专题01 数列（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版

专题01 数列 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 05 重难题型突破 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 本专题为高二上学期期中必考内容，期中试卷以等差数列、等比数列为核心，重点考查通项公式与前项和，辅以数列概念、递推求通项、数列求和（分组、裂项、错位相减）等。整体以基础、中档题为主，个别试卷以 与 的关系、恒成立求最值作为压轴。 命题考点分布：数列的概念与通项、数列项的最值、等差数列（定义、基本量、项的性质、和的性质、前项和的最值、应用）、等比数列（定义、基本量、项的性质、和的性质、前项积的最值）、已知 求 、数列求和（分组、裂项、错位相减、并项）是期中高频考点；忽略等差等比中项取等、前项和公式使用不当、错位相减漏项是本专题最主要失分点。 命题角度特点： 基础题：直接考查等差、等比数列的通项与前项和基本量计算，数列概念与简单递推，侧重识记与直接套用； 中档题：等差等比性质与和最值的灵活运用、已知 与 关系求通项、分组与裂项求和是期中热门考法； 命题联动：数列求和常与不等式恒成立、最值结合命题，数列与函数、递推关系综合考查是期中高频结合点。 主要失分点： ①等差数列、等比数列基本量（首项、公差、公比）计算时公式套用错误或漏掉分类讨论； ②使用等差等比性质时忽略条件（如 _的下标关系、等比公比 的正负）； ③已知 求 时漏掉 需单独验证； ④错位相减、裂项相消求和时漏项、错项，或首项未单独处理； ⑤前项和（前项积）的最值不会转化为二次函数或单调性问题。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 1. 熟记等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及中项公式；2. 熟记常见求和方法：分组求和、裂项相消、错位相减、并项法、倒序相加；3. 掌握 Sn 与 an 的关系 an=S1(n=1)、an=Sn-S(n-1)(n≥2)。 理解 1. 理解等差、等比数列中基本量（首项、公差、公比、项数）的含义与相互转化；2. 理解等差、等比数列项的性质（下标和相等对应项和/积相等）与和的性质；3. 理解前n项和（前n项积）最值与单调性的关系，理解错位相减、裂项消去的原理。 应用 1. 会计算等差数列、等比数列的基本量，会判断一个数列是否等差、等比；2. 会利用数列性质求某些特殊项、某些和或积；3. 会由 Sn 求 an，会求数列项的最值、前n项和的最值；4. 会用分组、裂项、错位相减、并项等方法求和，并解决与不等式、恒成立结合的综合题。 知识体系构建 数列的概念（项、通项公式、递推公式、前项和 ） ├ 数列的表示：列表、图象、通项公式、递推公式 ├ 单调性：递增、递减、常数列；求最大（小）项 └ 前项和：...；与 的关系 等差数列 ├ 定义：（常数） ├ 通项： ├ 中项：成等差 ├ 性质： └ 前项和： 等比数列 ├ 定义：（常数，） ├ 通项： ├ 中项：成等比 ├ 性质： └ 前项和： 数列求和 ├ 分组求和：将数列拆成可分别求和的几部分 ├ 裂项相消： ├ 错位相减：等差等比型 └ 并项法 倒序相加 核心考点精讲 考点一 数列的概念 ⚠️记忆口诀：知通项入项数，求前和想 ；递推变形找规律。 数列：按一定______排列的一列数称为数列，记作 。 通项公式：数列第 项 与序号 之间的函数关系式 称为通项公式。 前项和：...，有 ，。 已知 求 的步骤：①时先求______；②时 ______；③验证 是否满足 的通项。 常见递推：（等差）、（构造等比）。 ⚠️易混易错： ①数列的通项公式不唯一，但通常取最简形式； ②用 求 时，得到的通项必须验证 是否也成立，否则需分段写； ③数列是函数，但定义域是正整数集或其子集，自变量 不能取小数。 考点二 等差数列 ⚠️记忆口诀：等差看差定，通项加公差，求和首末半。 定义：______（常数）的数列称为等差数列，常数 称为公差。 通项公式：______。 等差中项：、、成等差数列 ______。 前项和：______。 项的性质：______。 和的性质：、、成______；奇数项和与偶数项和仍成等差。 前项和最值：递减且 时 取最大；二次函数法或单调性法。 ⚠️易混易错： ①通项与前项和公式中的 均从 开始，勿把下标写错； ②等差数列前项和 是关于 的二次函数（无常数项），二次函数法求最值要结合 ； ③“等差中项”要求三项成等差，不要与“任意三项”混淆； ④性质 中下标必须是正整数，不能把下标当普通数直接加减。 考点三 等比数列 ⚠️记忆口诀：等比看比定，通项乘公比，求和分公比。 定义：______（常数，）的数列称为等比数列，常数 称为公比。 通项公式：______。 等比中项：、、成等比数列 ______。 前项和：时 ______；时 ______。 项的性质：______。 和的性质：、、成______（公比 ）。 前项积：...；等比中项性质可求对称项积。 ⚠️易混易错： ①等比数列要求 ，且各项均不为 ； ②前项和公式在 时使用，时要单独处理； ③等比中项 中 可正可负，取中项要结合符号； ④前项和、前项积均为分段形式，勿忘 情形。 考点四 数列求和 ⚠️记忆口诀：分组拆开算，裂项消相邻，错位乘公比，并项看奇偶。 分组求和：把数列拆成______（等差、等比、常数列）分别求和再相加。 裂项相消：______；用有理化。 错位相减：适用于______型数列（如 ），乘以公比后错位相减。 并项法：相邻两项合并，适用于______（如 ）。 倒序相加：适用于______的数列（如等差数列求和法证明）。 常见恒等：...；求和公式需记忆。 ⚠️易混易错： ①错位相减时两式必须“错位”对齐，减完注意首项与末项的符号； ②裂项后消项时，第一项和最后一项往往保留，勿全消掉； ③分组求和时每组的公式要套对，公比、公差代入准确； ④并项法处理 型要分 奇偶讨论，最后结果常需分段。 重难题型突破 题型一 数列的概念 典例1 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 数列 ，，，，的通项公式可能为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知数列 中，，且 ，则 （　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 记 为数列 的前 项和，已知 （为奇数），（为偶数），则下列说法正确的是（　　） ．是数列 中的项　．数列 是公比为 的等比数列　．．若 ，则数列 的前 项和小于 题型二 数列项的最值问题 典例2 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） ．数列 是递减数列　．当 时 最大　．使 <成立的最小自然数为 ．中最小项为 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 在数列 中，，若数列 是公比为 的等比数列，则 ...（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·教研共同体·期中） 已知数列 满足 ，（斐波那契数列），则下列结论正确的是（　　） ．．．...．... 题型三 等差数列定义 典例3 （25-26高二上·苏州·期中） 在等差数列 中，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 在等差数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 在 △中，若角 是 与 的等差中项，则角 （　　） ．°　．°　．°　．° 题型四 等差数列基本量的计算 典例4 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 中，公差 >，，且 、、依次构成等比数列，则数列 的通项公式为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·苏州·期中） 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则此数列的项数为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·宁夏银川一中·期中） 数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（　　） ．是递增数列　．数列 是单调递增的　．当 <时，>．当 或 时，取得最大值 题型五 等差数列项的性质 典例5 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 中，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 在等差数列 中，，且 ，则 的值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏苏州常熟·期中） 已知等差数列 的公差为正整数，且 、、均为 中的项，则下列数中一定是 中项的是（　　） ．．．． 题型六 等差数列和的性质 典例6 （25-26高二上·苏州·期中） 等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，是公比大于 的等比数列，且 ，，，。（）求 、的通项公式；（）若 ，求数列 的前 项和 。 2．（25-26高二上·教研共同体·期中） 记 为数列 的前 项之积，已知 ，则 （　　） ．．．． 题型七 等差数列前 项和的最值 典例7 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） ．<．<．>．数列 中的最大项为 迁移应用 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·期中） 已知等差数列 中，，。（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 的最小值。 题型八 等差数列的应用 典例8 （25-26高二上·苏州·期中） 某单位制作了一个热气球用于广告宣传。已知热气球第一分钟内上升 米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到 米至少要经过（　　） ．分钟　．分钟　．分钟　．分钟 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 已知数列 的前 项和 ，为等比数列，公比为 ，且 ，，成等差数列。（）求 与 的通项公式；（）记 ，若 <<，求 的取值集合。 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中） 汉诺塔问题中，把 个圆盘从 柱全部移到 柱最少需要的移动次数记为 ，且满足 （），，则 ____。 题型九 等比数列的定义 典例9 （25-26高二上·苏州·期中） 已知正实数 ，，不全相等，则下列结论正确的是（　　） ．若 ，，是等差数列，则 、、也是等差数列　．若 ，，是等比数列，则 、、也是等比数列　．若 ，，是等差数列，则 、、也是等差数列　．若 ，，是等比数列，则 、、也是等比数列 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等比数列 的前 项和 （，为常数），数列 的前 项积为 ，则下列说法正确的是（　　） ．．．．数列 是等差数列 题型十 等比数列基本量计算 典例10 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等比数列 的前 项和为 ，，，则数列 的公比 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·苏州·期中） 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 设数列 是公比为 的等比数列，>，若 的连续四项构成集合 ，，，，则 的值为（　　） ．．．． 题型十一 等比数列项的性质 典例11 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等比数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ...的值为（　　） ．．．． 题型十二 等比数列和的性质 典例12 （25-26高二上·苏州·期中） 等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 等比数列 中，前 项和为 ，，，则 的值为（　　） ．．．． 题型十三 等比数列前 项积的最值 典例13 （25-26高二上·苏州·期中） 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，记 为数列 的前 项积，则当 >时正整数 的最大值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 记 为数列 的前 项之积，且 ，，则 的值为（　　） ．．．． 题型十四 已知 与 的关系求通项与求和 典例14 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知数列 的前 项和为 ，且 （），则 的通项公式为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 的前 项和为 ，且 是首项为 、公比为 的等比数列。（）求数列 的通项公式；（）设 ，数列 的前 项和为 ，若 <，求 的最大值。 2．（25-26高二上·期中教学质量检测） 已知数列 的前 项和为 ，且 （）。（）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 已知等差数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 3．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 满足 ，且 ，则 的值为（　　） ．．．． 4．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知 ，，，是公比不为 的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） ．，，．，，．，，．，， 5．（25-26高二上·期中教学质量检测） 已知等比数列 中，，，则数列 的前 项和 的值为（　　） ．．．． 6．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知等差数列 的前 项和为 ，<，<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） ．．．． 7．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公比 ____。 8．（25-26高二上·11月期中摸底） 在等差数列 中，若 ，则 ____。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 的前 项和为 ，且 。（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 。 2．（25-26高二上·第二教研共同体·期中） 已知数列 满足 ，（）。（）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 / 考点二 / 考点三 / 考点四 05 重难题型突破 题型一 / 题型二 / 题型三 /题型四 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 本专题为高二上学期期中必考内容，期中试卷以等差数列、等比数列为核心，重点考查通项公式与前项和，辅以数列概念、递推求通项、数列求和（分组、裂项、错位相减）等。整体以基础、中档题为主，个别试卷以 与 的关系、恒成立求最值作为压轴。 命题考点分布：数列的概念与通项、数列项的最值、等差数列（定义、基本量、项的性质、和的性质、前项和的最值、应用）、等比数列（定义、基本量、项的性质、和的性质、前项积的最值）、已知 求 、数列求和（分组、裂项、错位相减、并项）是期中高频考点；忽略等差等比中项取等、前项和公式使用不当、错位相减漏项是本专题最主要失分点。 命题角度特点： 基础题：直接考查等差、等比数列的通项与前项和基本量计算，数列概念与简单递推，侧重识记与直接套用； 中档题：等差等比性质与和最值的灵活运用、已知 与 关系求通项、分组与裂项求和是期中热门考法； 命题联动：数列求和常与不等式恒成立、最值结合命题，数列与函数、递推关系综合考查是期中高频结合点。 主要失分点： ①等差数列、等比数列基本量（首项、公差、公比）计算时公式套用错误或漏掉分类讨论； ②使用等差等比性质时忽略条件（如 _的下标关系、等比公比 的正负）； ③已知 求 时漏掉 需单独验证； ④错位相减、裂项相消求和时漏项、错项，或首项未单独处理； ⑤前项和（前项积）的最值不会转化为二次函数或单调性问题。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 1. 熟记等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及中项公式；2. 熟记常见求和方法：分组求和、裂项相消、错位相减、并项法、倒序相加；3. 掌握 Sn 与 an 的关系 an=S1(n=1)、an=Sn-S(n-1)(n≥2)。 理解 1. 理解等差、等比数列中基本量（首项、公差、公比、项数）的含义与相互转化；2. 理解等差、等比数列项的性质（下标和相等对应项和/积相等）与和的性质；3. 理解前n项和（前n项积）最值与单调性的关系，理解错位相减、裂项消去的原理。 应用 1. 会计算等差数列、等比数列的基本量，会判断一个数列是否等差、等比；2. 会利用数列性质求某些特殊项、某些和或积；3. 会由 Sn 求 an，会求数列项的最值、前n项和的最值；4. 会用分组、裂项、错位相减、并项等方法求和，并解决与不等式、恒成立结合的综合题。 知识体系构建 数列的概念（项、通项公式、递推公式、前项和 ） ├ 数列的表示：列表、图象、通项公式、递推公式 ├ 单调性：递增、递减、常数列；求最大（小）项 └ 前项和：...；与 的关系 等差数列 ├ 定义：（常数） ├ 通项： ├ 中项：成等差 ├ 性质： └ 前项和： 等比数列 ├ 定义：（常数，） ├ 通项： ├ 中项：成等比 ├ 性质： └ 前项和： 数列求和 ├ 分组求和：将数列拆成可分别求和的几部分 ├ 裂项相消： ├ 错位相减：等差等比型 └ 并项法 倒序相加 核心考点精讲 考点一 数列的概念 ⚠️记忆口诀：知通项入项数，求前和想 ；递推变形找规律。 数列：按一定顺序排列的一列数称为数列，记作 。 通项公式：数列第 项 与序号 之间的函数关系式 称为通项公式。 前项和：...，有 ，。 已知 求 的步骤：①时先求 ；②时 ；③验证 是否满足 的通项。 常见递推：（等差）、（构造等比）。 ⚠️易混易错： ①数列的通项公式不唯一，但通常取最简形式； ②用 求 时，得到的通项必须验证 是否也成立，否则需分段写； ③数列是函数，但定义域是正整数集或其子集，自变量 不能取小数。 考点二 等差数列 ⚠️记忆口诀：等差看差定，通项加公差，求和首末半。 定义：（常数）的数列称为等差数列，常数 称为公差。 通项公式：。 等差中项：、、成等差数列 。 前项和：。 项的性质：。 和的性质：、、成等差数列。 前项和最值：递减且 时 取最大；二次函数法或单调性法。 ⚠️易混易错： ①通项与前项和公式中的 均从 开始，勿把下标写错； ②等差数列前项和 是关于 的二次函数（无常数项），二次函数法求最值要结合 ； ③“等差中项”要求三项成等差，不要与“任意三项”混淆； ④性质 中下标必须是正整数，不能把下标当普通数直接加减。 考点三 等比数列 ⚠️记忆口诀：等比看比定，通项乘公比，求和分公比。 定义：（常数，）的数列称为等比数列，常数 称为公比。 通项公式：。 等比中项：、、成等比数列 。 前项和：时 ；时 。 项的性质：。 和的性质：、、成等比数列（公比 ）。 前项积：...；等比中项性质可求对称项积。 ⚠️易混易错： ①等比数列要求 ，且各项均不为 ； ②前项和公式在 时使用，时要单独处理； ③等比中项 中 可正可负，取中项要结合符号； ④前项和、前项积均为分段形式，勿忘 情形。 考点四 数列求和 ⚠️记忆口诀：分组拆开算，裂项消相邻，错位乘公比，并项看奇偶。 分组求和：把数列拆成等差、等比、常数列分别求和再相加。 裂项相消：；用有理化。 错位相减：适用于等差等比型数列（如 ），乘以公比后错位相减。 并项法：相邻两项合并，适用于型数列（如 ）。 倒序相加：适用于首末项之和为定值的数列（如等差数列求和法证明）。 常见恒等：...；...。 ⚠️易混易错： ①错位相减时两式必须“错位”对齐，减完注意首项与末项的符号； ②裂项后消项时，第一项和最后一项往往保留，勿全消掉； ③分组求和时每组的公式要套对，公比、公差代入准确； ④并项法处理 型要分 奇偶讨论，最后结果常需分段。 重难题型突破 题型一 数列的概念 典例1 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 数列 ，，，，的通项公式可能为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】观察各项的绝对值与符号交替规律。 【详解】各项绝对值依次为 ，，，，，即 ；符号为 ，，，，，即 。故 。故选 。 💡破题要诀 求通项公式，先看符号（或 ）交替，再看绝对值的数值规律（等差、等比、幂等），最后合并写出 。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知数列 中，，且 ，则 （　　） ．．．． 【答案】 【分析】两边同除以 ，构造等差数列求通项。 【详解】，两边同除以 ：，即 是公差为 的等差数列。，故 ，即 。所以 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 记 为数列 的前 项和，已知 （为奇数），（为偶数），则下列说法正确的是（　　） ．是数列 中的项　．数列 是公比为 的等比数列　．．若 ，则数列 的前 项和小于 【答案】 【分析】分段求各项与和，逐项用定义验证。 【详解】当 为奇数时 ，为偶数时 。：偶数项 ，令 得 （偶数），故 是数列中的项，正确。：奇项 ，，，公比为 而非 ，故 公比为 ，错误。：，，，，，，故 ，正确。：，则 ，前 项和<，正确。故选 。 题型二 数列项的最值问题 典例2 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） ．数列 是递减数列　．当 时 最大　．使 <成立的最小自然数为 ．中最小项为 【答案】 【分析】由 <<判断公差符号与最大项位置。 【详解】由 <得 <；由 <得 <但 <说明 未使和减小到低于前项，综合知 <且 <，而 <与 <说明 、均为负但 前各项为正。由 >且 <，公差 <，数列递减，正确；在 前递增、后递减，处达到最大（考虑 >使和增加、<使和减少），正确；由对称性可推得使 <的最小 为 ，正确；故选 。 💡破题要诀 等差数列前项和的最值，利用 的符号变化（>时和增、<时和减）确定转折点；也可配方为二次函数结合 求最值。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 在数列 中，，若数列 是公比为 的等比数列，则 ...（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由相邻两项积成等比，推得隔项成等比，化奇项和为等比求和。 【详解】设 ，则 是公比为 的等比数列，，即 。故 （奇项）是公比为 的等比数列，，则 ......。故选 。 2．（25-26高二上·教研共同体·期中） 已知数列 满足 ，（斐波那契数列），则下列结论正确的是（　　） ．．．...．... 【答案】 【分析】利用递推累加与等式变形判断。 【详解】斐波那契数列：，，，，，，，，正确；由 得 ，累加 ...，正确；项经检验 时不成立，错；项由 累加可证，正确。故选 。 题型三 等差数列定义 典例3 （25-26高二上·苏州·期中） 在等差数列 中，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用等差中项性质：。 【详解】由等差数列性质，时 。，故 ，即 。故选 。 💡破题要诀 判断或证明等差数列，用定义 （常数）；涉及特殊项用中项性质 时 （下标和相等）。 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 在等差数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】用通项公式表示各项再代入。 【详解】设公差为 ，，，则 。又 ，故。直接代入 ：。故选 。 2．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 在 △中，若角 是 与 的等差中项，则角 （　　） ．°　．°　．°　．° 【答案】 【分析】等差中项：，结合三角形内角和。 【详解】由等差中项 ，又 °，得 °，即 °，°。故选 。 题型四 等差数列基本量的计算 典例4 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 中，公差 >，，且 、、依次构成等比数列，则数列 的通项公式为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由等比中项列方程求公差 。 【详解】，，。因 、、成等比，则 ，展开 ，即 ，，>故 。所以 。故选 。 💡破题要诀 等差数列基本量计算，设首项 与公差 ，用通项前项和公式列方程组求解；涉及等比用等比中项列式。 迁移应用 1．（25-26高二上·苏州·期中） 已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则此数列的项数为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】奇数项和减去偶数项和等于中间项。 【详解】设共有 项，中间项为 。奇数项和 奇，偶数项和 偶。由奇数项和偶数项和中间项 得 。又 奇偶，故 。故选 。 2．（25-26高二上·宁夏银川一中·期中） 数列 的前 项和为 ，已知 ，则下列说法正确的是（　　） ．是递增数列　．数列 是单调递增的　．当 <时，>．当 或 时，取得最大值 【答案】 【分析】由通项定单调性，再由前 项和公式结合二次函数符号与最值判断。 【详解】由 得公差 <，故 是递减数列，错误；，，其图像为开口向下的二次函数，先增后减，故 不是单调递增，错误；当 <<且 即 时，>，故 <时 >，正确；，对称轴 ，故 或 时 取得最大值，正确。故选 。 题型五 等差数列项的性质 典例5 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 中，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用等差中项：。 【详解】、、成等差数列，则 ，故 ，。故选 。 💡破题要诀 等差性质核心是“下标和相等则项和相等”，如 时 ；连续三项用 。 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 在等差数列 中，，且 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由递推两式相减得公差，再求通项。 【详解】①，则 （）②。①②：。即相隔一项差 ，公差 。，故 ，。故选 。 2．（25-26高二上·江苏苏州常熟·期中） 已知等差数列 的公差为正整数，且 、、均为 中的项，则下列数中一定是 中项的是（　　） ．．．． 【答案】 【分析】公差整除任意两项之差，取最大公约数分析。 【详解】设公差为 ，则 整除 、、，即 整除 ，故 。逐项检验：，被 、、均整除，故无论 取 、、，（为正整数）均为 中项，一定正确；不能被 整除，不一定；不被 整除，不一定；被 整除但 非整数，不一定。故选 。 题型六 等差数列和的性质 典例6 （25-26高二上·苏州·期中） 等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用 、、成等差。 【详解】、、成等差数列：，，则公差为 ，故 ，。故选 。 💡破题要诀 等差和的性质：、、成等差数列；相邻等块和之差为 。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，是公比大于 的等比数列，且 ，，，。（）求 、的通项公式；（）若 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（），；（） 【分析】等差等比基本量，分组求和。 【详解】（）设 公差为 ，，，故 。等比 ：，且 ，故 、为方程 两根，或 ；公比大于 ，取 ，，，故 。（），......。 2．（25-26高二上·教研共同体·期中） 记 为数列 的前 项之积，已知 ，则 （　　） ．．．． 【答案】 【分析】由 与 关系构造 为等差数列。 【详解】由 ，且 （），得 ，即 ，两边除以 ：，故 是公差为 的等差数列。由 且 ，得 ，，故 。所以 ，，。故选 。 题型七 等差数列前 项和的最值 典例7 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 <<，则下列说法正确的是（　　） ．<．<．>．数列 中的最大项为 【答案】 【分析】由 <<判断公差与最大项。 【详解】<得 <；<得 >，故 >。于是 >、<，公差 <，正确；最大项在 （非 ），错；由 >、<且 <，可推 <（因为 ..全负且抵消），正确；<，错。故选 。 💡破题要诀 等差数列前项和 是关于 的二次函数（无常数项，开口由 决定）。由 的符号转折（>转 <）确定最大项；或用二次函数对称轴结合 。 迁移应用 1．（25-26高二上·宁夏石嘴山·期中） 已知等差数列 中，，。（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 的最小值。 【答案】（）；（）的最小值为 （此时 或 ） 【分析】由 求 ，再求公差与首项；配方为二次函数求最小值。 【详解】（），故 。公差 ，。故 。（）。因 ，当 或 时 取最小值，（或 ）。故 的最小值为 。 题型八 等差数列的应用 典例8 （25-26高二上·苏州·期中） 某单位制作了一个热气球用于广告宣传。已知热气球第一分钟内上升 米，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的 ，则该气球上升到 米至少要经过（　　） ．分钟　．分钟　．分钟　．分钟 【答案】 【分析】等比数列求和，超过 米求项数。 【详解】各分钟上升高度为 ，，，，构成首项 、公比 的等比数列。分钟内共上升 。需 ：，，，，≈..≈.，故 。故选 。 💡破题要诀 数列应用题，先识别等差或等比模型，写出首项、公差公比，套用通项或求和公式，再解方程或不等式。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 已知数列 的前 项和 ，为等比数列，公比为 ，且 ，，成等差数列。（）求 与 的通项公式；（）记 ，若 <<，求 的取值集合。 【答案】（），；（）的取值集合为 ，， 【分析】由 求 （验证 ），用等差中项求 ；再解指数不等式求 的范围。 【详解】（）时 。时 ，也满足，故 。等比 ：、、成等差，，即 ，，，故 。（）。计算：<，>；<，>。故满足 <<的 为 ，，，即集合 ，，。 2．（25-26高二上·宁夏银川·期中） 汉诺塔问题中，把 个圆盘从 柱全部移到 柱最少需要的移动次数记为 ，且满足 （），，则 ____。 【答案】 【分析】由递推求通项 ，再代入 。 【详解】由 得 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列，，即 。所以 。 题型九 等比数列的定义 典例9 （25-26高二上·苏州·期中） 已知正实数 ，，不全相等，则下列结论正确的是（　　） ．若 ，，是等差数列，则 、、也是等差数列　．若 ，，是等比数列，则 、、也是等比数列　．若 ，，是等差数列，则 、、也是等差数列　．若 ，，是等比数列，则 、、也是等比数列 【答案】 【分析】逐项用等差、等比定义验证。 【详解】若 ，，等差，，但 与 一般不等（错）；等比：，则 ，即 、、成等比（对）；等差时 、、一般不等差（错）；等比时 ，成等比（对）。故选 。 💡破题要诀 判断等比数列用定义 （常数）或中项 ；对数列取倒数、开方等运算，等比性常保持、等差性不一定保持。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等比数列 的前 项和 （，为常数），数列 的前 项积为 ，则下列说法正确的是（　　） ．．．．数列 是等差数列 【答案】 【分析】由 求 、，定 与公比，再讨论前 项积。 【详解】，，。因 等比，，即 ，，，正确；，公比 ，故 ，错误；.........，正确；是二次式，不是等差数列（差不为常数），错误。故选 。 题型十 等比数列基本量计算 典例10 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等比数列 的前 项和为 ，，，则数列 的公比 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用 、的等块关系。 【详解】、、成等比数列。，，故公比 ，。故选 。 💡破题要诀 等比基本量计算，利用前项和等块性质（、、成等比，公比 ）比直接设 、更快捷。 迁移应用 1．（25-26高二上·苏州·期中） 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直接套等比通项公式。 【详解】，。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 设数列 是公比为 的等比数列，>，若 的连续四项构成集合 ，，，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】连续四项按公比排列，结合 >判定。 【详解】因 >，连续四项中第一项绝对值最小、末项绝对值最大，且相邻项符号交替（公比为负）。四项绝对值 <<<，故第一项为 ，第二项为 ，第三项为 ，第四项为 ，公比 。故选 。 题型十一 等比数列项的性质 典例11 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知等比数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】等比中项：。 【详解】等比数列中，时 。，故 ，。因未给符号条件，取 或 。故选 。 💡破题要诀 等比性质核心是“下标和相等则项积相等”，时 ；等比中项 。 迁移应用 1．（25-26高二上·教研共同体·期中） 等比数列 中，、是方程 的两根，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】韦达定理 等比中项。 【详解】、为方程两根，，且 。等比中项 ，。因 、同号（积为正），且等比项符号一致，故 符号与 、相同，。故选 。 2．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知等比数列 的各项均为正数，且 ，设函数 ，则 ...的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用等比数列对称项积为 ，及 。 【详解】等比数列中，...。又 ，则 。故 ，同理 ，，共 组，每组和为 ，故原式。故选 。 题型十二 等比数列和的性质 典例12 （25-26高二上·苏州·期中） 等比数列 的前 项和为 ，若 ，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】、、成等比。 【详解】，，故公比 ，，。按等比等块性质 ，对应选项为 需复核：⁶，；⁹⁶，。故选 （）。 💡破题要诀 等比和等块性质：、、成等比（公比 ）；已知两块和可快速求第三块。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中） 等比数列 中，前 项和为 ，，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】、、成等比。 【详解】，，公比 ，，。故选 。 题型十三 等比数列前 项积的最值 典例13 （25-26高二上·苏州·期中） 已知等比数列 的首项为 ，公比为 ，记 为数列 的前 项积，则当 >时正整数 的最大值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】，化积为指数比较。 【详解】。。>需指数 <，即 <<，故 最大 。检验：时指数，>；时指数，不大于 。故满足 >的最大 为 。故选 。 💡破题要诀 等比前项积最值，先写出通项化为幂，利用指数符号（>或 <）判断 的增减；注意 可取到边界。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 记 为数列 的前 项之积，且 ，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由 累加求 ，再由 求 。 【详解】。由 ，当 时累加：...，故 。则 ，，。故选 。 题型十四 已知 与 的关系求通项与求和 典例14 （25-26高二上·江苏镇江·期中） 已知数列 的前 项和为 ，且 （），则 的通项公式为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用 消去 求递推，再累乘求通项。 【详解】：，即 ，。：，，相减得 ，即 ，故 。累乘得 ...。时也成立。故选 。 💡破题要诀 已知 求 ，单独求 ；用 消去 得 的递推，再累乘（等比型）或构等差（型）求通项。 迁移应用 1．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 的前 项和为 ，且 是首项为 、公比为 的等比数列。（）求数列 的通项公式；（）设 ，数列 的前 项和为 ，若 <，求 的最大值。 【答案】（）；（）的最大值为 【分析】先求 ，再 求 ；为等比，用求和公式解不等式。 【详解】（），故 。时 。时 ，也满足，故 。（），是首项 、公比 的等比数列，。由 <得 <，即 >，<。<，>，故 的最大值为 。 2．（25-26高二上·期中教学质量检测） 已知数列 的前 项和为 ，且 （）。（）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 。 【答案】（）是首项 、公比 的等比数列，；（） 【分析】由 ，时两式相减得 的递推，构造等比；再分组求和。 【详解】（）：，即 ，解得 。时，，整理得 ，即 ，故 。所以 是以 为首项、为公比的等比数列，，即 。（）......。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中） 已知等差数列 中，，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由等差中项求 ，再由下标和性质求 。 【详解】，故 。又 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】用通项表示，结合前项和公式。 【详解】，即 。故 。故选 。 3．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 满足 ，且 ，则 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】是等差数列，直接用通项公式。 【详解】由 知 是首项 、公差 的等差数列，故 ，。故选 。 4．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知 ，，，是公比不为 的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（　　） ．，，．，，．，，．，， 【答案】 【分析】逐项用等比数列定义检验。 【详解】设公比为 （）。：、、的相邻比不一定为常数，错；：，，成等比（公比 ），但题目要求“下列数列中一定是等比数列”且为三项，中虽成等比但需结合题意；：、、的相邻比 ，，故成等比（公比 ），正确；：、、相邻比 ，但可能为 使不合等比定义，错。综合选 。 5．（25-26高二上·期中教学质量检测） 已知等比数列 中，，，则数列 的前 项和 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由 与 联立求首项与公比，再求前 项和。 【详解】⁵，⁴。两式相除：⁵⁴。又 ⁴，与 相除得 ，，则 。故 ⁵。故选 。 6．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知等差数列 的前 项和为 ，<，<，且数列 有最大值，则使 取最小正值时 的值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由 <与 有最大确定符号，再由 <定 变号位置。 【详解】<且 有最大，故 >，<，<。<，即 <，故 <；且 <，于是 >。故 在 处首次由正转负前取最小正值，即 。故选 。 7．（25-26高二上·江苏如皋·期中） 等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公比 ____。 【答案】或 【分析】分 与 讨论，用求和公式代入。 【详解】当 时，，，，成立，故 满足。当 时，，即 ，，，，（舍去）。综上，或 。 8．（25-26高二上·11月期中摸底） 在等差数列 中，若 ，则 ____。 【答案】 【分析】用通项表示，结合下标和性质。 【详解】，故 。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·11月期中摸底） 已知数列 的前 项和为 ，且 。（）求数列 的通项公式；（）若数列 满足 （），且 ，求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（）；（）；（） 【分析】与 相减求递推；两边同除以 构造等差；裂项相消求和。 【详解】（）时 ，。时 ，即 ，故 是首项 、公比 的等比数列，。（），两边同除以 得 ，故 是公差为 的等差数列，，即 。（）。累加得 。 2．（25-26高二上·第二教研共同体·期中） 已知数列 满足 ，（）。（）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 。 【答案】（）是首项 、公比 的等比数列，；（） 【分析】两边同加 构造等比；通项拆为等比之差，分组求和。 【详解】（）由 ，两边同加 得 。故 是以 为首项、为公比的等比数列，，即 。（）。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $