第20章 二次根式 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

第20章 二次根式 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据定义，形如的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次根式． 对选项A，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项C，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项D，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项B，对任意实数，都有，满足二次根式被开方数非负的要求，一定是二次根式． 2．的值估计在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算及无理数的估值，解题的关键是先化简式子，再通过平方法确定无理数的取值范围． 先化简式子为；再通过平方法确定的范围，进而得到化简后式子的区间． 【详解】解：. ∵，， ∴， ∴，即. 故选：B． 3．已知，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数是非负数，是解决问题的关键． 被开方数是非负数，得到，得到，即得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，原式计算正确，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意； C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意； D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意； 5．下列各式互为有理化因式的是（       ） A． 和 B．－和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据有理化因式的定义进行判断即可. 【详解】解：A. ∵， ∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误； B. ∵， ∴两根式互为有理化因式，故本选项正确； C.∵， ∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误； D.∵， ∴两根式不互为有理化因式，故本选项错误； 故选B. 【点睛】本题考查的是分母有理化，熟知两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式称作互为有理化因式是解答此题的关键． 6．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】先求出，，则可得，再化简分式、二次根式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 7．把根号外的因式移入根号内，结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可. 【详解】根据根式的性质可得，所以 因此 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围. 8．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 即， ， ． 9．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 10．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． 先求出中间正方形的边长为，再根据题意求出最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差即可． 【详解】解：中间正方形纸片的面积为， 中间正方形的边长为， 最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差为． 故选：D． 11．已知实数a满足，那么值是（    ） A．2009 B．2008 C．2007 D．2006 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可确定a的取值范围．再根据绝对值的意义就可去掉绝对值符号．得到一个绝对值不等式，从而求得． 【详解】解：已知实数a满足，可得a≥2009； 故原式化简为：a-2008+=a，即=2008， 平方可得：a-2009=20082； 整理得，a-20082=2009． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 12．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 13．已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 14．函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的限制条件，列出不等式求解自变量取值范围即可． 【详解】解：要使函数有意义，需同时满足两个条件： ∵分式的分母不能为0， ∴ ， ∵二次根式的被开方数必须是非负数， ∴ ， 解得， 综上，自变量的取值范围是且． 15．比较大小：______（填“或或”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的大小比较．分别求出，，即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴． 故答案为：． 16．_____． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方的逆运算，二次根式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式得，再运算中括号内，得，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 17．（1）已知：，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的额关键． （1）先求出，，然后把原式变形为代入计算即可； （2）先判断，然后根据二次根式的运算法则化简，再把代入计算． 【详解】解：（1），， ，， ； （2）∵，， ∴， 原式 原式． 18．若m满足关系式，试确定m的值． 【答案】 【分析】先根据被开方数非负求出的值，再根据非负数和为零的性质列方程组求解． 【详解】解：根据题意得 整理得 因此 将代入原等式右边，得 原等式化为 ∴ 解得： 又 ∴ 解得． 19．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 20．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，解题的关键是根据题目中给出的数字表达式，找出规律，准确计算． （1）根据题目中给出的方法进行计算即可； （2）根据（1）中找出的规律，写出用含n（n 为正整数）的关系式表示的规律即可； （3）根据解析（2）找出的一般规律进行化简计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：原式 ． 21．定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 22．（1）【填空并观察猜想】①完成填空： ； ； （填“＞”、“＜”或“＝”）； 观察猜想：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数，做出猜想： ②_________ （2）【验证结论】我们可以利用几何图形对②的猜想进行验证，利用如图1四个全等的长方形，构造如图2的几何图形，请你对②的猜想进行验证． （3）【结论应用】如图3，小明同学要做一个面积为对角线相互垂直的四边形的风筝时，用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1）①＞，＞，＝，②≥； （2）图2中的中间小正方形的边长为，则其面积得 ； （3）60厘米 【分析】本题考查完全平方公式的应用． （1）直接计算再比较大小即可； （2）图2中的中间小正方形的边长为，再由其面积可得结论； （3）对角线相互垂直的四边形的面积可以用对角线相乘的一半来计算，再利用上面的猜想可得结论． 【详解】解：（1）①直接计算可得：,,, 故答案为：； ②由上面的计算猜想：， 故答案为：； （2）略 （3）设， 四边形对角线相互垂直 四边形的面积为 （厘米）． 故至少要60厘米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式 期中复习模拟试卷（培优） 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 2．的值估计在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 3．已知，则的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（     ） A． B． C． D． 5．下列各式互为有理化因式的是（       ） A． 和 B．－和 C．和 D．和 6．已知，那么的值等于（     ） A． B． C． D．3 7．把根号外的因式移入根号内，结果（   ） A． B． C． D． 8．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 10．如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形的纸片面积为，相邻两张正方形纸片的边长均相差，则最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（    ） A． B． C． D． 11．已知实数a满足，那么值是（    ） A．2009 B．2008 C．2007 D．2006 12．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 13．已知是整数，则自然数x的所有取值为____________． 14．函数中自变量的取值范围是______． 15．比较大小：______（填“或或”）． 16．_____． 三、解答题 17．（1）已知：，，求的值． （2）已知，，求的值． 18．若m满足关系式，试确定m的值． 19．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 20．先观察下面的运算过程，再按要求解答问题． ， ． (1)观察上面的运算过程，化简：__________． (2)已知n为正整数，化简：__________． (3)计算：． 21．定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 22．（1）【填空并观察猜想】①完成填空： ； ； （填“＞”、“＜”或“＝”）； 观察猜想：通过上面三个计算，可以初步对任意的非负实数，做出猜想： ②_________ （2）【验证结论】我们可以利用几何图形对②的猜想进行验证，利用如图1四个全等的长方形，构造如图2的几何图形，请你对②的猜想进行验证． （3）【结论应用】如图3，小明同学要做一个面积为对角线相互垂直的四边形的风筝时，用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $