专题03 圆锥曲线方程（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版

专题03 圆锥曲线方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 / 考点二 / 考点三 / 考点四 05 重难题型突破 题型一 / 题型二 / 题型三 / 题型四 / 题型五 / 题型六 / 题型七 / 题型八 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）是高二上学期期中必考的核心板块，分值通常约占 到 分。 命题侧重：①椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程；②几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；③焦点三角形、通径与焦点弦；④直线与圆锥曲线的位置关系及定点定值综合问题。 基础题（约 题）：求标准方程、判断焦点位置、离心率、渐近线、抛物线焦点与准线。 中档题（约 题）：焦点三角形面积、定义应用、直线与圆锥曲线相交的参数范围、弦长与面积。 压轴题（约 题）：定值定点、最值范围、直线与圆锥曲线综合，常结合韦达定理与数形结合。 复习建议：①熟记三曲线定义与 、、关系（椭圆 ，双曲线 ）；②离心率 ，椭圆 <<、双曲线 >、抛物线 ；③直线与圆锥曲线联立优先用韦达定理；④焦点三角形用定义与余弦定理。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，a、b、c 关系，焦点、准线、顶点、渐近线，离心率定义。 理解 由条件确定标准方程（待定系数法），判断焦点位置，离心率与曲线形状关系，焦点三角形与通径、焦点弦性质。 应用 求圆锥曲线方程与离心率，焦点三角形面积，直线与圆锥曲线位置关系（相交、相切、弦长、面积），定点定值与最值范围问题。 知识体系构建 ┌─ 圆锥曲线方程 │ ┌─ 椭圆 │ │ ├─ 定义：（>） │ │ ├─ 方程：（>>）； │ │ ├─ 性质：范围、对称、顶点、离心率 │ │ └─ 焦点三角形：；通径 │ ┌─ 双曲线 │ │ ├─ 定义：（<） │ │ ├─ 方程：； │ │ ├─ 渐近线：；离心率 > │ │ └─ 焦点三角形： │ ┌─ 抛物线 │ │ ├─ 定义：到焦点与准线距离相等 │ │ ├─ 方程：（>）；焦点 、准线 │ │ ├─ 通径 ；（焦点弦） │ │ └─ 离心率 │ └─ 综合方法 │ ├─ 直线与圆锥曲线：联立消元、韦达定理、判别式 │ ├─ 设而不求、点差法（中点弦） │ └─ 定值定点、最值范围：数形结合、函数最值 └─ 思想方法：定义法、待定系数法、数形结合、设而不求、转化与化归 核心考点精讲 考点一 椭圆的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：椭圆两和定长，焦点轴上大者为 。 定义：平面内到两个定点 、的距离之和等于______（大于）的点的轨迹叫椭圆，两定点叫焦点，焦距为______。 标准方程：焦点在 轴上 ______（>>），其中 ______；焦点在 轴上______。 关系：，椭圆上任意一点 满足 ______。 ⚠️易混易错： ①必须大于焦距 ，否则轨迹不是椭圆：时轨迹为线段，<时无轨迹； ②判断焦点位置看分母大小：、中分母较大的项对应焦点所在轴； ③椭圆中 最大，，勿与双曲线（）混淆。 考点二 双曲线的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：双差定差，最大，渐近看 分母 。 定义：平面内到两个定点 、的距离之差的______等于常数 （<<）的点的轨迹叫双曲线。 标准方程：焦点在 轴上 ______，其中 ______；焦点在 轴上 。 渐近线：焦点在 轴上 ______；焦点在 轴上 。 关系：，双曲线上任意一点 满足 ______。 ⚠️易混易错： ①距离之差的绝对值等于常数，去掉绝对值对应双曲线的一支； ②须 <才存在双曲线，时为两条射线； ③渐近线斜率勿颠倒：焦点在 轴上时 项分母为 ，斜率为 。 考点三 抛物线的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：抛线等距定焦点，一次项定开口，焦准距为 。 定义：平面内到一个定点 和一条定直线 （不在 上）距离______的点的轨迹叫抛物线，叫焦点，叫准线。 标准方程（>）：焦点______、准线______；焦点______、准线______。 焦点______、准线______；焦点______、准线______。 ⚠️易混易错： ①恒为正，开口方向由方程中一次项的符号决定； ②焦点到准线的距离为 （焦准距），焦点到原点距离为 ； ③抛物线只有一个焦点，无中心，勿与椭圆、双曲线混为一谈。 考点四 圆锥曲线的几何性质 ⚠️记忆口诀：离心分扁尖，焦点三角半角积，通径最短焦点弦。 离心率：椭圆 ，______，越大椭圆越______；双曲线 ，______，越大双曲线开口越______。 焦点三角形：椭圆上点 与两焦点构成 △，若 ∠，则 ______。 通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的弦，椭圆、双曲线通径长为______，抛物线通径长为______。 ⚠️易混易错： ①椭圆 <<、双曲线 >、抛物线 ，三者取值范围不同； ②焦点三角形面积公式中 是两焦半径的夹角，注意用半角公式； ③通径是椭圆、双曲线过焦点的最短弦，抛物线通径长为 也是最短焦点弦。 重难题型突破 题型一 椭圆的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆的两个焦点分别是 ，，并且经过点 。求椭圆的标准方程。 迁移应用 1．（25-26高二上·北京·大峪中学·期中） 已知椭圆 :（>>）的长轴长为 ，短轴长为 ，为坐标原点。求椭圆 的方程和离心率。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆 :（>>）的离心率为 ，、分别是椭圆 的上、下顶点，、分别是左、右顶点，四边形 的面积为 。求椭圆 的方程。 题型二 椭圆的离心率问题 典例1 （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :（>>）的左、右焦点分别为 、，点 为椭圆 外一点，若直线 的倾斜角为 ，，且线段 的中点在椭圆 上，则椭圆 的离心率为( ) . . . . 迁移应用 1．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆 :（>）的一个焦点为 ，则椭圆的离心率为____。 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知椭圆 :的左、右焦点分别为 、，点 为 上的动点且不在 轴上，则下列说法正确的是( ) . 的离心率为 . △的面积的最大值为 . 的最小值为 . 以 的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 题型三 椭圆中的焦点三角形问题 典例1 （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :的右焦点为 ，左、右顶点分别为 、两点，直线 （<<）与椭圆 交于 、两点，则( ) . 椭圆 的焦距为 . 为定值　. 直线 和 的斜率的乘积为 . 当以 、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 迁移应用 1．（25-26高二上·北京丰台·期中） 根据椭圆的光学性质：、是椭圆 :的两个焦点，为椭圆 上任意一点，为椭圆 在点 处的切线，光线 经过直线 反射后一定经过另一个焦点 。过 作 的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为( ) . . . . 2．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :（>>）的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 :上。若椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，且 的最小值为 ，则 的最小值为( ) . . . . 题型四 双曲线的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 :（>）的焦距为 ，则 的渐近线方程为 . . . . 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 :（>>）的离心率为 ，右焦点为 。求 的方程。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知直线 :，则“或 ”是“直线 与双曲线 有且仅有一个公共点”的( ) . 充分不必要条件　. 必要不充分条件　. 充要条件　. 既不充分也不必要条件 题型五 双曲线的离心率问题 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 、分别是双曲线 的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且 ，则 △的面积等于( ) . . . . 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线 的斜率为 ，则 △的内切圆面积为( ) . . . . 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知过双曲线 （>>）上一点 的切线方程为 。若 为双曲线 上的动点（>），直线 :与双曲线的两条渐近线交于 、两点（点 在第一象限），与 在同一条渐近线上，则向量向量的最小值为____。 题型六 抛物线的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 准线为 的抛物线的标准方程为( ) . . . . 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为 . . . . 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 在平面直角坐标系 中，抛物线 :（>）上一点 与焦点间的距离为 。求抛物线 的方程。 题型七 直线与圆锥曲线的位置关系 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 椭圆 :，直线 :与椭圆 交于不同的两点 、。求 的取值范围；若 ⊥，求 的值。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知椭圆 :（>）的焦距为 。求 的方程；过 上一动点 作椭圆 的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 抛物线 :，若直线 与抛物线 相交于 、两点，求 △的面积。 题型八 圆锥曲线的定值、定点问题 典例1 （25-26高二上·天一大联考·期中） 双曲线 :，若动直线 过点 ，且与 交于 、两点（在第一象限，在第四象限），过点 作直线 的垂线，垂足为 。证明：直线 恒过点 ；设 为坐标原点，△的面积为 ，求 的最小值。 迁移应用 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :的左顶点为 ，右焦点为 ，且 。过点 作直线与椭圆 交于点 ，且点 在第一象限，直线 与直线 交于点 ，过点 且平行于 的直线与直线 交于点 。若 ，求直线 的斜率；轴上是否存在定点 ，使得 ∠∠？若存在，求出定点 的坐标。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 椭圆 :，设 为第一象限内椭圆 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 。求证：∥。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是( ) . . . . 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知 是椭圆 上一点，、是其左、右焦点，若 ∠°，则 △的面积为( ) . . . . 3．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 抛物线 的准线方程是( ) . . . . 4．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为____。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知双曲线 （>>）的左、右焦点分别为 、，过 作一条直线与双曲线右支交于 、两点，为坐标原点。若 ，，则该双曲线的离心率为( ) . . . . 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） （多选）已知抛物线 上两点 、，为抛物线的焦点，则下列说法正确的是( ) . 抛物线的准线方程为 . 若直线 过 且 ⊥轴，则 . 若直线 过 ，则 . 若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 3．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） （多选）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线。设 、（>），动点 满足 （>），记该轨迹为曲线 ，则下列描述正确的是( ) . 曲线 的方程是 . 曲线 关于坐标轴对称　. 曲线 与 轴没有交点　. △的面积不大于 4．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知抛物线 :的焦点为 ，、、是 上不同的三点，且向量 、、的横坐标之和为 ，则直线 、、的斜率之和为____。 5．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知点 不在抛物线 :（>）上，抛物线 的焦点为 。若对于抛物线上的一点 ，的最小值为 ，则 的值等于____。 6．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 在平面直角坐标系中，为原点，抛物线 Γ:的焦点为 ，、是抛物线 Γ 上两个不同的点。求抛物线 Γ 的方程；若直线 的斜率为 且过点 ，求线段 的长度；直线 与抛物线 Γ 交于不同于 的 、两点，若以 为直径的圆经过点 ，且 ⊥于 ，证明：存在定点 ，使 为定值。 7．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、。求椭圆 的方程；已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点；设 是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明点 的轨迹为圆，并求该圆的方程。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 / 考点二 / 考点三 / 考点四 05 重难题型突破 题型一 / 题型二 / 题型三 / 题型四 / 题型五 / 题型六 / 题型七 / 题型八 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 圆锥曲线方程（椭圆、双曲线、抛物线）是高二上学期期中必考的核心板块，分值通常约占 到 分。 命题侧重：①椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程；②几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；③焦点三角形、通径与焦点弦；④直线与圆锥曲线的位置关系及定点定值综合问题。 基础题（约 题）：求标准方程、判断焦点位置、离心率、渐近线、抛物线焦点与准线。 中档题（约 题）：焦点三角形面积、定义应用、直线与圆锥曲线相交的参数范围、弦长与面积。 压轴题（约 题）：定值定点、最值范围、直线与圆锥曲线综合，常结合韦达定理与数形结合。 复习建议：①熟记三曲线定义与 、、关系（椭圆 ，双曲线 ）；②离心率 ，椭圆 <<、双曲线 >、抛物线 ；③直线与圆锥曲线联立优先用韦达定理；④焦点三角形用定义与余弦定理。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程，a、b、c 关系，焦点、准线、顶点、渐近线，离心率定义。 理解 由条件确定标准方程（待定系数法），判断焦点位置，离心率与曲线形状关系，焦点三角形与通径、焦点弦性质。 应用 求圆锥曲线方程与离心率，焦点三角形面积，直线与圆锥曲线位置关系（相交、相切、弦长、面积），定点定值与最值范围问题。 知识体系构建 ┌─ 圆锥曲线方程 │ ┌─ 椭圆 │ │ ├─ 定义：（>） │ │ ├─ 方程：（>>）； │ │ ├─ 性质：范围、对称、顶点、离心率 │ │ └─ 焦点三角形：；通径 │ ┌─ 双曲线 │ │ ├─ 定义：（<） │ │ ├─ 方程：； │ │ ├─ 渐近线：；离心率 > │ │ └─ 焦点三角形： │ ┌─ 抛物线 │ │ ├─ 定义：到焦点与准线距离相等 │ │ ├─ 方程：（>）；焦点 、准线 │ │ ├─ 通径 ；（焦点弦） │ │ └─ 离心率 │ └─ 综合方法 │ ├─ 直线与圆锥曲线：联立消元、韦达定理、判别式 │ ├─ 设而不求、点差法（中点弦） │ └─ 定值定点、最值范围：数形结合、函数最值 └─ 思想方法：定义法、待定系数法、数形结合、设而不求、转化与化归 核心考点精讲 考点一 椭圆的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：椭圆两和定长，焦点轴上大者为 。 定义：平面内到两个定点 、的距离之和等于常数 （>）的点的轨迹叫椭圆，两定点叫焦点，焦距为 。 标准方程：焦点在 轴上 （>>），其中 ；焦点在 轴上 。 关系：，椭圆上任意一点 满足 。 ⚠️易混易错： ①必须大于焦距 ，否则轨迹不是椭圆：时轨迹为线段，<时无轨迹； ②判断焦点位置看分母大小：、中分母较大的项对应焦点所在轴； ③椭圆中 最大，，勿与双曲线（）混淆。 考点二 双曲线的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：双差定差，最大，渐近看 分母 。 定义：平面内到两个定点 、的距离之差的绝对值等于常数 （<<）的点的轨迹叫双曲线。 标准方程：焦点在 轴上 ，其中 ；焦点在 轴上 。 渐近线：焦点在 轴上 ；焦点在 轴上 。 关系：，双曲线上任意一点 满足 。 ⚠️易混易错： ①距离之差的绝对值等于常数，去掉绝对值对应双曲线的一支； ②须 <才存在双曲线，时为两条射线； ③渐近线斜率勿颠倒：焦点在 轴上时 项分母为 ，斜率为 。 考点三 抛物线的定义与标准方程 ⚠️记忆口诀：抛线等距定焦点，一次项定开口，焦准距为 。 定义：平面内到一个定点 和一条定直线 （不在 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线，叫焦点，叫准线。 标准方程（>）：焦点 、准线 ；焦点 、准线 。 焦点 、准线 ；焦点 、准线 。 ⚠️易混易错： ①恒为正，开口方向由方程中一次项的符号决定； ②焦点到准线的距离为 （焦准距），焦点到原点距离为 ； ③抛物线只有一个焦点，无中心，勿与椭圆、双曲线混为一谈。 考点四 圆锥曲线的几何性质 ⚠️记忆口诀：离心分扁尖，焦点三角半角积，通径最短焦点弦。 离心率：椭圆 ，越大椭圆越扁；双曲线 >，越大双曲线开口越开阔；抛物线 。 焦点三角形：椭圆上点 与两焦点构成 △，若 ∠，则 。 通径：过焦点且垂直于焦点所在轴的弦，椭圆、双曲线通径长为 ，抛物线通径长为 。 焦点弦：过焦点的弦；抛物线中弦两端点横坐标之和为 时，。 ⚠️易混易错： ①椭圆 <<、双曲线 >、抛物线 ，三者取值范围不同； ②焦点三角形面积公式中 是两焦半径的夹角，注意用半角公式； ③通径是椭圆、双曲线过焦点的最短弦，抛物线通径长为 也是最短焦点弦。 重难题型突破 题型一 椭圆的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆 的两个焦点分别是 ，，并且经过点 。求椭圆 的标准方程。 【答案】椭圆 的标准方程为 。 【分析】由焦点确定 与焦点位置，用椭圆定义求 。 【详解】焦点在 轴上，设椭圆 （>>）。由椭圆定义，，故 。又 ，。所以椭圆 的标准方程为 。 💡破题要诀 已知焦点与曲线上一点求椭圆方程，首选椭圆定义求出 ，再结合 用 求 。 迁移应用 1．（25-26高二上·北京·大峪中学·期中） 已知椭圆 :（>>）的长轴长为 ，短轴长为 ，为坐标原点。求椭圆 的方程和离心率。 【答案】椭圆 的方程为 ，离心率 。 【分析】由长轴、短轴长分别求 、，再用 求 得离心率。 【详解】长轴 ，得 ；短轴 ，得 。故椭圆 :。，，离心率 。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆 :（>>）的离心率为 ，、分别是椭圆 的上、下顶点，、分别是左、右顶点，四边形 的面积为 。求椭圆 的方程。 【答案】椭圆 的方程为 。 【分析】由 与四边形面积 ，联立求 、。 【详解】，得 ，故 ，。四边形 面积½，即 ，代入 得 ，，。椭圆 方程为 。 题型二 椭圆的离心率问题 典例1 （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :（>>）的左、右焦点分别为 、，点 为椭圆 外一点，若直线 的倾斜角为 ，，且线段 的中点在椭圆 上，则椭圆 的离心率为 . . . . 【答案】 【分析】设 中点为 ，在椭圆上，结合几何关系把线段长用 、表示，消元求 。 【详解】设 为线段 的中点，在椭圆上，则 。由 得 。直线 倾斜角 ，在 △中利用中线与角度关系，化简可得 ，故 ，选 。 💡破题要诀 离心率问题把条件中的线段长统一用 、表示，用椭圆定义（焦点半径和）列方程消元求 。 迁移应用 1．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知椭圆 :（>）的一个焦点为 ，则椭圆的离心率为____。 【答案】 【分析】焦点在 轴，，，。 【详解】焦点 在 轴，故 ，。，。离心率 。 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知椭圆 :的左、右焦点分别为 、，点 为 上的动点且不在 轴上，则下列说法正确的是 . 的离心率为 . △的面积的最大值为 . 的最小值为 . 以 的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为 【答案】 【分析】由标准方程求 、、，逐项判断离心率、面积最值、焦半径和、菱形内切圆半径。 【详解】椭圆 ，，，。：正确。：½½，正确。：，，故 ，即最小值为 ，错误。：四个顶点为 、构成菱形，面积½，边长，内切圆半径 周长，正确。故 。 题型三 椭圆中的焦点三角形问题 典例1 （25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :的右焦点为 ，左、右顶点分别为 、两点，直线 （<<）与椭圆 交于 、两点，则 . 椭圆 的焦距为 . 为定值　. 直线 和 的斜率的乘积为 . 当以 、、、四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】 【分析】由标准方程求焦距；、关于 轴对称用椭圆定义求 ；用坐标求斜率积；平行四边形条件求面积。 【详解】，，，焦距 ，错误。设 、，。左焦点 ，则 （对称），故 ，定值，正确。斜率 ，斜率 ，，正确。平行四边形时 ∥且 ，，，面积，错误。故 。 💡破题要诀 直线与椭圆相交时，抓住弦两端点关于对称轴的位置关系，用椭圆定义与坐标关系求定值与斜率积，用几何条件求面积。 迁移应用 1．（25-26高二上·北京丰台·期中） 根据椭圆的光学性质：、是椭圆 :的两个焦点，为椭圆 上任意一点，为椭圆 在点 处的切线，光线 经过直线 反射后一定经过另一个焦点 。过 作 的垂线，垂足为 ，则点 的轨迹方程为 . . . . 【答案】 【分析】由椭圆光学性质与几何关系，可证 的轨迹是以原点为圆心、半径等于半长轴 的圆。 【详解】椭圆 中 ，。由光学性质及垂足几何推导，点 的轨迹是以原点为圆心、半径等于半长轴 的圆，即 ，选 。 2．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :（>>）的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 :上。若椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，且 的最小值为 ，则 的最小值为 . . . . 【答案】 【分析】由长轴长圆直径得 ，；用椭圆定义转化 ，把 化为距离最值。 【详解】圆 半径 ，直径 ，故椭圆长轴 ，。由椭圆定义 ，其中 为左焦点。于是 ，其最小值 ，得 最小值。由题设对称关系可算得 的最小值为 ，选 。 题型四 双曲线的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 :（>）的焦距为 ，则 的渐近线方程为 . . . . 【答案】 【分析】焦距 得 ，由 求 ，再用渐近线 。 【详解】，；焦距 ，；。焦点在 轴，渐近线 ，选 。 💡破题要诀 渐近线由 、决定，先由焦距求 ，再由 求 ，最后代入渐近线公式。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 :（>>）的离心率为 ，右焦点为 。求 的方程。 【答案】双曲线 的方程为 。 【分析】右焦点给出 ，离心率 得 ，再用 求 。 【详解】右焦点 ，故 ，焦点在 轴。离心率 ，得 。。所以双曲线 的方程为 。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知直线 :，则“或 ”是“直线 与双曲线 有且仅有一个公共点”的 . 充分不必要条件　. 必要不充分条件　. 充要条件　. 既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】直线过定点 ，联立判别式得相切斜率，并与渐近线平行情形比较。 【详解】代入 ，即 ，得 。判别式 。令 得 ，即相切时 （此时直线与渐近线平行，恰一个公共点）。当 即 时，代入得方程 ，判别式也为 ，相切恰一交点，充分；但 也恰一交点，故不必要。所以充分不必要条件，选 。 题型五 双曲线的离心率问题 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 、分别是双曲线 的左、右焦点，是该双曲线上的一点，且 ，则 △的面积等于 . . . . 【答案】 【分析】由双曲线定义 与比例关系求两焦半径长，再判断三角形形状求面积。 【详解】双曲线 ，，，，焦距 。由 设 ，。双曲线上点满足 ，故 ，。于是 ，，。三边 、、满足 ，为直角三角形，面积 ½，选 。 💡破题要诀 双曲线焦点三角形，用定义 与所给比例求出两焦半径长，再判断三角形形状（常为勾股）求面积。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线 的斜率为 ，则 △的内切圆面积为 . . . . 【答案】 【分析】由双曲线定义与内切圆切线长相等的性质确定内切圆圆心在 上，结合斜率求半径。 【详解】、，。设内切圆切 、、于 、、，由切线长相等可得 ，故 ，圆心在直线 上。斜率 ，倾角 °，平分 ∠，故 倾角 °，方程 。代入 得 ，半径 ，内切圆面积，选 。 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知过双曲线 （>>）上一点 的切线方程为 。若 为双曲线 上的动点（>），直线 :与双曲线的两条渐近线交于 、两点（点 在第一象限），与 在同一条渐近线上，则向量向量的最小值为____。 【答案】 【分析】即 处的切线，联立渐近线求 、坐标，把 用中点关系与渐近线垂直性转化，转化为 的最大值问题求最小。 【详解】双曲线 的渐近线为 。联立 与 得 ；联立与 得 ，线段 的中点为 ，且 ⊥。。因 ，，故 。由题意直线 的斜率非负或不存在，（当 为右顶点 时取等号），故 ，即最小值为 。 题型六 抛物线的定义与标准方程 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 准线为 的抛物线的标准方程为 . . . . 【答案】 【分析】准线 得 ，焦点在 轴正半轴，标准方程为 。 【详解】准线 ，故 。焦点在 轴正半轴，标准方程为 ，选 。 💡破题要诀 准线位置决定开口方向与 ，为焦准距，为焦点到原点距离、准线到原点距离。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为 . . . . 【答案】 【分析】利用抛物线定义：点到焦点距离等于点到准线距离。 【详解】抛物线 ，，准线 ，焦点 。由定义，点 到焦点距离到准线距离，选 。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 在平面直角坐标系 中，抛物线 :（>）上一点 与焦点间的距离为 。求抛物线 的方程。 【答案】抛物线 的方程为 。 【分析】焦点 、准线 ，由定义 求 。 【详解】焦点 ，准线 。由抛物线定义 ，解得 。故抛物线 的方程为 。 题型七 直线与圆锥曲线的位置关系 典例1 （25-26高二上·北京丰台·期中） 椭圆 :，直线 :与椭圆 交于不同的两点 、。求 的取值范围；若 ⊥，求 的值。 【答案】<或 >；。 【分析】联立直线与椭圆，判别式>求 范围；⊥用向量点积为 ，韦达定理代入。 【详解】联立 与 ，消去 得 。判别式 >，故 >，即 <或 >。设 、，则 ，。。⊥，即 。代入得 ，化简得 ，即 ，，。 💡破题要诀 直线与椭圆相交，联立消元后用判别式定参数范围；垂直转化为向量点积为 ，用韦达定理整体代入。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知椭圆 :（>）的焦距为 。求 的方程；过 上一动点 作椭圆 的两条斜率存在的切线，证明：两条切线的斜率乘积为定值。 【答案】；两条切线的斜率乘积为定值 。 【分析】由焦距求 ，进而求 ；切线问题用判别式建立斜率关系，证乘积为定值。 【详解】焦距 ，，，，，故 的方程为 。设过椭圆 的两条切线斜率分别为 、，切线 与小椭圆相切，代入消元令判别式。结合点 在 上，消去参数可得 为定值 （与 的位置无关）。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 抛物线 :，若直线 与抛物线 相交于 、两点，求 △的面积。 【答案】 【分析】联立求弦长 ，再用原点到直线的距离 ，面积 ½。 【详解】联立 与 ，消去 得 ，即 ，故 ，。。原点 到直线 的距离 。△面积 ½½。 题型八 圆锥曲线的定值、定点问题 典例1 （25-26高二上·天一大联考·期中） 双曲线 :，若动直线 过点 ，且与 交于 、两点（在第一象限，在第四象限），过点 作直线 的垂线，垂足为 。证明：直线 恒过点 ；设 为坐标原点，△的面积为 ，求 的最小值。 【答案】直线 恒过定点 ；的最小值为 。 【分析】设直线 的参数方程，联立求 、坐标，求 ，证明 、与定点共线；面积用坐标表示后求最值。 【详解】设直线 :，代入 得 。由 、分别在二、四象限设 、，>>。过 作 垂线，。由韦达定理与参数关系可证 、、三点共线，故直线 恒过定点 。由 定点为 ，记 ，则 ½的推导可得面积 的最小值为 。 💡破题要诀 定点问题设而不求，设直线方程联立，用韦达定理与对称性消参，证明直线过定点；面积用坐标表示，转化为函数或不等式求最值。 迁移应用 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 已知椭圆 :的左顶点为 ，右焦点为 ，且 。过点 作直线与椭圆 交于点 ，且点 在第一象限，直线 与直线 交于点 ，过点 且平行于 的直线与直线 交于点 。若 ，求直线 的斜率；轴上是否存在定点 ，使得 ∠∠？若存在，求出定点 的坐标。 【答案】直线 的斜率为 ；存在定点 ，满足 ∠∠。 【分析】由 及三点共线确定 的横坐标，代入求 斜率；由角平分线性质判断定点存在。 【详解】且 、、共线，故 为 的中点，横坐标。在椭圆上，纵坐标，直线 :，与 交得 。，斜率。由 猜想 平分相关角，轴上存在定点 ，使 ∠∠恒成立，定点 满足角平分线条件，结论为存在。 2．（25-26高二上·北京丰台·期中） 椭圆 :，设 为第一象限内椭圆 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 。求证：∥。 【答案】证明 ∥（与 斜率相等且不重合）。 【分析】设 ，求 、坐标，计算直线 与 的斜率并比较。 【详解】、、、。设 ，满足 ，>，>。直线 交 得 。直线 :，直线 :，联立解得 。计算 与 ，由 化简可得 ，且两直线不重合，故 ∥。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是 . . . . 【答案】 【分析】椭圆需两分母为正；焦点在 轴则 系数（分母）较大。 【详解】表示椭圆需 >且 >，即 <且 >。焦点在 轴，项分母 大于 项分母 ，即 >，>，>。故 <<，选 。 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知 是椭圆 上一点，、是其左、右焦点，若 ∠°，则 △的面积为 . . . . 【答案】 【分析】利用焦点三角形面积公式 ，其中 ∠°。 【详解】椭圆 ，，，。焦点三角形面积 ∠°，选 。 3．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 抛物线 的准线方程是 . . . . 【答案】 【分析】，由 求 ，焦点在 轴正半轴，准线为 。 【详解】即 ，，。焦点在 轴正半轴，准线方程为 ，选 。 4．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为____。 【答案】 【分析】先求双曲线右焦点坐标，再令抛物线焦点坐标与之相等。 【详解】双曲线 ，，，，右焦点为 。抛物线 的焦点为 ，由 得 。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知双曲线 （>>）的左、右焦点分别为 、，过 作一条直线与双曲线右支交于 、两点，为坐标原点。若 ，，则该双曲线的离心率为 . . . . 【答案】 【分析】由 得 ∠°，结合双曲线定义 ，在直角三角形中列方程求 。 【详解】，故 ，为 中点，得 ∠°。由双曲线定义 ，。设 ，则 ，。在 △中，，得 ，（舍负）。在 △中，，即 ，，选 。 2．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知抛物线 上两点 、，为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（多选） . 抛物线的准线方程为 . 若直线 过 且 ⊥轴，则 . 若直线 过 ，则 . 若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 【答案】 【分析】由标准方程求准线与通径；过焦点设直线 联立求 ；用抛物线定义与三角不等式求中点到 轴距离的最小值。 【详解】，，准线 ，对。过 且垂直 轴为通径，，对。设 :，代入 得 ，，错。，由定义 ，故 ，中点到 轴距离，对。故选 。 3．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线。设 、（>），动点 满足 （>），记该轨迹为曲线 ，则下列描述正确的是（多选） . 曲线 的方程是 . 曲线 关于坐标轴对称　. 曲线 与 轴没有交点　. △的面积不大于 【答案】 【分析】由定义写方程并检查对称性；令 判断与 轴交点；用面积公式与 求面积上界。 【详解】由定义 ，即 ，对。方程中把 或 变号方程不变，故曲线关于两坐标轴（及原点）对称，对。方程化为 ⁴⁴，令 得 ，当 时存在 交点，故 错。△∠，对。故选 。 4．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知抛物线 :的焦点为 ，、、是 上不同的三点，且向量 、、的横坐标之和为 ，则直线 、、的斜率之和为____。 【答案】 【分析】设三点坐标，由抛物线方程表示纵坐标，用两点斜率公式求和。 【详解】抛物线 即 。设 、、。、、横坐标之和即 。直线 斜率。三斜率之和。 5．（25-26高二上·北京丰台·期中） 已知点 不在抛物线 :（>）上，抛物线 的焦点为 。若对于抛物线上的一点 ，的最小值为 ，则 的值等于____。 【答案】 【分析】利用抛物线定义把 转化为到准线的距离，结合图形求最小值。 【详解】抛物线 焦点 、准线 。由定义 点 到准线的距离。的最小值出现在折线 准线垂足 中，由 与抛物线位置关系及题设最小值 ，结合图形可得 。 6．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 在平面直角坐标系中，为原点，抛物线 Γ:的焦点为 ，、是抛物线 Γ 上两个不同的点。求抛物线 Γ 的方程；若直线 的斜率为 且过点 ，求线段 的长度；直线 与抛物线 Γ 交于不同于 的 、两点，若以 为直径的圆经过点 ，且 ⊥于 ，证明：存在定点 ，使 为定值。 【答案】；；存在定点 ，使 为定值。 【分析】由焦点求 ；设直线 联立，用韦达与弦长公式求 ；设 :，由直径圆过 得 求定点，再由 ⊥得 在以 为直径的圆上。 【详解】焦点 ，，故 Γ:。直线 :，联立 得 ，，，。设 :，代入 得 ，，。以 为直径的圆过 ，即 ，（舍，此时 过 ）或 ，故直线 恒过定点 。又 ⊥，在以 为直径的圆上，为该圆圆心 ，半径为定值，故存在定点 。 7．（25-26高二上·湖南长沙·雅礼教育集团·期中） 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、。求椭圆 的方程；已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点；设 是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明点 的轨迹为圆，并求该圆的方程。 【答案】；线段 的垂直平分线 与 恰有一个公共点；的轨迹是圆，方程为 。 【分析】由焦距与离心率求 、；求垂直平分线方程，联立椭圆令判别式；设 ，写垂直平分线并令其与椭圆恰一公共点（判别式），整理得轨迹方程。 【详解】，，，，故椭圆 :。中点为 ，_，垂直平分线斜率 ，方程为 。联立 消去 得 ，，故恰有一个公共点。设 ，当 时，的垂直平分线为 。联立椭圆令判别式 ，整理得 。因 >，故 ，即 ；当 时 或 ，也满足该方程。所以点 的轨迹是圆，方程为 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $