ， ． 【类型4 在实数范围内因式分解】 25．在实数范围因式分解：___________． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式进行分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是恰当进行分组，然后用公式法分解． 26．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式在实数范围内的因式分解，解题的关键是利用十字相乘法或求根公式分解多项式． 先通过十字相乘法拆分二次项与常数项的系数，将拆分为两个一次式的乘积；或先求方程的根，再利用求根公式法分解． 【详解】解：用十字相乘法：． 故答案为：． 27．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．利用平方差公式即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 28．在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查因式分解，平方差公式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再用平方差公式，进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 29．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题关键；先提取公因式，再运用公式法因式分解. 【详解】解： 故答案为：． 30．在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题的关键； 原式先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 31．在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 32．在实数范围内分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，平方差公式因式分解等知识点，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用提公因式法进行因式分解，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【类型5 利用因式分解判断三角形形状】 33．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用； （1）把通过因式分解求值即可； （2）通过把配方后根据非负数的性质判断即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 34．若分别为三边的长． (1)若满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，即是等腰三角形； (2) ， ∴， ∴， ∴且， ∴，即为等边三角形． 【分析】（1）将所给式子等号左边因式分解，得到，即可判断； （2）根据题中要求配成完全平方式，利用非负性可推出，即可推出为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的应用，等腰三角形和等边三角形的定义，解题关键是熟练将式子变形． 35．（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 【答案】（1）为等腰三角形；（2）为等边三角形 【分析】（1）将等式移项为，再整理得，后两项提取公因式，再进行因式分解得到，根据可得，即可得出结论； （2）将等式整理为，根据完全平方公式得出，则，，，即可得出结论． 【详解】解：等式， 移项得， 整理得， 即， 分解因式得， 由，可得，即， 则为等腰三角形． （2）， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形 【点睛】本题主要考查了因式分解，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 36．已知a、b、c是△ABC的三边的长， （1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状． （2）若满足a2＋2b2＋c2﹣2b（a＋c）＝0，试判断此三角形的形状． 【答案】（1）等腰三角形；（2）等边三角形 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状． 【详解】解：（1）∵（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0， ∴（a﹣b）（b＋c）＝0， ∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴b＋c≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a2＋2b2＋c2﹣2b（a＋c）＝0， ∴（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题考查了三角形的形状判定，非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 37．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 【答案】 等腰三角形，理由：， ， ， ， 或， ，，是的三边， ， 为等腰三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键,运用分组分解法判断出，进而得到结论． 【详解】略 38．已知a，b，c是的三边长，且，试判断的形状． 【答案】等边三角形． 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，等边三角形的定义，由条件可得，结合非负数的性质可得，，，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴为等边三角形． 39．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的定义，解题关键是利用因式分解给条件式变形． 先利用完全平方公式把等式左边分解因式从而得到，由此即可证明，则是等边三角形． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的形状是等边三角形． 40．若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 为等边三角形．理由如下： ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． ∴为等边三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，先将变为，得出，，，即可得出，说明为等边三角形． 【详解】略 【类型6 分组分解法】 41．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：． 解：原式 ． 例2：“三一分组”：． 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 42．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，通过观察进行正确的分组是解题关键． （1）按照题目提示分组，分别提取公因式即可求解； （2）将原式按照“三一分组”：，即可利用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 故答案为： （2）解：原式 43．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）前两项一组，后两项一组，第一组提公因式之后，再提取两组的公因式即可分解； （2）前三项一组，最后一项单独一组，第一组用完全平方公式进行因式分解，然后两组再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．先阅读下列材料，然后回答后面问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等． 如“2＋2”分法： ax＋ay＋bx＋by ＝（ax＋ay）＋（bx＋by） ＝a（x＋y）＋b（x＋y） ＝（x＋y）（a＋b） 如“3＋1”分法： 2xy＋y2﹣1＋x2 ＝x2＋2xy＋y2﹣1 ＝（x＋y）2﹣1 ＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y； （2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2； （3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1． 【答案】（1）（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）（2a＋1）2（1﹣b） 【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可； （2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可； （3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y ＝（x＋y）（x﹣y）﹣（x＋y） ＝（x＋y）（x﹣y﹣1）； （2）45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2 ＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy＋y2） ＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2] ＝5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）； （3）4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1 ＝（4a2＋4a＋1）﹣b（4a2＋4a＋1） ＝（2a＋1）2（1﹣b）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 46．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分解因式分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可； （2）原式后三项提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 47．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，然后提取公因式分解因式即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分解因式，根据分组分解法和添项法进行计算即可求解． （1）先根据“添项法”原式添加，再分组利用完全平方公式因式分解，即可求解； （2）将化为，进而根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． （3）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 【类型7 利用配方法因式分解】 49．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法在因式分解和求代数式最值中的应用，熟练掌握配方法的步骤以及完全平方式的非负性是解题的关键． （1）先通过配凑，将转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）先提取二次项系数，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最小值． （3）先提取二次项系数的负号，再通过配方将代数式转化为完全平方式与常数的和，根据完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 故代数式的最小值为． （3）解： ， ， ， ， 故代数式的最大值为． 50．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法变形为，由此即可得； （3）将原式变形为，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据配方可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为6． 51．【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 【答案】(1)9 (2) (3)的最小值为4 【分析】本题考查了配方法及其应用，熟悉完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点即可求解； （2）利用配方法可配方为，再用平方差公式进行分解即可； （3）多项式配方为，由平方的非负性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴括号内的常数应为9， 故答案为：9； （2）解： ； （3）解：， ，   ， 即的最小值为4． 52．阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 【答案】(1)25 (2) (3)当时，N有最小值是6 (4) 【分析】本题主要考查配方法的运用，完全平方公式的应用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，整式加减运算的应用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数； （2）类比例题进行分解因式即可； （3）类比例题求的最小值即可； （4）先计算整式与的差，偶次方的非负性，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 常数项为25． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴当时，N有最小值是6； （4）解： ∵ ∴ ∴． 53．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，平方差公式，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即的最小值为． 54．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)4 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是运用配方法解决问题． （1）将式子写成完全平方公式与一个数的差，然后运用平方差公式分解因式； （2）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可； （3）将式子写成完全平方公式与一个数的和，求出最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ，即的最小值为． （3）解： ， ， ，即的最小值为4． 55．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用、配方法的运用，理解题意是解题的关键． （1）仿照题目例1的方法进行因式分解即可； （2）仿照题目例2的方法求的最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 56．阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式 ②若，利用配方法求的最小值： ∵≥0， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）把多项式变形为，然后根据偶数次方的非负性即可得出多项式的最小值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 当，即时，取最小值，最小值为； （3）解：因为 ， 因为 所以，， 则，， ∴． 【点睛】本题主要考查因式分解的应用，实数的非负性等知识，掌握好完全平方公式进行配方是本题的解题关键． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 因式分解相关压轴题分类训练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用因式分解求参数】 1 【类型2 利用因式分解简便运算】 1 【类型3 因式分解与几何图形面积】 2 【类型4 在实数范围内因式分解】 4 【类型5 利用因式分解判断三角形形状】 5 【类型6 分组分解法】 5 【类型7 利用配方法因式分解】 9 【类型1 利用因式分解求参数】 1．多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 2．若将多项式因式分解得，则的值为______． 3．若多项式有一个因式是，则的值为___________． 4．若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为__________． 5．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 6．已知关于的多项式的一个因式是，则的值是__． 7．已知是多项式的一个因式，则它的另一个因式是________________． 8．若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【类型2 利用因式分解简便运算】 9．利用分解因式简便运算：． 10．利用分解因式简便运算：． 11．利用公式简便运算： (1)； (2)． 12．利用分解因式简便运算： (1) (2)． 13．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2)． 14．利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 15．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2) 16．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2)． 【类型3 因式分解与几何图形面积】 17．将两个正方形，如图摆放，点E在上，点G在上，若两个正方形面积之和为58，，则图中阴影部分面积是（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 18．如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（　　） A．6 B．21 C． D． 19．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得到图甲，将A，B构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16，若三个正方形和两个正方形得到图丙，则阴影部分的面积为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 20．如图，某中学的校园中有甲、乙两块边长为 的正方形场地．场地甲中间有一个边长为 的正方形喷水池，四周为草坪；场地乙的上方是长为 、宽为 的长方形花卉区，下方为草坪．那么甲、乙两块场地中草坪面积的比是 （    ） A． B． C． D． 21．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（    ） A． B． C． D． 22．已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知图中阴影部分四个正方形的面积之和为，每个小长方形的面积为，则拼成的大长方形周长为（    ） A． B． C． D． 23．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式．例如，由图（）可得等式：，将图（）所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（   ） A． B． C． D． 24．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等的小正方形（两个大小不同的正方形不重合、无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，，，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【类型4 在实数范围内因式分解】 25．在实数范围因式分解：___________． 26．在实数范围内因式分解：______． 27．在实数范围内分解因式：________． 28．在实数范围内因式分解：________ 29．在实数范围内因式分解：______． 30．在实数范围内因式分解：________． 31．在实数范围内分解因式：__________． 32．在实数范围内分解因式：___________． 【类型5 利用因式分解判断三角形形状】 33．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 34．若分别为三边的长． (1)若满足，试判断的形状，并说明理由； (2)若满足，试判断的形状，并说明理由． 35．（1）的三边长满足等式，试判断的形状． （2）若的三边长为，，，且满足，试判断的形状． 36．已知a、b、c是△ABC的三边的长， （1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状． （2）若满足a2＋2b2＋c2﹣2b（a＋c）＝0，试判断此三角形的形状． 37．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由． 38．已知a，b，c是的三边长，且，试判断的形状． 39．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 40．若a，b，c表示的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【类型6 分组分解法】 41．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”：． 解：原式 ． 例2：“三一分组”：． 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 42．阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)填空： 解：原式（ ） （ ）（ ） = ． (2)因式分解；． 43．［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 44．阅读理解： 当一个多项式既不能用提公因式法又不能用公式法因式分解时，这里再介绍一种因式分解的方法，叫分组分解法．比如： 这种分组法是分组后用提公因式法分解．又比如： ． 这种分组后用公式法分解．根据以上信息分解下列因式： (1)； (2)． 45．先阅读下列材料，然后回答后面问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等． 如“2＋2”分法： ax＋ay＋bx＋by ＝（ax＋ay）＋（bx＋by） ＝a（x＋y）＋b（x＋y） ＝（x＋y）（a＋b） 如“3＋1”分法： 2xy＋y2﹣1＋x2 ＝x2＋2xy＋y2﹣1 ＝（x＋y）2﹣1 ＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y； （2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2； （3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1． 46．阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解． 例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法． ①； ② 试用上述方法分解因式： (1)； (2)． 47．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 48．【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【类型7 利用配方法因式分解】 49．【材料阅读】学习了因式分解之后，老师布置的阅读材料如下：把代数式通过配凑等方法，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、求最值（最小值或最大值）问题中有着广泛的应用． 例：①利用配方法因式分解：． 解：原式 ． ②利用配方法求代数式的最小值． 解：原式 ． ∵是非负数， ∴， ∴． ∴代数式的最小值为2． 【材料应用】请根据上述阅读材料提供的方法，解决下列问题． (1)利用配方法因式分解：． (2)利用配方法求代数式的最小值． (3)利用配方法求代数式的最大值． 50．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 51．【阅读材料】 把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值等问题中都有着广泛的应用． 例1：用配方法分解因式：． 解：原式 ． 例2：用配方法求整式的最小值． 解：； ，， 整式的最小值为5． 【类比应用】 (1)如果整式是一个完全平方式，则括号内的常数应为______； (2)参考例1的步骤，用配方法分解因式：； (3)参考例2的步骤，用配方法求整式的最小值． 52．阅读并解决问题：对于二次三项式，因不能直接运用完全平方公式，此时，我们可以先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变．这样的方法称为“配方法”．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等方面都有着广泛的应用： 例1．用配方法因式分解：． 解：原式 ． 例2．若，利用配方法求M的最小值： 解：． ∵． ∴当时，M有最小值5． 请利用配方法解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)利用“配方法”分解因式：； (3)若．求N的最小值； (4)已知整式与，请比较A、B的大小． 53．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)用配方法求的最小值． 54．【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式，，，即的最小值为2． 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解：． (2)用配方法求的最小值． (3)用配方法求代数式的最小值． 55．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解答一些数学问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，因式分解，最值问题等都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：； 原式． 例2．若，利用配方法求的最小值． ； ∵，，∴当时，有最小值． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)若，则的最小值为______． 56．阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式 ②若，利用配方法求的最小值： ∵≥0， ∴当时，有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解：． (2)若，求的最小值． (3)已知，求的值 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $