专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版

专题02 一元二次函数、方程和不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式性质与不等式性质 考点二 基本不等式 考点三 一元二次不等式的解法 考点四 恒成立、有解问题与根的分布 05 重难题型突破 题型一 不等关系的判断 题型二 利用不等式的性质求范围 题型三 比较大小 题型四 基本不等式求最值 题型五 基本不等式与恒成立问题 题型六 不含参一元二次不等式的解法 题型七 含参一元二次不等式的解法 题型八 分式不等式的解法 题型九 已知不等式的解集求参数 题型十 一元二次不等式恒成立问题 题型十一 一元二次不等式有解问题 题型十二 一元二次不等式恒成立（区间分离参数） 题型十三 一元二次方程根的分布 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题为高一上学期期中必考内容，期中试卷题型以选择题、填空题为主，部分试卷在第Ⅱ卷设置解答题综合考查不等式，整体以基础、中档题为主，难度适中，个别试卷以恒成立、有解问题或根的分布作为压轴。 命题考点分布：不等式的性质、比较大小、基本不等式求最值、一元二次不等式的解法（不含参、含参、分式）、已知解集求参数、恒成立与有解问题、一元二次方程根的分布是期中高频考点；忽略基本不等式取等条件、含参分类讨论不完整、端点取等失算是本专题最主要失分点。 命题角度特点： 基础题：直接考查不等式的性质判断、简单一元二次不等式求解、基本不等式直接应用，侧重识记与直接套用； 中档题：含参一元二次不等式分类讨论、已知解集反求参数、基本不等式恒成立（含乘“”法）是期中热门考法； 命题联动：不等式常与集合、函数定义域结合命题，用数轴处理连续数集，是期中高频结合点。 主要失分点： ①使用不等式的性质时忽略条件（如乘负数要变号、同向相乘要求正数）； ②用基本不等式求最值时忽略“一正、二定、三相等”，取不到等号仍当作最值； ③含参一元二次不等式讨论不全（漏掉二次项系数为、两根大小比较）； ④恒成立、有解问题忘记判别式法或分离参数后的端点取值； ⑤根的分布问题不会转化为判别式、对称轴、端点值的不等式组。 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 1. 熟记不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加、正同向可乘、倒数性质）；2. 熟记基本不等式 a+b≥2√(ab)（a,b>0）及变式 ab≤((a+b)/2)²、a²+b²≥2ab；3. 掌握一元二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式与求根公式，识别一元二次不等式三种解集结构。 理解 1. 理解不等式性质成立的条件，能解释为何乘负数要变号、同向相乘需正数；2. 理解基本不等式取等条件“a=b”的意义，理解“一正、二定、三相等”的含义；3. 理解一元二次不等式解集与对应方程根、二次函数图象之间的关系（根的分布）。 应用 1. 能利用不等式的性质比较大小、求取值范围、证明简单不等式；2. 能利用基本不等式求最值（含乘“1”法、代换法），解决恒成立中的最值问题；3. 会解不含参与含参的一元二次不等式、分式不等式；4. 会利用已知解集求参数、解决恒成立与有解问题、根的分布问题。 一元二次函数、方程和不等式 ├─ 不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加、正同向可乘、倒数 ├─ 基本不等式：（>），当且仅当 取等；变式 、 │ └─ 应用：求最值（一正二定三相等）、证明不等式、恒成立问题（乘“”法） ├─ 一元二次不等式：>（<） │ ├─ 解法：因式分解、判别式、二次函数图象（数形结合） │ ├─ 含参不等式：对二次项系数、判别式、两根大小分类讨论 │ ├─ 分式不等式：移项通分等价转化为整式不等式 │ └─ 已知解集求参数：根与系数关系（韦达定理） ├─ 恒成立与有解：判别式法、分离参数法、最值转化 └─ 根的分布：转化为判别式、对称轴、端点值的不等式组 考点一 等式性质与不等式性质 ⚠️记忆口诀：性质记牢，变号小心；同向可加，正同向可乘，乘负必变号。 不等式的基本性质： ①对称性：>______； ②传递性：>且 >______； ③可加性：>______ ； ④可乘性：>且 >______ ；>且 <______ （乘负数要变号）； ⑤同向可加：>且 >______ ； ⑥正同向可乘：>>且 >>______ ； ⑦倒数性质：>>______ 。 ⚠️易混易错： ①使用可乘性前先确认 的正负，<时不等号要反向； ②同向相加可以，但同向相减不可以（必须转化为加）； ③同向相乘要求四个数都为正数，否则不成立； ④由 >不能直接推出 >或 <，需附加正负条件。 考点二 基本不等式 ⚠️记忆口诀：一正二定三相等，取等才有最值到。 基本不等式：若 >，>，则 ______ ，当且仅当 ______ 时取等号。 常用变式： ①______ （当且仅当 取等）； ②______ （当且仅当 取等）； ③一定时，有 ______ 值；一定时，有 ______ 值。 应用求最值的三个条件：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（能取到等号）。 常用技巧：乘“”法（常值代换）、代换法、配凑法。 ⚠️易混易错： ①使用基本不等式前必须保证 、为正，否则可用 −转化或直接否定； ②“二定”指和或积必须是定值，不是定值不能直接套用； ③“三相等”要求等号能取到，取不到等号时该值不是最值； ④牢记系数 ：，不要误写成 。 考点三 一元二次不等式的解法 ⚠️记忆口诀：大于取两边，小于取中间；含参先定类，再比两根。 一元二次不等式 >（或<），设方程 的两根为 、（<），>时： ①>的解集为 ｜<或 ______（大于取两边）； ②<的解集为 ｜______（小于取中间）。 判别式法：−，>有两根，有一根（结合或考虑取等），<恒正或恒负。 分式不等式：移项通分，等价转化为整式不等式（注意分母不为）。 含参不等式：先看二次项系数是否为，再看判别式，最后比较两根大小，分类讨论。 已知解集求参数：解集的端点即为对应方程的根，用根与系数关系（韦达定理）建立方程。 ⚠️易混易错： ①解不等式时二次项系数为负，需先两边乘以 −变号，转化为 >再解； ②含参不等式漏掉二次项系数 （一次不等式）的情形； ③两根大小不确定时未比较大小就写解集； ④分式不等式分母不为的条件容易遗漏； ⑤<时不等式的解集是 或 ∅，需结合二次项系数正负判断。 考点四 恒成立、有解问题与根的分布 ⚠️记忆口诀：恒成立判最值，有解判开口；根的分布四要素，判别式对称轴端点值。 一元二次不等式恒成立问题的转化： ①>在 上恒成立 >且 ______； ②在 上恒成立 >且 ______； ③<在 上恒成立 <且 ______； ④区间 上恒成立：分离参数后转化为最值问题，>恒成立 ______ 的最小值。 有解问题的转化： ①存在 使 <（>）成立 ______； ②存在 使 <成立 的最小值 ______ ；存在 使 >成立 的最大值 ______ 。 一元二次方程根的分布（设 ，>）： ①两根都大于 ，对称轴 −______ ，______ ； ②两根都小于 ，对称轴 −______ ，______ ； ③一根在 内、一根在 内 ______，______，______。 ⚠️易混易错： ①恒成立问题先考虑二次项系数 的特殊情形，不能一上来就用判别式； ②“有解”与“恒成立”方向相反，有解用最大值最小值开口方向，不要与恒成立混淆； ③根的分布中“两根都大于 ”不能只写 ，必须同时满足对称轴与端点函数值条件； ④与 的符号、对称轴位置三者缺一不可，漏一项都会出错。 题型一 不等关系的判断 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若 >>，<，则下列不等式一定成立的是（　　） A. > B.< C.> D.< 迁移应用 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中） 已知 <<，则下列结论正确的是（　　） A.< B.< C.> D.< 2．（25-26高一上·山东青岛第一中学·期中） 对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） A. 若 >，则 > B.若 >，>，则 > C.若 >，则 < D.若 >，>，则 > 题型二 利用不等式的性质求范围 典例2 （25-26高一上·山东济南第一中学·期中） 若实数 ，−，则 −的取值范围是　　． 迁移应用 1．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 已知 −，，则 的取值范围是　　． 2．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 设 −<<，−<<，则 −的取值范围是　　． 题型三 比较大小 典例3 （25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 已知 <<，比较 与 的大小为（　　） A.> B.< C. D.不能确定 迁移应用 1．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 已知 >>，则比较 与 的大小，结果为（　　） A.> B.< C.相等　　D.无法确定 2．（25-26高一上·山东济宁育才中学·期中） 若 >>，则下列不等式成立的是（　　） A.< B.< C.> D.> 题型四 基本不等式求最值 典例4 （25-26高一上·山东济南·期中） 已知 >，则函数 的最小值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高一上·山东青岛第五十八中学·期中） 已知 >，>，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 2．（25-26高一上·山东济南·期中） 已知 >，则函数 的最小值为（　　） A. B. C. D. 题型五 基本不等式与恒成立问题 典例5 （25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C.< D.> 迁移应用 1．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 >，>，且 ，则下列结论成立的是（　　） A. 的最小值为 B.的最小值为 C.的最小值为 D.的最小值为 题型六 不含参一元二次不等式的解法 典例6 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 不等式 −<的解集为（　　） A.｜<或 > B.｜<< C.｜<或 > D.｜<< 迁移应用 1．（25-26高一上·河北保定·期中） 不等式 −>的解集为（　　） A.｜ B.｜ C. D.∅ 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中） 不等式 −>的解集为（　　） A.｜−<< B.｜<−或 > C.｜−<< D.｜<−或 > 题型七 含参一元二次不等式的解法 典例7 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 解关于 的不等式 −<（为常数）． 迁移应用 1．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 解关于 的不等式 −>（为实数）． 2．（25-26高一上·山东潍坊第一中学·期中） 解关于 的不等式 −>（为常数）． 题型八 分式不等式的解法 典例8 （25-26高一上·山东·期中） 不等式 −的解集为（　　） A.− B.− C.− D.− 迁移应用 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中） 不等式 >的解集为（　　） A.｜−<< B.｜<−或 > C.｜> D.｜<− 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中） 不等式 −的解集为（　　） A.｜<−或 B.｜ C.｜−< D.｜> 题型九 已知不等式的解集求参数 典例9 （25-26高一上·山东枣庄市薛城区·期中） 已知关于的一元二次不等式 >的解集为 ｜−<<，则（　　） A.> B.< C. D.的符号不确定 迁移应用 1．（25-26高一上·山东聊城·期中） 已知不等式 −>的解集为 ｜<<，则的值为（　　） A.− B. C. D.− 2．（25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 已知关于 的不等式 −<的解集为 ｜<<，则 的值为（　　） A. B.− C. D.− 题型十 一元二次不等式恒成立问题 典例10 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若不等式 −对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B.> C.< D. 迁移应用 1．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 不等式 >对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A.> B. C.< D. 2．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A. B.< C. D.< 题型十一 一元二次不等式有解问题 典例11 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若存在实数 ，使得 −<成立，则实数 的取值范围是（　　） A.< B. C.> D. 迁移应用 1．（25-26高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中） 若存在实数 ，使不等式 −>成立，则实数 的取值范围是（　　） A.<− B.>− C.− D.− 2．（25-26高一上·河南郑州一中·期中） 若不等式 −有解，则实数 的取值范围是（　　） A. B.< C. D.> 题型十二 一元二次不等式恒成立（区间分离参数） 典例12 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若对任意 ，不等式 −>恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A.> B. C.>− D.− 迁移应用 1．（25-26高一上·山东日照·期中） 若对任意 ，不等式 >恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A.>− B.− C.<− D.− 2．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 若对任意 ，不等式 −−>恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A.< B. C.> D. 题型十三 一元二次方程根的分布 典例13 （25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 若方程 −的两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A.< B. C.<< D. 迁移应用 1．（25-26高一上·山东聊城·期中） 若方程 −的两根都在区间 −内，则实数 的取值范围是（　　） A.< B.−<< C.−< D.<< 2．（25-26高一上·山东·期中） 若方程 −的两根都为正数，则实数 的取值范围是（　　） A. B.> C.> D.<−或 > 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 >，>，则下列不等式一定成立的是（　　） A.> B.−>− C.−>− D.> 2．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 不等式 −的解集为（　　） A.｜ B.｜−< C.｜<−或 D.｜ 3．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 使有意义的 的取值范围是（　　） A.<−或 > B.−或 C.<−或 D.− 4．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 下列函数中，最小值为 的是（　　） A. B.（>）　C.−（<）　D. 5．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知不等式 −−>的解集为 ｜−<<−，则不等式 −−<的解集为（　　） A.｜<< B.｜<或 > C.｜−<< D.｜<−或 >− 6．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知方程 有两个不相等的负实数根，则实数 的取值范围是（　　） A.> B. C.<− D.<−或 > 综合进阶练（限时：15分钟） 7．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 <−<，<<，则 的取值范围是　　． 8．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知 <，且关于 的不等式 的解集为 ，则 的最小值为　　． 9．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 某农户计划用 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地。设该矩形菜地与墙平行的边长为 ，与墙垂直的边长为 。 （）当 为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （）求 的最小值． 10．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知二次函数 满足 ，−−． （）求 的解析式； （）若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 等式性质与不等式性质 考点二 基本不等式 考点三 一元二次不等式的解法 考点四 恒成立、有解问题与根的分布 05 重难题型突破 题型一 不等关系的判断 题型二 利用不等式的性质求范围 题型三 比较大小 题型四 基本不等式求最值 题型五 基本不等式与恒成立问题 题型六 不含参一元二次不等式的解法 题型七 含参一元二次不等式的解法 题型八 分式不等式的解法 题型九 已知不等式的解集求参数 题型十 一元二次不等式恒成立问题 题型十一 一元二次不等式有解问题 题型十二 一元二次不等式恒成立（区间分离参数） 题型十三 一元二次方程根的分布 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 本专题为高一上学期期中必考内容，期中试卷题型以选择题、填空题为主，部分试卷在第Ⅱ卷设置解答题综合考查不等式，整体以基础、中档题为主，难度适中，个别试卷以恒成立、有解问题或根的分布作为压轴。 命题考点分布：不等式的性质、比较大小、基本不等式求最值、一元二次不等式的解法（不含参、含参、分式）、已知解集求参数、恒成立与有解问题、一元二次方程根的分布是期中高频考点；忽略基本不等式取等条件、含参分类讨论不完整、端点取等失算是本专题最主要失分点。 命题角度特点： 基础题：直接考查不等式的性质判断、简单一元二次不等式求解、基本不等式直接应用，侧重识记与直接套用； 中档题：含参一元二次不等式分类讨论、已知解集反求参数、基本不等式恒成立（含乘“”法）是期中热门考法； 命题联动：不等式常与集合、函数定义域结合命题，用数轴处理连续数集，是期中高频结合点。 主要失分点： ①使用不等式的性质时忽略条件（如乘负数要变号、同向相乘要求正数）； ②用基本不等式求最值时忽略“一正、二定、三相等”，取不到等号仍当作最值； ③含参一元二次不等式讨论不全（漏掉二次项系数为、两根大小比较）； ④恒成立、有解问题忘记判别式法或分离参数后的端点取值； ⑤根的分布问题不会转化为判别式、对称轴、端点值的不等式组。 02 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 1. 熟记不等式的基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加、正同向可乘、倒数性质）；2. 熟记基本不等式 a+b≥2√(ab)（a,b>0）及变式 ab≤((a+b)/2)²、a²+b²≥2ab；3. 掌握一元二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式与求根公式，识别一元二次不等式三种解集结构。 理解 1. 理解不等式性质成立的条件，能解释为何乘负数要变号、同向相乘需正数；2. 理解基本不等式取等条件“a=b”的意义，理解“一正、二定、三相等”的含义；3. 理解一元二次不等式解集与对应方程根、二次函数图象之间的关系（根的分布）。 应用 1. 能利用不等式的性质比较大小、求取值范围、证明简单不等式；2. 能利用基本不等式求最值（含乘“1”法、代换法），解决恒成立中的最值问题；3. 会解不含参与含参的一元二次不等式、分式不等式；4. 会利用已知解集求参数、解决恒成立与有解问题、根的分布问题。 03 知识体系构建 一元二次函数、方程和不等式 ├─ 不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性、同向可加、正同向可乘、倒数 ├─ 基本不等式：（>），当且仅当 取等；变式 、 │ └─ 应用：求最值（一正二定三相等）、证明不等式、恒成立问题（乘“”法） ├─ 一元二次不等式：>（<） │ ├─ 解法：因式分解、判别式、二次函数图象（数形结合） │ ├─ 含参不等式：对二次项系数、判别式、两根大小分类讨论 │ ├─ 分式不等式：移项通分等价转化为整式不等式 │ └─ 已知解集求参数：根与系数关系（韦达定理） ├─ 恒成立与有解：判别式法、分离参数法、最值转化 └─ 根的分布：转化为判别式、对称轴、端点值的不等式组 04 核心考点精讲 考点一 等式性质与不等式性质 ⚠️记忆口诀：性质记牢，变号小心；同向可加，正同向可乘，乘负必变号。 不等式的基本性质： ①对称性：><； ②传递性：>且 >>； ③可加性：>> ； ④可乘性：>且 >> ；>且 << （乘负数要变号）； ⑤同向可加：>且 >> ； ⑥正同向可乘：>>且 >>> ； ⑦倒数性质：>>< 。 ⚠️易混易错： ①使用可乘性前先确认 的正负，<时不等号要反向； ②同向相加可以，但同向相减不可以（必须转化为加）； ③同向相乘要求四个数都为正数，否则不成立； ④由 >不能直接推出 >或 <，需附加正负条件。 考点二 基本不等式 ⚠️记忆口诀：一正二定三相等，取等才有最值到。 基本不等式：若 >，>，则 ，当且仅当 时取等号。 常用变式： ①（当且仅当 取等）； ②（当且仅当 取等）； ③一定时，有最大值；一定时，有最小值。 应用求最值的三个条件：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（能取到等号）。 常用技巧：乘“”法（常值代换）、代换法、配凑法。 ⚠️易混易错： ①使用基本不等式前必须保证 、为正，否则可用 −转化或直接否定； ②“二定”指和或积必须是定值，不是定值不能直接套用； ③“三相等”要求等号能取到，取不到等号时该值不是最值； ④牢记系数 ：，不要误写成 。 考点三 一元二次不等式的解法 ⚠️记忆口诀：大于取两边，小于取中间；含参先定类，再比两根。 一元二次不等式 >（或<），设方程 的两根为 、（<），>时： ①>的解集为 ｜<或 >（大于取两边）； ②<的解集为 ｜<<（小于取中间）。 判别式法：−，>有两根，有一根（结合或考虑取等），<恒正或恒负。 分式不等式：移项通分，等价转化为整式不等式（注意分母不为）。 含参不等式：先看二次项系数是否为，再看判别式，最后比较两根大小，分类讨论。 已知解集求参数：解集的端点即为对应方程的根，用根与系数关系（韦达定理）建立方程。 ⚠️易混易错： ①解不等式时二次项系数为负，需先两边乘以 −变号，转化为 >再解； ②含参不等式漏掉二次项系数 （一次不等式）的情形； ③两根大小不确定时未比较大小就写解集； ④分式不等式分母不为的条件容易遗漏； ⑤<时不等式的解集是 或 ∅，需结合二次项系数正负判断。 考点四 恒成立、有解问题与根的分布 ⚠️记忆口诀：恒成立判最值，有解判开口；根的分布四要素，判别式对称轴端点值。 一元二次不等式恒成立问题的转化： ①>在 上恒成立 >且 <； ②在 上恒成立 >且 ； ③<在 上恒成立 <且 <； ④区间 上恒成立：分离参数后转化为最值问题，>恒成立 <的最小值。 有解问题的转化： ①存在 使 <（>）成立 >； ②存在 使 <成立 的最小值 <；存在 使 >成立 的最大值 >。 一元二次方程根的分布（设 ，>）： ①两根都大于 ，对称轴 −> ，> ； ②两根都小于 ，对称轴 −< ，> ； ③一根在 内、一根在 内 <，>，<。 ⚠️易混易错： ①恒成立问题先考虑二次项系数 的特殊情形，不能一上来就用判别式； ②“有解”与“恒成立”方向相反，有解用最大值最小值开口方向，不要与恒成立混淆； ③根的分布中“两根都大于 ”不能只写 ，必须同时满足对称轴与端点函数值条件； ④与 的符号、对称轴位置三者缺一不可，漏一项都会出错。 05 重难题型突破 题型一 不等关系的判断 典例1 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若 >>，<，则下列不等式一定成立的是（　　） ．>．<．>．< 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐一判断。 【详解】由 >>，得 <，错误；>，错误；因 <，<，错误；因 >，<，正确。故选 。 💡破题要诀 判断不等式是否恒成立，优先用不等式的性质推导；性质无法直接判断时用特殊值（取满足条件的数）排除错误选项，性质能证明的一定成立。 迁移应用 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中） 已知 <<，则下列结论正确的是（　　） ．<．<．>．< 【答案】 【分析】利用不等式的性质及特殊值判断。 【详解】取 −，−，则 >，错；>，错；由 <<得 >，正确；取 −，−，<，亦成立，本题单选选更直接的 。 2．（25-26高一上·山东青岛第一中学·期中） 对于实数 、、、，下列说法正确的是（　　） ．若 >，则 >．若 >，>，则 >．若 >，则 <．若 >，>，则 > 【答案】 【分析】由不等式性质判断 正确，举反例说明 错误。 【详解】由不等式性质知 正确；对于 ，取 >>，则 >>，错；对于 ，取 ，，−，−，则 −，−，不满足 >，错。故选 。 题型二 利用不等式的性质求范围 典例2 （25-26高一上·山东济南第一中学·期中） 若实数 ，−，则 −的取值范围是　　． 【答案】− 【分析】先用不等式的可乘性与同向可加求 −的范围，再求 −的范围。 【详解】由 −得 −−，又 ，同向相加得 −−，即 −−，所以取值范围为 −。 💡破题要诀 求含参代数式的取值范围，先分别求出每个部分的范围（注意乘负数变号），再利用同向相加（不等式可加性）合成整体范围；不能直接相减，要转化为加法。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 已知 −，，则 的取值范围是　　． 【答案】− 【分析】分别求 与 的范围，再同向相加。 【详解】由 −得 −；由 得 ；同向相加得 −，取值范围为 −。 2．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 设 −<<，−<<，则 −的取值范围是　　． 【答案】− 【分析】先求 −的范围，再与 相加。 【详解】由 −<<得 −<<；由 −<<得 −<−<；同向相加得 −<−<，故取值范围为 −。 题型三 比较大小 典例3 （25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 已知 <<，比较 与 的大小为（　　） ．>．<．．不能确定 【答案】 【分析】用作差法比较大小。 【详解】−−，因为 <<，所以 >，−<，则 −<，即 <。故选 。 💡破题要诀 比较两个数（式）的大小，优先用作差法：作差变形（因式分解、配方、通分）判断符号。作差后与 比较；有时也可用特殊值验证。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 已知 >>，则比较 与 的大小，结果为（　　） ．>．<．相等　　．无法确定 【答案】 【分析】作差通分判断符号。 【详解】−−−，由 >>得 −<，分母>，故差<，即 <。故选 。 2．（25-26高一上·山东济宁育才中学·期中） 若 >>，则下列不等式成立的是（　　） ．<．<．>．> 【答案】 【分析】用不等式性质或特殊值判断。 【详解】>>，故 >，错；<恒成立，正确；>，正确；<，错。本题单选选更直接的 。 题型四 基本不等式求最值 典例4 （25-26高一上·山东济南·期中） 已知 >，则函数 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求最小值。 【详解】因为 >，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 。故选 。 💡破题要诀 形如“积为定值、和为变量”的式子用基本不等式求最值，先验证一正二定三相等；若结构不直接，可用配凑法（添项拆项）凑出定值。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东青岛第五十八中学·期中） 已知 >，>，且 ，则 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】积为定值，用基本不等式求和的最小值。 【详解】，当且仅当 时取等号，最小值为 。故选 。 2．（25-26高一上·山东济南·期中） 已知 >，则函数 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】用配凑法构造定值再求最值。 【详解】−−−−−，当且仅当 −−，即 时取等号，最小值为 。故选 。 题型五 基本不等式与恒成立问题 典例5 （25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．．．<．> 【答案】 【分析】用乘“”法求 的最小值，恒成立转化为 不大于最小值。 【详解】，当且仅当 即 ，结合 得 ，时取等号。故 的最小值为 ，恒成立即 。故选 。 💡破题要诀 恒成立问题 恒成立 的最小值；恒成立 的最大值。先求最值再定参数范围，注意取等条件是否满足。 迁移应用 1．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 1．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 >，>，且 ，则下列结论成立的是（　　） ．的最小值为．的最小值为．的最小值为．的最小值为 【答案】 【分析】用乘“”法与基本不等式逐一求最小值，重点检验取等条件。 【详解】：，当且仅当 时取等，正确；：，当且仅当 时取等，正确；：因 −−，取等需 −−即 ，与 >矛盾，最小值大于，错误；：−−>，最小值大于，错误。故选 。 题型六 不含参一元二次不等式的解法 典例6 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 不等式 −<的解集为（　　） ．｜<或 >．｜<<．｜<或 >．｜<< 【答案】 【分析】因式分解后根据“小于取中间”求解。 【详解】−−−<，解得 <<，解集为 ｜<<。故选 。 💡破题要诀 解不含参一元二次不等式，先因式分解或求判别式、求根，再根据“大于取两边、小于取中间”写出解集；注意二次项系数为正。 迁移应用 1．（25-26高一上·河北保定·期中） 不等式 −>的解集为（　　） ．｜．｜．．∅ 【答案】 【分析】配方后判断。 【详解】−>，，解集为 ｜。故选 。 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中） 不等式 −>的解集为（　　） ．｜−<<．｜<−或 >．｜−<<．｜<−或 > 【答案】 【分析】两边乘 −变号后因式分解。 【详解】−>即 −−<，即 −<，解得 −<<。故选 。 题型七 含参一元二次不等式的解法 典例7 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 解关于 的不等式 −<（为常数）． 【答案】当 <时，解集为 ｜<<；当 时，解集为 ∅；当 >时，解集为 ｜<<。 【分析】因式分解后对两根 与 的大小分类讨论。 【详解】−−−<，两根为 与 。当 <时，<<；当 时，无解；当 >时，<<。综上分段写出解集。 💡破题要诀 含参一元二次不等式，先因式分解求出两根，再对两根大小、是否相等分类讨论；若不能因式分解，则对判别式、二次项系数分类，最后按参数范围写解集。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 解关于 的不等式 −>（为实数）． 【答案】当 时，解集为 ｜<；当 <<时，｜<或 >；当 时，｜；当 >时，｜<或 >；当 <时，｜<<。 【分析】对二次项系数与两根大小分类讨论。 【详解】当 时，−>，<；当 时，−−>，两根 与 。按 >、<且比较 与 的大小，分 <<、、>、<讨论，写出对应解集。 2．（25-26高一上·山东潍坊第一中学·期中） 解关于 的不等式 −>（为常数）． 【答案】当 <−或 >时，解集为 ｜<−−或 >−；当 −时，解集为 。 【分析】对判别式分类讨论。 【详解】−−。当 −>即 <−或 >时，两根为 −，解集为两根之外；当 即 −时，−恒成立，解集为 。 题型八 分式不等式的解法 典例8 （25-26高一上·山东·期中） 不等式 −的解集为（　　） ．−．−．−．− 【答案】 【分析】等价转化为整式不等式，注意分母不为。 【详解】−−且 −，解得 −<，解集为 −。故选 。 💡破题要诀 解分式不等式，移项通分化 （或），等价转化为 （或）且 ；解整式不等式后再去掉使分母为的点。 迁移应用 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中） 不等式 >的解集为（　　） ．｜−<<．｜<−或 >．｜>．｜<− 【答案】 【分析】等价转化为整式不等式。 【详解】−>，解得 <−或 >。故选 。 2．（25-26高一上·福建龙岩·期中） 不等式 −的解集为（　　） ．｜<−或 ．｜．｜−<．｜> 【答案】 【分析】移项通分化简。 【详解】−−−−−−，即 −且 −，解得 <−或 。故选 。 题型九 已知不等式的解集求参数 典例9 （25-26高一上·山东枣庄市薛城区·期中） 已知关于的一元二次不等式 >的解集为 ｜−<<，则（　　） ．>．<．．的符号不确定 【答案】 【分析】解集两根之间说明 <。 【详解】解集 ｜−<<为两根之间，由“大于取两边、小于取中间”知该不等式为 >且 <。故选 。 💡破题要诀 已知一元二次不等式的解集，解集端点即对应方程的根，用韦达定理（根与系数关系）建立参数方程；同时由“大于取两边小于取中间”确定二次项系数的符号。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东聊城·期中） 已知不等式 −>的解集为 ｜<<，则的值为（　　） ．−．．．− 【答案】 【分析】用韦达定理求 。 【详解】由解集知 、是 −的两根且 <，由韦达定理 −，得 −，−。故选 。 2．（25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 已知关于 的不等式 −<的解集为 ｜<<，则 的值为（　　） ．．−．．− 【答案】 【分析】韦达定理求 。 【详解】、是 −的两根，，得 。故选 。 题型十 一元二次不等式恒成立问题 典例10 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若不等式 −对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．．>．<． 【答案】 【分析】分 与 ，时用判别式法。 【详解】当 时，不等式为 ，不恒成立；当 时，需 >且 −−，即 −−，整理 −−，解得 或 −（舍 −，因需 >），故 。故选 。 💡破题要诀 一元二次不等式 （或>）在 上恒成立：当 看一次是否恒成立；当 时需 >且 （型）或 <且 <（>型），用判别式法。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东菏泽第一中学·期中） 不等式 >对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．>．．<． 【答案】 【分析】判别式小于。 【详解】>恒成立，需 −<，得 >。故选 。 2．（25-26高一上·山东滕州第一中学·期中） 若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．．<．．< 【答案】 【分析】分 与 >且 。 【详解】当 时，恒成立；当 时需 >且 −，得 <。综上 。故选 。 题型十一 一元二次不等式有解问题 典例11 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若存在实数 ，使得<成立，则实数 的取值范围是（　　） ．<．．>． 【答案】 【分析】有解问题转化为最小值小于。 【详解】−−，最小值为 −。存在 使 <成立，即最小值 −<，得 <。故选 。 💡破题要诀 有解问题（存在 使 <）等价于 的最小值小于；存在 使 >等价于最大值大于。用最值或判别式（开口方向）转化。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东青岛即墨区第一中学·期中） 若存在实数 ，使不等式 −>成立，则实数 的取值范围是（　　） ．<−．>−．−．− 【答案】 【分析】存在性等价于最大值大于 。 【详解】−−−，因 −，存在 使 −−>成立，即存在 使 −>，需 <，得 <−。故选 。 2．（25-26高一上·河南郑州一中·期中） 若不等式 −有解，则实数 的取值范围是（　　） ．．<．．> 【答案】 【分析】判别式。 【详解】不等式有解，即对应方程 −有实根，−，得 。故选 。 题型十二 一元二次不等式恒成立（区间分离参数） 典例12 （25-26高一上·湖南长沙·期中） 若对任意 ，不等式 −>恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．>．．>−．− 【答案】 【分析】分离参数，求右侧函数在区间上的最小值。 【详解】−>即 > −−−，。令 −−，在 上递减，最小值 ，故 >。故选 。 💡破题要诀 区间上恒成立，优先分离参数：>恒成立 <；再求函数在给定区间上的最值，注意单调性与端点。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东日照·期中） 若对任意 ，不等式 >恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．>−．−．<−．− 【答案】 【分析】分离参数求最值。 【详解】>即 > −−，。令 −，因 在 上先减后增，最小值为 （），故 最大值为 −，恒成立需 >−。故选 。 2．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 若对任意 ，不等式 −−>恒成立，则实数 的取值范围是（　　） ．<．．>． 【答案】 【分析】分离参数，结合基本不等式求最值。 【详解】时 >，原式即 < −。由基本不等式，−−，当且仅当 即 时取等。故需 <。故选 。 题型十三 一元二次方程根的分布 典例13 （25-26高一上·山东威海第二中学·期中） 若方程 −的两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） ．<．．<<． 【答案】 【分析】用根的分布条件：判别式、对称轴、端点函数值。 【详解】设 −，开口向上，对称轴 。两根都大于，需 −且 >且 −−>。由 得 或 −；由 >得 >；由 −>得 <。综合得 <。故选 。 💡破题要诀 一元二次方程根的分布，设 >，两根在区间两侧或在区间内，转化为判别式、对称轴、区间端点函数值的不等式组；开口方向、判别式、对称轴、端点值四要素配合。 迁移应用 1．（25-26高一上·山东聊城·期中） 若方程 −的两根都在区间 −内，则实数 的取值范围是（　　） ．<．−<<．−<．<< 【答案】 【分析】根的分布四要素。 【详解】−，对称轴 在 −内；需 −（），−>（>−），−>（>）。取交集得 <。故选 。 2．（25-26高一上·山东·期中） 若方程 −的两根都为正数，则实数 的取值范围是（　　） ．．>．>．<−或 > 【答案】 【分析】两根正数：、两根和>、两根积>。 【详解】两根 >，>（>−），−（或 −），取交集 。故选 。 06 限时分层演练 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 >，>，则下列不等式一定成立的是（　　） ．>．−>−．−>−．> 【答案】 【分析】利用不等式的性质逐一判断，性质不能直接判断的用特殊值排除。 【详解】：时 ，不成立；：取 ，，，，则 −<−，不成立；：由 >得 −>−，与 >同向相加得 −>−，成立；：取 ，，−，−，则 −，−，<，不成立。故选 。 2．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 不等式 −的解集为（　　） ．｜．｜−<．｜<−或 ．｜ 【答案】 【分析】移项通分化简后转化为整式不等式，注意分母不为。 【详解】−−−−−−，等价于 −且 −，解得 −<。故选 。 3．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 使有意义的 的取值范围是（　　） ．<−或 >．−或 ．<−或 ．− 【答案】 【分析】根式需被开方数非负，分母需不为。 【详解】需 −−且 。−−−，得 −或 ；又 −，所以 <−或 。故选 。 4．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 下列函数中，最小值为 的是（　　） ．．（>）　．−（<）　． 【答案】 【分析】逐一用基本不等式求最小值，重点检验“一正、二定、三相等”。 【详解】：<时 <，无最小值；：，当且仅当 即 时取等，最小值为，正确；：令 −<，则 ，因 <时 −，故 ，无最小值，错误；：令 >，，因 >时 单调递增，最小值在 处取，其值大于，且取不到等号，错误。故选 。 5．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知不等式 −−>的解集为 ｜−<<−，则不等式 −−<的解集为（　　） ．｜<<．｜<或 >．｜−<<．｜<−或 >− 【答案】 【分析】由已知解集用韦达定理求 、，再解新不等式。 【详解】由解集 ｜−<<−知 <，且 −、−是 −−的两根。由韦达定理：−−，−−−，即 −，得 −；−，得 −。则 −−<即 −<，解得 <<。故选 。 6．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知方程 有两个不相等的负实数根，则实数 的取值范围是（　　） ．>．．<−．<−或 > 【答案】 【分析】两根不相等负根：判别式大于，两根和小于，两根积大于。 【详解】设两根为 、，需 −>，−<，>。由 >得 >或 <−；由 −<得 >。综合得 >。故选 。 综合进阶练（限时：15分钟） 7．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知 <−<，<<，则 的取值范围是　　． 【答案】 【分析】用待定系数法把 表示成 −与 的线性组合，再利用同向可加。 【详解】设 −，则 ，−，解得 ，。故 −。由 <<得 <<，又 <−<，同向相加得 <<，取值范围为 。 8．（25-26高一上·湖南长沙一中·第一次阶段性检测） 已知 <，且关于 的不等式 的解集为 ，则 的最小值为　　． 【答案】 【分析】由恒成立得 >且 ，再结合基本不等式求 的最小值。 【详解】解集为 ，则 >且 −，即 。由 <知 −>，故 −−−。令 −（>），则 −，−，代入得 ，当且仅当 （即 ）且 时取等。故最小值为 。 9．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 某农户计划用 的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地。设该矩形菜地与墙平行的边长为 ，与墙垂直的边长为 。 （）当 为何值时，面积取得最大值？最大面积为多少？ （）求 的最小值． 【答案】（）时面积最大，最大面积为 ；（）最小值为 。 【分析】（）由题意 ，用基本不等式求 的最大值；（）利用“”的代换求最值。 （）【详解】由题意 ，、均为正数。面积 ，当且仅当 时取等。所以 时面积最大，最大面积为 。 （）【详解】由 得 ，则 ，当且仅当 即 ，结合 得 时取等。故最小值为 。 10．（25-26高一上·四川成都·第一次诊断） 已知二次函数 满足 ，−−． （）求 的解析式； （）若对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（）−；（）−。 【分析】（）设 ，由条件列方程组求系数；（）恒成立转化为判别式。 （）【详解】设 （），由 得 。由 −−，即 −−，化简得 −，对照系数得 ，−，解得 ，−。故 −。 （）【详解】即 −，即 −对一切实数 恒成立，需 −，解得 −。故 的取值范围为 −。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $