22.3.2 相似三角形的判定 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

22.3.2 相似三角形的判定 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【利用平行判定相似】 1．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 3．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 4．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 5．在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 6．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【利用两角相等判定相似】 7．如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 8．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 9．如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 10．如图，中，，点在边上，且交于点． (1)求证：； (2)若，，是中点，求的长． 11．如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 12．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【利用三边对应成比例判定相似】 13．如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 14．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 15．如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． 【利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 16．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 17．如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 19．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 20．如图，， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 22．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 23．如图，在中，，点是斜边上的一点，作，过点作交于点，连接． (1)求证： (2)求证：． 【选择或补充条件使两个三角形相似】 24．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 25．如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 26．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 27．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3.2 相似三角形的判定 期中专项复习训练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【利用平行判定相似】 1．如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ； (2) 证明：， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】 证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】略 5．在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 6．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【利用两角相等判定相似】 7．如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质可证，，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证； （2）利用勾股定理求出，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ， ， ， ， ． 8．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得，再证，，根据两组对角相等，可证； （2）作于点G．由等腰三角形三线合一，可得，再由勾股定理计算出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且，，，， ，． ． （2）解：如图，作于点G． ，， ． 由勾股定理得． ， ． 由（1）得， ， ． 10．如图，中，，点在边上，且交于点． (1)求证：； (2)若，，是中点，求的长． 【答案】(1) 证明，如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)的长为． 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据勾股定理求出；根据相似三角形的判定和性质，则，求出． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 11．如图，的顶点在的边上，，，现以点为圆心，为半径画弧，交于点． (1)求证：； (2)已知，求边的长． 【答案】(1) 证明：由作图可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由作图可知，即，进而得到，根据平行线的性质得到，即可证明； （2）由题意可知，根据相似三角形的性质得到，即可求出边的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【利用三边对应成比例判定相似】 13．如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 14．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上． (1)填空： ， ， ． (2)与相似吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) 理由如下： 小正方形的边长均为1，，，，， 由可得，， ，， ． 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理可求出与的长，根据网格特点可求出的度数； （2）先根据勾股定理求出，，，，然后根据三边对应成比例的两个三角形相似即可解答． 【详解】（1），， 故答案为：，，； （2）略 15．如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 解：∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【利用两边对应成比例且夹角相等判定相似】 16．如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 17．如图，在中，，，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：，，， ， ， ， ， (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：△△， ， ， ． 18．如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 19．如图，在中，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿以的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为． (1)当时，求证：； (2)在运动过程中，点组成的三角形与能否相似？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明：由题意，，， ∴， ， ， ． ， (2)能，或 【分析】（1）利用两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似即可得证； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：能． 由题意，，， ∴， ∵， ∴， ①当时，，即， 解得（舍去）或， ； ②当时，有，即， 解得或（舍去）， ． 综上所述，当的长为或时，点组成的三角形与相似． 20．如图，， (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ． ， ； (2)9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先得到，再根据相似三角形的判定可得结论； （2）证明得到，进而代值求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ， ． ． ． ， ． ． 21．如图，与关于点C成中心对称，，，． (1)求的长； (2)在上取一点F，连接．若，求证：． 【答案】(1)2 (2) 解：∵，，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴． 【分析】本题考查了中心对称，勾股定理，相似三角形的判定等知识，解题的关键是： （1）根据中心对称的性质得出，，，根据勾股定理求出，即可求解； （2）根据勾股定理求出，结合已知可求出，然后根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】（1）解：∵与关于点C成中心对称，，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （2）略 22．如图，在锐角三角形中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理1和2． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）由得到，再由夹角相等，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在中，，点是斜边上的一点，作，过点作交于点，连接． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ． (2) 证明：， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得，利用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由可得，即；再证明可得，再运用角的和差、垂直的定义以及等量代换即可证明结论． 【详解】（1）略． （2）略． 【选择或补充条件使两个三角形相似】 24．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1) 选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 25．如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1) 解：选择①或③均正确． 选择①证明如下： ∵， ， ∵， ∴， 即， ∴； 选择③证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似； （2）先根据相似的性质得，再由，证明，得，再代入已知的值计算，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ． 26．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】 （1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 27．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $