专题02 同构思想在函数中的应用（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“同构思想在函数中的应用”专题，通过知识脑图搭建核心脉络，涵盖单调性的同构、指对同构两大考点，分层设计基础梳理与素养进阶模块，包含5类典型题型及优题精练，构建完整知识体系。 清单采用考点深研与题型解法双轨并行设计，如将指对同构细化为积型、商型、和差型，提炼同构变形、换元等解题范式，标注高频考点与新题对点练，培养学生数学思维与模型意识。知识脑图直观呈现逻辑关联，优题精练强化实战应用，助力学生自主高效复习，为教师提供精准教学支持。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02同构思想在函数中的应用 ----------------------◆》》)◆---------------------- 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 。基础梳理·自主夯基 考点O1单调性的同构 考点02指对同构 @3素养进阶·答题技法突破一一提炼解题范式，是升答题素养 题型02双变量构造新函数 ☑考点聚焦·解法深研 题型03和差型同构 题型01根据单调性定义同构函数 题型04积型或商型同构 题型05同构换元 ◎4优题精练•专题实战通关一一精选优质试题，强化实战应用 ----◆》父◆------ 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 核心：将含f(x小、fx2)的不等式变形，构造新函数判断单调性 考点一：单调性的同构 常见构造：差商型（分离常数）、积商型（同除构造比值）、和 差型（移项配凑） 方法：先变形为gX)与gxa)的大小关系，再判断gx)的单调 性，转化为导数恒正或恒负 核心：利用恒等变形x=enx)=ln(ex)(x>O)构造指数或对数 同构思想 积型：化为同结构，构造xex或xnx 在函数中 考点二：指对同构 商型：化为同结构，构造e×/X或xnx 的应用 和差型：化为同结构，构造ex±x或xtlx 方法：将不等式两边化为同一函数形式，利用该函数单调性脱 去函数符号 双变量构造：将含两个变量的不等式整理为同一函数在不同点 取值的大小关系 综合要点 同构换元：令为内层表达式，将问题转化为单变量函数问题 含参恒成立：同构变形后分离参数，转化为求新函数最值 指对混合：优先考虑同构，避免复杂求导运算 小考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基一一核心必记 。考点01单调性的同构 在函数单调性的问题中，对VX1,x2∈D,通过，fx1>fx2或fx1<f(x2)的关系来判断单调性，或 者根据 x卢fx>0(<0或x-x)[f(x-f(x小>0(<0来判断单调性。 X1-X2 对含有fx1、fx2、X1、x2的不等式，目标是构造新的函数，可以利用不等式来判断新函数的单调性。 下面给出几个构造的例子 、fx-f&k-fx-kx-f-kx>0一fX-kc为增图数 X1-X2 X1-X2 f(x)f(xz) 2fx)-xfx>0x0一x1,>0一fx在x>0时为增函数 X1-X2 X1-X2 2/10 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3、f(x)-fx2)k fx)+k -F(x2)+k >0一fx+《为增函数 X1-X2 X1X2 X1-X2 X 【新题对点练】(2026陕西西安校拟预测)已知两数f)=血-，对于5,5,202，且当 f()_f()-o x>时，恒有x2x,则实数a的取值范围为 。考点02指对同构 利用恒等变形x=e=lne(x>0)来构造指数或对数。 1、积型ae≤blnb (1)化简成ae≤Inb.elb,构造函数fx=xe (2)化简成elne≤blnb,构造函数fx=xlnx (3)取对a+lna≤lnb+ln(lnb),构造函数fx=x+lnx 2、商型e°、b a Inb (1)化简成ese a"Inb 构造函数fx=e (2)化简成e° 枸造数年X=应 ≤nb (3)取对a-lna≤lnb-ln(lnb),构造函数fx=x-lnx 3、和差型e±a>b±lnb (1)化简成e°±a>enb±lnb,构造函数fx=e±x 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)化简成e°±lne>b±lnb,构造函数fx=x±lnx 【新题对点练】(25-26高二下广东肇庆期末)已知函数f(x)=ar-a-nc,g(x)=-xe+(a+)x-2 )当0=2时，求函数)在f0)处的切线方程 (②讨论儿四的单调性： ③芳不等式)28恒成立，求实数“的取值范围 素养进阶•答题技法突破 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 《。题型01根据单调性定义同构函数◇ 悟 解题关健 将含f(x人、f(x,)的不等式通过移项、同构变形，整理成 F(x小F(x>0(或0i)的形式， X1-X2 则F(x)为增函数（或减函数）。 【典例1】(25-26高二下·四川眉山期末)已知函数 回=+m,若，eR,,都有 fs)f西)3 x1-x2 则实数m的最大值为() A.v3 B.3 c25 D.26 【典例2】(25：26高=下广东东莞期末)已知函数/()c- ，若对任意的 ()()0 x2∈(0，+∞)(x≠x),都有x-为 则实数a的取值范围是() 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.（-o,c] c.) n 【变式1】(25-26高二下福建泉州阶段检测)已知函数f)=2x+1-x血x,若对任意的，6∈0，+) f(x)-f()-m(x+x) 且x≠x2,都有x-x2 则实数的取值范围为 【变式2】(25-26高二下山东济南期未)已知函数f()= +alnx x+1 0)活)在Q,+切）上单调递减，求“的取值范围， ②若（四有两个极值点，5。 (i)求a的取值范围： f(x)-f(x)_2d+a (ii)求证： X1-x2 a+1. 。题型02双变量构造新函数◇ 悟 解题关键 将含X1,X的不等式通过同构变形，化为“同一函数在两点处值的大小比较”，即F(x1)与F(x2)的 关系，再判断F(x)的单调性。 【典例1】(25-26高二下·福建宁德期末)若0<x<x,<m,mZ,不等式(x) <3x2-3x恒成立， 则m= 【奥例2】（26-27高三上辽宁大连开学考试)已知函数6因)r-22-瓜+6a,b∈R ①考a=6=1,求曲线”=()在点0》处的切线方程： 2若对任意的50，d,且>5，恒有f()f')K2e*-2e ,求a的取值范围， 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(25-26高三下·重庆沙坪坝开学考试)已知函数 f(x)=(x+a)e'+x-a,aeR, g(x)=f()c=2.71828…为自然对数的底数. 1)若（四为增函数，求实数“的最小值： 2诺因有三个零点，名.任<<) (i)求实数a的取值范围： [g(x)'-g(x)>e2-e2 (ⅱ)求证： 【变式2】(2526高=下辽宁大连期未)已知函数f)=nx+x,g()-=+3x+2,对于任意 且<x,不等式f()-f()>8(x)()恒成立，则a的取值范围为() A.（-0,9] B.B,6 c.24,+o) D.2,+o) 。题型03和差型同构。 悟解题关键 将不等式两边分别整理成结构相同的形式，使一边化为eA±A或nB±B的类型，另一边化为同类结 构，再利用对应函数的单调性“脱去”外壳。 【典例】(2026广东深圳模拟预测)已知函数/（冈=c+x-m的零点为，西数8(=hx+x-m的零 龙 点为，其中m>1,则x的取值范围是() A.(0,) a D.[c,+) 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(26-27高三上湖北孝感开学考试)已知函数f内)=-x,g()=l血+x.若关于x的不等 式)+8（四≤0有解，则“的取值范国为 【变式】(2025商=全月专题练习》若闭=aw+h422a>0,了>0成立，则g的位可以 是() A.e B.1 C.2e D.2 【变式2】(26-27高三上河北衡水开学考试)当a>0,x>0时，不等式a心-hx+lna21恒成立，则a 的取值范围是 。题型04积型或商型同构父 悟解题关键 将不等式两边分别整理成结构相同的乘积或商的形式，常化为Xe、 n Inx 等模型，再利用 X 对应函数的单调性脱去外壳。 【奥例】2025有二全国专短练习》设实数A小0：若对任意的xc0切，不等式一罗之0有度立。 则九的取值范围是 【典例2】(2ǒ27商三上重庆开学考试)若西数f()a>0,且对任意x>0,f儿公小5c恒成 立，则实数a的取值范围是(） A.(,) B.(,] D.(0,] 【变式】(2026陕西汉中根拟预别》若对任查的xd,ae<爱但成立，则正实数n的最大值 为 【变式2】(2026高三下全国专题练习)设入>0，若对任意的x∈(0，+o),不等式c-2nx≥0恒成立， 则实数九的最大值为一 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。题型5同构换元◇ 悟解题关键 识别恩目中的指对同构结构（如Xe、g、X山x等），通过换元将复杂式子化为简单函数，再求参数 范围。 【典例1】(26-27高三上：江苏南通·开学考试)已知函数 f(x)=e*-e*-2sinx ,不等式 f(a-re）+2Imx+)≤0对任意的x(0,+o)恒成立，则“的最大值为() A.2 B.√2 C.1 D.2 (x)= --ax+alnx 【典例2】(25-26高二下湖北襄阳·期末)已知函数 (1)当=e时，证明： f(x)≥0 2若()≥0 成立，求“的取值范围。 【变式1)（重难点专题25导数中的同构间题2）设f(国=心8()血，证明：(2+8()+1 【变式2】(25,26高三下江苏连云活阶段粒测)已知脑数)=m-anx- x. (1)若a=0,求函数y=f()的极值点： (2)若不等式f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围； 优题精练•专题实战通关 1.(25-26商二下湖南岳阳期未)若关于x的不等式（女-2a)r+nr≤c-2a“在0，o）上恒成立，则 实数a的最大值是 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高二下江苏南京期末)已知不等式e-x+x之mx+2k(k>0)恒成立，则k的最大值为 () A.e B.2e C.e2 D.2e2 3.（2627商三上重庆沙坪坝开学考试)已知函数（国）=c0,8d)=血x-(a-2:,若对任意 x∈(0，+切).f()之8（四恒或立，则实数“的最小值是一 4.(2026商三下全国专题练习)设2>0，若对任意的E(0),不等武e-hx20恒成立，则实 数1的最小值为 (25-26高三下湖北武汉阶段检测)已知2>0；对任意正数x,©2-，20恒成立，则2的最小 2 为 6.(25.26高=下辽守辽阳期末)已知)=c-(a-2r,8()=ln(）.若f2g在0w)上 恒成立，则实数a的最大值为() A.e B.2e c.2 1 D.2e 7.(25-26高二下·甘肃酒泉·期末)若对任意 >0,e-m之h(a)-xa>0)恒成立，则实数“的取值范围 为() c.(0,c] D.[e,+o∞) 8.(25-26高二下：广西桂林·期末)若关于x的不等式e-m-lx≥m+1恒成立，则实数m的取值范围是 () A.（-0, B.（-,0] D.（-o,e 9/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26高二下：河南洛阳·期末)若不等式e+x-lnx-ax≥lna+1对x>0恒成立，则实数a的取值 范围为() A.to) B.(0,] C.le,to) D.(0e] 10,(25-26商二=下河南郑州期末)己知函数/()=ahx+分+1，在其图象上任取两个不同的点 2 f(s)-f(>2 P(x,),(x,y)(x<x2),总能使得- ,则实数a的取值范围为() A.[4,+∞) B.(4+o) C.[1+o) D.(亿+o∞) 10/10专题02 同构思想在函数中的应用 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 单调性的同构 考点02 指对同构 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 根据单调性定义同构函数 题型02 双变量构造新函数 题型03 和差型同构 题型04 积型或商型同构 题型05 同构换元 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 单调性的同构 在函数单调性的问题中，对，通过的关系来判断单调性，或者根据或来判断单调性。 对含有、的不等式，目标是构造新的函数，可以利用不等式来判断新函数的单调性。下面给出几个构造的例子 1、 2、 3、 【新题对点练】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 【答案】 【详解】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 考点02 指对同构 利用恒等变形 来构造指数或对数。 1、积型 （1）化简成，构造函数 （2）化简成，构造函数 （3）取对 ，构造函数 2、商型 （1）化简成，构造函数 （2）化简成，构造函数 （3）取对 ，构造函数 3、和差型 （1）化简成，构造函数 （2）化简成，构造函数 【新题对点练】（25-26高二下·广东肇庆·期末）已知函数，． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分及进行讨论即可得； （3）法一：由可得，再构造函数，利用导数结合隐零点求出其最小值即可得；法二：由可得，令，则，构造函数，利用导数求出其最小值即可得. 【详解】（1）当时，，则， ，则切线斜率为， 又，则切点为， 所以，切线方程为； （2）定义域为，， 当时，恒成立，故在上单调递减， 当时，令得，当得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）法一：由得， 即，令， ，令， 则在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 存在，使，得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故，所以. 法二：由得， 即，令，， 原不等式可变成，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的最小值为，所以． 素养进阶·答题技法突破 题型01 根据单调性定义同构函数 将含 、 的不等式通过移项、同构变形，整理成 （或 ）的形式，则 为增函数（或减函数）。 【典例1】（25-26高二下·四川眉山·期末）已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】首先将题干中割线斜率大于的条件变形，可以构造新函数，将原不等式转化为在上单调递增的问题.因为可导函数在定义域上单调递增的充要条件是其导函数恒大于等于，所以对求导，得到关于的二次函数恒大于等于的条件;利用二次函数恒非负的判别式准则，建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围，进而得到最大值. 【详解】，都有， 不妨设，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， 可得： 移项整理得： 故函数是上的单调递增函数， 因为 , , 要满足在上单调递增，就要求：恒成立, 是开口向上的二次函数，要使其在上恒大于等于0， 只需二次函数的判别式即可,即 所以的取值范围是，因此实数的最大值为. 【典例2】（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数，若对任意的，，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得： ，令，判断在上单调递增，即可得在 上恒成立，继而转化为对于任意恒成立，再构造函数，求出其最大值，即可求得答案. 【详解】由于对任意的，，都有， 整理得： ，令，则在上单调递增， 因此在 上恒成立； 由，可得，， 在 上恒成立等价于对于任意恒成立， 令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，故， 即实数的取值范围是. 【变式1】（25-26高二下·福建泉州·阶段检测）已知函数，若对任意的，且，都有，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【分析】对所给不等式进行整理，构造新函数，根据新函数的单调性，根据导函数的正负与原函数的单调性关系建立不等式，通过分离参数求解参数的取值范围即可． 【详解】对进行变形，设，则， 整理可得， 令，则； 因为，，故在上单调递增； 因为，故， 因为在上单调递增，则在上恒成立； 则，则， 令，则需求的最小值； ，令，解得； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取最小值，，故， 综上，实数m的取值范围为． 【变式2】（25-26高二下·山东济南·期末）已知函数． (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若有两个极值点，． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（ii）由极值点性质，(不妨设， 所以，代入， 化简得：， 又因为，， 所以，则 需证：，即证， 已知，两边除以，得：， 再用解出，代入化简：， ，两边约去：，即证：， 令，求导： ， 令， 则， 时，，故在严格递减. ，故. 因此，在严格递增. 又，故. 所以成立，以上每一步变形均等价可逆，故原不等式成立. 【分析】（1）已知函数在定义域单调递减，转化为，分离参数求参数范围即可； （2）(i) 求出函数的导数，根据函数有两个不同的极值点，列不等式求解即可；(ii)双极值点差值不等式证明，借助极值点韦达关系化简分式，换元构造单变量函数，利用单调性证明. 【详解】（1）函数的定义域为，， 在上单调递减，等价于在上恒成立， 即. 令，. 令，即，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值. 则，即的取值范围是. （2）(i)由(1)知. 因为有两个极值点，，所以在上有两个不同的根， 即在上有两个不同的根. 则， 因为方程有两个不同的根，所以，即，解得. 又因为二次函数的对称轴为， 且两根都在上，所以，即，解得. 同时，当时，. 综上，的取值范围是. (ii)略 题型02 双变量构造新函数 将含 的不等式通过同构变形，化为“同一函数在两点处值的大小比较”，即 与 的关系，再判断 的单调性。 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期末）若，，不等式恒成立，则________． 【答案】1 【分析】若，不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，利用导数分析的单调性，即可求得的值. 【详解】若，，不等式恒成立， 则恒成立， 即， 即恒成立. 令，则在上单调递减. . 令，得，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 又，所以. 【典例2】（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意的，且，恒有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据题意可得切点坐标和切线斜率，进而可得切线方程； （2）分析可知在上单调递减，即可得在上恒成立，参变分离可得，令，，利用导数求最大值即可得结果. 【详解】（1）已知函数， 当时，则，， 可得，， 所以切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为函数，则， 由于对任意的，且，恒有， 即， 构造函数， 上述条件等价于对任意的，且，恒有， 可知在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 令，解得， 当时，，可知在单调递增； 当时，，可知在单调递减； 则在处取最大值， 可得，解得， 所以的取值范围为. 【变式1】（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，，记，为自然对数的底数． (1)若为增函数，求实数的最小值； (2)若有三个零点，，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2) （ⅰ） （ⅱ）法一：因为， 故，又，有唯一的正零点，所以， 由，得， 故， ， 又，，故，，故① 令，，单调递减， 所以，于是，即有② 由①②得，即有，证毕！ 法二： 由，得，， ， 故， 同理，设， ，令， ，故单调递增，又， 于是当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 由洛必达法则得， 所以， 令， 当时，因，，，故，单调递减； 当时，，令， ，在单调递减， ，又，故； ，故． 所以，在单调递减． 又，故， 即，故得证！ 法三： ， 由，得，， ， 故 ， 同理， 令， ，故在和单调递增． 又由洛必达法则得，，， 因，故， ，所以， 因，故，， 所以，所以，故得证！ 【分析】（1）方法一：求导研究单调性，求出最小值，令最小值大于等于 0 解参数范围；方法二：参变分离，构造新函数求最小值，转化为恒成立求参数；（2）（i）方法一：分析导函数零点得到原函数单调性，结合零点存在定理判断零点个数；方法二：分离参数构造函数，研究新函数单调性、极限，利用方程解的个数判定零点；（ii）方法一：挖掘与关系式得到，构造辅助函数，利用不等式放缩完成证明；方法二： 等价变形待证不等式，构造函数，研究单调性，比较与大小；方法三：代入零点条件化简代数式，构造，利用函数值域分别得到两边的范围，直接比较大小. 【详解】（1），因为为增函数，所以对任意实数恒成立． 法一：令，得， 故在单调递减，在单调递增， ，解得． 所以，实数a的最小值为． 法二： ，令， ，故在单调递减，在单调递增， ，得．所以，实数a的最小值为. （2）（i）：法一：由 (1) 知在单调递减，在单调递增. 若, 由 (1) 知为增函数，至多只有一个零点，不符合题意； 若, 则,, ,;,, 故存在和, 使得, 且时，,单调递增；时，,单调递减；时，,单调递增. 又, 故,,,;,, 所以存在,, 使得. 综上知，当时，有三个零点, 且. 法二：因为, 所以有一个零点为 0 ， 当时，，记， 令，，故单调递增， 又，于是当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增, 由洛必达法则得，，，， 当时，方程没有解，不符合题意； 当时，方程在和各有一个实数解和. 综上知，当时，有三个零点，且. （ii）略 【变式2】（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知函数，，对于任意，且，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把不等式变形构造新函数，由条件判断单调递减，从而转化为导数在区间上恒小于等于0，再分离参数通过换元找二次函数的最值即可. 【详解】因为对于任意，且，不等式恒成立，即. 令，则，则在上单调递减， 代入函数，，得， 所以在上恒成立，即， 令，即在上恒成立，则只需即可. 令，则该函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以，即a的取值范围为. 题型03 和差型同构 将不等式两边分别整理成结构相同的形式，使一边化为 或 的类型，另一边化为同类结构，再利用对应函数的单调性“脱去”外壳。 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得 构造函数， 讨论函数性质，可得，可得,构造函数,求导，求值域可得. 【详解】因为函数 的零点为 ，所以 ． 因为函数 的零点为 ，所以 ， 则 ，即 ， 可得 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递增． 所以 ，则 ，即 . 可得 . 由已知得 ，则 (关于自变量的函数,根据简单的复合函数单调性可知该函数单调递增)． 又 . 则 ，解得 ． 令 ，则 . 令 ,则 ;令,则. 可得在上单调递增,在上单调递减， 则的最大值为,,即. 【点睛】本题考查了学生指对同构的思想，利用指对同构找到，的关系，化多元为单变量，构造新函数解决问题. 【典例2】（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知函数，．若关于的不等式有解，则的取值范围为____________． 【答案】 【分析】先根据定义域得出，分和两种情况讨论， 时，通过换元法化简原不等式，构造函数并求导，利用函数单调性和特殊值得出等价条件，进而求出函数最大值；时，同理得出等价条件，进而讨论求解，综合两种情况得出的取值范围． 【详解】由可知，故， 若，则，代入不等式整理得： ，即， 构造单调函数，则，故严格递增， 则不等式变形为， 由单调性可知，约去正数得， 由不等式有解得存在使得成立，等价于， 令，求导得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值为，故； 若，则，同理可得，即， 令，求导得，故在上单调递增， 值域为，存在满足，故都满足条件， 综上，． 【变式1】（2026高二·全国·专题练习）若，恒成立，则的值可以是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得：.故原题意即为恒成立，构建，结合的单调性可得恒成立，通过参变分离得到，令，利用导数求最值即可求得的范围. 【详解】因为，等价， 解法一（同构单调性）：于， 即为恒成立，令，则， 又易得在定义域内单调递增，所以，即， 故恒成立，， 令，则， 因为当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值，即. 所以. 解法二（同构保值性）：， 令，易知，当且仅当时等号成立，， 故利用保值性，， 当时取等号，故A、B、D错误，C正确． 解法三（分而治之）：， 即即可，取等条件为， 当时，，即，故A、B、D错误，C正确． 【变式2】（26-27高三上·河北衡水·开学考试）当，时，不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】不等式可变形为；构造函数，根据导数与单调性的关系进一步转化为；参变分离得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】当，时，不等式恒成立可化为当，时，恒成立， 即当，时，恒成立． 设，则恒成立，所以函数单调递增， 所以，即． 设函数，则， 令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以，解得. 故的取值范围是． 题型04 积型或商型同构 将不等式两边分别整理成结构相同的乘积或商的形式，常化为 、、、 等模型，再利用对应函数的单调性脱去外壳。 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由通过变形得到，构造，利用导数法得到在区间为增函数，从而得到，构造函数，利用导数法得到的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】，且， 不等式两边同乘以，得到， 设，故不等式转化为， ， 因为，所以，所以在区间为增函数， 又时，， 则转化为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 设，， 的解为，的解为， 故在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 则在处取得极大值，也是最大值， 故的最大值为， 则，即． 【典例2】（26-27高三上·重庆·开学考试）若函数，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过单调性对不等式进行转化即可得出a的取值范围. 【详解】. 若，恒成立； 若，设，，在上单调递增， 则当时，恒成立； 所以在上恒成立 令，， 当时，,故在上为减函数， 当时，,故在上为增函数， 故在时取得最小值， 所以，所以，即. 【变式1】（2026·陕西汉中·模拟预测）若对任意的，恒成立，则正实数的最大值为_________． 【答案】 【分析】通过观察不等式结构构造单调函数，利用函数单调性将指数不等式转化为一次不等式，分离参数后通过求目标函数的最值得到参数的最大值. 【详解】∵ 为正实数，，∴ ，. 原不等式两边同乘，可得. 设，∵ ，∴ 在上单调递增. ∴ 等价于，即对任意恒成立. 设，，则. 令，得. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∴ 的最小值为区间端点值中的较小者： ，， 经比较得，故正实数的最大值为. 【点睛】方法归纳：对于同时包含指数、对数的恒成立问题，可通过同构构造单调函数简化不等式，避免复杂的复合函数求导运算，分离参数后结合函数单调性求最值即可得到参数的取值范围. 【变式2】（2026高三下·全国·专题练习）设，若对任意的，不等式恒成立，则实数λ的最大值为______． 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 题型05 同构换元 识别题目中的指对同构结构（如 、、 等），通过换元将复杂式子化为简单函数，再求参数范围。 【典例1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的单调性和奇偶性，转化不等式为在恒成立，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的范围，从而求得其最大值. 【详解】，定义域为，且， 所以是奇函数. 又，且，， 所以恒成立. 所以在上单调递增. 因为， 所以，即. 所以，即在恒成立； 令，则； 令，则， 所以在单调递增. 又， 所以存在，使得，即. 则当，，故，此时单调递减； 当，，故，此时单调递增. 所以当时，取得最小值. 又，两边取对数可得，也即； 所以的最小值. 所以，则的最大值为. 【点睛】处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题. 【典例2】（25-26高二下·湖北襄阳·期末）已知函数． (1)当时，证明：． (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)由题意得函数的定义域为． 当时，，求导得， 令，求导得，令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ，故成立． (2) 【分析】（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可. （2）对原函数合理同构得到，再转化为，最后结合分离参数法求解最值即可. 【详解】（1）略 （2）由题意得，， 令，， 则时，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，而等价于， 又因，则在上成立，令，， 则，得到在上单调递增， 则．所以，即． 【变式1】（重难点专题2-5导数中的同构问题-2）设，，证明：； 【答案】证明:令， 则， 则恒成立，所以在上单调递增， 又， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以即. 【分析】先令，求导得，利用导数研究单调性，进而得到函数的单调性，根据最值即可得证. 【详解】略. 【变式2】（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知函数. (1)若，求函数的极值点； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围； 【答案】(1)极大值点为1，无极小值. (2) 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，分析函数的单调性，可求函数的极值点. （2）先证，问题转化为，设，分析的单调性，求的最小值即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，， 当时，，时，， 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减， 所以函数在处取得极大值，函数的极大值点为1，无极小值点. （2）函数的定义域为，不等式恒成立， 即在上恒成立， 记，则， 得到在区间上单调递减， 在上单调递增， 则，即在区间上恒成立， 分离变量知：在上恒成立，则， ， 由前面可知，当时，恒成立，即， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，所以，故的取值范围为． 优题精练·专题实战通关 1．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知不等式恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可变形为，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】变形为， 构造，定义域为， 则在上恒成立， 所以在单调递增，故， 两边平方后变形得到， 构造，， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 可知，所以， 故的最大值为. 3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的最小值是_____. 【答案】 【分析】同构变形，令，得到，根据函数单调性得到不等式，参变分离，进行求解 【详解】由题意得在上恒成立， 变形得到，， 令，则， 其中在R上单调递增，故，， 因为，所以， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 所以，的最小值为. 4．（2026高三下·全国·专题练习）设，若对任意的，不等式恒成立，则实数λ的最小值为______． 【答案】 【分析】由题意得对任意的恒成立，分类讨论，可得时，构造函数，结合单调性可得，进而利用导数求得的最大值即可. 【详解】因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的恒成立， 当时，，不等式恒成立， 当时，构造，则， 求导得，所以在上单调递增， 所以，所以，即， 令，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以， 所以实数λ的最小值为. 5．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知，对任意正数x，恒成立，则的最小值为 ________． 【答案】 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数，利用导数的性质，参变量分离法进行求解即可． 【详解】由可得，因为，故； 进而转化，令函数， ，故在上单调递增； 由可知， 则；则；令， 则，令，可得； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取最大值，，故， 则的最小值为． 6．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，不等式可化为，通过求导证明在上单调递增，从而得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 7．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）若对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式形式，构造同构母函数，然后利用的单调性，将问题转化为对恒成立，求解最小值即可求得参数的取值范围. 【详解】设，对任意恒成立， 所以在上单调增. 可变形为 ，即 因为在单调增， 所以，即对恒成立. 设，令，解得. 所以，单调减， ，单调增. 所以当时，有最小值. 所以，解得. 8．（25-26高二下·广西桂林·期末）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，求导，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，进而求解得到实数的取值范围 【详解】不等式，恒成立，即在时恒成立 令 ，则，即得在上单调递增， 而，即，故可得在时恒成立， 即在时恒成立， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故， 故，即实数的取值范围是. 9．（25-26高二下·河南洛阳·期末）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对给定的恒成立不等式进行同构变形，构造函数并利用单调性可得，再构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 不等式恒成立， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，解得，所以实数a的取值范围为. 10．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，在其图象上任取两个不同的点，（），总能使得，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，题意即递增.由恒成立，得对任意恒成立，又，故，且可行，可得答案. 【详解】函数定义域为， 由等价于：，即：， 令，则题意等价于在上严格递增. 求导：，若严格递增，则必须有， 即，，对任意恒成立. 而，所以：， 再验证时：，等号仅在处成立， 因此在上严格递增，满足题意. 所以实数的取值范围为：. $