专题04数列求和（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版2019

专题04 数列求和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.熟练掌握等差、等比数列的前 项和公式及倒序相加求和法、错位相减求和法； 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前 项和相关的问题。 【命题规律】 数列求和是高考的高频考点，主要与等差（比）数列相结合进行考查。 1.公式法与分组求和法 （1）公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 项和公式求和。 ①等差数列的前 项和公式： 。 ②等比数列的前 项和公式： ｛ , , , 。 （2）分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减。 2.倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加求和法 如果一个数列的前 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的。 （2）并项求和法 在一个数列的前 项中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 注意：形如 类型，可采用两项合并求解。例如， 。 3.裂项相消求和法 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 （2）常见的裂项技巧 ① 。② 。③ 。 ④ 。⑤ 。 4.错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的。 注意：在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 类型一 分组求和与并项求和 1.已知数列 的通项公式为 ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]由 得，当 为奇数时， ,当 为偶数时， ，故 。故选B。 2.已知数列 满足 , （1） 记 ，写出 , ，并求数列 的通项公式； （2） 求 的前20项和。 解：（1）因为 ，且 , 所以 , 。 因为 , 所以 ， 所以 ， 所以数列 是以2为首项，3为公差的等差数列， , 。 （2）因为 所以 时， ， 即 ①， ②, ，即 ③， 所以①+②得 ，即 ， 所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②+③得 ，即 ， 又 ，所以数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列。 所以数列 的前20项和 。 3.在数列 中， , 则数列 的前20项和为( C ) A. B. C. D. [解析]由题意可知，数列 是首项为1，公比为2的等比数列，数列 是首项为1，公差为2的等差数列，故数列 的前20项和为 。故选C。 4．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 解析：B　由an＝，得Sn＝＋＋…＋＝1－， 则1－，则可能得n＝2024. 5.一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　) A．100＋200(1－2-9) B．100＋100(1－2-9) C．200(1－2-9) D．100(1－2-9) 解析：A　第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2-9)＝100＋2×100×(2-1＋2-2＋…＋2-9)＝100＋200×＝100＋200(1－2-9)． 6．设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝ ． 解析：因为sin(90°－α)＝cos α，所以sin2α＋sin2(90°－α)＝sin2α＋cos2α＝1. 因为S89＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，又S89＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°， 两式相加得2S89＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin289°＋sin21°)＝1×89＝89，因此，S89＝＝44.5. 答案：44.5 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ． 解析：当n＝2k(k∈N＋)时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋[－(2n－3)＋(2n－1)]＝2＋2＋…＋2＝2k＝n； 当n＝2k－1(k∈N＋)时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)－(2n－1)＝－n， 所以Sn＝(－1)nn. 答案：(－1)nn 总结反思 1.分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前 项和的数列求和。 2.分组转化法求和的常见类型 类型二 　裂项相消法求和 1.已知等差数列 满足 , ,则数列 的前 项和为 。 [解析]设等差数列的公差为 ,由题意可得 解得 所以 ,则 。所以其前 项和为 。 2.已知函数 的图象过点 ，令 ， ，则记数列 的前 项和为 ，则 。 [解析]由函数 的图象过点 得 , ，所以 ， 。故 。 3.已知数列{an}是递增的等比数列，且a4＋a6＝40，a5＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn<m－2025对一切n∈N＋都成立，求正整数m的最小值． 解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意得＋a5q＝40，即＋16q＝40，解得q＝2或q＝， 所以或因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，a1＝1.故an＝a1qn-1＝2n-1. (2)Sn＝＝2n－1.又bn＝， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝. 又Tn＝1－<1，所以1≤m－2025，即m≥2026，所以正整数m的最小值为2026. 4.设数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＋1＝3Sn＋2(n＋1)，且a1＝2. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)判断数列的前n项和Tn与的大小关系，并说明理由． 解：(1)证明：由Sn＋1＝3Sn＋2(n＋1)可得Sn＝3Sn－1＋2n(n≥2)．两式相减，得an＋1＝3an＋2(n≥2)． 由S2＝3S1＋4得a1＋a2＝3a1＋4，得2＋a2＝3×2＋4，得a2＝8，满足a2＝3a1＋2， 所以an＋1＝3an＋2对于任意正整数n都成立． 又因为an＋1＋1＝3an＋3，即an＋1＋1＝3(an＋1)，且a1＋1＝3≠0， 故数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可知an＋1＝3n，即an＝3n－1，Tn<.理由如下， 故， 所以Tn＝<.故Tn<. 反思总结 裂项相消法求和 类型三 错位相减法求和 1.已知在数列 中， , ，且 。 （1） 证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 令 ，求数列 的前 项和 。 解（1）由 ，得 , 因此数列 是公比为2，首项为 的等比数列。 所以当 时， ， ， 当 时，也符合，故 ， 。 （2）解 ，所以数列 的前 项和 ， 所以 ， 所以 ，所以 。 2.(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0. 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1，两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an，故当n≥3时，，则， 整理得＝n－1，因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1. (2)令bn＝，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝，　① ，　② 由①－②得，即Tn＝2－. 3.已知数列{an}，a1＝1，且满足an＋1－2an－1＝0.数列{ bn}满足b1＝1，数列的前n项和为n2＋n. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式． 解：(1)证明：由an＋1－2an－1＝0，得an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2·2n-1＝2n，从而an＝2n－1. (2)令cn＝，由题意知{cn}的前n项和Sn＝n2＋n， 所以cn＝Sn－Sn－1＝2n(n≥2)， 又c1＝S1＝2，所以cn＝2n(n∈N＋)， 所以bn＋1－bn＝2n·2n＝n·2n+1. bn－b1＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＝(n－1)·2n＋(n－2)·2n-1＋…＋1×22. 设Tn＝(n－1)·2n＋(n－2)·2n-1＋…＋1×22， 则2Tn＝(n－1)·2n+1＋(n－2)·2n＋…＋1×23， 两式相减得Tn＝(n－1)·2n+1－(2n＋2n-1＋…＋22)＝(n－2)·2n+1＋4， 即bn－b1＝(n－2)·2n+1＋4.又b1＝1，所以bn＝(n－2)·2n+1＋5. 反思总结 1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． 2．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． (2)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋1－3n+2，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d(d＞0)，由题意得， 即解得或(舍)， 所以an＝2＋(n－1)·2＝2n，即an＝2n. (2)由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n+2， Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n+2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n+2)＝4n·. 2．已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n+1－1. (1)证明：数列为等比数列； (2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n. 解：(1)证明：由2Sn＋an＋1＝2n+1－1(n≥1)，① 得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，②由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)， 得an＋1＝－an＋2n⇒an＋1－＝－(n≥2)， 又当n＝1时，由①得a2＝1⇒a2－＝－， 所以对任意的n∈N＋，都有an＋1－＝， 故是以为首项，－1为公比的等比数列． (2)由(1)知an－⇒an＝， 所以an＋1＝，代入①得Sn＝， 所以S1＋S2＋…＋S2n＝(22＋23＋…＋22n+1)－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n]－. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正零点构成递增数列{an}(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)因为f(x)＝cos πx－sin πx＝cos ，令f(x)＝0可得cos ＝0，即πx＋＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋k(k∈Z)．因为{an}为所有正零点构成的数列，所以a1＝，且an－an－1＝1(n≥2)，故{an}是以是首项，1为公差的等差数列，即an＝＋(n－1)＝n－. (2)由(1)知an＝n－，所以bn＝n·＝nn，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)·n-1＋nn，① 所以Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)n＋nn+1，② ①－②可得Tn＝1＋2＋3＋4＋…＋n－nn+1＝－nn+1＝1－(n＋2)·n+1，故Tn＝2－(n＋2)n. 2.(2024·天津卷)已知数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3－1. (1)求数列{an}的前n项和Sn； (2)设bn＝k∈N＋. (ⅰ)当k≥2，n＝ak＋1时，求证：bn－1≥ak·bn； 解：(1)设{an}的公比为q(q＞0)，则1＋q＝q2－1，得q＝2，所以Sn＝＝2n－1. (2)(ⅰ)证明：由(1)知，ak＝2k-1，所以bn＝ 当n＝ak＋1＝2k时，bn＝k＋1， bn－1＝b2k－1＝b2k－2＋2k＝b2k－3＋4k＝…＝＋2k·(2k-1－1)＝k＋2k·(2k-1－1)＝k·2k－k， 所以bn－1－ak·bn＝k·2k－k－(k＋1)2k-1＝(k－1)2k-1－k. 设f(x)＝(x－1)2x-1－x，x≥2，则f′(x)＝2x-1＋(x－1)2x-1ln 2－1≥2＋2ln 2－1＞0，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0， 所以bn－1－ak·bn≥0，即bn－1≥ak·bn. (ⅱ)令k＝1，得b1＝1，令k＝2，得b2＝2，b3＝b2＋2k＝6， 令k＝3，得b4＝3，b5＝b4＋2k＝9，b6＝b5＋2k＝15，b7＝b6＋2k＝21， 所以，为首项，2k为公差的等差数列． 因为＝k·2k－k， 所以＝k·4k-1， 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知等比数列 的前 项和 ,其中 为常数。 （1） 求 的值； （2） 设 ,若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求 的值。 解：解法一：因为 ，所以当 时， ， 当 时， ，故 ， 当 时， ，故 ， 因为 是等比数列，所以 ，化简得 ，解得 ，所以 。 当 时， ， 当 时， ，满足上式，所以 ,所以 满足题意。 解法二：因为 ，所以当 时， ， 当 时， 。 因为 是等比数列，所以 ，解得 。 （2）因为 ，所以 。 因为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以 。 2.已知数列 满足 , ,且 ，则数列 的通项公式为 ；若 ，则数列 的前 项和为 。 [解析]因为 , ，所以 , , , , , , , ，将以上各式相加，得 ,所以 。因为 ，所以 ，所以数列 的前 项和 。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列求和（期中复习讲义） 【考试要求】 1.熟练掌握等差、等比数列的前 项和公式及倒序相加求和法、错位相减求和法； 2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前 项和相关的问题。 【命题规律】 数列求和是高考的高频考点，主要与等差（比）数列相结合进行考查。 1.公式法与分组求和法 （1）公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 项和公式求和。 ①等差数列的前 项和公式： 。 ②等比数列的前 项和公式： ｛ , , , 。 （2）分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减。 2.倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加求和法 如果一个数列的前 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 项和公式即是用此法推导的。 （2）并项求和法 在一个数列的前 项中，可两两结合求解，则称之为并项求和。 注意：形如 类型，可采用两项合并求解。例如， 。 3.裂项相消求和法 （1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 （2）常见的裂项技巧 ① 。② 。③ 。 ④ 。⑤ 。 4.错位相减求和法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 项和即可用此法来求，如等比数列的前 项和公式就是用此法推导的。 注意：在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。 类型一 分组求和与并项求和 1.已知数列 的通项公式为 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.已知数列 满足 , （1） 记 ，写出 , ，并求数列 的通项公式； （2） 求 的前20项和。 3.在数列 中， , 则数列 的前20项和为( ) A. B. C. D. 4．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　) A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5.一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　) A．100＋200(1－2-9) B．100＋100(1－2-9) C．200(1－2-9) D．100(1－2-9) 6．设数列{an}的通项公式为an＝sin2n°，该数列的前n项和为Sn，则S89＝ ． 7．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)，则数列{an}的前n项和Sn＝ ． 总结反思 1.分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前 项和的数列求和。 2.分组转化法求和的常见类型 类型二 　裂项相消法求和 1.已知等差数列 满足 , ,则数列 的前 项和为 。 2.已知函数 的图象过点 ，令 ， ，则记数列 的前 项和为 ，则 。 3.已知数列{an}是递增的等比数列，且a4＋a6＝40，a5＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn<m－2025对一切n∈N＋都成立，求正整数m的最小值． 4.设数列{an}的前n项和为Sn，若满足Sn＋1＝3Sn＋2(n＋1)，且a1＝2. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； (2)判断数列的前n项和Tn与的大小关系，并说明理由． 反思总结 裂项相消法求和 类型三 错位相减法求和 1.已知在数列 中， , ，且 。 （1） 证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2） 令 ，求数列 的前 项和 。 2.(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 3.已知数列{an}，a1＝1，且满足an＋1－2an－1＝0.数列{ bn}满足b1＝1，数列的前n项和为n2＋n. (1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的通项公式． 反思总结 1．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． 2．错位相减法求和时，应注意： (1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． (2)应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2an＋1－3n+2，求数列{bn}的前n项和Tn. 2．已知数列{an}中，a1＝1，它的前n项和Sn满足2Sn＋an＋1＝2n+1－1. (1)证明：数列为等比数列； (2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知函数f(x)＝cos πx－sin πx(x∈R)的所有正零点构成递增数列{an}(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝n，求数列{bn}的前n项和Tn. 2.(2024·天津卷)已知数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3－1. (1)求数列{an}的前n项和Sn； (2)设bn＝k∈N＋. (ⅰ)当k≥2，n＝ak＋1时，求证：bn－1≥ak·bn； 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知等比数列 的前 项和 ,其中 为常数。 （1） 求 的值； （2） 设 ,若数列 中去掉数列 的项后余下的项按原来的顺序组成数列 ，求 的值。 2.已知数列 满足 , ,且 ，则数列 的通项公式为 ；若 ，则数列 的前 项和为 。 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $