第21章 一元二次方程 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第21章 一元二次方程 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．已知a，b是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+3b+1的值是（　　） A．﹣20 B．﹣24 C．22 D．20 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝3a+3，b2＝3b+3，再用a表示a3得a3＝12a+9，则2a3﹣6a2+b2+3b+1可化为6（a+b）+4，接着根据根与系数的关系得到a+b＝3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根， ∴a2﹣3a﹣3＝0，b2﹣3b﹣3＝0， ∴a2＝3a+3，b2＝3b+3， ∴a3＝a（3a+3）＝3a2+3a＝3（3a+3）+3a＝12a+9， ∴2a3﹣6a2+b2+3b+1＝2（12a+9）﹣6（3a+3）+3b+3+3b+1＝6（a+b）+4， ∵a，b是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根， ∴a+b＝3， ∴2a3﹣6a2+b2+3b+1＝6×3+4＝22． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义及方程中根与系数的两个关系式并熟练应用是解题的关键． 2．在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与二次函数关系．根据题意可知函数值正负之间即为一个根的范围． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程的一个根x的大致范围是：， 故选：C． 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式．分和且两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得，方程有实数根； 当时，关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 综上，时，关于x的方程有实数根． 故选：A． 4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ）    A．只有甲 B．只有丁 C．乙和丁 D．甲和丁 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由变形得：，故甲错误； 由配方得：，故乙正确； 由得：，故丙正确； 由解得：，故丁错误； ∴接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丁， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键． 5．如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式方程，解题的关键是不要直接求根，而是要利用根与系数的关系，代入求值．利用根与系数的关系求出，，再把变成，然后把前面的关系式代入即可求出代数式的值． 【详解】解：实数分别满足， 实数是方程的两根， 故选：A. 6．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系．本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式底高求出面积． 【详解】解：， ， ∴或， 当时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形， ∴底边上的高， ∴面积； 当时，，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形， ∴面积， ∴面积或． 故选：B． 7．满足方程的整数对共有（    ）对 A．         B．         C．           D．            E． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次方程的整数解问题，需要结合平方数的非负性和整数范围进行枚举求解．先根据方程中平方项的非负性确定的取值范围，再对的每个可能取值代入方程求解，判断是否为整数，最后统计满足条件的整数对数量． 【详解】解：∵和均为非负数，且总和为， 由得的可能值为，，，，， 对每个值，判断是否为完全平方数， 当时： ，解得或； 对应解为和，共对； 当时： ，不是完全平方数，无整数解； 当时： ， 解得或； 对应解为、、、，共对； 总共有对整数解． 故选：D． 8．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 【答案】C 【分析】考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键；根据根与系数的关系，可得，，整理可得关于p，q的二元一次方程组，解方程组即可； 【详解】解：是关于x的方程的两根， ， 是关于x的方程的两根， ，，即， 将代入整理得， ，解得， 故选：． 9．方程的两根分别是和，则方程的两根为（    ） A．0， B．，1 C．， D．，3 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系，得到，将方程整理为：，将看作一个整体，解方程即可． 【详解】解：∵方程的两根分别是和， ∴，， ∵，整理得：， ∴， ∴，即：， 解得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及因式分解法解一元二次方程．熟练掌握根与系数的关系，利用整理思想进行求解，是解题的关键． 10．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②， ， 又， ， ， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②③④． 故选：C． 11．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 12．小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以整理后得到． 如果是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法探究的值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是一元三次方程的三个根， ∴， 展开右边得， ∴， ∴. 二、填空题 13．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，则小路的宽为_______． 【答案】 【分析】将小路进行平移，转化成规整的矩形，即可通过矩形面积公式进行求解，本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是熟练应用平移的性质，将不规则图形转化成规则图形，再进行求解． 【详解】解：将图形通过平移变成规则的矩形，设小路的宽为米， 根据题意列式： ， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 14．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 【答案】 【分析】首先根据勾股定理求出，然后得到，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，通过因式分解得到整数根的可能组合，再求出整数的值． 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，， 将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时， 解得： ，，或，， ， 或， 故答案为：或． 16．已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 _____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题 17．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明： ， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； (2)． 【分析】（1）先计算判别式的值得到，利用非负数的性质得，然后根据判别式的意义判断根的情况； （2）利用求根公式解方程得到，再利用方程有一个根大于4且小于8得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）略 （2）解：，得， ∵方程有一个根大于4且小于8， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 18．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 19．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． 【详解】（1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 20．我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； (1)根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； (2)根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； (3)实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； (4)类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 【答案】(1) (2)； (3)5； (4)①如图5所示， ②； 【分析】（1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴正根为； （2）解：大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； （3）解：∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长， ∴， ∴方程的正根为； （4）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， 根据题意得，， ∴， ， 解得，， ∴正根为． 21．综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长为； (2)收纳盒的高为厘米． 【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用， （1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为厘米，宽为厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为列式可得． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： ，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为 （2）解：根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米， ∴收纳盒底面的长为（厘米），宽为厘米， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：收纳盒的高为厘米， 22．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键． （1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即． 把代入已知方程，得， 化简得； （2）解：设所求方程的根为，则（），即． 把代入已知方程，得， 化简得； （3）解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得 ， ∴，． 将，代入新方程，得 ， 化简得， ， ∴新方程的根为，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．已知a，b是方程x2﹣3x﹣3＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+3b+1的值是（　　） A．﹣20 B．﹣24 C．22 D．20 2．在估算一元二次方程的根时，小明列表如下： x 1 由此可以确定，一元二次方程的一个根x的大致范围是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 4．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程，规则：每人只能看到前一人给的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图1所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ）    A．只有甲 B．只有丁 C．乙和丁 D．甲和丁 5．如果两不相等实数分别满足则的值是（　　） A．1 B． C． D． 6．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则该三角形的面积是（   ） A．24 B．24或 C．48 D．48或 7．满足方程的整数对共有（    ）对 A．         B．         C．           D．            E． 8．设是关于x的方程的两根，是关于x的方程的两根，则p，q的值分别等于（　　） A．1， B．1，3 C．， D．，3 9．方程的两根分别是和，则方程的两根为（    ） A．0， B．，1 C．， D．，3 10．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 11．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．小刘在学完《一元二次方程根与系数的关系》后，对一元二次方程根与系数关系又进行了新的探究． 一元二次方程根与系数的探究 因为是方程的根，那么方程左边的一定会有因式 因此， 展开右边得到． 所以整理后得到． 如果是一元三次方程的三个根，请你类比小刘的方法探究的值为（     ） A．3 B． C． D． 二、填空题 13．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使小路的面积为，则小路的宽为_______． 14．小鹿利用欧几里得的一元二次方程图解法，解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，，若，则的值为______． 15．关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 16．已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 _____． 三、解答题 17．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围． 18．学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 19．若实数a，b，c满足：，． (1)若，求m的最小值； (2)若，且a为整数，求； (3)若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 20．我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； (1)根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； (2)根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； (3)实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； (4)类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 21．综合与实践． 九年级课外小组计划用两块长为，宽为的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，如图1； 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分，如图2． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； (2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为，求收纳盒的高． 22．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； (2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $