四川省金堂中学校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

四川省金堂中学校高2027届10月数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则=（ ） A． B． C． D． 2．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．已知，，则=（ ） A． B． C． D． 5．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（ ） A． B． C． D． 6．如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（ ） A． B． C． D． 7．设函数，若恒成立，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．已知，则，，的大小关系不可能是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 11．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ） A．为偶函数 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 ________． 13．周长为的直角三角形面积的最大值为________． 14．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知函数． （1）写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； （2）求在的最小值． 16．如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； 17．已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 18．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为； 前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复。 假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐。 （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求同学与同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数。 19．已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，求证：当时，恰有两个零点。 四川省金堂中学校高2027届10月数学试卷解析版 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【详解】因为，， 所以 故选：B 2．【详解】因为，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3．【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，． 所以函数的定义域为． 故选：A． 4．【详解】由于，则， 于是．故选：B． 5．【详解】先选项C中函数的周期为，故排除C，将，代入A，B，D求得函数值为，2，，而函数在对称轴处取最值． 故选：B． 6．【详解】对于A，要使函数有意义，则，即， 所以或或或， 所以函数的定义域为，A不正确； 对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确； 对于C，对于函数，则，当时，， 则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D，对于函数，定义域为，且， ，当时，，当时，， 当时，，所以函数在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确． 故选：D． 7．【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为R， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A． 8．【详解】法一：设，所以 令，则，，，此时，A有可能； 令，则，，，此时，B有可能； 令，则，，，此时，D有可能； 故选：C． 法二：设，所以，，， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数，，的图象，以上方程的根分别是函数，，的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．【详解】对于A，函数的图象不过原点，不关于原点对称，故不是奇函数，即A项错误； 对于B，设，显然其定义域为R， 又因为，所以是奇函数， 由幂函数知是增函数，故是减函数，故B项正确； 对于C，函数是奇函数，但是在和上是减函数， 在定义域上不具有单调性，故C项错误； 对于D，函数可化为，其图象如下图： 故既是奇函数又是减函数，故D项正确． 故选：BD． 10．【详解】． 当时，；当时，， 所以在，上为增函数，在上为减函数， 所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值． 由，即，得或， 所以当时函数的图像在x轴上方，画出函数图象，如图 由图像可知A正确，B错误； 由图像可知实数的取值范围是，故C错误； 由得或．因为，，所以与，的图像有5个交点，所以函数有5个零点，故D正确． 故选：AD． 11．【详解】因为是奇函数，所以①，且奇函数在0处有定义，则，图像关于中心对称，因为，则， 代入①式得，即周期为4． 选项A，，代入①式得，即，A正确； 选项B，假设，则时，，因为，所以，矛盾，假设不成立，B错误； 选项C，，周期为4，则，，，则一个周期内， 则，C正确； 选项D，，周期4，则周期也为4， ，，，， 则 ， ，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【详解】． 13．【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，，且，． 则， 所以，即． 当且仅当时取等号． 所以直角三角形的面积，即直角三角形面积的最大值为． 故答案为： 14．【详解】由不等式得：， 即， 令，则， ∵函数在上单调递增，，， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增， ，即恒成立； 当时，若，则；若，则； 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1） ，解得， 所以的最小正周期为，图象的对称中心坐标为 （2），，， 当时，取得最小值， 所以． 16．【详解】（1）（1）证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面，∴平面平面． （2）由（1）知平面，平面，故， ，， 又底面，，底面， 所以，， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以，， N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17．【解析】（1）依题意得，，解得， 所以的方程为． （2）法一：依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线，，，所以， 联立，整理得， 所以， 设原点到的距离为，因为的面积与的面积相等， 所以，得， 所以，得， 依题意，与异号，所以，所以，解得， 所以直线的方程为或． 法二：依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线，，，所以， 联立，得， 所以， 因为的面积与的面积相等，所以， 所以，则，即． 依题意，与异号，所以， 则，解得， 所以直线的方程为或． 法三：依题意可知，直线的斜率存在且不为零． 设直线，，， 所以，联立，得，所以， 设原点到的距离为． 因为的面积与的面积相等，所以，得，所以与的中点重合， 又的中点，的中点，所以， 所以，解得， 所以直线的方程为或． 18．解：（1）记事件为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”，则； （2）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”，， 则， 记事件为“同学与同学第二天在同一餐厅就餐”，则； （3）记事件为“某同学第天在甲餐厅就餐”，， 则， 所以， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即， 记学校2000名学生第天在甲餐厅就餐的学生人数为，则， 所以， 当时，， 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为人． 19．解：（1）当时， ，， ， 所以切线方程为． （2）， 当时，，在上单调递减． 当时，在上，有，在上，有， 故在上单调递减，上单调递增． 当时，，，在上单调递增． 当时，，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，上单调递增． 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递减． （3）时，． 令，则． 令，． ⅰ．时，恒成立， 在上单调递增． 又， ∴存在一个零点，，使． ⅱ．， 恒成立，在上单调递减． 又，． 存在零点，使． ，，，． 在上单调递增，上单调递减． 又，．， ∴存在一个零点，，使． ⅲ．， 恒成立．在单调递减． 恒成立．在没有零点． ⅳ．时， 下面来证明当时，． 设．在上单调递增， ，，恒成立． 综上所述，在只有两个零点． 又是由向右平移一个单位所得，在只有两个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $